Cálculo de Derivadas

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5. Derivada.
1 Cálculo directo de derivadas
En esta sección aprenderemos algunas reglas y técnicas que nos permitirán encontrar las
derivadas demanera general. El cálculo de derivadas seríamuy engorroso si siempre debiéramos
escribir el cociente incremental y calcular el límite. Calcularemos derivadas de funciones
básicas por medio de la definición y luego usaremos las llamadas reglas de derivación para
encontrar las derivadas de funciones más complicadas.
Recordemos, del módulo anterior, que usando la noción de límite y de límites laterales hemos
definido la derivada, la derivada por derecha y la derivada por izquierda de una función
usando el cociente incremental.
� Definición 1.1 — Función derivada.
Dada una función f definida en un intervalo abierto (c, d). Dado x ∈ (c, d), un número real
dentro del intervalo, se define la función derivada a la función definida por la regla
x 7−→ f ′(x) = lı́m
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
en los casos en que el límite exista. Para funciones definidas en intervalos cerrados [c, d]
o semicerrados, [c, d) o (c, d], se considera en el borde del intervalo la derivada lateral
correspondiente: f ′+(c) o f ′−(d) si los límites existen.
Usamos varias formas de escribir a la función derivada.
f ′ =
df
dx
f ′(x) =
df
dx
(x)
Con varios ejemplos analizamos casos en donde la derivada no existe por lo que el dominio
de la función derivada puede ser más pequeño que el dominio de la función original.
� Ejemplo 1.1 — Retomando algunos ejemplos del Módulo 4.
En la Actividad 4.14 del Módulo 4 se calcularon las derivadas de las siguientes
funciones:
• Para f (x) = 4x3 se obtuvo f ′(x) = 12x2.
• Para f (x) =
1
x2
se obtuvo f ′(x) = −
2
x3
.
En todos estos casos, el dominio de la función y el dominio de la derivada coinciden.
Dom( f ) = Dom( f ′).
Sin embargo, para la función g(r) =

3r + 1 para r ≤ 1
r + 1 para r > 1
de la Actividad 4.27 del
Módulo 4 obtuvieron que las derivadas laterales g′−(1) y g′+(1) son distintas, por lo que
la función g no es derivable en x = 1. O sea 1 < Dom(g′).
�
En las siguientes actividades desarrollaremos algunas técnicas que permitirán sistematizar el
cálculo de derivadas para funciones sencillas.
2 Capítulo 5. Derivada.
1.1 Derivada de las funciones constantes: f (x) = k
Comenzamos con un caso sencillo, que se da cuando la función es constante, es decir, f (x) = k
con k una constante. Por ejemplo,
f (x) = 5 g(r) = π2 h(t) =
3
5
Actividad 5.1 Consideren que p(t) indica la posición (en kilómetros respecto al km 0
ubicado en el Obelisco) de un automóvil como función del tiempo t (en horas contando
desde las 0 horas del día de hoy), siendo p(t) = 3 km para todo t ≥ 0.
a) Realice la gráfica de p respecto a t.
b) Describan en palabras la gráfica de la función p respecto a t y el comportamiento
del automóvil.
c) ¿Qué velocidad tiene el automóvil en cada instante t?
�
En forma general, dada f (x) = k, una función constante, sabemos que su dominio natural es
Dom( f ) = R. Usando la Definición 1.1 determinamos que
lı́m
∆x→0
f≡k︷ ︸︸ ︷
f (x + ∆x) −
f≡k︷︸︸︷
f (x)
∆x
= lı́m
∆x→0
k − k
∆x
= lı́m
∆x→0
0
∆x
= lı́m
∆x→0
0 = 0.
Luego, f ′(x) = 0 para cualquier x. Por lo tanto, también es Dom( f ′) = R.
Usando la notación de Leibniz decimos que
d
dx
[k] = 0.
1.2 Derivada de las funciones lineales: f (x) = mx + b
En el Módulo anterior también calcularon, a partir de la definición, las derivadas de las
funciones
f (x) = 7x − 3 y f (x) = 1 − 5x.
En ambos casos, para cualquier valor de x, llegaron a que f ′(x) es la pendiente de la recta que
resulta ser la gráfica de la función f .
En forma general, podemos decir que
• Para f (x) = mx + b es una función lineal cualquiera, f ′(x) = m para todo x ∈ R.
Actividad 5.2 Expresando el cociente incremental y la definición de derivada, realicen la
demostración del resultado anterior: si f (x) = mx + b entonces f ′(x) = m.
�
1.3 Derivada de las funciones xn para n = 1, 2, 3, ...
Se trata de determinar la derivada de funciones como f (x) = x4 o g(x) = x17. Para ello
necesitamos calcular
lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= lı́m
x→a
xn − an
x − a
.
Para avanzar en el cálculo del límite, necesitamos simplificar la fracción
xn − an
x − a
. En actividades
previas ya han trabajado con expresiones similares en los casos de n = 2, 3 y 4. En particular,
n = 2, tenemos que
x2 − a2
x − a
=
(x − a)(x + a)
x − a
= x + a, para x , a.
Esteban Baragatti
Textbox
Toca aquí para ver un desarrollo del cálculo de derivadas para funciones "constantes" y funciones "lineales"
https://youtu.be/Y9nImf9px0I
1 Cálculo directo de derivadas 3
Para el caso general de n = 1 ,2 ,3, ... necesitamos usar la fórmula, a veces denominada fórmula
de suma geométrica,
xn−1 + xn−2a + xn−3a2 + · · · + xan−2 + an−1 =
xn − an
x − a
.
Si no vieron esta fórmula con anterioridad o no la recuerdan, pueden verificarla cuidadosamente
multiplicando ambos lados de la igualdad por x − a. Con esa fórmula podemos avanzar en el
cálculo de la derivada de xn:
f ′(a) = lı́m
x→a
xn − an
x − a
= lı́m
x→a
xn−1 + xn−2a + xn−3a2 + · · · + xan−2 + an−1
podemos calcular el límite evaluando en x = a porque se trata de una expresión polinómica
= an−1 + an−2a + an−3a2 + · · · + a an−2 + an−1
= an−1 + an−1 + · · · + an−1︸ ︷︷ ︸
son n términos, todos iguales a an−1
= n an−1.
Obtenemos que la derivada de una función potencia f (x) = xn, con n = 1, 2, 3, . . . es
f ′(x) = n xn−1 o, con la notación de Leibniz,
d
dx
[xn] = n xn−1.
� Ejemplo 1.2 — Derivada para funciones potencias.
Las derivadas de g(x) = x7 y h(x) = x121 son
g′(x) = 7x6 y h′(x) = 121x120,
respectivamente. �
Actividad 5.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones:
a) f (x) = −4x − 8 b) g(u) = 9 c) h(y) = y44
d) r(x) = 1 − 35 x e) t(x) = 0.44 f) r(x) = x
8
�
1.4 Derivada de la función
√
x
Cuando se desarrolla el cociente incremental de la función f (x) =
√
x en un valor de a ≥ 0
obtenemos, con x , a y x ≥ 0
∆ f
∆x
=
√
x −
√
a
x − a
=
√
x −
√
a
x − a
.
√
x +
√
a
√
x +
√
a
=
x − a
(x − a).
(√
x +
√
a
) = 1√
x +
√
a
f (x) =
√
x
Para a = 0 se debe tomar x → 0+ y obtenemos que la derivada no existe porque
lı́m
x→0+
∆ f
∆x
= lı́m
x→0+
1
√
x
= +∞
Para a > 0 podemos calcular el límite por simple evaluación
lı́m
x→a
1
√
x +
√
a
=
1
2
√
a
4 Capítulo 5. Derivada.
En resumen, para la función raíz cuadrada f (x) =
√
x cuyo dominio es [0,+∞) se tiene que
su derivada existe en el intervalo abierto (0,+∞) y f ′(x) =
1
2
√
x
.
