vectores y matrices, dependencia lineal e independencia

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Cálculo diferencial en varias variables
Lázaro R. Dı́az Lievano
201910145
January 2021
Problemas capitulo 1: Vectores y matrices.
1.1. Usa una regla para estimar el valor de c mostrado en la figura 1.2
Figura 1.2 Puntos 0, U y cU estan sobre una linea, c > 0.
solucion: hacemos la medicion de U y cU, luego procedemos a realizar la sigu-
iente expresion hallada graficamente
c =
cU
U
=
5.3 cm
1.5 cm
= 3.54
1.2. Realiza un dibujo de 2 vectores U y V distintos de cero que sean linealmente
dependientes en R2.
1
1.3. Sea U=(1,-1) y V=(1,1).
a)Encuentra todos los numeros a y b que satisfacen la ecuación
aU + bV = 0
Demuestra que U y V son linealmente independientes.
aU + bV = 0
a(1,−1) + b(1, 1) = 0
(a+ b, b− a) = 0
a = b, a = −b
=⇒ a = b = 0.
Como la unica forma de que el vector cero esté como combinación lineal de U y V
es que los escalares a y b sean 0, entonces U y V son linealmente independientes.
b) Expresa al vector (2, 4) como combinación lineal de U y V .
(2, 4) = aU + bV
= a(1,−1) + b(1, 1)
= (a+ b, b− a)
=⇒ a+ b = 2
b− a = 4
=⇒ a = −1, b = 3.
Asi, el vector (2, 4) = 3V − U .
c)Expresa un vector arbitrario (x, y) como combinación lineal de U y V .
(x, y) = aU + bV
= a(1,−1) + b(1, 1)
= (a+ b, b− a)
=⇒ a+ b = x
b− a = y
2
1.4. Encuentra un número k tal que los vectores (k,−1) y (1, 3) son linealmente
dependientes.
a(k,−1) + b(1, 3) = 0
a(k,−1) = −b(1, 3)
(ak,−a) = (−b,−3b)
ak + b = 0
3b− a = 0
=⇒ k = −b/a = −a/3a = −1/3.
1.5. Encuentra una función lineal T de R2 aR. que satisfaga T (1, 2) = 3 y
T (2, 3) = 5.
Solución: Sea T de R2 aR tal que T (U) = u1 + u2 donde U ∈ R2, U = (u1, u2).
1.6. Sean U = (u1, u2), V = (v1, v2)yW = (w1, w2) vectores en R2 y sean a, b y
c números. Usa las definiciones U + V = (u1 + v1, u2 + v2), cU = (cu1, cu2) y
−U = (−u1,−u2) para demostrar las siguientes propiedades.
a) U + V = V + U
U + V = (u1, u2) + (v1, v2)
(u1 + v1, u2 + v2) = (v1 + u1, v2 + u2)
(u1 + v1, u2 + v2) = V + U
b) U + (V +W ) = (U + V ) +W
U + (V +W ) = (u1, u2) + (v1 + w1, v2 + w2)
(u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2) = ((u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2)
(u1 + v1, u2 + v2) + (w1, w2) = (U + V ) +W
c) c(U + V ) = cU + cV
c(U + V ) = (c(u1 + v1), c(u2 + v2))
(cu1 + cv1, cu2 + cv2) = cU + cV
d) (a+ b)U = aU + bU
(a+ b)(U) = ((a+ b)u1, (a+ b)u2)
(au1 + bu1, au2 + bu2) = aU + bU
3
e) U + (−U) = 0
U + (−U) = (u1, u2) + (−u1,−u2)
(u1 + (−u1), u2 + (−u2)) = (u1 − u1, u2 − u2)
(0, 0) = 0
1.7. Suponga que los puntos 0 = (0, 0), U = (u1, u2) y V = (v1, v2) no están
fijas sobre una linea. Muestre que el cuadrilátero con vertices 0, U, U +V y V es
un paralelogramo probando las siguientes propiedades.
a)la linea que pasa por 0 y U es paralela a la linea que pasa por V y U + V .
La linea que pasa por 0 y U que contiene a todos los puntos cU , con c una
constante real, tiene pendiente m = u2u1 considerando que U no es una recta
vertical. Mientras que la linea que pasa por V y V + U tiene pendiente
m2 =
(v2 + u2)− v2
(v1 + u1)− v1
=
u2
u1
igual considerando que no es una linea vertical, comom1 = m2 podemos concluir
que las lineas son paralelas.
Note que si U es vertical, la linea que pasa por V y V + U igual es vertical, de
esta forma tambien serian paralelas.
Considerando que U y V no están fijas sobre la misma linea y b) la linea que
pasa por 0 y V es paralela a la linea que pasa por U y U + V .
De manera similar, la linea que pasa por 0 y V que contiene a todos los puntos
cV , con c una constante real, tiene pendiente m = v2v1 considerando que V no
es una recta vertical. Mientras que la recta que linea que pasa por U y U + V
tiene pendiente
m2 =
(u2 + v2)− u2
(u1 + v1)− u1
=
v2
v1
igual considerando que no es una linea vertical, comom1 = m2 podemos concluir
que las lineas son paralelas.
Note que si V es vertical, la linea que pasa por U y U + V igual es vertical, de
esta forma tambien serian paralelas.
4
1.8. a) Haz un dibujo de dos vectores U y V en R2 distintos de cero tal que U
no es multiplo de V .
5
b)Usando U y V de la parte a) realice un dibujo de los vectores U+V,−V y U−V .
1.9. Tres vectores U, V y W son dibujados como segmentos dirigidos como en
los puntos de la figura 1.5. Exprese a W en terminos de U y V , y muestre que
U + V +W = 0.
Solución: W = −U − V =⇒ U + V +W = U + V − U − V = 0.
1.10. Varios vectores son dibujados en la figura 1.6 como segmentos dirigidos
entre los puntos en el plano.
a) Exprese Y como combinación lineal de U y V y verifique que U +V +Y = 0.
Solución: Y = −U − V =⇒ U + V + Y = U + V − U − V = 0.
b) Exprese Y como combinación lineal de W y X y verifique que W+X−Y = 0.
Solución: Y = W +X =⇒ W +X + Y = W +X −W −X = 0.
6
c) Muestre que U + V +W +X = 0.
Solución: Y = −U − V, Y = W + X =⇒ U + V + W + X = (−Y ) + Y = 0.
1.11. Sea U = (u1, u2). Demuestre que la funcion T (U) = u1 − 8u2 es lineal.
T (aU + bV ) = au1 + bv1 + (−8au1 − 8bv2)
= (au1 − 8au1) + (bv1 − 8bv2)
= a(u1 − 8u2) + b(v1 − 8v2)
= aT (U) + bT (V )
Esto es, T es lineal.
1.12. Sea T una funcion de R2 a R de la forma T (x, y) = px + qy donde p y q
son numeros. Muestre que T es lineal mostrando que para todos los vectores U
y V en R2 y para cualquier numero c, las siguientes propiedades se cumplen.
a) T (cU) = cT (U)
T (cU) = p(cx) + q(cy)
= cpx+ cqy
= c(px+ qy)
= cT (U)
b) T (U + V ) = T (U) + T (V )
Sean U = (u1, u2) y V = (v1, v2) en R2
T (U + V ) = p(u1 + v1) + q(u2 + v2)
= pu1 + pv1 + qu2 + qv2
= (pu1 + qu2) + (pv1 + qv2)
= T (U) + T (V ).
1.13. Escribe la ecuación vectorial
(4, 5) = a(1, 3) + b(3, 1)
7
como un sistema de dos ecuaciones con incógnitas a y b.
(4, 5) = a(1, 3) + b(3, 1)
= (a, 3a) + (3b, b)
= (a+ 3b, 3a+ b)
{
a+ 3b = 4
3a+ b = 5
1.14. Considera el sistema de dos ecuaciones para las incógnitas x y y,
3x+ y = 0
5x+ 12y = 2
a) Escribe este sistema como una ecuacion vectorial xU + yV = W .
