Semana 4 - S1 CRECIMIENTO LOGÍSTICO

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ECUACIONES DIFERENCIALES
Clase # 10
Orlando Raúl Pomalaza Romero
SESIÓN 1:
DINÁMICA POBLACIONAL – ECUACIÓN LOGÍSTICA
SEMANA 4
APLICACIONES DE LAS EDO DE PRIMER ORDEN
Propósito de la Clase
Describe o modela fenómenos físicos de crecimiento logístico en términos de ecuaciones diferenciales y plantea modelos que conducen a ecuaciones diferenciales
CRECIMIENTO LOGÍSTICO
Ley de crecimiento logístico
Crecimiento logístico Aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades epidémicas y difusión en redes sociales. Dicha función constituye un refinamiento del modelo exponencial para el crecimiento de una magnitud. El estudio inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; al cabo de un tiempo, aparece la competencia entre algunos miembros de P por algún recurso crítico K ("cuello de botella") y la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se detiene.
Resolviendo se obtiene la Función logística
Ejemplo En una población de 1000 habitantes, uno de ellos tiene una enfermedad contagiosa. La velocidad a la que se propaga la enfermedad es proporcional al producto de personas contagiadas por las no contagiadas todavía. Escribe y resuelve la ecuación diferencial y determina el número de contagiados cinco días después, si se observa que el número de contagiados al finalizar el primer día es 100.
Aplicando lo aprendido
Ejercicio N°1
Considere un colegio con 1000 estudiantes, donde y(t) es la población estudiantil que ha escuchado un rumor en el tiempo t. Si la tasa a la cual se extiende el rumor es proporcional al 
producto de la población que conoce el rumor por la población que todavía no lo ha escuchado, determina a qué hora el 90% de los estudiantes ya conocerá el rumor, si a las 8:00 am, 80 estudiantes conocen el rumor y al medio día la mitad del colegio ya lo sabe?
Ejercicio N°2
La población de conejos evoluciona de acuerdo con la ecuación logística:
t en años 
Si inicialmente había 40 conejos y k = 1000, a) Calcular la población de conejos al cabo de 3 años. b) ¿Qué ocurrirá con la población de conejos cuando transcurra mucho tiempo?
Ejercicio N°3
Sabiendo que cierta población (P) evoluciona de acuerdo con el modelo 
 (a y b constantes positivos) 
Obtenga la expresión P(t) que nos da la población en cualquier instante, si la población inicial era de 100 individuos (a = 0,2 y b = 104)
Si el tiempo se mide en meses, ¿Cuál será la población después de 4 y 6 meses?
¿Cuál será la población a largo plazo? 	
Ejercicio N°4
Cierta población se incrementa de acuerdo con la ED logística: 
(t en meses)
 
Obtenga la expresión y(t) que nos da la población en cualquier instante, en los casos 
 i) y(0) = 10 ii) y(0) = 90
b) Calcula en ambos casos, ¿en qué tiempo la población alcanza los 40 individuos. 
Ejercicio N° 5
Cinco ratones de una población estable de 500 son infectados intencionalmente con una enfermedad contagiosa para probar una teoría de difusión de epidemia que postula que la 
tasa de cambio en la población infectada es proporcional al producto del número de ratones que tiene la enfermedad con el número que está libre de ésta. Asumiendo que la teoría es correcta, ¿cuánto tiempo le tomará a la mitad de la población adquirir la enfermedad?
Ejercicio N°6
Se sabe que la velocidad de propagación de una epidemia es proporcional al producto del número de personas infectadas por el número de personas no infectadas. 
En una población de 10 000 habitantes se detecta una enfermedad que afecta inicialmente a 50 personas. Al cabo de tres días, se observa que son 250 las personas afectadas. Determinar el número de enfermos que habrá pasados 12 días.
¿Qué aprendimos hoy?
Crecimiento Logístico
Referencias Bibliográficas
Larson, R. y Edwards, B. (2016). Cálculo. México: Cengage Learning.
Zill Dennis (2015). Ecuaciones Diferenciales. Trascendentes Tempranas. México. Editorial Mc Graw Hill. 
Stewart James. (2008) Cálculo: Trascendentes Tempranas 6ta ed. México. Cengage Learning
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