2 Regla de la suma, producto y cociente
Como mencionamos al inicio, afortunadamente no es necesario calcular todas las derivadas
que necesitemos usar por definición, sino que bastará, en general, que conozcamos algunas
derivadas básicas (entre ellas que
d
dx
xn = nxn−1) para así poder calcular derivadas de funciones
más complicadas separándolas en partes más pequeñas. Veremos a continuación las reglas
para derivar una suma, resta, producto y cociente de otras dos funciones.
2.1 Derivada de una suma o una resta de funciones derivables
En palabras: la derivada de una
suma es la suma de las derivadas.
Para f y g funciones derivables en x se tiene[
f (x) ± g(x)
] ′
= f ′(x) ± g′(x)
d
dx
[ f (x) ± g(x)] =
df
dx
(x) ±
dg
dx
(x)
Supongamos que h(x) = f (x) + g(x), ¿cómo se escribe el cociente incremental de h?
∆h
∆x
=
h(x) − h(a)
x − a
=
[
f (x) + g(x)
]
−
[
f (a) + g(a)
]
x − a
=
f (x) − f (a)
x − a
+
g(x) − g(a)
x − a
=
∆ f
∆x
+
∆g
∆x
Por lo tanto, con la hipótesis de que f y g son derivables en x se tiene que
lı́m
∆x→0
∆h
∆x
= lı́m
∆x→0
∆ f
∆x
+ lı́m
∆x→0
∆g
∆x
= f ′(a) + g′(a).
� Ejemplo 2.1 — Derivadas usando la derivada de una suma.
Considerando la regla para derivar funciones potencias y suma de funciones tenemos
que para la función f (x) = x4 + x9 se calcula f ′(x) = 4x3 + 9x8 según el siguiente
desarrollo
f ′(x) =
(
x4 + x9
) ′
=
(
x4
) ′
+
(
x9
) ′
= 4x3 + 9x8
�
Actividad 5.4 Calculen derivadas de las siguientesfunciones
a) f (x) = x4 + 2 b) g(r) = 12 + r
12 + r4 c) h(t) = t3 − 4 + t
�
2 Regla de la suma, producto y cociente 5
2.2 Derivada de un producto de funciones derivables
Para f y g funciones derivables en x se tiene[
f (x).g(x)
] ′
= g(x). f ′(x) + f (x).g′(x)
d
dx
[ f (x).g(x)] = g(x).
df
dx
(x) + f (x).
dg
dx
(x)
En palabras: la derivada de una
producto es: la derivada del primer
factor multiplicada por el segundo
factor (sin derivar), más la derivada
del segundo factor multiplicada por
el primer factor (sin derivar).
En esta situación, al tomar h(x) = f (x).g(x) e intentar escribir el cociente incremental
obtenemos
∆h
∆x
=
h(x) − h(a)
x − a
=
f (x).g(x) − f (a).g(a)
x − a
=
f (x).g(x) +
sumamos y restamos el mismo término︷ ︸︸ ︷
[− f (a).g(x) + f (a).g(x)] − f (a).g(a)
x − a
=
f (x).g(x) − f (a).g(x) + f (a).g(x) − f (a).g(a)
x − a
=
g(x). [ f (x) − f (a)] + f (a) [g(x) − g(a)]
x − a
=
g(x) [ f (x) − f (a)]
x − a
+
[g(x) − g(a)] . f (a)
x − a
= g(x).
f (x) − f (a)
x − a
+ f (a).
g(x) − g(a)
x − a
= g(x).
∆ f
∆x
+ f (a).
∆g
∆x
Sabiendo que f y g son derivables en a podemos calcular
lı́m
x→a
∆h
∆x
= lı́m
x→a
g(x). lı́m
x→a
∆ f
∆x
+ f (a). lı́m
x→a
∆g
∆x
= g(a). f ′(a) + f (a).g′(a)
Recordar que, dado que g es deri-
vable en a entonces se cumple que
lı́m
x→a
g(x) = g(a).
