Apunte 2 - Variable (Vector) aleatoria(o)

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V ariable (Vector) aleatoria(o) 
Variable X unidimensional Vector (X ;Y ) bidimensional
Definición de
esperanza
(condicional)
E[ X ]=μ X= ∫
x=−∞
x=+∞
x⋅f X (x )⋅dx
∄E [(X ;Y )]
E [X Y ]= ∫x=−∞
x=+∞
x⋅f X /Y (x ; y )⋅dx
Esperanza de
función E [ g(X ) ]=μg(X )= ∫
x=−∞
x=+∞
g( x)⋅f X ( x )⋅dx μg(X ;Y )=E [ g (X ; Y ) ]= ∫
x=−∞
x=+∞
∫
y=−∞
y=+∞
g (x ; y )⋅dy⋅dx
Propiedades de
la esperanza
E [ a⋅X+b⋅Y +c ]=μ[a⋅X+b⋅Y +c ] 
 =a⋅E [ X ]+b⋅E[Y ]+c
E[ X ]=E[ E[ X Y ]]
Definición y
fórmula de
calculo de la
(co)varianza
(condicional)
Coeficiente de
correlación
σX
2 =E [ ( X−E [ X ])2 ]
= ∫
x=−∞
x=+∞
(x−μ X)
2⋅f X (x )⋅dx
=E [ X2 ]−( E [ X ])2
σ(X ;Y )=E [(X−E [X ])⋅(Y−E[Y ]) ]
= ∫
x=−∞
x=+∞
∫
y=−∞
y=+∞
( x−μX )( y−μY) f
(X ;Y )(x ; y)dy dx
=E [X⋅Y ]−E [X ]⋅E [Y ]
ρPearson=
σ(X ;Y )
σX⋅σY
σ
(X Y )
2 =E[( X−E [ X /Y ] )2Y ]
=E [X2Y ]−(E[ X Y ])
2
Propiedades de
la (co)varianza
(condicional)
σ[a⋅X ±b⋅Y +c]
2 =a2⋅σX
2 +b2⋅σY
2 ±2⋅a⋅b⋅σ(X ;Y )
σ(a⋅X+b;c⋅Y +d )=a⋅c⋅σ( X ; Y )
σX
2 =σ
(E [X Y ])
2 +E [σ( X Y )
2 ]
Cambio de
variable
(1:1 y 2:2)
f Y ( y )=[ f
X(x )
|dYdX | ] x=φ−1( y)
(*) También puede encontrarse a través de eventos
equivalente haciendo uso de F X( x) .
f (U ;V )(u; v)=[ f
(X ;Y )(x ; y)
||∂(U ;V )∂( X ;Y )|| ] x=φ1−1(u;v)
y=φ2
−1 (u; v)
Máximo Mínimo
Distribuciones
de extremos
{X1; X 2;… ; Xk}∈I.I.D.
X MAX=MAX (X1 ; X2;…; X k)
FX MAX(x )=( F X (x))k
f X MAX (x)=k⋅[ FX (x )]k−1⋅f X (x)
{X1; X 2;… ; X k}∈I.I.D.
Xmin=min( X1; X2;…; X k )
1−FX min(x)=(1−F X(x ))k
f X min(x)=k⋅[1−F X (x)]k−1⋅f X(x )
Apuntes de aula (no reemplaza la bibliografía correspondiente) Sergio QUINTEROS Reportar cualquier error a 6106tl@gmail.com