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Universidad Abierta y a Distancia de México División de Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales Ingeniería en Biotecnología Variable compleja Unidad 1 Evidencia de aprendizaje Jessica Verónica Mendoza Prado ES202104539 Grupo BI-BVCO-2302-B2-002 27 de abril de 2023 Problema Encontrar el valor de z, donde 𝑧 = cos−2 2 Otra forma de calcular z es mediante cos(𝑧) = 2. Por lo que partiremos de ese hecho y en virtud de la identidad: 𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧 2 = 2 Haciendo el cambio de variable 𝑢 = 𝑒𝑖𝑧 Entonces 𝑢−1 = 𝑒−𝑖𝑧 la ecuación anterior se convierte en 𝑢 + 𝑢−1 2 = 2 Al reformular la ecuación obtenemos 𝑢 + 𝑢−1 = 4 Multiplicamos la ecuación completa por el término u para eliminar el exponente negativo 𝑢(𝑢 + 𝑢−1 = 4) 𝑢2 + 1 = 4𝑢 O equivalentemente 𝑢2 − 4𝑢 + 1 = 0 Empleamos entonces la fórmula general para resolver la ecuación de segundo grado 𝑢 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = −(−4) ± √(−4)2 − 4(1 ∗ 1) 2(1) = 4 ± √16 − 4 2 = 4 ± √12 2 = 4 ± √4 ∗ 3 2 = 4 ± 2√3 2 = 4 2 ± 2√3 2 = 2 ± √3 Al resolver la ecuación de segundo grado, la solución resulta ser 𝑢 = 2 ± √3 Al regresar el cambio de variable 𝑒𝑖𝑧 = 2 ±√3 Y al calcular el logaritmo de ambos lados 𝑙𝑛𝑒𝑖𝑧 = ln(2 ± 3) Que al reducir términos se convierte en 𝑖𝑧 = ln(2 ± √3) = Ln(2 ± √3) + 2𝑛𝜋𝑖 Al despejar a z tenemos que cos1− 2 = 𝑧 = 𝐿𝑛(2 ± √3) 𝑖 + 2𝑛𝜋𝑖 𝑖 Y al reducir términos llegamos al valor de z cos−12 =𝑧 = 2𝑛𝜋𝑖 − 𝑖𝐿𝑛(2 ± √3) = 2𝑛𝜋𝑖 ± 𝑖𝐿𝑛(2 ± √3) Donde 𝐿𝑛(2 − √3) = 𝐿𝑛(2 + √3) Soluciones 𝑧 = 2𝑛𝜋 − 𝑖𝑙𝑛(2 + √3) 𝑧 = 2𝑛𝜋 − 𝑖𝑙𝑛(2 − √3) Referencias UnADM (S.F.) Contenido nuclear unidad 1. UnADM. Recuperado de https://campus.unadmexico.mx/contenidos/DCSBA/BLOQUE2/BI/05/BVCO/unidad_01/ descargables/BVCO_U1_Contenido.pdf MateFacil (2022) Ecuación usando números complejos, cos z=2. YouTube. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=T-ozD1UCWdc
