BVCO_U2_A2_JEMP

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Universidad Abierta y a Distancia 
de México 
División de Ciencias de la Salud, 
Biológicas y Ambientales 
Ingeniería en Biotecnología 
 
 
Variable compleja 
 
 
Unidad 2 
 
Actividad 2 
 
Jessica Verónica Mendoza Prado 
ES202104539 
 Grupo BI-BVCO-2302-B2-002 
 
 10 de mayo de 2023 
 
Ejercicio 1 
Un modelo matemático para la razón con la que se propaga una medicina en el torrente sanguíneo está 
dado por: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑟 − 𝑘𝑥 
Donde 𝒓, 𝒌 son constantes positivas. Sea 𝒙(𝒕) la función que describe la concentración de la medicina en 
el torrente sanguíneo al tiempo 𝒕. Resuelva la ecuación diferencial sujeta a 𝒙(𝟎) = 𝟎. 
Solución 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑟 − 𝑘𝑥 
 
Separamos las variables: 
𝑑𝑥
(𝑟 − 𝑘𝑥)
= 𝑑𝑡 
Integramos ambos lados de la ecuación: 
−
1
𝑘
ln|𝑟 − 𝑘𝑥| = 𝑡 + 𝑐 
Resolvemos para encontrar x: 
𝑟 − 𝑘𝑥 = 𝑒(−𝑘(𝑡+𝑐)) 
𝑥 = (
𝑟
𝑘
) − (
1
𝑘
) 𝑒(−𝑘(𝑡+𝑐)) 
Procedemos a usar la condición x(0)=0 para encontrar el valor de c : 
𝑥(0) = (
𝑟
𝑘
) − (
1
𝑘
) 𝑒(−𝑘(0+𝑐)) = 0 
𝑟
𝑘
= (
1
𝑘
) 𝑒(−𝑘𝑐) 
𝑒𝑘𝑐 = 𝑟/𝑘 
𝑐 = (
1
𝑘
) ln⁡(
𝑟
𝑘
) 
Al sustituir el valor de c en la ecuación anterior obtenemos: 
𝑥(𝑡) = (
𝑟
𝑘
)(1 − 𝑒(−𝑘𝑡)) 
La función que describe la concentración del medicamento en sangre respecto al tiempo es: 
𝑥(𝑡) = (𝑟/𝑘)(1 − 𝑒(−𝑘𝑡)) 
Esta función se encuentra sujeta a x(0)=0 
Ejercicio 2 
En el estudio de la población dinámica uno de los más famosos modelos para un crecimiento poblacional 
limitado es la ecuación logística: 
 𝒅𝑷 / 
𝒅𝒕 = 𝑷(𝒂 − 𝒃𝑷) 
Donde 𝒂, 𝒃 son constantes positivas. Resuelva la ecuación diferencial anterior. (Sugerencia: considere la 
ecuación de Bernoulli). 
Solución 
Reorganizamos la ecuación: 
𝒅𝑷
𝑷(𝒂 − 𝒃𝑷)
= 𝒅𝒕 
Utilizando la sugerencia de la ecuación de Bernoulli, tenemos que podemos resolver usando la 
sustitución v=1/P. Por lo que reescribimos: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −
𝑑𝑃
𝑑𝑡⁡𝑃−2
= −𝑣2
𝑑𝑃
𝑑𝑡
 
Al sustituir v=1/P y dv/dt=-v^2 dP/dt en la ecuación original obtenemos: 
−
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑎𝑣 − 𝑏 
Utilizamos el factor integrante e^at para resolver la ecuación. Se multiplican ambos lados. 
−
𝑑
𝑑𝑡(𝑣⁡𝑒𝑎𝑡)
= 𝑏𝑒𝑎𝑡 
Se integran ambos lados de la ecuación: 
𝑣𝑒𝑎𝑡 = (𝑐 −
𝑏
𝑎
) 𝑒𝑎𝑡 
Reordenamos para resolver v: 
𝑣 = (
𝑐
𝑒𝑎𝑡
) −
𝑏
𝑎
 
Sustituimos v=1/P en la ecuación para obtener la solución para P: 
𝑃 =
𝑎
(
𝑏
𝑐 + 𝑒
𝑎𝑡)
 
b/c es otra constante. 
Referencias 
Ibarra, E. (2005) Ecuaciones Diferencias. Facultad de Ciencias Forestales. Universidad Nacional de 
Santiago del Estero. Recuperado de https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuaciones-
diferenciales-GOMEZ.pdf 
s.n. (s.f.) Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Recuperado de https://www.u-
cursos.cl/artes/2011/1/CALC361-204/1/material_docente/bajar%3Fid_material%3D582655 
https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuaciones-diferenciales-GOMEZ.pdf
https://fcf.unse.edu.ar/archivos/series-didacticas/SD-11-Ecuaciones-diferenciales-GOMEZ.pdf