3-Ecuaciones e Inecuaciones (2020)_Teoría y Práctico - Agostina Salas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
Facultad de Ciencias Económicas 
Módulo de Matemática – 2020 
 
 
 
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Daniel Luis Mosqueda (2020) – FCE – UNNE 
 
Unidad N° 3: Ecuaciones e Inecuaciones 
 
Contenidos: Ecuaciones lineales y cuadráticas. Inecuaciones lineales: conjunto 
solución, representación gráfica. 
 
Ecuación 
En muchas situaciones es necesario plantear y resolver una ecuación. Por ejemplo 
“se invierte un total de 18000 dólares, parte en acciones y parte en bonos. Si la cantidad 
invertida en bonos es la mitad de lo invertido en acciones, ¿cuánto se invierte en cada 
categoría?”. Podríamos plantear una ecuación para resolverlo pero ¿qué es una 
ecuación? 
Una ecuación en una variable es una proposición en la que dos expresiones, en 
la que al menos uno de ellas contiene la variable o incógnita, son iguales. Comúnmente 
la incógnita se representa con la letra x, aunque puede usarse cualquier otra letra. Las 
expresiones se llaman miembros o lados de la ecuación. Como una ecuación es una 
proposición podrá ser verdadera o falsa, dependiendo del valor de la variable, es decir, 
un valor satisface o no la ecuación. Los valores que hacen verdadera a la proposición se 
llaman soluciones o raíces de la ecuación. Por ejemplo ante la ecuación x + 12 = 5, 
para x = 3, la proposición es falsa (3 + 12  5). Sin embargo, para x = –7, la proposición 
es verdadera; por lo que este último valor es raíz de la ecuación. 
Resolver una ecuación significa encontrar todas sus soluciones en el conjunto en el que 
está definida. Dependiendo de la ecuación, se podrá tener más de una o ninguna 
solución. 
En este curso solo trabajaremos con ecuaciones lineales y cuadráticas. 
 
Ecuación Lineal 
Las ecuaciones de la forma , , ,ax b c a b c   se denominan ecuaciones lineales 
con una incógnita (incógnita x) 
Ejemplos: ecuaciones lineales 
1
4 5 3 2 7 6
2 3
x
x x x x         
 
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Ecuaciones no lineales 
2 32 8 6 0 2 1x x x x x
x
         
Para resolver la ecuación , , ,ax b c a b c   , pasamos b al segundo miembro y 
obtenemos: ax c b  
Luego, tendríamos que pasar a por lo cual la situación se divide en dos partes: 
i) 0a  
 En este caso 
c b
x
a

 y ésta es la única raíz de la ecuación lineal (solución única) 
ii) 0a  
 Se tiene 0. 0x c b c b     . Puede suceder que: 
 c b , entonces cualquier número real x satisface la ecuación lineal dada y por lo 
tanto, todos los números reales son raíces de la ecuación (infinitas soluciones). Y 
se dice que la ecuación es una identidad. 
 c b , ningún número real satisface la ecuación lineal y por tanto no existen raíces 
(ninguna solución). 
 
Ejemplo 1: resolver la ecuación 7 4 3 8x x  
 
Realizando pasajes de términos 7x – 3x = 8 + 4 
 4x = 12  x = 12 : 4 = 3, única raíz. 
Para comprobar que la solución hallada es la correcta, reemplazamos x por 3 en la 
ecuación dada: 
7. 3 – 4 = 3. 3 + 8 
 21 – 4 = 9 + 8 
17 = 17 
 
Ejemplo 2: 
3 2 9 6
1 3 2
x x
x x
 

 
 
A primera vista, esta ecuación no tiene nada que ver con las ecuaciones lineales. Pero 
veamos lo que sucede cuando realizamos pasajes de términos: pasamos x – 1 al segundo 
mimbro y 3x – 2 al primero. Además 
2
1;
3
x x  ¿por qué? (¡Analízalo!) 
     3 2 3 2 1 9 6x x x x     
 
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Por diferencia de cuadrados y propiedad distributiva se tiene: 
2 29 4 9 6 9 6x x x x     
2 29 4 9 15 6x x x    
Como 9x
2
 aparece sumando en ambos miembros, se lo puede cancelar resultando 
29x 24 9x  15 6 4 15 6x x       
O sea 15 6 4x    , que es una ecuación lineal. 
Finalmente 
10 2
15 4 6 15 10
15 3
x x x

         

, ¿este valor es raíz de la 
ecuación lineal? No, porque 
2
3
x  no puede asumir la ecuación original. En otras 
palabras, la ecuación no tiene solución. 
 
