Vista previa del material en texto
Universidad Abierta y a Distancia
de México
División de Ciencias de la Salud,
Biológicas y Ambientales
Ingeniería en Biotecnología
Variable compleja
Unidad 4
Actividad 2
Transformación de Joukowsky
Jessica Verónica Mendoza Prado
ES202104539
Grupo BI-BVCO-2302-B2-002
12 de junio de 2023
Transformación de Joukowsky
Es una función matemática que se utiliza comúnmente en la aerodinámica e ingeniería de fluidos
para analizar el flujo alrededor de perfiles aerodinámicos. Fue desarrollada en el siglo XX por el
ingeniero ruso Nikolai Joukowsky para mapear una región del plano complejo en otra región del
plano complejo, conservando propiedades conformales.
Es una trasformación conforme del plano complejo z al plano z´ pero con modificación de la
estructura de la imagen. Plantea que
𝑧´ = 𝑓(𝑧) = 𝑧 +
𝑏2
𝑧
Es la mas simple de las transformaciones del conjunto de transformaciones de la forma. Su
aplicación está definida por: J:𝐽: ℂ∞ → ℂ∞
𝐽(𝑧) = {
1
2
∞
(𝑧 +
1
𝑧
) 𝑠𝑖 𝑧 ≠ 0, ∞ 𝑠𝑖 𝑧 = 0, ∞
Los puntos donde la transformación deja de ser conforme son si z=+-1
Una de las aplicaciones más comunes es el circulo en el plano complejo, que tras ser
transformado, forma una figura conocida como perfil de Joukowsky que es una curva asimétrica
y alargada, que representa un corte sagital de las alas de un avión y otros objetos voladores.
La transformación puede definirse mediante:
𝑤 = 𝑧 + (
𝑅2
𝑧
)
• W es el punto resultante de la transformación
en el plano complejo
• Z es el punto de partida en el plano complejo
• R es el radio del circulo en el plano complejo
Entre sus propiedades notables encontramos:
1. Preserva los ángulos locales en el dominio local
2. Preserva las singularidades como puntos
críticos y los polos.
3. Conservación de la circunferencia en el plano
complejo
4. Inversión de las aasimetrias en el perfi aerodinamico
5. Teorema de Kutta Joukowsky que establece que la circulación alrededor de un perfil
aerodinamico es proporcional a la sustentación generada.
Ejemplo
1. Definición del perfil aerodinámico:
- Consideremos el perfil NACA 2412, que se define mediante una parametrización de la curva.
La forma del perfil se puede describir utilizando la coordenada de posición del borde de ataque
(x) y la función de espesor simétrico (t). Para un punto dado x, la coordenada vertical del perfil
se calcula como y = t * c / 0.2 * (0.2969 * sqrt(x/c) - 0.126 * (x/c) - 0.3516 * (x/c)^2 + 0.2843 *
(x/c)^3 - 0.1015 * (x/c)^4), donde c es la cuerda del perfil.
2. Transformación de Joukowsky:
- Para cada punto (x, y) en el perfil aerodinámico, aplicamos la transformación de Joukowsky
utilizando las siguientes operaciones matemáticas:
- Calculamos la coordenada compleja z = x + iy.
- Aplicamos la transformación de Joukowsky utilizando la fórmula w = z + (R^2 / z), donde R es
el radio del círculo utilizado en la transformación.
3. Cálculo de las propiedades aerodinámicas:
- Distribución de presión:
- Utilizando la teoría de potencial, se puede calcular la distribución de presión alrededor del
perfil de Joukowsky.
- Se utilizan métodos numéricos, como la resolución de la ecuación de Laplace, para obtener la
distribución de presión en el plano complejo w.
- Se pueden calcular gradientes de presión a partir de la distribución de presión para analizar la
variación de presión a lo largo del perfil.
- Generación de sustentación:
- Aplicamos el teorema de Kutta-Joukowsky para calcular la generación de sustentación.
- La circulación alrededor del perfil aerodinámico de Joukowsky se calcula como Γ = 2 * pi *
(w_top - w_bottom), donde w_top y w_bottom son los puntos en el perfil que corresponden a la
parte superior e inferior del ala.
- La sustentación generada está directamente relacionada con la circulación y se puede calcular
utilizando la fórmula L = ρ * V * Γ, donde ρ es la densidad del aire y V es la velocidad de flujo.
- Resistencia aerodinámica:
- La resistencia aerodinámica se puede calcular utilizando diferentes enfoques, como métodos
numéricos o experimentales.
- Para el análisis numérico, se pueden aplicar métodos de elementos de borde o volúmenes
finitos para resolver la ecuación de flujo de Euler o Navier-Stokes alrededor del perfil de
Joukowsky.
- La resistencia aerodinámica se obtiene a partir de la fuerza de arrastre resultante y se puede
calcular mediante la integración de las presiones y los esfuerzos en la superficie del perfil.
Referencias
Área Fluidodinámica (2021) Transformación de Joukowsky. YouTube. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=kD_uNeLVHGs&t=2s
David, S. (2013) Transformaciones conformes aplicadas al estudio del flujo de un ala en dos
dimensiones. Universidad nacional del Sur. Recuperado de
http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Silvestri.pdf
Hidalgo, L. (2021) La transformaicon de Joukowsky. YouTube. Recuperado de
https://www.youtube.com/watch?v=vd1RqLIfHxc
Ponce, J. (2023) Superficie aerodinámica de Joukowsky. Libre Texts Español. Recuperado de
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Analisis/An%C3%A1lisis_Complejos_-
_Una_Introducci%C3%B3n_Visual_e_Interactiva_(Ponce_Campuzano)/06%3A_Cap%C3%ADt
ulo_6/6.04%3A_Superficie_aerodin%C3%A1mica_Joukowsky
http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Silvestri.pdf
