Cálculo de Derivadas: Regras e Técnicas

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5. Derivada.
“Los países ricos lo son porque dedican dinero al desarrollo científico tecnológico. Y los
países pobres lo siguen siendo si no lo hacen. La ciencia no es cara, cara es la ignorancia.”
Bernardo Houssay (1887 - 1971)
5.1 Cálculo directo de derivadas
En esta sección aprenderemos algunas reglas y técnicas que nos permitirán encontrar
las derivadas de manera general. El cálculo de derivadas sería muy engorroso si siempre
debiéramos escribir el cociente incremental y calcular el límite. Calcularemos derivadas
de funciones básicas por medio de la definición y luego usaremos las llamadas reglas de
derivación para encontrar las derivadas de funciones más complicadas.
Recordemos, del módulo anterior, que usando la noción de límite y de límites laterales
hemos definido la derivada, la derivada por derecha y la derivada por izquierda de una
función usando el cociente incremental.
Definición 5.1.1 — Función derivada. Dada una función f definida en un intervalo abierto
(c, d). Dado x ∈ (c, d), un número real dentro del intervalo, se define la función derivada
a la función definida por la regla
x 7−→ f ′(x) = lı́m
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
en los casos en que el límite exista. Para funciones definidas en intervalos cerrados [c, d]
o semicerrados, [c, d) o (c, d], se considera en el borde del intervalo la derivada lateral
correspondiente: f ′+(c) o f ′−(d) si los límites existen.
Usamos varias formas de escribir a la función derivada.
f ′ =
df
dx
f ′(x) =
df
dx
(x)
Con varios ejemplos analizamos casos en donde la derivada no existe por lo que el dominio
de la función derivada puede ser más pequeño que el dominio de la función original.
� Ejemplo 5.1 En la Actividad 4.15 del Módulo 4 se calcularon las derivadas de las siguientes
funciones:
• Para f (x) = 4x3 se obtuvo f ′(x) = 12x2.
• Para f (x) =
1
x2
se obtuvo f ′(x) = −
2
x3
.
En todos estos casos, el dominio de la función y el dominio de la derivada coinciden.
Dom( f ) = Dom( f ′).
Sin embargo, para la función g(r) =

3r + 1 para r ≤ 1
r + 1 para r > 1
de la Actividad 4.29
del Módulo 4 obtuvieron que las derivadas laterales g′−(1) y g′+(1) son distintas, por lo
que la función g no es derivable en x = 1. O sea 1 < Dom(g′).
�
En las siguientes actividades desarrollaremos algunas técnicas que permitirán sistematizar
el cálculo de derivadas para funciones sencillas.
2 Capítulo 5. Derivada.
5.1.1 Derivada de las funciones constantes: f (x) = k
Comenzamos con un caso sencillo, que se da cuando la función es constante, es decir,
f (x) = k con k una constante. Por ejemplo,
f (x) = 5 g(r) = π2 h(t) =
3
5
Actividad 5.1 Consideren que p(t) indica la posición (en kilómetros respecto al km 0
ubicado en el Obelisco) de un automóvil como función del tiempo t (en horas contando
desde las 0 horas del día de hoy), siendo p(t) = 3 km para todo t ≥ 0.
a) Realice la gráfica de p respecto a t.
b) Describan en palabras la gráfica de la función p respecto a t y el comportamiento
del automóvil.
c) ¿Qué velocidad tiene el automóvil en cada instante t?
�
En forma general, dada f (x) = k, una función constante, sabemos que su dominio natural
es Dom( f ) = R. Usando la Definición 5.1.1 determinamos que
lı́m
∆x→0
f≡k︷ ︸︸ ︷
f (x + ∆x) −
f≡k︷︸︸︷
f (x)
∆x
= lı́m
∆x→0
k − k
∆x
= lı́m
∆x→0
0
∆x
= lı́m
∆x→0
0 = 0.
Luego, f ′(x) = 0 para cualquier x. Por lo tanto, también es Dom( f ′) = R.
Usando la notación de Leibniz decimos que
d
dx
[k] = 0.
5.1.2 Derivada de las funciones lineales: f (x) = mx + b
En el Módulo anterior también calcularon, a partir de la definición, las derivadas de las
funciones
f (x) = 7x − 3 y f (x) = 1 − 5x.
En ambos casos, para cualquier valor de x, llegaron a que f ′(x) es la pendiente de la recta
que resulta ser la gráfica de la función f .