Teorema 8.2 del Módulo 4.
� Ejemplo 2.2 — Derivada usando la derivada de un producto.
Calculemos la derivada de la función h(x) = (7x − 3)(x8 − x4).
Tomando f (x) = 7x − 3 y g(x) = x8 − x4 tenemos que f ′(x) = 7 y g′(x) = 8x7 − 4x3.
Luego, a partir de la regla del producto, llegamos a que
h′(x) = (7x − 3)′(x8 − x4)+ (7x − 3)
(
x8 − x4
) ′
= 7.(x8 − x4)+ (7x − 3).(8x7 − 4x3)
�
Actividad 5.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.
a) f (x) = (1 − x).x5 b) T(V) = (V2 − V10).(V9 + V2 − 5 − V)
�
2.3 Derivada de un múltiplo constante de una función derivable
En palabras: la derivada de una
constante por una función es la
misma constante multiplicada por
la derivada de la función.
Si f es una función derivable en x y c es un número real, obtenemos
[c f (x)]′ = c. f ′(x)
d
dx
(c f )(x) = c
df
dx
(x)
Esteban Baragatti
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Click aquí para ver el desarrollo de un ejemplo de DERIVADA DE UN PRODUCTO.
https://youtu.be/fkQSYcDF9bk
6 Capítulo 5. Derivada.
� Ejemplo 2.3—Derivada usando la derivada de un producto de una constante por una función.
La derivada de f (x) = 4x3 puede calcularse de la siguiente manera
f ′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4.(3x2) = 12x2
�
� Ejemplo 2.4—Derivada usando la derivada de un producto de una constante por una función.
La derivada de g(x) =
x8
5
puede calcular de la siguiente manera
f ′(x) =
(
x8
5
) ′
=
(
1
5 x
8
) ′
= 15 8x
7 = 85 x
7
�
Actividad 5.6 ¿Cómo se escribe el cociente incremental de la función c. f (x)? Desarrollen
paso a paso cómo se escribe el cociente incremental y la demostración de la regla anterior.
�
2.4 Derivada del cociente de dos funciones derivables
Para f y g funciones derivables en x tal que g′(x) , 0 se tiene[
f (x)
g(x)
] ′
=
f ′(x).g(x) − f (x).g′(x)
g2(x)
Notación: Usamos la notación
g2(x)
para abreviar la operación
g(x).g(x) = [g(x)]2
Actividad 5.7 Escriban la regla anterior usando la notación de Leibniz. ¿Cómo se dice
“en palabras” la regla del cociente?
�
Tomando h(x) =
f (x)
g(x)
, y con algunas cuentas algebraicas similares a las realizadas en la regla
del producto, es posible escribir el cociente incremental de la siguiente forma
∆h
∆x
=
f (x)
g(x) −
f (a)
g(a)
x − a
=
g(a). f (x)− f (a)x−a − f (a).
g(x)−g(a)
x−a
g(x)g(a)
de la cual se deduce la regla del cociente mencionada
lı́m
x→a
∆h
∆x
=
g(a). f ′(a) − f (a).g′(a)
g2(a)
� Ejemplo 2.5 — Derivada usando la derivada de un cociente de funciones.
