BVCO_U2_EA_JEMP

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Universidad Abierta y a Distancia 
de México 
División de Ciencias de la Salud, 
Biológicas y Ambientales 
Ingeniería en Biotecnología 
 
 
Variable compleja 
 
 
Unidad 2 
Evidencia de aprendizaje 
Modelo logístico 
 
Jessica Verónica Mendoza Prado 
ES202104539 
 Grupo BI-BVCO-2301-B2-002 
 
14 de mayo de 2023 
 
Problema 
Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado campus de 1000 
estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x 
de estudiantes infectados, sino también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la 
cantidad de estudiantes infectados después de 7 días si además se observa que después de cuatro días 
𝒙(𝟒) = 𝟓𝟎. Suponga que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad 
Solución: 
Sean 
T=tiempo 
1000= Población total 
1000-x= Cantidad de estudiantes no infectados 
X= Número de estudiantes infectados 
K= Constante de proporcionalidad 
 
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑘𝑋(1000 − 𝑥(𝑡)); 𝑥(0) = 1 𝑥(4) = 50 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 1000 𝑘𝑥 − 𝑘𝑥2 
Es decir en forma de la ecuación logística: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 1000 𝑘𝑥 = −𝑘𝑥2 
Utilizamos sustitución: 
𝑢 = 𝑥−1, 𝑝𝑜𝑟𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 
−1𝑑𝑢
𝑢2𝑑𝑡
 
Reemplazamos lo anterior en la ecuación obteniendo: 
−1𝑑𝑢
𝑢2𝑑𝑡
− 1000𝑘𝑢−1 = −𝑘(𝑢−1)2 
Multiplicamos por -u^2 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 1000𝑘𝑢 = 𝑘 
En este caso es necesario el uso del factor integrante para resolver la ecuación anterior, por lo que 
tenemos que el factor integrante es: 
𝑒∫(1000𝑘)𝑑𝑡 = 𝑒1000𝑘𝑡 
Lo multiplicamos por la ecuación anterior y tenemos 
𝑒1000𝑘𝑡 [
𝑑𝑢
𝑑𝑡
+ 1000𝑘𝑢 = 𝑘] = 𝑒1000𝑘𝑡(𝑘) 
Obtenemos entonces que 
𝑢(𝑡) =
1
1000
+ 𝑐𝑒−1000𝑘𝑡 
Regresamos u a la variable x: 
𝑥(𝑡) =
1000
1 + 1000𝑐𝑒−1000𝑘𝑡
 
Para determinar el valor de la constante c, tenemos que considerar la condición inicial de x(0)=1, al 
restar al valor total tenemos que faltan 0.999 estudiantes de contagiar, por lo que tenemos: 
𝑥(𝑡) =
1000
1 + 999𝑒−1000𝑘𝑡
 
Para determinar la constante de proporcinoalidad k, debemos considerar lo que nos mencionaron al 
principio, donde al cuarto día había 50 estudiantes contagiados. X(4)=50 
𝑘 = 0.00099 
Por esto 
𝑥(𝑡) =
1000
1 + 999𝑒−0.99𝑡
 
Finalmente tenemos nuestra función logística. Para conocer el numero de infectados en el día 7, 
sustituimos teniendo: 
𝑥(7) =
1000
1 + 999𝑒−0.99𝑡
=
1000
1 + 999(𝑒−0.99(7))
=
1000
1 + 999(.000978)
=
1000
1 + 0.977
=
1000
1.977
= 𝟓𝟎𝟓. 𝟖 
 
En el séptimo día habrá 505 alumnos infectados. 
Referencias 
OpenStax (2023) Ecuación logística. Rice University. Recuperado de 
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/4-4-la-ecuacion-logistica 
Profe Will (2022) Modelo de crecimiento Logístico. YouTube. Recuperado de 
https://www.youtube.com/watch?v=gjB5bY6yikU 
 
https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/4-4-la-ecuacion-logistica
https://www.youtube.com/watch?v=gjB5bY6yikU