10-06-17

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1. Cada d́ıa Lucas elige para ir a su trabajo el tren, con probabilidad 0,9, o el colectivo.
Cuando elige el tren, la probabilidad de que llegue tarde a su trabajo es 0,05, mien-
tras que cuando llega tarde la probabilidad de que haya elegido el colectivo es 0,4.
Sabiendo que el 9 de junio Lucas eligió el colectivo para ir a su trabajo, calcular la
probabilidad de que haya llegado tarde.
Sean:
T : Lucas elige el tren
C : Lucas elige el colectivo
L : Lucas llega tarde
Se tiene: P (T ) = 0, 9, P (C) = 0, 1, P (L|T ) = 0, 05, P (C|L) = 0, 4. Hay que cal-
cular P (L|C). Aplicando la fórmula de Bayes:
P (L|C) = P (C|L)P (L)
P (C)
Por probabilidad total es P (L) = P (L|T )P (T )+P (L|C)P (C). Haciendo p = P (L|C):
p =
0, 4(0, 05× 0, 09 + 0, 1p)
0, 1
de donde p = 0, 3
2. Monk, Lucas e Iñigo viajan hacia Mar del Plata en distintos autos. Monk va pri-
mero, Lucas segundo e Iñigo tercero. En cada instante, la distancia entre Monk y
Lucas y la distancia entre Lucas e Iñigo son variables aleatorias independientes con
distribución exponencial de media 100 metros. Si en cierto instante la distancia entre
Monk e Iñigo no supera 150 metros calcular la probabilidad de que en ese instante
la distancia entre Monk y Lucas sea mayor que 100 metros.
Sean X ∼ exp(1/100), la distancia de Monk a Lucas e Y ∼ exp(1/100) la distancia
de Lucas a Iñigo. Hay que calcular P (X > 100|X + Y ≤ 150). Entonces:
P (X > 100|X + Y ≤ 150) = P (X > 100 ∧X + Y ≤ 150)
P (X + Y ≤ 150)
Para calcular las probabilidades en el segundo miembro de la expresión anterior lo
más práctico en este caso es integrar la densidad conjunta fXY sobre las regiones co-
rrespondientes a los eventos para lo cual siempre es conveniente hacer un gráfico xy
(HACERLO). Dado que X e Y son independientes, fXY es el producto de las densi-
dades marginales y el soporte de esta densidad conjunta es todo el primer cuadrante.
Entonces:
P (X > 100 ∧X + Y ≤ 150) =
∫ 150
100
∫ 150−x
0
fX(x)fY (y)dydx
1
=
∫ 150
100
fX(x)
∫ 150−x
0
fY (y)dydx
Por propiedad de la distribución exponencial:
∫ 150−x
0
fY (y)dy = 1− e−(150−x)/100. Con
este resultado y la expresión de fX(x), reemplazando y operando en la integral doble
resulta:
P (X > 100 ∧X + Y ≤ 150) =
∫ 150
100
fX(x)dx−
∫ 150
100
1
100
e−1,5dx
esto es FX(150)− FX(100)− 0, 5e−1,5 u 0, 03318.
Para calcular P (X + Y ≤ 150) se puede seguir el camino anterior integrando fXY
sobre la región correspondiente o también, como alternativa, utilizar el hecho de que
X + Y es suma de exponenciales independientes y entonces X + Y ∼ Γ(2, 1/100).
Por propiedad de la distribución gamma:
P (X + Y ≤ 150) = 1−
1∑
k=0
1, 5ke−1,5
k!
u 0, 44217
Finalmente:
P (X > 100|X + Y ≤ 150) u 0, 03318
0, 44217
u 0, 075
3. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribución uniforme sobre el paralelogramo de
vértices (0,0), (1,1), (0,1) y (1,2). Calcular cov(X, Y + X).
Sea R el paralelogramo definido en el enunciado (DIBUJARLO). Entonces R =
{(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x+ 1}. El área de R es 1 y (X, Y ) es uniforme sobre
R por lo tanto es fXY (x, y) = 1{(x, y) ∈ R}. Por propiedades de la covarianza:
cov(X, Y + X) = cov(X, Y ) + cov(X,X) = cov(X, Y ) + V (X)
Se calculan entonces:
E[X] =
∫ ∫
R
xfXY (x, y)dxdy = 1/2
E[Y ] =
∫ ∫
R
yfXY (x, y)dxdy = 1
(el paralelogramo tiene un centro geométrico (1/2,1) que coincide con el centro de
masa (E[X],E[Y ]) cuando la densidad es constante)
E[X2] =
∫ ∫
R
x2fXY (x, y)dxdy = 1/3
E[XY ] =
∫ ∫
R
xyfXY (x, y)dxdy = 7/12
2
V (X) = E[X2]− E2[X] = 1/12
cov(X, Y ) = E[XY ]− E[X]E[Y ] = 1/12
Resulta: cov(X, Y + X) = 1/12 + 1/12 = 1/6.
4. El diámetro en dm, de cierto tipo de naranjas es una variable aleatoria X con den-
sidad:
fX(x) = 2(1− x)1{0 ≤ x ≤ 1}
Las naranjas se clasifican de la siguiente forma: de tipo 1 si X ≤ 1/4, de tipo 2 si
1/4 < X ≤ 1/2, de tipo 3 si X > 1/2. Hallar la función de probabilidad del tipo de
naranja.
Sea la variable discreta T : tipo de naranja, con valores en {1, 2, 3}. Entonces:
P (T = 1) = P (X ≤ 1/4) =
∫ 1/4
0
fX(x)dx = 7/16
P (T = 2) = P (1/4 < X ≤ 1/2) =
∫ 1/2
1/4
fX(x)dx = 5/16
P (T = 3) = P (X ≥ 1/2) =
∫ 1
1/2
fX(x)dx = 1/4
con lo cual queda definida la función p(t) = P (T = t).
5. Sean X e Y dos variables aleatorias con densidad conjunta
fXY (x, y) =
1
x
e−(x+
y
x
)1{x > 0, y > 0}
Hallar la función de distribución de E[Y 2|X].
La densidad conjunta puede escribirse fXY (x, y) = fX(x)fY |X=x(y) siendo:
fX(x) = e
−x1{x > 0} fY |X=x(y) =
1
x
e−
y
x1{y > 0, x > 0}
Resultan X ∼ exp(1), Y |X = x ∼ exp(1/x). Por lo tanto:
E[Y |X = x] = x V (Y |X = x) = x2 E[Y |X] = X V (Y |X) = X2
Entonces: E[Y 2|X] = V (Y |X) + E2[Y |X] = 2X2.
Hay que hallar la función de distribución de 2X2. Haciendo V = 2X2:
FV (v) = P (V ≤ v) = P (2X2 ≤ v) = P (X ≤
√
v/2) = FX(
√
v/2)
dado que son X > 0, V > 0. Entonces: FV (v) =
(
1− e−
√
v/2
)
1{v > 0}.
Jorge Comas
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