Trabajo Unidad 4 EAD

Vista previa del material en texto

Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Matrícula: 201DD687
Carrera: Ingeniería Industrial Modalidad Mixta
Nombre de la materia: Cálculo Diferencial
Nombre del docente: ING. ISRAEL HERNÁNDEZ MORALES
Trabajo Unidad 4 EAD
Sabinas, Coahuila							24/11/2020
Trabajo Unidad 4 EAD
· Interpretación geométrica de la derivada
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal.
Cuando  tiende a, el punto  tiende a confundirse con el. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función  en, y por tanto el ángulo  tiende a ser.
· Incremento y razón de cambio
Derivada: En matemáticas se define a la derivada de una función como la medida de la rapidez con la que se altera el valor de dicha función matemática, esto depende de si cambia el valor de su variable independiente. La derivada de una función se interpreta como un concepto local, esto quiere decir que se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un intervalo determinado, cuando el intervalo considerado para dicha variable independiente se torna cada vez más pequeño.
El incremento de una variable de x es el cambio de x cuando crece o decrece desde un valor x = x0 hasta otro valor x = x1 en su dominio. Así Delta de x = x1 – x0 y podemos escribir x1 = x0 + Delta de x
Si la variable x experimenta un incremento a partir de x = x0 (esto es, si x cambia de x = x0 a x=x0 + Delta de x) y una función cambia por tanto en un incremento Delta de x = ƒ (x0+ Delta de x) – ƒ(x0) a partir de y = ƒ(x0), el cociente:
Se llama la razón media de cambio de la función en el intervalo entre x= x0 y x = x0 + Delta de x.
La derivada de una función y = ƒ(x0) con respecto a x en el punto x = x0 se define como:
Supuesto que existe el límite. Este límite se llama también razón instantánea de cambio (o simplemente, razón de cambio) de y con respecto a x en x = x0. Al calcular la derivada es habitual suprimir el subíndice 0 y obtener la derivada de y = ƒ(x0) con respecto a x como:
La derivada de y = ƒ(x) con respecto a x se indica por cualquiera de los símbolos:
· Definición de la derivada de una función
En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto para todos los momentos. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x.
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto P de la función por el resultado de la división representada por la relación dy/dx, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto P, de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto P por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado dy/dx es siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.
· Diferenciales
Las diferenciales son operaciones similares, o basadas, en las derivadas parciales, pero la gran diferencia es que éstas no representan una tasa de cambio, sino un cambio total. En otras palabras, se podría decir que los diferenciales solo caracterizan cambios estacionarios o estáticos, como es que algo pasó de “a” a “b” o viceversa, pero sin tomar en cuenta el proceso que lo llevó a ese punto final.
Podemos definir entonces a las diferenciales de una función como los incrementos de las variables independientes y por tanto a la diferencial total de z como:
Aunque las diferenciales no son el cambio exacto de dichas variables, las podemos considerar como un cambio aproximadamente igual.
Cálculo:
Al ser las diferenciales expresadas de tal manera, podemos aseverar que son parte del proceso derivativo, por tanto, lo primero que hay que hacer para poder calcularlas es derivar la función, dejando expuesto el diferencial de nuestra variable (por ejemplo “dx” ya que “Δx” representa el cambio total).
Una vez obtenida la derivada de la función y con las derivadas multiplicando cada termino, se procede a realizar todas las operaciones matemáticas posibles, incluso la suma de las dos derivadas. Esta suma es posible ya que el cálculo de las diferenciales es total, en otras palabras, ya no existen variables o diferenciales que distingan uno u otro termino, todos ahora son escalares por igual. Por ejemplo:
Aplicaciones:
Generalmente las aplicaciones de las derivadas radican en el cálculo de errores de medición, ya sean de medidas espaciales, eléctricas, movimientos, etcétera.En pocas palabras, la mayor ayuda que nos dejan las diferenciales es conocer la variación de un resultado por motivos de un error. Es aquí donde también podemos involucrar a los métodos numéricos, ya que todos ellos contaran con cierto grado de error.
De ahí en adelante podemos utilizarlo en cálculos de variación de volumen, de áreas, de inductancias, de impedancias, de aceleración, de resistencia, de temperatura, etc. Y es por eso, que dentro de la industria los diferenciales son bastante utilizados, para poder conocer los errores estimados dentro de un proceso, para poder caracterizarlos, medir su impacto y sus consecuencias, y de algún modo tratar que estos errores sean mínimos para también así poder maximizar las ganancias, fin último de las empresas.
· Cálculo de derivadas
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
                            f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de la función lineal mx + b
Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
  lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
Derivada de una constante por una función, k · f(x)
Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:
Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma
k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.
Derivada de la función potencia xm (m un número natural)
Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente
Tomando límites cuando h --> 0,
Sumandos tiende a cero (su límite es cero).
Se concluye que
Ejercicio: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1.
Resolución:
f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x
             f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2
Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.
 
Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x
La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x
La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x
Si necesitas las demostraciones dímelo.
Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|
Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.
Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:
a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones 
  Por tanto, si x > 0
b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.
Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.
Derivadas de las funciones exponenciales ax y ex
Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:
  
Y se toman logaritmos neperianos:
  
Luego:
En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es
                                    (ex)' = ex · ln e = ex · 1 = ex
Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.
 
Operaciones con funciones
Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),
Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a, b] ---> R,
                                             (f + g) (x) = f(x) + g(x)
Función producto de f y g como la función f ·g: [a, b] ---> R,
                                              (f · g) (x) = f(x) · g(x)
Siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo.
Derivada de una suma de funciones
Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando
La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
                                      [f(x) + g(x)] ‘= f '(x) + g '(x)
Derivada de una diferencia de funciones
                     f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))'
Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:
                             [- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x)
 
En consecuencia,
                                           [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
 
Ejercicio: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x
Resolución:
 
Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -p/3.
Resolución:
Derivada de un producto de funciones
Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.
Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,
 Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros sumandos, y f(x) en los otros dos,  
 Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,
 
Ejercicio: cálculo de derivadas
Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.
Resolución:
 
Resolución:
· Regla de la cadena
La regla de la cadena es una consecuencia de la derivada de la composición de funciones.
La regla de la cadena no es más que la aplicación de la derivada de la composición de funciones, y establece que si f es derivable en x y g lo es en f(x), g o f será derivable en x y tendrá por expresión:
D [(g∘f) (x)]=D [g (f(x))]=g'(f(x)) ⋅f'(x)
Puedes aplicar la regla de la cadena a cualquier número de funciones compuestas. Por ejemplo, en...
f(x)=sin(cos(ln(x)))
...tenemos 3 funciones. Aplicando la regla de la cadena tendríamos:
f'(x)=cos(cos(ln(x)))⋅(−sin(ln(x)))⋅ 1/x
· Derivada de funciones implícitas
Las funciones se pueden clasificar en dos categorías generales, funciones implícitas y funciones explícitas.
Una función se denomina implícita cuando su salida no está definida en términos de su entrada, explícitamente.
Las funciones algebraicas y las funciones inversas corresponden a la categoría de funciones implícitas.
Una función que se define implícitamente puede ser diferenciada con la ayuda de una regla de la cadena, denominada diferenciación implícita.
La mejor forma de diferenciar una función implícita es diferenciando cada lado de la ecuación de la función explícitamente.
Mientras se hace esto, es esencial tener en mente que la variable dependiente de la función debe ser tratada como la variable independiente de la función; y sencillamente aplicar las reglas de diferenciación normal incluyendo todas las propiedades y las reglas de diferenciación.
Finalmente resolver para cada derivada.
Para tener una mejor comprensión, tomemos un vistazo el ejemplo dado a continuación, Diferenciar la ecuación tal como lo hacemos para una función explícita,
= d (4x – y)/ dx = 0
= 4 – dy/ dx = 0
= dy/ dx = 4
Los pasos para la diferenciación de una función implícita se indican a continuación:
1. Diferencie la ecuación implícita con respecto a x tal como lo hace para una función explícita. Si la ecuación contiene términos de y o cualquier otra variable elevada a la potencia de y, entonces primero multiplique la ecuación con dy / dx.
2. Mueva los términos con dy /dx como sus coeficientes a un lado de la ecuación y el resto de los términos hacia el otro lado de la ecuación.
3. Ahora, extraiga el valor de dy / dx y resolverlo.
El método explicado más arriba es el método de diferenciación implícita para resolver una función implícita.
Hay una forma más de resolver una función implícita, llamada diferenciación directa.
Bajo el método explicado anteriormente, el primer paso es escoger la variable que se considerará como variable dependiente y la variable que se considerará como variable independiente.
Suponga que y es la variable dependiente para la función dada, luego se resuelve para y con respecto a x, que es la variable independiente de la función.
Bajo el método de diferenciación directa, sólo resuelva para la variable dependiente al mover los términos contenidos en la variable dependiente hacia un lado y la variable independiente hacia el otro lado y realizando la diferenciación con respecto a la variable independiente.
Bajo el método de diferenciación directa, generalmente la variable dependiente se da de manera explícita y no de forma escogida.
Considere un ejemplo de una ecuación resuelta mediante el método de diferenciación directa,
4X2 + 5X – y + 2 = 0
Moviendo los términos que contiene y hacia un lado de la ecuación, que es la variable dependiente de la ecuación,
4X2 + 5X + 2 = y Ahora diferenciando la ecuación obtenemos,
dy / dx = 8x + 5, que es la respuesta necesaria.
· Derivadas de orden superior
La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x).
Es importante tener en cuenta:
de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los órdenes pese a que se puedan calcular con las formulas.
Las notaciones usuales utilizadas con mayor frecuencia para derivadas de segundo orden son:
El orden de las derivadas, se pueden expresar de la siguiente manera: