Ecuaciones Integrales - MIR [M L Krasnov]

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M. J I. KPACHO B, A- H. KH CEJ1EB, 
T. H. M AKAPEH KO
M H T E r P A J Ib H b lE 
y P A B H E H M J l
H 3 A A T E^ l> C T BÜ .H A V K A - • M O C K BA
M . L. Krasnov 
A. I. Kíseliov 
G . I. M akarenko
ECUACIONES 
INTEGRALES
Tercera edición
E d i t o r i a l M i r 
M o s c ú
T rad u c id o del ruso por 
JU A N JO S E TO LO SA
Prim era edición, 1970 
Segunda edición, 1977 
Tercera edición, 1982
H a HcnaHCKOM a ju K e
Impreso en la U R SS
Traducción al español. Ed itorial Mir. 1982
I N D I C E
P r ó l o g o ..................................................................................... 7
Observaciones preliminares............................................................ 8
C a p í t u l o í. Ecuaciones integrales de V o ltcrra ............................. 15
§ I. Conceptos fundamentales.......................................... 15
§ 2. Nexo entre las ecuaciones diferenciales lineales y las
ecuaciones integrales de Volterra ......................... 18
§ 3. Resolvente de la ecuación integral de Volterra. Re­
solución de una ecuación integral mediante la resol­
vente .......................................................................... 20
§ 4. Método de las aproximaciones sucesivas................. 31
§ 5. Ecuaciones de «invo lución ....................................... 36
J 6. Resolución de las ecuaciones integrodiferenciaies me­
diante la transformación de I.aplace. .................. 42
§ 7. Ecuaciones integrales de Volterra con límites
(x. + « ) ................................................................... 44
§ 8. Ecuaciones integrales de Volterra de primera especie 47
§ 9. Integrales de Eu le r.................................................... 49
§ 10. Problema de Abel. Ecuación integral de Abel y sus
generalizaciones........................................................ 53
§ I I . Ecuaciones integrales de Volterra de primera especie
de convolueión............................................................ 59
C a p í t u l o I I . Ecuaciones integrales de Fredholm ........................ 67
§ 12. Ecuaciones de Fredholm de segunda especie. Con­
ceptos fundamentales................................................. 67
§ 13. Método de los determinantes de Fredholm .............. 70
§ 14. Núcleos iterados. Construcción de la resolvente me­
diante los núcleos iterados....................................... 74
§ 15. Ecuaciones integrales con núcleo degenerado. Ecua­
ción de Ilamnierstein................................................. 84
§ 16. Raíces características y funciones propias.............. 93
§ 17. Resolución de las ecuaciones integrales homogéneas
con núcleo degenerado.............................................. 110
§ 18. Ecuaciones simétricas no homogéneas..................... 111
§ 19. Al lerna tica do Fredholm .......................................... 118
§ 20. Construcción de la función de Green para las ecua­
ciones diferenciales ordinarias................. 123
6 IN DIC E
§ 21. Aplicación de la función de Green a la resolución
de las problemas de frontera................................... 132
§ 22. Problemas de frontera que contienen un parámetro
y su reducción a ecuaciones integrales..................... 135
§ 23. Ecuaciones integrales singulares ...................... 138
C a p i t u l o 111. Métodos aproximados...................................... 151
§ 24. Métodos aproximados de resolución de las ecuaciones
integrales.................................................................. 151
1. Sustitución del núcleo por uno 'degenerado . . . 151
2. Método de las aproximaciones sucesivas.............. 155
3. Método de Bubnov-Galiorkiti • . •_.................... - 157
§ 25. Métodos aproximados de determinación de las raíces
características................................................... 158
1. Método de R it z .................................................... 158
2. Método de las trazas............................................. 151
3. Método de K e tlu g ................................................. 162
R e s p u e s t a s ............................................................................ 165
A p é n d i c e . Resumen de los métodos fundamentales de reso­
lución de las ecuaciones integrales......................... 180
B i b l i o g r a f í a ......................................................................... 189
P R O L O G O
E n la actua lidad hay en ruso una profusa b ib liografía 
sobre ecuaciones integrales. E s su ficiente c ita r los excelen­
tes libros de 1. G . Pe trovsky . S . G . M ij l in . los cap ítu los 
correspondientes de la obra fundam ental de V . I . Sm irnov 
“Curso de M atem áticas Superiores” , los libros de W . L o v it t . 
E . T ricom i y otros.
S in em bargo, por cuanto nosotros conocemos, no hay 
ningún lib ro en ruso que reúna problemas y ejemplos que 
ilustren los d iferentes princip ios de la teoría y los métodos 
de resolución de las ecuaciones integrales.
L a presente colección de problem as viene a cubrir, a 
nuestro ju ic io , este v a c ío en c ie rta m edida. En este libro 
se exponen algunos métodos de resolución de las ecuaciones 
integra les, problem as sobre la determ inación de raíces ca­
racterís ticas y ciertos métodos aproxim ados. Muchos proble­
mas especiales de las ecuaciones integrales no han sido 
mencionados, puesto que los autores perseguían un fin 
puram ente d idáctico : ilu strar y consolidar los princip ios 
fundam entales de la teoria m ediante ejemplos.
Nos considerarem os satisfechos, si nuestro lib ro recibe 
una acogida favorab le por parte de los lectores y si les 
resu lta ú t il para el estudio de las ecuaciones integrales.