En forma general, podemos decir que
• Para f (x) = mx + b es una función lineal cualquiera, f ′(x) = m para todo x ∈ R.
Actividad 5.2 Expresando el cociente incremental y la definición de derivada, realicen la
demostración del resultado anterior: si f (x) = mx + b entonces f ′(x) = m.
�
5.1.3 Derivada de las funciones xn para n = 1, 2, 3, ...
Se trata de determinar la derivada de funciones como f (x) = x4 o g(x) = x17. Para ello
necesitamos calcular
lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= lı́m
x→a
xn − an
x − a
.
Para avanzar en el cálculo del límite, necesitamos simplificar la fracción
xn − an
x − a
. En
actividades previas ya han trabajado con expresiones similares en los casos de n = 2, 3 y 4. En
particular, n = 2, tenemos que
x2 − a2
x − a
=
(x − a)(x + a)
x − a
= x + a, para x , a.
5.1 Cálculo directo de derivadas 3
Para el caso general de n = 1 ,2 ,3, ... necesitamos usar la fórmula, a veces denominada
fórmula de suma geométrica,
xn−1 + xn−2a + xn−3a2 + · · · + xan−2 + an−1 =
xn − an
x − a
.
Si no vieron esta fórmula con anterioridad o no la recuerdan, pueden verificarla cuidadosa-
mente multiplicando ambos lados de la igualdad por x − a. Con esa fórmula podemos avanzar
en el cálculo de la derivada de xn:
f ′(a) = lı́m
x→a
xn − an
x − a
= lı́m
x→a
xn−1 + xn−2a + xn−3a2 + · · · + xan−2 + an−1
podemos calcular el límite evaluando en x = a porque se trata de una expresión polinómica
= an−1 + an−2a + an−3a2 + · · · + a an−2 + an−1
= an−1 + an−1 + · · · + an−1︸ ︷︷ ︸
son n términos, todos iguales a an−1
= n an−1.
Obtenemos que la derivada de una función potencia f (x) = xn, con n = 1, 2, 3, . . . es
f ′(x) = n xn−1 o, con la notación de Leibniz,
d
dx
[xn] = n xn−1.
� Ejemplo 5.2 Las derivadas de g(x) = x7 y h(x) = x121 son
g′(x) = 7x6 y h′(x) = 121x120,
respectivamente. �
Actividad 5.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x) = −4x − 8 b) g(u) = 9 c) h(y) = y44
d) r(u) = 1 − 35 x e) t(x) = 0.44 f ) r(x) = x
8
�
5.1.4 Derivada de la función
√
x
Cuando se desarrolla el cociente incremental de la función f (x) =
√
x en un valor de a ≥ 0
obtenemos, con x , a y x ≥ 0
∆ f
∆x
=
√
x −
√
a
x − a
=
√
x −
√
a
x − a
.
√
x +
√
a
√
x +
√
a
=
x − a
(x − a).
(√
x +
√
a
) = 1√
x +
√
a
f (x) =
√
x
Para a = 0 se debe tomar x → 0+ y obtenemos que la derivada no existe porque
lı́m
x→0+
∆ f
∆x
= lı́m
x→0+
1
√
x
= +∞
Para a > 0 podemos calcular el límite por simple evaluación
lı́m
x→a
1
√
x +
√
a
=
1
2
√
a
En resumen, para la función raíz cuadrada f (x) =
√
x cuyo dominio es [0,+∞) se tiene
que su derivada existe en el intervalo abierto (0,+∞) y f ′(x) =
1
2
√
x
.
4 Capítulo 5. Derivada.
5.2 Regla de la suma, producto y cociente
Como mencionamos al inicio, afortunadamente no es necesario calcular todas las derivadas
que necesitemos usar por definición, sino que bastará, en general, que conozcamos algunas
derivadas básicas (entre ellas que
d
dx
xn = nxn−1) para así poder calcular derivadas de funciones
más complicadas separándolas en partes más pequeñas. Veremos a continuación las reglas
para derivar una suma, resta, producto y cociente de otras dos funciones.
5.2.1 Derivada de una suma o una resta de funciones derivables
En palabras: la derivada de una
suma es la suma de las derivadas.
Para f y g funciones derivables en x se tiene[
f (x) ± g(x)
] ′
= f ′(x) ± g′(x)
d
dx
[ f (x) ± g(x)] =
df
dx
(x) ±
dg
dx
(x)
Supongamos que h(x) = f (x) + g(x), ¿cómo se escribe el cociente incremental de h?
∆h
∆x
=
h(x) − h(a)
x − a
=
[
f (x) + g(x)
]
−
[
f (a) + g(a)
]
x − a
=
f (x) − f (a)
x − a
+
g(x) − g(a)
x − a
=
∆ f
∆x
+
∆g
∆x
Por lo tanto, con la hipótesis de que f y g son derivables en x se tiene que
lı́m
∆x→0
∆h
∆x
= lı́m
∆x→0
∆ f
∆x
+ lı́m
∆x→0
∆g
∆x
= f ′(a) + g′(a).
� Ejemplo 5.3 Considerando la regla para derivar funciones potencias y suma de funciones
tenemos que para la función f (x) = x4 + x9 se calcula f ′(x) = 4x3 + 9x8 según el
siguiente desarrollo
f ′(x) =
(
x4 + x9
) ′
=
(
x4
) ′
+
(
x9
) ′
= 4x3 + 9x8
�
Actividad 5.4 Calculen derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = x4 + 2 b) g(r)= 12 + r
12 + r4 c) h(t) = t3 − 4 + t
�
5.2.2 Derivada de un producto de funciones derivables
Para f y g funciones derivables en x se tiene[
f (x).g(x)
] ′
= g(x). f ′(x) + f (x).g′(x)
d
dx
[ f (x).g(x)] = g(x).
df
dx
(x) + f (x).
dg
dx
(x)
En palabras: la derivada de una
producto es: la derivada del primer
factor multiplicada por el segundo
factor (sin derivar), más la derivada
del segundo factor multiplicada por
el primer factor (sin derivar).
En esta situación, al tomar h(x) = f (x).g(x) e intentar escribir el cociente incremental
obtenemos
5.2 Regla de la suma, producto y cociente 5
∆h
∆x
=
h(x) − h(a)
x − a
=
f (x).g(x) − f (a).g(a)
x − a
=
f (x).g(x) +
sumamos y restamos el mismo término︷ ︸︸ ︷
[− f (a).g(x) + f (a).g(x)] − f (a).g(a)
x − a
=
f (x).g(x) − f (a).g(x) + f (a).g(x) − f (a).g(a)
x − a
=
g(x). [ f (x) − f (a)] + f (a) [g(x) − g(a)]
x − a
=
g(x) [ f (x) − f (a)]
x − a
+
[g(x) − g(a)] . f (a)
x − a
= g(x).
f (x) − f (a)
x − a
+ f (a).
g(x) − g(a)
x − a
= g(x).
∆ f
∆x
+ f (a).
∆g
∆x
Sabiendo que f y g son derivables en a podemos calcular
lı́m
x→a
∆h
∆x
= lı́m
x→a
g(x). lı́m
x→a
∆ f
∆x
+ f (a). lı́m
x→a
∆g
∆x
= g(a). f ′(a) + f (a).g′(a)
Recordar que, dado que g es deri-
vable en a entonces se cumple que
lı́m
x→a
g(x) = g(a).
Teorema 4.8.2 del Módulo 4.
� Ejemplo 5.4 Calculemos la derivada de la función h(x) = (7x − 3)(x8 − x4).
Tomando f (x) = 7x − 3 y g(x) = x8 − x4 tenemos que f ′(x) = 7 y g′(x) = 8x7 − 4x3.
Luego, a partir de la regla del producto, llegamos a que
h′(x) = (7x − 3)′(x8 − x4)+ (7x − 3)
(
x8 − x4
) ′
= 7.(x8 − x4)+ (7x − 3).(8x7 − 4x3)
�
Actividad 5.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.
a) f (x) = (1 − x).x5 b) T(V) = (V2 − V10).(V9 + V2 − 5 − V)
�
5.2.3 Derivada de un múltiplo constante de una función derivable
En palabras: la derivada de una
constante por una función es la
misma constante multiplicada por
la derivada de la función.
Si f es una función derivable en x y c es un número real, obtenemos
[c f (x)]′ = c. f ′(x)
d
dx
(c f )(x) = c
df
dx
(x)
� Ejemplo 5.5 La derivada de f (x) = 4x3 puede calcularse de la siguiente manera
f ′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4.(3x2) = 12x2
�
6 Capítulo 5. Derivada.
� Ejemplo 5.6 La derivada de g(x) =
x8
5
puede calcular de la siguiente manera
f ′(x) =
(
x8
5
) ′
=
(
1
5 x
8
) ′
= 15 8x
7 = 85 x
7
�
Actividad 5.6 ¿Cómo se escribe el cociente incremental de la función c. f (x)? Desarrollen
paso a paso cómo se escribe el cociente incremental y la demostración de la regla anterior.
