Apunte 3 - Modelos de probabilidad

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Modelos de probabilidad
Uniforme continua X ~ U (a;b)
f X (x)={ 1b−a ; a≤x≤b0 ; ∀otro x } F X( x )={
0 ; −∞<x<a
x−a
b−a
; a≤ x<b
1 ; b≤x<+∞
}
E[ X ]=a+b
2
Var [ X ]=(b−a)
2
12
Uniforme discreta X ~ U [a;b] Para n valores posibles entre a y b incluidos.
P(X=x)={1n ; x∈{a;…; b}0 ; ∀otro x }
E[ X ]=a+b
2
Var [ X ]→
n →∞
(b−a)2
12
Hipergeométrico
dicotómico
Extracción sin reposición
N :# de elementos totales (población)
n :# de elementos extraidos (muestra)
D :# total de elementos del tipo de interés
X : V.A. # de elementos de interés en la muestra de tamaño n
(*) Para valores grandes de N y
D respecto de n, el modelo
Hipergeométrico puede ser
aproximado por el Binomial
P(X=x)=
( Dx )⋅(N−Dn−x )
(Nn )
x∈{0 ;1 ;2 ;…; n}
E[ X ]=n⋅D
N
Var [ X ]=n⋅( DN )⋅(1− DN )⋅( N−nN−1 )
Hipergeométrico
multiclases
Extracción sin reposición
N :# de elementos totales
N 1:# de elementos del tipo 1
N 2:# de elementos del tipo 2…
N k : # de elementos del tipo k
/N =N 1+N2+…+N k
n :# de elementos extraidos
X1: V.A. # de elementos extraidos del tipo 1
X2: V.A. # de elementos extraidos del tipo 2…
Xk :V.A. # de elementos extraidos del tipo k
/n=X1+ X2+…+X k
P ( X1=x1; X2=x2;…; Xk=xk )=
(N1x1 )⋅(
N 2
x2 )⋅…⋅(
Nk
xk )
( Nn )
 Multinomial: En una cantidad n de
experimentos que pueden resultar de k
formas distintas cada una con probabilidad
{p1 ; p2;…; pk} , probabilidad de obtener
x 1 resultados del tipo 1, x 2 resultados
del tipo 2,..., x k resultados del tipo k en
cualquier orden.
p1 : Prob. de resultar tipo1
p2 : Prob. de resultar tipo 2
 ...
pk : Prob. de resultar tipo k
 / p1+ p2+…+ p k=1
X1 : V.A. # de experimentos resultados del tipo1
X2 : V.A. # de experimentos resultados del tipo2
 ...
Xk : V.A. # de experimentos resultados del tipok
n : # de experimentos / X1+ X2+…+X k=n
 P ( X1=x1; X2=x2;…; X k=xk )=
n !
(x1!)⋅(x2!)⋅…⋅(xk ! )
⋅p1
x1⋅p2
x2⋅…⋅pk
x k
Normal
X ~ N (μ ;σ)
● La combinación lineal de normales independientes resulta normal.
● La mezcla de normales no resulta normal y su f.d.p. podría tener
más de un máximo local.
● Si X es una V.A.N. no estándar, entonces la V.A.
((x−μX) /σ X ) es una V.A.N. estándar.
● La suma de un conjunto de V.A.s I.I.D tiende a una normal, a
medida que el tamaño del conjunto tiende a +∞.
f X (x)= 1
√2⋅π ⋅σ
⋅e
−
1
2⋅(
x−μ
σ )
2
Apuntes de aula (no reemplaza la bibliografía correspondiente) Sergio QUINTEROS Reportar cualquier error a 6106tl@gmail.com