ejercicio 9 (Práctica 10, Mica)

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Resolución del ejercicio 9 - Práctica 10
Ejercicio. Sea S la superficie determinada por la semiesfera x2+y2+ z2 = 1
con z ≥ 0 y su base x2 + y2 = 1 con z = 0. Calcular el flujo saliente del campo
~E(x, y, z) = (2x, 2y, 2) a través de S
Resolución
Consideremos el campo vectorial ~E(x, y, z)=(2x, 2y, 2) que es continuo en R3
Para resolver la integral de flujo lo primero que necesitamos es parametrizar
la superficie S. Observemos que S es una superficie cerrada (es la frontera de
una región sólida) y claramente tienen dos caras, una orientada hacia afuera y
otra que mira hacia adentro, en este ejercicio nos piden la orientación hacia el
exterior de la superficie. Si sólo se consideraba la semiesfera y no la base, no
estaŕıamos hablando de una superficie cerrada en ese caso.
Veamos que S está determinada una parte por la semiesfera (z ≥ 0) de ra-
dio 1 centrada en (0, 0, 0) y otra por la base x2 + y2 = 1 con z = 0 entonces
podemos pensar a S como la unión de dos superficies S1 y S2.
Llamemos S1 la parte de la semiesfera. Para parametrizar S1 podemos ver
que tiene una representación sencilla en coordenadas esféricas, siendo ρ = 1 para
todo par de valores de las variables angulares φ y θ. Haciendo ρ = 1 en las
ecuaciones de transformación de coordenadas esféricas a cartesianas, obtenemos
x = 1 sin(φ) cos(θ)
y = 1 sin(φ) sin(θ)
z = 1 cos(φ)
De modo que podemos tomar a estos dos ángulos como parámetros y por lo
tanto una función vectorial que parametriza la superficie es
~r(φ, θ) = sin(φ) cos(θ)̂i+ sin(φ) sin(θ)ĵ + cos(φ)k̂
con 0 ≤ φ ≤ π
2
y 0 ≤ θ ≤ 2π
1
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Cuadro de texto
eligiendo adecuadamente el movimiento de los ángulos
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Línea
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Cuadro de texto
por ser polinomios
Ahora calculemos el vector normal a esta superficie paramétrica
~n(θ, φ) = ~rθ × ~rφ = (sin2(φ) cos(θ), sin2(φ) sin(θ), sin(φ) cos(φ))
que tiene orientación saliendo de la esfera, tal como se pide. Recordemos
que para ver la orientación de ~n podemos, por ejemplo, calcular dicho vector en
algún punto concreto de la superficie y en todos los demás puntos la orientación
será la misma. Veamos qué pasa en el punto (1
2
, 1
2
, 1√
2
) , es decir, si tomamos
a θ = φ = π
4
, entonces ~n(π
4
, π
4
) = ( 1√
8
, 1√
8
, 1
2
), orientada hacia el exterior de la
semiesfera.