�
5.2.4 Derivada del cociente de dos funciones derivables
Para f y g funciones derivables en x tal que g′(x) , 0 se tiene[
f (x)
g(x)
] ′
=
f ′(x).g(x) − f (x).g′(x)
g2(x)
Notación: Usamos la notación
g2(x)
para abreviar la operación
g(x).g(x) = [g(x)]2
Actividad 5.7 Escriban la regla anterior usando la notación de Leibniz. ¿Cómo se dice
“en palabras” la regla del cociente?
�
Tomando h(x) =
f (x)
g(x)
, y con algunas cuentas algebraicas similares a las realizadas en la
regla del producto, es posible escribir el cociente incremental de la siguiente forma
∆h
∆x
=
f (x)
g(x) −
f (a)
g(a)
x − a
=
g(a). f (x)− f (a)x−a − f (a).
g(x)−g(a)
x−a
g(x)g(a)
de la cual se deduce la regla del cociente mencionada
lı́m
x→a
∆h
∆x
=
g(a). f ′(a) − f (a).g′(a)
g2(a)
� Ejemplo 5.7 Usamos la regla del cociente para determinar la derivada de las funciones
homográficas h(x) =
ax + b
cx + d
.
h′(x) =
(
ax + b
cx + d
) ′
=
(ax + b)′(cx + d) − (ax + b)(cx + d)′
(cx + d)2
=
a.(cx + d) − c.(ax + b)
(cx + d)2
�
Actividad 5.8 Calculen la derivada de las siguientes funciones
a) f (x) =
x2
4x + 1
b) g(r) =
3r2 − 5
r − r
2
3
�
5.2 Regla de la suma, producto y cociente 7
5.2.5 Derivada de las funciones xr para r cualquier número racional
La regla descripta en la Sección 5.1.3 para funciones potencia con exponente n (entero
positivo) puede extenderse para funciones potencia con exponente r ∈ Q. En primer lugar,
para un número entero n cualquiera (tanto positivo, negativo o 0) porque, siendo n < 0 puede
escribirse para x , 0
xn =
1
x−n
por lo tanto
(xn)′ =
(
1
x−n
) ′
=
(1)′x−n − 1. (x−n)′
(x−n)2
=
−(−n)x−n−1
x−2n
= nx−n−1+2n = n.xn−1.
Para el caso particular n = 0 se de-
be hacer mención a una cuestión de
notación porque asumimos la equi-
valencia entre las expresiones
x0 ≡ 1
de modo que se trata de la derivada
de una función constante.
� Ejemplo 5.8 Para calcular la derivada de f (x) = x5 +
1
x9
operamos
f ′(x) =
(
x5 +
1
x9
) ′
=
(
x5
) ′
+
(
x−9
) ′
= 5x4 + (−9)x−9−1 = 5x4 − 9x−10 = 5x4 −
9
x10
�
En el caso que n ∈ Q (número racional cualquiera n =
p
q
con p, q ∈ Z, q , 0) la regla es
igualmente válida pero para una demostración hacen falta algunas técnicas que no tenemos en
este momento.
C En estos casos hay que tener especial cuidado con los dominios de las funciones y de
sus derivadas. Por un lado, en los casos que q sea par, se debe considerar x ∈ [0,∞)
porque hay que considerar el dominio de las funciones con raíces de orden par. Por
otro lado, si n < 0 también debe considerarse x , 0 (para que el cociente quede bien
definido). Como última situación, si n < 1, la derivada no está definida en x = 0 por lo
que habrá que reducir el dominio de la derivada.
Recuerden el caso n = 12 de la Sección 5.1.4 para la función f (x) =
√
x = x1/2.
� Ejemplo 5.9 En los siguientes casos se desarrollan las derivadas y los dominios
Para f (x) = x4/3 con Dom( f ) = R se tiene f ′(x) = 43 x
1/3 con Dom( f ′) = R.
Para g(x) = x1/3 con Dom(g) = R se tiene g′(x) = 13 x
−2/3 con Dom(g′) = R − {0}.
Para h(x) = x5/2 con Dom(h) = [0,∞) se tiene h′(x) = 52 x
3/2 con Dom(h′) = [0,∞).
Para t(x) = x1/2 con Dom(t) = [0,∞) se tiene t ′(x) = 12 x
−1/2 con Dom(t ′) = (0,∞).