Usamos la regla del cociente para determinar la derivada de las funciones homográficas
h(x) =
ax + b
cx + d
Esteban Baragatti
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Click aquí para ver el desarrollo de la Actividad 5.6 en un video.
https://youtu.be/D-1U4_Kupho
Esteban Baragatti
Textbox
Esteban Baragatti
Textbox
Click aquí para ver un ejemplo desarrollado del uso de la REGLA DEL COCIENTE
https://youtu.be/KQf3LX9gkhI
2 Regla de la suma, producto y cociente 7
h′(x) =
(
ax + b
cx + d
) ′
=
(ax + b)′(cx + d) − (ax + b)(cx + d)′
(cx + d)2
=
a.(cx + d) − c.(ax + b)
(cx + d)2
�
Actividad 5.8 Calculen la derivada de las siguientes funciones
a) f (x) =
x2
4x + 1
b) g(r) =
3r2 − 5
r − r
2
3
�
2.5 Derivada de las funciones xr para r cualquier número racional
La regla descripta en la Sección 1.3 para funciones potencia con exponente n (entero positivo)
puede extenderse para funciones potencia con exponente r ∈ Q. En primer lugar, para un
número entero n cualquiera (tanto positivo, negativo o 0) porque, siendo n < 0 puede escribirse
para x , 0
xn =
1
x−n
por lo tanto
(xn)′ =
(
1
x−n
) ′
=
(1)′x−n − 1. (x−n)′
(x−n)2
=
−(−n)x−n−1
x−2n
= nx−n−1+2n = n.xn−1.
Para el caso particular n = 0 se de-
be hacer mención a una cuestión de
notación porque asumimos la equi-
valencia entre las expresiones
x0 ≡ 1
de modo que se trata de la derivada
de una función constante.
� Ejemplo 2.6 — Derivada para funciones potencias con exponentes negativos.
Para calcular la derivada de f (x) = x5 +
1
x9
operamos
f ′(x) =
(
x5 +
1
x9
) ′
=
(
x5
) ′
+
(
x−9
) ′
= 5x4 + (−9)x−9−1 = 5x4 − 9x−10
= 5x4 −
9
x10
�
En el caso que n ∈ Q (número racional cualquiera n =
p
q
con p, q ∈ Z, q , 0) la regla es
igualmente válida pero para una demostración hacen falta algunas técnicas que no tenemos en
este momento.
C En estos casos hay que tener especial cuidado con los dominios de las funciones y de
sus derivadas. Por un lado, en los casos que q sea par, se debe considerar x ∈ [0,∞)
porque hay que considerar el dominio de las funciones con raíces de orden par. Por
otro lado, si n < 0 también debe considerarse x , 0 (para que el cociente quede bien
definido). Como última situación, si n < 1, la derivada no está definida en x = 0 por lo
que habrá que reducir el dominio de la derivada.
Recuerden el caso n = 12 de la Sección 1.4 para la función f (x) =
√
x = x1/2.
8 Capítulo 5. Derivada.
� Ejemplo 2.7 — Derivada para funciones potencias con exponentes racionales.
En los siguientes casos se desarrollan las derivadas y los dominios
Para f (x) = x4/3 con Dom( f ) = R se tiene f ′(x) = 43 x
1/3 con Dom( f ′) = R.
Para g(x) = x1/3 con Dom(g) = R se tiene g′(x) = 13 x
−2/3 con Dom(g′) = R − {0}.
Para h(x) = x5/2 con Dom(h) = [0,∞) se tiene h′(x) = 52 x
3/2 con Dom(h′) = [0,∞).
Para t(x) = x1/2 con Dom(t) = [0,∞) se tiene t ′(x) = 12 x
−1/2 con Dom(t ′) = (0,∞).
�
Actividad 5.9 Calculen las derivadas de las siguientes funciones y determinen el dominio
de las funciones y de sus derivadas.
a) J(w) = w−3 + w3 b) f (x) =
1
x
c) g(r) =
9
r3
d) r(x) = 3
√
x e) h(x) =
x + x3
√
x
f) E(q) = (q2 − 3q)(q2/3 + 4)
�
3 Regla de la cadena
Enunciaremos a continuación, sin demostrar, la regla correspondiente a la derivada de una
composición de funciones.
Recordemos que cuando consideramos la composición de dos funciones es porque armamos
una nueva función compuesta.
x g(x) f (g(x))
g f
f ◦ g
En palabras: la derivada de una
composición de funciones es la
derivada de la función exterior
(evaluada en la función interior)
multiplicada por la derivada de la
función interior.