Seguimos con el producto escalar entre el campo vectorial (evaluado en la
superficie) y el vector normal en cada punto
~E · ~n = ~E(~r(φ, θ)) · ~n(φ, θ) =
= (2 sin(φ) cos(θ), 2 sin(φ) sin(θ), 2)·(sin2(φ) cos(θ), sin2(φ) sin(θ), sin(φ) cos(φ))
=2 sin3(φ) cos2(θ) + 2 sin3(φ) sin2(θ) + 2 sin(φ) cos(φ)
Entonces, llamando Dφθ = {(φ, θ) : 0 ≤ φ ≤ π2 y 0 ≤ θ ≤ 2π}
∫∫
~E · d ~S1 =
∫∫
Dφθ
~E(~r(φ, θ)) · ~n(φ, θ)dφθ =
=
∫ π
2
0
∫ 2π
0
(2 sin(φ) cos(θ), 2 sin(φ) sin(θ), 2)·(sin2(φ) cos(θ), sin2(φ) sin(θ), sin(φ) cos(φ))dθdφ
=
∫ π
2
0
∫ 2π
0
2 sin3(φ) cos2(θ) + 2 sin3(φ) sin2(θ) + 2 sin(φ) cos(φ)dθdφ
=
∫ π
2
0
∫ 2π
0
2 sin3(φ) + 2 sin(φ) cos(φ)dθdφ
=
∫ π
2
0
∫ 2π
0
2 sin3(φ)dθdφ+
∫ π
2
0
∫ 2π
0
2 sin(φ) cos(φ)dθdφ
Resolviendo por parte,
2
(1)
∫ π
2
0
∫ 2π
0
2 sin3(φ)dθdφ =
∫ π
2
0
∫ 2π
0
2 sin2(φ) sin(φ)dθdφ =
=
∫ π
2
0
∫ 2π
0
2(1 − cos2(φ)) sin(φ))dθdφ =
∫ π
2
0
4π(1 − cos2(φ)) sin(φ))dφ =
4π
∫ 1
0
(1− u2)du = 4π
(
u− u3
3
)
∣∣∣1
0
=
8π
3
Acá se utilizó el método de sustitución, llamando u = cos(φ)
(2)
∫ π
2
0
∫ 2π
0
2 sin(φ) cos(φ)dθdφ =
∫ π
2
0
4π sin(φ) cos(φ)dφ =
∫ 1
0
4πvdv =
4π
(
v2
2
)
∣∣∣∣1
0
= 2π
Nos queda,∫∫
~E · d ~S1 = (1) + (2) =
8
3
π + 2π =
14
3
π
Ahora vamos a parametrizar S2, que seŕıa la base x
2 + y2 = 1 con z = 0.
Podemos parametrizarlo de la siguiente manera,
~r(s, t) = (s cos(t), s sin(t), 0) con 0 ≤ s ≤ 1 y 0 ≤ t ≤ 2π
Recordemos que el valor de la integral de superficie de un campo vecto-
rial no depende de la parametrización utilizada para la superficie, siempre que
ésta sea cubierta una sola vez. También se pod́ıa haber parametrizado con
~r(x, y) = (x, y, 0) con 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1
Calculemos el vector normal de S2
~n(s, t) = ~rs × ~rt = (0, 0, s)
Como el ejercicio nos pide flujo saliente, es decir, estamos tratando la cara externa
de la superficie, el vector normal que debemos utilizar es el vector ~n = (0, 0,−s)
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Cuadro de texto

Recordemos que, si construimos la parametrización u(t,s)=r(s,t), obtenemos la misma superficie con la misma región de integración pero con el normal opuesto, ya que calcularemos el producto vectorial con los vectores derivados intercambiados. Por esa razón se puede:
- utilizar el vector n y cambiar el signo a la integral final, o bien 
- trabajar directamente con el nuevo vector normal n, que es lo que ocurriría al cambiar la parametrización (que es lo que se está haciendo aquí)
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Lápiz
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Lápiz
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Línea
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Línea
Luego hacemos el producto escalar entre el campo vectorial (evaluado en la
superficie) y el vector normal en cada punto.
~E · ~n = ~E(~r(s, t)) · ~n(s, t) =(2s cos(t), 2s sin(t), 2) · (0, 0,−s)= −2s
Entonces, llamando Dst = {(s, t) : 0 ≤ s ≤ 1 y 0 ≤ t ≤ 2π}∫∫
~E·d ~S2 =
∫∫
Dst
~E(~r(s, t))·~n(s, t)dsdt =
∫ 1
0
∫ 2π
0
−2sdtds =
∫ 1
0
−4πsds
= −4π
(
s2
2
)
∣∣∣∣1
0
= −2π
Por lo tanto, el flujo saliente del campo ~E(x, y, z)=(2x, 2y, 2) a través de S
es:
∫∫
S
~E · d~S=
∫∫
S1∪S2
~E · d~S =
∫∫
S1
~E · d~S +
∫∫
S2
~E · d~S = 14
3
π− 2π = 8
3
π
Comentario. Como ejercicio extra, para practicar relacionado con la Práctica
11. LLamando E a la región sólida donde S = ∂E+. Verificar que se cumple las
hipótesis y la igualdad del Teorema de Gauss.
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