�
Actividad 5.9 Calculen las derivadas de las siguientes funciones y determinen el dominio
de las funciones y de sus derivadas.
a) J(w) = w−3 + w3 b) f (x) =
1
x
c) g(r) =
9
r3
d) r(x) = 3
√
x e) h(x) =
x + x3
√
x
f ) E(q) = (q2 − 3q)(q2/3 + 4)
�
8 Capítulo 5. Derivada.
5.3 Regla de la cadena
Enunciaremos a continuación, sin demostrar, la regla correspondiente a la derivada de una
composición de funciones.
Recordemos que cuando consideramos la composición de dos funciones es porque armamos
una nueva función compuesta.
x g(x) f (g(x))
g f
f ◦ g
En palabras: la derivada de una
composición de funciones es la
derivada de la función exterior
(evaluada en la función interior)
multiplicada por la derivada de la
función interior.
Teorema 5.3.1 — Regla de la cadena. Si g es una función derivable en x y f es una función
derivable en g(x) entonces la composición f ◦ g es derivable en x y se puede calcular la
derivada de la siguiente manera:
( f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x)
C Para escribir la regla de la cadena en la notación de Leibniz se suele usar las variables
auxiliares y = g(x) y z = f (y) para que el diagrama sea
x y z
Abusando de la notación se escribe: dz
dx
=
dz
dy
.
dy
dx
.
En la misma expresión estamos considerando a la variable z como variable dependiente
de la variable x (
dz
dx
) pero también como variable dependiente de la variable y (
dz
dy
).
� Ejemplo 5.10 Para calcular la derivada de la función h(x) = (x4 + 1)78 utilizando la regla
de la cadena considerando las funciones f (y) = y78 junto a g(x) = x4 + 1 porque la
composición queda establecida h(x) = f (g(x)). Por lo tanto
h′(x) = f ′(g(x)).g′(x) = 78(x4 + 1)77.(4x3)
�
� Ejemplo 5.11 Para calcular la derivada de la función h(x) =
√
x3 − 1 usando la notación de
Leibniz tomamos y = x3 − 1 de modo que z =
√
y
dy
dx
= 3x2
dz
dy
=
1
2√y
dz
dx
=
dz
dy
.
dy
dx
=
1
2√y
.3x2 =
1
2
√
x3 − 1
.3x2
�
5.4 Ejercitación. 9
Actividad 5.10 Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = (3x + 1)7 b) h(x) = (3x + 1)−4 c) g(x) = (x2 − 3x)−4
d) F(x) = 3
√
1
2 − 2x9 e) G(x) =
(
x + 1
2x − 1
)5
f ) H(x) = (2x + 1)5x3
�
5.4 Ejercitación.Ejercicio 5.1 Calculen la derivada de cada función
a) y = (2x − 7)3 b) y = (3x2 + 1)4
c) y =
x
3
(x4 − 2x2) d) y =
1
x − 5
8
e) g(x) = 3(4 − 9x)4 f ) f (x) = 2(1 − x2)3
g) f (t) =
√
1 − t h) g(x) =
√
3 − 2x
i) y = 3
√
9x2 + 4 j) g(x) =
√
x2 − 2x + 1
k) y = 2
√
4 − x2 l) f (x) = 3 4
√
2 − 9x
m) y =
1
x − 2
n) s(t) =
1
t2 + 3t − 1
ñ) f (t) =
(
1
t − 3
)2
o) y = −
4
(t + 2)2
p) y =
1
√
x + 2
q) g(t) =
√
1
t2 − 2
r) f (x) = x2(x − 2)6 s) f (x) = x(3x − 9)3
t) y = x
√
1 − x2 u) y = x2
√
9 − x2
�
	5 Derivada.
	5.1 Cálculo directo de derivadas
	5.1.1 Derivada de las funciones constantes: f(x)=k
	5.1.2 Derivada de las funciones lineales: f(x)=mx+b
	5.1.3 Derivada de las funciones xn para n=1,2,3,...
	5.1.4 Derivada de la función x
	5.2 Regla de la suma, producto y cociente
	5.2.1 Derivada de una suma o una resta de funciones derivables
	5.2.2 Derivada de un producto de funciones derivables
	5.2.3 Derivada de un múltiplo constante de una función derivable
	5.2.4 Derivada del cociente de dos funciones derivables
	5.2.5 Derivada de las funciones xr para r cualquier número racional
	5.3 Regla de la cadena
	5.4 Ejercitación.