Ejemplo 3: resolver 
2 2 2 8
1 2
x x
x x
 

 
 
Vemos que 1; 2x x   . 
Realizando el mismo procedimiento, tenemos      2 2 2 2 8 1x x x x     
Propiedad distributiva: 2 22 4 2 4 2 2 8 8x x x x x x       
Operando: 
22x 6x 24 2x  6x 8 
4 8  
Como 4 no es igual a –8, no puede haber ningún número real x que satisfaga la 
ecuación. Por lo tanto, no tiene raíces. 
 
Ejemplo 4:   2 5 6 2 3x x x x     
Desarrollando el segundo miembro: 2 25 6 3 2 6x x x x x      
O sea 2 25 6 5 6x x x x     
Si nos ponemos a cancelar, queda 0 = 0. En este caso, la ecuación planteada es una 
identidad, se verifica para cualquier valor real que asignemos a x. Luego todos los 
números reales son soluciones de la ecuación dada. 
 
 
 
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Ecuación Cuadrática 
Una ecuación con una incógnita, se llama cuadrática o de segundo grado, cuando 
después de suprimir los denominadores (si existieran) y reducir los términos semejantes, 
el mayor exponente de dicha incógnita es de segundo grado. 
La expresión de la ecuación general de segundo grado con una incógnita es 
2 0, , , , 0ax bx c a b c a     
 
Ejemplos: 2 2 23 5 2 0 0 2 2x x x x x x          
 
Ecuación general completa 
Se dice que la ecuación general de segundo grado está completa si 0, 0, 0a b c   
 
Ecuación general incompleta 
Si al menos unos de los coeficientes b o c es 0, se obtiene la ecuación general cuadrática 
incompleta. 
1) Si c = 0  2 0, , , 0ax bx a b a    
2) Si b = 0  2 0, , , 0ax c a c a    
3) Si b = c = 0  2 0, , 0ax a a   
 
Resolución de la ecuación general incompleta 
Forma 1. Sea 2 0, , , 0ax bx a b a    
Por el teorema fundamental del álgebra (el cual escapa al desarrollo de este curso), la 
ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces o soluciones que indicaremos como
1 2yx x 
Extrayendo factor común x, se tiene:   0x ax b  
Por propiedad de los números reales, mencionada en la unidad 1, si el producto de dos 
factores es cero es necesario que uno de ellos, o los dos sean nulos. 
Luego 0x  o 0ax b  . 
En el primer caso se obtiene una de las raíces 1 0x  
 
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En el segundo caso, se tiene 0ax b  
 
ax b
b
x
a
 
 
 
Por lo tanto, la otra raíz es 
2
b
x
a
  
Ejemplo: resolver 26 3 0x x  
  1
2
Factorizando 6 3 0 0 o 6 3 0
3 1
6 2
x x x x
x
     

   
 
Para verificar podemos reemplazar los valores obtenidos en la ecuación dada. 
En 26 3 0x x  : 26.0 3.0 0  y 
2
31 16. 3. 6
2 2
   
      
   
1
.
4 2
3
0
2
  
 
Forma 2. Sea 2 0, , , 0ax c a c a    
Despejando x, resulta 2ax c   2
c
x
a
  
Luego 
c
x
a
   
1
2
c
x
a
c
x
a
  
  
 
Ejemplo: Sea 225 100 0x   
Despejando x, resulta 225 100x   2
100
25
x  
Luego 
1 2
100 100 10 100 10
2 ; 2
25 25 5 25 5
x x x              
 
Forma 3. Sea la ecuación incompleta 2 0, , 0ax a a   
Despejando x, resulta 2
0
0 0 0 0x x
a
         1 2 0x x  
En este tipo de ecuación, los dos valores de la incógnita son siempre nulos. 
 
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Resolvente de la ecuación general completa 
Sea la ecuación 2 0, , , , 0ax bx c a b c a     . Para resolver este tipo de ecuación 
se utiliza la fórmula: 
2 4
2
b b ac
x
a
  
 
2
1
2
2
4
2
4
2
b b ac
x
a
b b ac
x
a
  

  

 
El discriminante 
La expresión 2 4b ac se llama discriminante de la ecuación de segundo grado y se 
denota . Luego 2,donde 4
2
b
x b ac
a
  
   
 
 
Si  > 0, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales y distintas. 
Si  = 0, ambas raíces son reales e iguales. 
Si  < 0, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales. 
 