W = (0, 2) = (3x+ y, 5x+ 12y)
= (3x, 5x) + (y, 12y)
= x(3, 5) + y(1, 12)
= xU + yV
b) Resuelve para x y y.
3x+ y = 0
5x+ 12y = 2
Entonces, y = −3x =⇒ 5x+ 12y = 5x− 36x = −31x = 2
Por lo tanto, x = − 231 y y =
6
31 .
1.15. Sea U = (1, 2) y V = (2, 4). Encuentra dos formas de expresar al vector
(4, 8) como combinación lineal
(4, 8) = aU + bV
¿Son U y V linealmente independientes?
Solución: Note que V = (2, 4) = 2(1, 2) = 2U , en base a esto, ya sabemos
que podemos expresar a U en términos de V y visceversa, esto es, U y V son
linealmente depedientes.
Busquemos dos formas de expresar al vector (4, 8) Busquemos dos formas Una
es
(4, 8) = 2U + V = 2(1, 2) + (2, 4)
8
igualmente
(4, 8) = 4U + 0V = 4(1, 2) + 0(2, 4)
1.16. Considera los vectores U = (1, 3) y V = (3, 1).
a) ¿Son U y V linealmente independientes?
Solución:
aU + bV = 0
a(1, 3) + b(3, 1) = 0
(a+ 3b, 3a+ b) = 0
formando el siguiente sistema de ecuaciones{
a+ 3b = 0
3a+ b = 0
=⇒ a = 0, b = 0.
Aśı, U y V son linealmente independientes.
b) Expresa al vector (4, 4) como combinación lineal de U y V .
Solución:
aU + bV = (4, 4)
a(1, 3) + b(3, 1) = (4, 4)
(a+ 3b, 3a+ b) = (4, 4)
formando el siguiente sistema de ecuaciones{
a+ 3b = 4
3a+ b = 4
=⇒ a = 1, b = 1.
Asi, el vector (4, 4) = U + V .
c) Expresa al vector (4, 5) como combinación lineal de U y V .
Solución:
aU + bV = (4, 5)
a(1, 3) + b(3, 1) = (4, 5)
(a+ 3b, 3a+ b) = (4, 5)
9
formando el siguiente sistema de ecuaciones{
a+ 3b = 4
3a+ b = 5
=⇒ a = 11
8
, b =
7
8
.
Asi, el vector (4, 5) = 118 U +
7
8V .
1.17. Sean U, V y W tres puntos en un circulo unitario con centro en el origen
de un plano en R2, que dividen la circunferencia en 3 arcos de igual longitud.
Vea la figura 1.7.
a)Muestre que rotar 120 grados alrededor del origen lleva a U+V +W al mismo
lugar. Concluya que la suma de los vectores U, V y W es 0.
Solución: Al ser el perimetro de un circulo unitario igual a 2π y al tener arcos
de igual longitud, entonces el arco correspondiente es s = 2π3 r =
2π
3 . Por
conveniencia, cambiaremos nuestro sistema de referencia, haciendo que el punto
V estésobre el eje x con dirección positiva. De este modo, los puntos en el plano
quedan de la siguiente forma:
U = cos
(
4π
3
)
x̂+ sin
(
4π
3
)
ŷ
V = x̂+ 0 ŷ
W = cos
(
2π
3
)
x̂+ sin
(
2π
3
)
ŷ
10
Haciendo la suma
U + V +W =
[
cos
(
4π
3
)
+ 1 + cos
(
2π
3
)]
x̂+
[
sin
(
4π
3
)
+ sin
(
2π
3
)]
ŷ
=
[
−1
2
+ 1− 1
2
]
x̂+
[√
3
2
−
√
3
2
]
ŷ
= 0
Ahora rotemos 120 grados, esto es, sumar (o restar) 120 grados a la expresion
U + V +W =
[
cos
(
4π
3
+
2π
3
)
+ 1 + cos
(
2π
3
+
2π
3
)]
x̂+
[
sin
(
4π
3
+
2π
3
