Problemas de calculo vectorial-16

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46 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial46 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial46 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
320 f(x, y) =
1
x3 + y3
, (−1, 2).
321 f(x, y) =
√
a2 − x2 − y2, (0, 0), (a2 , a2 ), con a > 0.
� Calcular las derivadas parciales de cada una de las funciones siguientes:
322 f(x, y) =
∫ xy
x
g(t) dt.
323 f(x, y) =
∫ yx
xy
g(t) dt.
324 f(x, y) =
∫ ∫ y
x
g(t) dt
∫ x
y
g(t) dt
g(t) dt.
Solución 324:
Debemos usar el teorema fundamental del Cálculo junto con la regla
de la cadena con un poco de precaución para no confundirnos en los
cálculos. Se obtiene
∂f
∂x
= g
(∫ y
x
g(t) dt
)
(−g(x))− g
(∫ x
y
g(t) dt
)
g(x);
o factorizando
∂f
∂x
= −g(x)
(
g
(∫ y
x
g(t) dt
)
+ g
(∫ x
y
g(t) dt
))
.
Del mismo modo tenemos
∂f
∂y
= g(y)
(
g
(∫ y
x
g(t) dt
)
+ g
(∫ x
y
g(t) dt
))
.
325 Sea g : R → R una función continua y positiva. Considérese la función
f : R2 → R dada por:
f(x, y) =
∫ y
x
g(t) dt
(a) ¿Para qué puntos (x, y) ∈ R2 se tiene que f(x, y) > 0?
(b) ¿Para qué puntos (x, y) ∈ R2 se tiene que f(x, y) < 0?
(c) ¿Cuál es el nivel cero de f?
(d) Calcular las derivadas parciales de la función f .
(e) Realizar los apartados ((a))–((c)) suponiendo ahora que g es una
función impar tal que g(t) > 0 para t > 0.
2.1 Derivadas parciales 47
326 Para f(x, y) = exy mostrar que
x
∂f
∂x
(x, y)− y ∂f
∂y
(x, y) = 0.
327 Hallar α tal que
∂f
∂x
=
∂f
∂y
, con f(x, y) = senx sen y + α cosx cos y.
Solución 327:
Después de calcular las dos derivadas parciales de f e igualar las expre-
siones obtenidas, llegamos a
cosx sen y − α senx cos y = cos y senx− α sen y cosx.
De aqúı es fácil concluir que α = −1.
328 Calcular las derivadas parciales de la función:
f(x, y) =

sen(x3y2)
(x2 + y2)2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Solución 328:
Fuera del origen la función f está definida y es derivable. Las derivadas
parciales se calculan con un poco de paciencia:
∂f
∂x
=
3 cos(x3y2)x2y2
(x2 + y2)
2 −
4 sin(x3y2)x
(x2 + y2)
3 .
∂f
∂y
=
2 cos(x3y2)x3y
(x2 + y2)
2 −
4 sin(x3y2)y
(x2 + y2)
3 .
En el origen debemos calcular la derivada parcial respecto de x mediante
el ĺımite
ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
pero este cociente es nulo si h 6= 0, y en consecuencia el ĺımite anterior
también. Aśı
∂f
∂x
(0, 0) = 0.
Lo mismo sucede con la derivada parcial respecto a y.
329 Probar que
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
∂
∂z
(
(x2 + y2 + z2)1/3
)
no existe.
48 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial48 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial48 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
� Calcular el gradiente de las siguientes funciones:
330 f(x, y) = log
√
x2 + y2.
331 f(x, y) = xexy
3+3.
332 f(x, y, z) = (x+ y + z)e−z
2−x−y.
333 f(x, y, z) =
xyz
x2 + y2 + z2
.
� Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos
indicados y en las direcciones dadas:
334 f(x, y) = x+ 2xy − 3y2, (x0, y0) = (1, 2), n = ( 35 , 45 ).
335 f(x, y) = ex cos(πy), (x0, y0) = (−1, 0), n = 1√5 (2, 1).
336 f(x, y) = xy − yx, (x0, y0) = (e, e), n = ( 513 , 1213 ).
337 f(x, y) = (x− 1)y2exy, (x0, y0) = (0, 1), n = 1√10 (−1, 3).
338 f(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2, (x0, y0) = (a, b),
n = 1√
a2+b2
(b, a).
339 f(x, y, z) = ex + yzey, (x0, y0, z0) = (1, 1,−1),
n = 1√
3
(1,−1, 1).
340 ¿En qué dirección la derivada direccional de la función
f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
,
en el punto P = (1, 1), es igual a cero?
341 Determina un vector unitario n de modo que la derivada direccional de la
función f(x, y, z) = 1−xyz en el punto (1, 1, 1) y en la dirección pedida sea
−
√
2.
Solución 341:
Es directo conseguir que
∇f(x, y, z) =
(
−y
z
,−x
z
,
xy − 1
z2
)
,
y por tanto
∇f(1, 1, 1) = (−1,−1, 0).
Puesto que para una función diferenciable, la derivada direccional viene
dada por
∂f
∂~n
(x0) = ∇f(x0) · n,