BVCO_U3_A2_JEMP

Vista previa del material en texto

Universidad Abierta y a Distancia 
de México 
División de Ciencias de la Salud, 
Biológicas y Ambientales 
Ingeniería en Biotecnología 
 
 
Variable compleja 
 
 
Unidad 3 
 
Actividad 2 
 
Jessica Verónica Mendoza Prado 
ES202104539 
 Grupo BI-BVCO-2302-B2-002 
 
 29 de mayo de 2023 
 
Encuentra los puntos en los cuales la función 𝑓: ℂ → ℂ, definida como tenga derivada compleja 
𝑓(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑥3 − 𝑦2 + (𝑥 − 𝑦)𝑖 
Respuesta 
1) Para conocer si una función compleja es derivable, es necesario determinar si cumple con las 
ecuaciones de Cauchy Riemann. 
a. Reescribimos la derivada de la forma siguiente 
𝑓(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑥3 − 𝑦2 + 𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 
b. Determinamos que la parte real de la ecuación es 𝑢 = 𝑥3 − 𝑦2 y la parte imagina es 𝑣 =
𝑥 − 𝑦 
c. Obtenemos la derivada parcial de u con respecto a x 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑥3 = 3𝑥2 
d. Obtenemos la derivada parcial de v con respecto a x 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −𝑦 
e. Seguimos con la derivada parcial de u con respecto a y 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑦2 = 2𝑦 
f. Finalizamos con la derivada parcial de v con respecto a y 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑥 
 
2) Organizamos de acuerdo con las igualdades que deben ser cumplidas en las ecuaciones de 
Cauchy Riemann 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 3𝑥2 ≠ 𝑥 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= −2𝑦 ≠ 𝑦 
3) Podemos identificar que no se cumplen las igualdades por lo que concluimos que la expresión 
no es derivable. 
Determinar los puntos en los cuales la función 𝑓: ℂ → ℂ definica como 𝑓(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑥 − 𝑦𝑖 tenga 
derivada compleja 
1) Para conocer si una función compleja es derivable, es necesario determinar si cumple con las 
ecuaciones de Cauchy Riemann. 
a. Determinamos que la parte real de la ecuación es 𝑢 = 𝑥 y la parte imagina es 𝑣 = −𝑦 
b. Obtenemos la derivada parcial de u con respecto a x 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑥 = 1 
c. Obtenemos la derivada parcial de v con respecto a x 
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= −𝑦 = −1 
d. Seguimos con la derivada parcial de u con respecto a y 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 
e. Finalizamos con la derivada parcial de v con respecto a y 
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0 
 
2) Organizamos de acuerdo con las igualdades que deben ser cumplidas en las ecuaciones de 
Cauchy Riemann 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 1 = −1 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 0 = 0 
3) Podemos identificar que se cumplen las igualdades y que entonces la expresión si es derivable 
en todos los puntos del plano complejo. 
4) Podemos ver que adopta la forma 
 
5) Por lo que obtenemos 𝑦´(𝑥) = 𝑖 −
2𝑖
1+𝑓´(+𝑖𝑦)
 
Referencias 
MillerMatematicas (2020) Ecuaciones de Cauchy Riemann. Youtube. Recuperado de 
https://www.youtube.com/watch?v=sWYURUi9zKc 
UnADM (s.f.) Contenido nuclear unidad 3. UnADM. Recuperado de 
https://dmd.unadmexico.mx/contenidos/DCSBA/BLOQUE2/BI/05/BVCO/unidad_03/descargables/BVCO
_U3_Contenido.pdf 
1ª Con Berni (2020) Derivada de una función compleja. YouTube. Recuperado de 
https://www.youtube.com/watch?v=BvaI0gCG2Ts 
https://dmd.unadmexico.mx/contenidos/DCSBA/BLOQUE2/BI/05/BVCO/unidad_03/descargables/BVCO_U3_Contenido.pdf
https://dmd.unadmexico.mx/contenidos/DCSBA/BLOQUE2/BI/05/BVCO/unidad_03/descargables/BVCO_U3_Contenido.pdf