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Universidad Abierta y a Distancia de México División de Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales Ingeniería en Biotecnología Variable compleja Unidad 2 Actividad 2 Jessica Verónica Mendoza Prado ES202104539 Grupo BI-BVCO-2302-B2-002 10 de mayo de 2023 Ejercicio 1 Un modelo matemático para la razón con la que se propaga una medicina en el torrente sanguíneo está dado por: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑟 − 𝑘𝑥 Donde 𝒓, 𝒌 son constantes positivas. Sea 𝒙(𝒕) la función que describe la concentración de la medicina en el torrente sanguíneo al tiempo 𝒕. Resuelva la ecuación diferencial sujeta a 𝒙(𝟎) = 𝟎. Solución 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑟 − 𝑘𝑥 Separamos las variables: 𝑑𝑥 (𝑟 − 𝑘𝑥) = 𝑑𝑡 Integramos ambos lados de la ecuación: − 1 𝑘 ln|𝑟 − 𝑘𝑥| = 𝑡 + 𝑐 Resolvemos para encontrar x: 𝑟 − 𝑘𝑥 = 𝑒(−𝑘(𝑡+𝑐)) 𝑥 = ( 𝑟 𝑘 ) − ( 1 𝑘 ) 𝑒(−𝑘(𝑡+𝑐)) Procedemos a usar la condición x(0)=0 para encontrar el valor de c : 𝑥(0) = ( 𝑟 𝑘 ) − ( 1 𝑘 ) 𝑒(−𝑘(0+𝑐)) = 0 𝑟 𝑘 = ( 1 𝑘 ) 𝑒(−𝑘𝑐) 𝑒𝑘𝑐 = 𝑟/𝑘 𝑐 = ( 1 𝑘 ) ln( 𝑟 𝑘 ) Al sustituir el valor de c en la ecuación anterior obtenemos: 𝑥(𝑡) = ( 𝑟 𝑘 )(1 − 𝑒(−𝑘𝑡)) La función que describe la concentración del medicamento en sangre respecto al tiempo es: 𝑥(𝑡) = (𝑟/𝑘)(1 − 𝑒(−𝑘𝑡)) Esta función se encuentra sujeta a x(0)=0 Ejercicio 2 En el estudio de la población dinámica uno de los más famosos modelos para un crecimiento poblacional limitado es la ecuación logística: 𝒅𝑷 / 𝒅𝒕 = 𝑷(𝒂 − 𝒃𝑷) Donde 𝒂, 𝒃 son constantes positivas. Resuelva la ecuación diferencial anterior. (Sugerencia: considere la ecuación de Bernoulli). Solución Reorganizamos la ecuación: 𝒅𝑷 𝑷(𝒂 − 𝒃𝑷) = 𝒅𝒕 Utilizando la sugerencia de la ecuación de Bernoulli, tenemos que podemos resolver usando la sustitución v=1/P. Por lo que reescribimos: 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = − 𝑑𝑃 𝑑𝑡𝑃−2 = −𝑣2 𝑑𝑃 𝑑𝑡 Al sustituir v=1/P y dv/dt=-v^2 dP/dt en la ecuación original obtenemos: − 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑎𝑣 − 𝑏 Utilizamos el factor integrante e^at para resolver la ecuación. Se multiplican ambos lados. − 𝑑 𝑑𝑡(𝑣𝑒𝑎𝑡) = 𝑏𝑒𝑎𝑡 Se integran ambos lados de la ecuación: 𝑣𝑒𝑎𝑡 = (𝑐 − 𝑏 𝑎 ) 𝑒𝑎𝑡 Reordenamos para resolver v: 𝑣 = ( 𝑐 𝑒𝑎𝑡 ) − 𝑏 𝑎 Sustituimos v=1/P en la ecuación para obtener la solución para P: 𝑃 = 𝑎 ( 𝑏 𝑐 + 𝑒 𝑎𝑡) b/c es otra constante. Referencias Ibarra, E. (2005) Ecuaciones Diferencias. Facultad de Ciencias Forestales. Universidad Nacional de Santiago del Estero. Recuperado de https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuaciones- diferenciales-GOMEZ.pdf s.n. (s.f.) Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Recuperado de https://www.u- cursos.cl/artes/2011/1/CALC361-204/1/material_docente/bajar%3Fid_material%3D582655 https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuaciones-diferenciales-GOMEZ.pdf https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuaciones-diferenciales-GOMEZ.pdf