Ejemplo 1: resolver 23 5 8 0x x   . En este caso a = 3, b = 5, c = –8 
25 5 4.3.( 8) 5 25 96 5 121 5 11
2.3 6 6 6
x
          
    
1
2
5 11 6
1
6 6
5 11 16 8
6 6 3
x
x
 
  
  
   
 
La fórmula presentada puede aplicarse a la ecuación tanto completa como incompleta 
 
Ejemplo 2: resolver 230 15 0x x  . En este caso a = 30, b = –15, c = 0 
 
2
( 15) 15 4.30.0 15 225 15 15
2.30 60 60
x
      
   
1
2
15 15 30 1
60 60 2
15 15 0
0
60 60
x
x

  

  
 
 
Aplicaciones 
Aunque cada situación tiene sus propias características, a continuación se señalan 
una serie de pasos a seguir para resolver un problema a través de ecuaciones. 
 
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Paso 1: Leer el problema las veces que sean necesarias para comprenderlo. Determinar, 
si se pudiera, las posibilidades reales para la respuesta. 
Paso 2: Asignar una letra (incógnita) para representar lo que se busca y si es necesario, 
expresar las cantidades desconocidas en términos de esta incógnita. 
Paso 3: Hacer una lista de todos los hechos y tradúzcalos en expresiones matemáticas. 
Éstas toman la forma de una ecuación (o inecuación como se verá más 
adelante) que involucra la incógnita. Si es posible, dibujar un diagrama con las 
etiquetas adecuadas como ayuda. En ocasiones una tabla o gráfica será útil. 
Paso 4: Resolver la ecuación para la incógnita. 
Paso 5: Verifique la respuesta con los hechos del problema. 
 
Para el problema propuesto inicialmente: se invierte un total de 18000 dólares, parte en 
acciones y parte en bonos. Si la cantidad invertida en bonos es la mitad de lo invertido 
en acciones, ¿cuánto se invierte en cada categoría? 
Solución: 
Paso 1: Se pide encontrar la cantidad de las dos inversiones. Estas cantidades deben 
sumar 18000 dólares. 
Paso 2: Llamemos x a la cantidad invertida en acciones, entonces 18000 – x es la 
cantidad invertida en bonos. 
Paso 3: Podemos construir un esquema 
Cantidad en acciones Cantidad en bonos Total invertido 
x 18000 – x 18000 
También se sabe que 
Cantidad invertida en bonos es la mitad de lo invertido en acciones 
1
18000
2
x x  
Paso 4: 
1
18000
2
x x   
1 3
18000 18000
2 2
x x x     
 
3 3 2
18000 18000: 18000. 12000
2 2 3
x x      
 Entonces se invierten 12000 dólares en acciones y 18000 – 12000 = 6000 
dólares en bonos. 
 
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Paso 5: La inversión total es 12000 + 6000 = 18000 dólares y la cantidad en bonos , 
6000 dólares, es la mitad de la cantidad en acciones, 12000 dólares. 
 
Ejemplo 2: la superficie de un triángulo es de 60 m
2
. ¿Cuál es la altura, sabiendo que 
tiene 2 m más que la base? 
Solución: 
Si x es la altura del triángulo, el valor x – 2 será la base. Pues la altura supera en 2 m a la 
base (otra opción hubiera sido llamar x a la base, con lo cual x + 2 será la altura). 
La superficie del triángulo se calcula con la fórmula 
base.altura
S=
2
 
Reemplazando: 
 2 .
60=
2
x x
 
Eliminando denominador y aplicando propiedad distributiva: 2120= 2x x 
Realizando pasaje de términos 2 2 120 0x x   , cuyas raíces son 1 212; 10x x   
Luego la altura es 12 m. El valor –10 se descarta, ya que la altura no puede ser negativa. 
Verifiquemos, la base será 12 – 2 = 10. Luego la superficie es 2
10.12
S = 60m
2
 
 
Inecuaciones 
A diferencia de las ecuaciones en las que interviene el signo de igualdad, en las 
inecuaciones está presente el signo de desigualdad (>,<, , ). Son de suma importancia 
en administración y economía; un simple ejemplo es el siguiente: una empresa quiere 
tener ingresos mayores que los costos y no debe usar más que la cantidad total del 
capital o mano de obra disponible. 
En este curso, solo trabajaremos con inecuaciones lineales. Por ejemplo 
5 – 4x  8 + 3x. Este tipo de inecuaciones se resuelven haciendo pasaje de términos. 
Con la precaución de que al pasar un número real negativo multiplicando o dividiendo 
al otro miembro, el sentido de la desigualad cambia de sentido. 
 
 
 
 
 
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Resolución de inecuaciones 
Veamos algunos ejemplos 
Ejemplo 1: 
resolver 3x +5 > 11 
 3x > 11 – 5 
 x > 6 : 3 
 x > 2 
 
Obsérvese que no cambió el sentido de la desigualdad 
cuando el 3 pasó dividiendo, ya que es un número 
positivo. 
 