Teorema 3.1 — Regla de la cadena. Si g es una función derivable en x y f es una función
derivable en g(x) entonces la composición f ◦ g es derivable en x y se puede calcular la
derivada de la siguiente manera:
( f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)).g′(x)
C Para escribir la regla de la cadena en la notación de Leibniz se suele usar las variables
auxiliares y = g(x) y z = f (y) para que el diagrama sea
x y z
Abusando de la notación se escribe: dz
dx
=
dz
dy
.
dy
dx
.
En la misma expresión estamos considerando a la variable z como variable dependiente
de la variable x (
dz
dx
) pero también como variable dependientede la variable y (
dz
dy
).
4 Ejercitación. 9
� Ejemplo 3.1 — Derivada usando la Regla de la Cadena.
Para calcular la derivada de la función h(x) = (x4 + 1)78 utilizando la regla de la cadena
considerando las funciones f (y) = y78 junto a g(x) = x4 + 1 porque la composición
queda establecida h(x) = f (g(x)). Por lo tanto
h′(x) = f ′(g(x)).g′(x) = 78(x4 + 1)77.(4x3)
�
� Ejemplo 3.2 — Derivada usando la Regla de la Cadena.
Para calcular la derivada de la función h(x) =
√
x3 − 1 usando la notación de Leibniz
tomamos y = x3 − 1 de modo que z =
√
y
dy
dx
= 3x2
dz
dy
=
1
2√y
dz
dx
=
dz
dy
.
dy
dx
=
1
2√y
.3x2 =
1
2
√
x3 − 1
.3x2
�
Actividad 5.10 Calculen las derivadas de las siguientes funciones
a) f (x) = (3x + 1)7 b) h(x) = (3x + 1)−4 c) g(x) = (x2 − 3x)−4
d) F(x) = 3
√
1
2 − 2x9 e) G(x) =
(
x + 1
2x − 1
)5
f) H(x) = (2x + 1)5x3
�
4 Ejercitación.
Ejercicio 5.1 Calculen la derivada de cada función
a) y = (2x − 7)3 b) y = (3x2 + 1)4 c) y =
x
3
(x4 − 2x2)
d) y =
1
x − 5
8
e) g(x) = 3(4 − 9x)4 f) f (x) = 2(1 − x2)3
g) f (t) =
√
1 − t h) g(x) =
√
3 − 2x i) y = 3
√
9x2 + 4
j) g(x) =
√
x2 − 2x + 1 k) y = 2
√
4 − x2 l) f (x) = 3 4
√
2 − 9x
m) y =
1
x − 2
n) s(t) =
1
t2 + 3t − 1
ñ) f (t) =
(
1
t − 3
)2
o) y = −
4
(t + 2)2
p) y =
1
√
x + 2
q) g(t) =
√
1
t2 − 2
r) f (x) = x2(x − 2)6 s) f (x) = x(3x − 9)3 t) y = x
√
1 − x2
�
Esteban Baragatti
Textbox
Toca aquí para ver un ejemplo de cálculo de una derivada usando REGLA DE LA CADENA.
https://youtu.be/FWRym6nFWTc
	5 Derivada.
	1 Cálculo directo de derivadas
	1.1 Derivada de las funciones constantes: f(x)=k
	1.2 Derivada de las funciones lineales: f(x)=mx+b
	1.3 Derivada de las funciones xn para n=1,2,3,...
	1.4 Derivada de la función x
	2 Regla de la suma, producto y cociente
	2.1 Derivada de una suma o una resta de funciones derivables
	2.2 Derivada de un producto de funciones derivables
	2.3 Derivada de un múltiplo constante de una función derivable
	2.4 Derivada del cociente de dos funciones derivables
	2.5 Derivada de las funciones xr para r cualquier número racional
	3 Regla de la cadena
	4 Ejercitación.