)
+ sin
(
2π
3
+
2π
3
)]
ŷ
=
[
cos
(
6π
3
)
+ cos
(
2π
3
)
+ cos
(
4π
3
)]
x̂+
[
sin
(
6π
3
)
+ sin
(
4π
3
)
+ sin
(
2π
3
)]
ŷ
=
[(
1− 1
2
− 1
2
)
x̂+
(
0−
√
3
2
+
√
3
2
)
ŷ
]
= 0
b) Concluya que
sin (θ) + sin
(
θ +
2π
3
)
+ sin
(
θ +
4π
3
)
= 0
Para toda θ. Considerando solamente el eje y y, en general, rotando un ángulo
cualquiera θ tenemos
sin θ + sin
(
θ +
2π
3
)
+ sin
(
θ +
4π
3
)
= sin θ + sin θ cos
(
2π
3
)
+ cos θ sin
(
2π
3
)
+ sin θ cos
(
4π
3
)
+ cos θ sin
(
4π
3
)
= sin θ
[
1 + cos
(
2π
3
)
+ cos
(
4π
3
)]
+ cos θ
[
sin
(
2π
3
)
+ sin
(
4π
3
)]
= sin θ
[
1− 1
2
− 1
2
]
+ cos θ
[√
3
2
−
√
3
2
]
= 0
11
c) Muestre que
n∑
k=1
cos
(
θ +
2kπ
n
)
= 0 para toda θ y para toda n = 2, 3, ...
n∑
k=1
cos
(
θ +
2kπ
n
)
= cos θ cos
(
2π
n
)
− sin θ sin
(
2π
n
)
+ cos θ cos
(
4π
n
)
− sin θ sin
(
4π
n
)
+ ...+ cos θ cos (2π)− sin (θ) sin (2π)
= cos θ
(
cos
(
2π
n
)
+ cos
(
4π
n
)
+ ...+ cos (2π)
)
− sin θ
(
sin
(
2π
n
)
+ sin
(
4π
n
)
+ ...+ sin (2π)
)
= 0
Sin importar que n se elija, los puntos se repartirán de manera simetrica a través
del circulo unitario, es decir, cada punto en el eje positivo x o y tendrá su punto
simetrico en el eje negativo x o y.
1.18. Sea f(U) la distancia entre los puntos U y 0 en R2.
a) ¿Para que números c es f(cU) = cf(U) verdadera?
Dado que f(U) devuelve una distancia entre el vector U y el origen del plano
cartesiano podemos definirla como f(U) = |U − (0, 0)| = |U |, es decir, la norma
del vector U .
Ahora, si multiplicamos por un escalar c
f(cU) = |cU |
Si c ≥ 0 entonces
f(cU) = |cU | = c|U | = cf(U)
En cambio, si c < 0 la igualdad f(cU) = cf(U) no se cumple. porque
f(cU) = |cU | = −c|U | =⇒ f(cU) 6= cf(U)
Por lo tanto, solo es verdadera la igualdad para valores de c ≥ 0
b) ¿Es f una función lineal?
No, porque existen escalares para los cuales no se cumple la primera propiedad
f(cU) = cf(U), además f(U + V ) 6= f(U) + f(V ) porque ya está dado por la
ley de cosenos.
1.19. Suponga f una función lineal y f(−0.5, 0) = 100. Encuentre f(0.5, 0).
Sea f una función lineal, es decir, cumple las siguientes propiedades
f(cU) = cf(U) (1)
f(U + V ) = f(U) + f(V ) (2)
Podemos usar la primera propiedad y hacer lo siguiente
f(0.5, 0) = −1f(−0.5, 0) = −100
12
1.20. Suponga f una función lineal y f(0, 1) = −2, f(1, 0) = 6.
a) Encuentre f(1, 1).
Usamos la linealidad de la función f y la segunda propiedad.
Entonces
f(1, 1) = f(0, 1) + f(1, 0) = −2 + 6 = 4
b) Encuentre f(x, y).
viendo que
f(1, 0) = a+ b(0) = a = 6
f(0, 1) = a(0) + b = b = −2
Entonces, la funcion evaluada en un vector arbitrario tiene la forma de
f(x, y) = 6x− 2y
.
13