Encontramos infinitas soluciones que verifican la inecuación. La solución puede 
expresarse como el intervalo no acotado  2; de acuerdo a lo mencionado en la 
unidad 1, que lo podemos representar en la recta numérica: 
 
 
Ejemplo 2: 
resolver 4 –3x  7 + 2x 
 –3x – 2x  7 – 4 
 –5x  3 
 
3
5
x   
 
 
 
 
En este caso cambia el sentido de la desigualdad 
debido a que el número negativo –5 pasó dividiendo. 
 
La solución de la inecuación es el intervalo no acotado
3
;
5
 
  
 
, cuya representación 
gráfica es: 
 
 
Ejemplo 3: 
Halla el conjunto solución de –2 < 5 + 3m < 20. Para resolver este tipo de inecuación, 
despejamos m, para lo cual pasamos el 5 restando en los miembros en el que se 
encuentran –2 y 20. 
–2 – 5 < 3m < 20 – 5 
–7 < 3m < 15 
 
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Al pasar el 3 dividiendo, el sentido de ambas desigualdades no cambia ya que es 
positivo. 
7
5
3
m  
 
Es decir, la solución es el intervalo abierto 
7
;5
3
 
 
  
 
Ejemplo 4:    5 1 6 4 7n n n      
 
5 5 6 24 7n n n
n
     
29 n  7
29 7

 
 
–29 no es menor o igual a 7. Por lo que la inecuación no tiene solución. 
 
Bibliografía 
Lial, M. y Hungerford, T. (2000). Matemáticas para administración y economía. 7ª ed. 
México: Pearson Educación. 
Noriega R. y Sanchez C. (s. f). El álgebra. Buenos Aires, Argentina: Editorial 
Docencia. 
Rojo, Sánchez, Greco (1978). Matemática para el ingreso a la universidad. Buenos 
Aires, Argentina: Ediciones Sigma. 
Sullivan, M. (2006). Álgebra y trigonometría.7° edición. Naucalpan de Juárez, México: 
Pearson Educación. 
Tajani M. y Vallejo M. (1981). Álgebra 3. Buenos Aires, Argentina: Cesarini hnos. 
 
 
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Guía de Trabajos Prácticos N° 3 
 
ACTIVIDAD 1 
Responde: 
a. ¿Existe algún número entero que dividido por el doble de su anterior de 
1
4
? 
b. ¿Existirán tres múltiplos consecutivos de 3 que sumados den 54? ¿y que den 56? 
 
ACTIVIDAD 2 
a. El ingreso mensual total de una guardería obtenido del cuidado de x niños está dado 
por  I 450x x , y sus costos mensuales totalesestán dados por  C 380 3500x x 
¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de 
equilibrio? En otras palabras, ¿cuándo los ingresos igualan a los costos? 
 
b. Una compañía que alquila vehículos cobra $3500 al día y $120 por kilómetros 
recorridos. Carlos alquilo un camión durante 3 días y su cuenta fue de $34500. 
¿Cuántos kilómetros recorrió? 
 
ACTIVIDAD 3 
Determina, si fuera posible, el valor de x real en las siguientes ecuaciones de primer 
grado. 
a. 2x – 1 = x – 2 
b. 4 – 6x = 2x – 4. (3x – 5) 
c. 2
4
4
2
2
2



 x
x
x
x
 
d. 
xx
x
xx 



2
4
1
21
 
 
ACTIVIDAD 4 
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. 
2 2 2a) 2 5 2 0 b)3 5 0 c)2 32 0x x x x x       
 
 
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ACTIVIDAD 5 
a) El propietario de un viñedo, estima que la utilidad por producir y vender 
(x + 10000) botellas de vino es 2P 0,0002 3 50000x x    . Determine el nivel o 
niveles de producción que le redituará una utilidad de $60800. 
 
b) Un fabricante de aparatos pequeños encuentra que la utilidad P (en dólares) 
generada por producir x hornos microondas por semanas está dada por la fórmula 
 
1
P 300
10
x x  , siempre que 0 200x  ¿Cuántos hornos deben ser fabricados 
en una semana determinada para generar una utilidad de 1250 dólares? 
 
ACTIVIDAD 6 
Determinen el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. Expresen la solución 
como intervalo real y represéntenlos en la recta numérica. 
a. 5
2
43

 x
 
b.   352  xx 
c. xx 
10
3
2
5
3
 
d. z
z
5
2
8
3
4
2


 
 
ACTIVIDAD 7 
Una compañía de renta de autos ofrece dos planes para la renta de un auto. 
Plan A: $3000 por día y $100 por kilómetros recorridos. 
Plan B: $5000 por día con kilometraje ilimitado. 
¿Para qué intervalo de kilómetros es más económico el Plan B?