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Universidad Abierta y a Distancia de México División de Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales Ingeniería en Biotecnología Variable compleja Unidad 2 Evidencia de aprendizaje Modelo logístico Jessica Verónica Mendoza Prado ES202104539 Grupo BI-BVCO-2301-B2-002 14 de mayo de 2023 Problema Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de estudiantes infectados, sino también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 7 días si además se observa que después de cuatro días 𝒙(𝟒) = 𝟓𝟎. Suponga que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad Solución: Sean T=tiempo 1000= Población total 1000-x= Cantidad de estudiantes no infectados X= Número de estudiantes infectados K= Constante de proporcionalidad 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑘𝑋(1000 − 𝑥(𝑡)); 𝑥(0) = 1 𝑥(4) = 50 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 1000 𝑘𝑥 − 𝑘𝑥2 Es decir en forma de la ecuación logística: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 1000 𝑘𝑥 = −𝑘𝑥2 Utilizamos sustitución: 𝑢 = 𝑥−1, 𝑝𝑜𝑟𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −1𝑑𝑢 𝑢2𝑑𝑡 Reemplazamos lo anterior en la ecuación obteniendo: −1𝑑𝑢 𝑢2𝑑𝑡 − 1000𝑘𝑢−1 = −𝑘(𝑢−1)2 Multiplicamos por -u^2 𝑑𝑢 𝑑𝑡 + 1000𝑘𝑢 = 𝑘 En este caso es necesario el uso del factor integrante para resolver la ecuación anterior, por lo que tenemos que el factor integrante es: 𝑒∫(1000𝑘)𝑑𝑡 = 𝑒1000𝑘𝑡 Lo multiplicamos por la ecuación anterior y tenemos 𝑒1000𝑘𝑡 [ 𝑑𝑢 𝑑𝑡 + 1000𝑘𝑢 = 𝑘] = 𝑒1000𝑘𝑡(𝑘) Obtenemos entonces que 𝑢(𝑡) = 1 1000 + 𝑐𝑒−1000𝑘𝑡 Regresamos u a la variable x: 𝑥(𝑡) = 1000 1 + 1000𝑐𝑒−1000𝑘𝑡 Para determinar el valor de la constante c, tenemos que considerar la condición inicial de x(0)=1, al restar al valor total tenemos que faltan 0.999 estudiantes de contagiar, por lo que tenemos: 𝑥(𝑡) = 1000 1 + 999𝑒−1000𝑘𝑡 Para determinar la constante de proporcinoalidad k, debemos considerar lo que nos mencionaron al principio, donde al cuarto día había 50 estudiantes contagiados. X(4)=50 𝑘 = 0.00099 Por esto 𝑥(𝑡) = 1000 1 + 999𝑒−0.99𝑡 Finalmente tenemos nuestra función logística. Para conocer el numero de infectados en el día 7, sustituimos teniendo: 𝑥(7) = 1000 1 + 999𝑒−0.99𝑡 = 1000 1 + 999(𝑒−0.99(7)) = 1000 1 + 999(.000978) = 1000 1 + 0.977 = 1000 1.977 = 𝟓𝟎𝟓. 𝟖 En el séptimo día habrá 505 alumnos infectados. Referencias OpenStax (2023) Ecuación logística. Rice University. Recuperado de https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/4-4-la-ecuacion-logistica Profe Will (2022) Modelo de crecimiento Logístico. YouTube. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=gjB5bY6yikU https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/4-4-la-ecuacion-logistica https://www.youtube.com/watch?v=gjB5bY6yikU
