Comentarios sobre campos conservativos y Teorema de Green

Vista previa del material en texto

ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias
Comentarios - Práctica 9
A. Campos conservativos
Recordemos algunas definiciones y propiedades.
Teorema:
Sea A un conjunto abierto en Rn y
−→
F : A→ Rn un campo vectorial de clase C1 en A.
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Para todo camino cerrado C en A se verifica que
∫
C
−→
F · d−→r = 0 .
La integral de ĺınea de
−→
F es independiente del camino, es decir, cualesquiera sean las curvas C1 y C2 en A
con los mismos puntos inicial y final se verifica que
∫
C1
−→
F · d−→r =
∫
C2
−→
F · d−→r .
Suponiendo A conexo,
−→
F es un campo gradiente, es decir, existe una función escalar f : A → R con
derivadas parciales continuas tal que
−→
F (x) = ∇f(x) para todo x ∈ A.
Si el campo F verifica alguna de estas afirmaciones, en cuyo caso las verifica todas, se dice que es un campo
conservativo (en A). La función escalar f se llama función potencial.
Observemos que la propiedad de ser conservativo está asociada siempre a una región. Cuando no se especifica la misma, se
sobreentiende que el campo es conservativo en el dominio natural del mismo.
Recordemos que, denotando ∇ al operador que calcula las derivadas parciales, es decir, ∇ := ∂∂x ĭ +
∂
∂y j̆ +
∂
∂z k̆, podemos
calcular (formalmente) el operador divergencia y el rotor (en R3) de un campo como div
−→
F = ∇ ·
−→
F y rot
−→
F = ∇ ×
−→
F ,
respectivamente.
Con esa notación, podemos escribir la condición necesaria para ser un campo conservativo:
Teorema:
Sea A un conjunto abierto en Rn y
−→
F : A→ Rn un campo vectorial de clase C1 en A.
Si
−→
F es un campo conservativo en A, entonces verifica que
∂Fi
∂xj
(x) =
∂Fj
∂xi
(x), ∀x ∈ A, 1 ≤ i < j ≤ n,
o, lo que es lo mismo (en R3), rot
−→
F =
−→
0 .
Los campos con rotor nulo (irrotacionales) en un abierto A suelen llamarse localmente conservativos.
Claramente, un campo que no tenga rotor nulo no puede ser conservativo. Sin embargo, existen campos localmente con-
servativos que no son conservativos en un abierto cualquiera (ver, por ejemplo, el ejercicio 7). La condición se convierte en
suficiente en una clase especial de abiertos, llamados simplemente conexos.
Un conjunto abierto y conexo se llama simplemente conexo cuando todo camino cerrado en el dominio puede
deformarse de forma continua hasta convertirse en un punto del dominio sin salirse de él.
Teorema:
Sea A un conjunto abierto en Rn y
−→
F : A→ Rn un campo vectorial de clase C1 localmente conservativo en A.
Sea D ⊂ A simplemente conexo. Entonces
−→
F es conservativo en D.
Observaciones:
Observen que pedir que el rotor sea nulo es lo mismo que comprobar que la matriz jacobiana del campo sea simétrica.
Conocer la función potencial permite calcular la integral de ĺınea usando una forma asimilable a la “fórmula de Barrow”
para el caso de una variable: si
−→
F = ∇f , entonces si C es una curva C1 a trozos que comienza en el punto A y termina
en el punto B, ∫
C
−→
F · d−→r = f(B)− f(A).
Cuando un campo es conservativo y no se conoce la función potencial, se puede reemplazar su integral sobre una curva
dada C por cualquier otra curva dentro del dominio que comience y termine en los mismos puntos, que puede ser más
simple de integrar.
1
En R2, con quitar un solo punto a un abierto ya deja de ser simplemente conexo. Por eso suele decirse que un simplemente
conexo en el plano es un conjunto “sin agujeros”. Por ejemplo, R2 \ {(0, 0)} no es simplemente conexo.
En cambio en R3, quitar puntos no altera la condición de ser simplemente conexo; por ejemplo R3 \ {(0, 0, 0)} es
simplemente conexo.
También podŕıa quitarse una porción de curva, como el caso R3 \ {(x, 1, 1);x ≤ 1}; en cambio R3 sin todo el eje z ya
no es simplemente conexo pues, por ejemplo, la circunferencia x2 + y2 = 1; z = 0 no puede deformarse en un punto sin
pasar por algún punto de la forma (0, 0, z).
Otro ejemplo: consideremos la esfera S dada por x2 + y2 + z2 < 4. El dominio S \ {(0, 0, 0)} es simplemente conexo; al
igual que S \ {(0, 0, z);−1 ≤ z ≤ 1}, mientras que S \ {(0, 0, z); −2 < z < 2} no es simplemente conexo.
En conclusión, cuando un campo es C1 en un dominio A (no simplemente conexo) y tiene rotor nulo, será conservativo
en cualquier simplemente conexo contenido en A. Puede haber casos en los que encontremos diferentes funciones
potenciales (asociados a subdominios simplemente conexos contenidos en A), pero que el campo no resulte conservativo
en todo A. Como ejemplo, vean el ejercicio 7 de la Práctica 9.
Sin embargo, un campo podŕıa ser conservativo en un dominio que no sea simplemente conexo.
Por ejemplo, el campo
−→
F (x, y) =
(
−2x
(x2 + y2)2
,
−2y
(x2 + y2)2
)
es de clase C1 en R2 \ {(0, 0)}, que no es simplemente
conexo, y es conservativo en todo su dominio, ya que ∇
(
(x2 + y2)−1
)
=
−→
F (x, y).
—————————————————————————————————————
B. Teorema de Green
El Teorema de Green relaciona la integral de ĺınea a lo largo de una curva cerrada C en el plano con una integral doble sobre
la región encerrada por C. Recordemos el resultado y hagamos algunas observaciones y generalizaciones.
Teorema de Green:
Sea D una región acotada del plano de tipo 3 y sea C su frontera, orientada positivamente y C1 a trozos. Sean
P y Q dos funciones definidas sobre un abierto que contiene a D̄ de clase C1. Entonces∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dx dy =
∫
C
P dx + Qdy
Observaciones:
El sentido positivo de recorrido de la curva cerrada C es aquel que deja la región a la izquierda cuando se la recorre.
Para una curva cerrada simple, el sentido positivo de recorrido se corresponde con el antihorario. Algunas veces se
escribe C+ para indicar que la curva está recorrida en sentido antihorario (o positivo), y C− para indicar el sentido
horario (o negativo).
También pueden encontrar la versión vectorial del Teorema de Green: escribiendo
−→
F = P ĭ + Qj̆,∫∫
D
(
∇×
−→
F
)
· k̆ dx dy =
∫
C
−→
F · d−→r .
El Teorema es válido en regiones del plano con “agujeros”, que no son de tipo 3. Para demostrarlo en este caso, se
subdivide la región en dos (o más) regiones de tipo 3, introduciendo curvas auxiliares; se aplica el Teorema en cada una
de ellas y luego se suman los resultados. Las integrales sobre los bordes auxiliares se cancelan entre śı porque aparecen
recorridos en los dos sentidos. Finalmente, queda la curva exterior recorrida en sentido antihorario, y la (o las) curva(s)
interior(es) recorridas en sentido horario.
La razón de considerar dominios con agujeros es la de permitir que en esos agujeros el campo tenga algún tipo de
singularidad. Con frecuencia un agujero está producido por un punto en el que el campo se hace infinito. Por ejemplo el
campo (1, x)/(x2 + y2) tiene una singularidad en (0, 0), por lo que no puede utilizarse el teorema de Green en ninguna
región que lo contenga. Pero śı puede aplicarse, por ejemplo, en la región 1 < x2 + y2 < 4.
El Teorema de Green puede utilizarse para calcular áreas de regiones planas mediante una integral de ĺınea de su
frontera, con cualquier campo que cumpla rot
−→
F = 1. Por ejemplo, si P = −y y Q = 0, se tiene que ∂Q∂x −
∂P
∂y = 1 y,
por lo tanto
área(D) =
∫∫
D
1 dA = −
∫
∂D
y dx.
Desde ya puede utilizarse cualquier campo
−→
F con rotor igual a 1, generándose aśı diferentes fórmulas para calcular el
área de figuras planas mediante integrales de ĺınea.
2