Quedarem os agradecidos por todas las observaciones y 
sugestiones que tengan como objeto la mejora de este libro.
A L /.. Krasnov 
A . I . Kiselim j 
G. I . M akarenko
O B S E R V A C IO N E S P R E L I M I N A R E S
1. Conjuntos medióles. Sea E cierto conjunto de puntos del seg­
mento S |o. í>|. Denotemos por C¡: el conjunto complementario de E 
con respecto a S. es decir, por definición. C¡¡ consta de los puntos que 
no pertenecen a E.
Los puntos del conjunto E pueden ser incluidos de diferentes ma­
neras en el sistema de intervalos
« i- « J .............<*«■ •••
finito o numerable. Denotemos por l a la suma de las longitudes de
los intervalos a ( . a.,.......... a ,„ . . . Far.-t cualquier sistema de intervalos
que cubra a E tendremos
l a > 0.
E l extremo inferior de las la , que depende sólo del conjunto E , 
se llama medida exterior de E y se designa por m’ E. De la definición 
de medida exterior se deduce, que para todo r > 0 existe un sistema
lal de intervalos a ,, a , a „ que contienen lodos los puntos
del conjunto E que
m 'E < l a <•
Se llama medida interior m ,E del conjunto E a la diferencia entre 
la longitud del segmento S y la medida exterior del conjunto comple­
mentario. es decir.
m ,E = b— a — m'Cp.
Si las medidas exterior e interior del conjunto F. son iguales, éste 
se llatna medible según Lebesgue (o simplemente medióle) y el valor 
común de las medidas m*£ y m9E se llama medida del conjunto E 
según Lebesgue (o simplemente medida de E ) y se denota por mE, 
o Dien mes E.
La medida de un intervalo (a. b) es su longitud: mes (a, b)r-b—o. 
Un conjunto i.> de puntos del intervalo (o. h) se llama conjunto de 
medida cero, si id se puede cubrir por intervalos cuya suma de las 
longitudes sea arbitrariamente pequeña.
2. Una función f (x) de variable real, definida en el conjunto me­
dióle E . se llama medible. si para cualquier número A el conjunto 
« ? (/ (* ) > A), formado por los puntos x. que pertenecen a! conjunto E, 
para los cuales / (x) > A. es medible según Lebesgue.
O b s e r v a c i ó n . La condición para que el conjunto $ (/ (x) > A) 
sea medible puede ser sustituida por una de las tres siguientes:
f) ef conjunto <¡f> (/ (* ) ¿ ; A ) esinedible;
2) el conjunto a f (/ (x) < A) es inedibte;
3) el conjunto & (f (x) < A) es medible.
3. Una función / (x). no negativa en intervalo (a, b), se llama
sunwble en dicho intervalo, si \" f (x) dx es finita*).%»a
Una función / (x) de signo arbitrario será sumable en el intervalo 
(o, b) si. y sólo si, la función | / (je) | es sumable. es decir, si la integral
6
^ | / (x) | dx tiene un valor finito.
a
En lo sucesivo operaremos con el intervalo fundamental / = (a. b) 
(o bien /» = (0, a)) y con el cuadrado fundamental Q j a>£;x , t < b ) 
(o bien £2o ^0«E,x. /<sQa¡).
4. Espacio (a . b). Se dice que f (x) es una ¡unción de cuadrado 
integrable en ¡a, ó] si la integral
b
J r- u> dx
a
existe (es finita). Denotaremos por L2 (u. 6), o simplemente L t. el 
conjunto de todas las funciones de cuadrado integrable en |u, fc).
P r o p i e d a d e s f u n d a m e n t a l e s d e l a s f u n c i o n e s de
Io. E l producto de dos funciones de cuadrado integrable es una 
función integrable.
2°. La suma de dos funciones de L.¡ pertenece también a L.¡.
3o. S i / (x) £ L» y X es un número real arbitrario, entonces
V (*>€*-*•
4°. S i / (x) £ L . y g (x )£ L s, tiene lugar la desigualdad de Bunia- 
kovski-Schwarz
í> V i i> b
' f (X) g (X) dx J $ /* (X ) dx 5 g‘ (x) dx. ( I )
/ a a
Por definición, se llama producto escalar dedos funciones / (x) £ L a 
y g{x)£L-i al número b
O B S E R V A C I O N E S P R E L I M I N A R E S 9
(/.«>-=$/ (x )g {x )dx . (2)
*) La integral se entiende en el sentido de Lebesguc. Sin embargo, 
el lector que desconozca dicha integral puede suponer que en todas 
partes se toma la integral en el sentido de Riemann.
Se llama norma .le una (unción /(a-) de /.., al número no negativo
. 1 / V<T7)-=- \ / J I ' <*>,lx (3)
5°. Para / (x) y g(x) de L.. tiene lugar la desigualdad triangular
l|/ + «M*£||/ll + li«ll- H)
t>°. C o n v e r g e n c i a en i n e d i a . Supongamos que las funciones 
/ (x) y / i(v ), f-¡(x). . . . . /„(•»). . . . son de cuadrado sumable en (u, b). 
Si
b
lim [ |/„ (* )- / (* ) ! * i/ * - 0, 
n * » *1 a
entonces se dice que la sucesión de funciones /, (a). /» (x). . . . converge 
en medio o. más exactamente, en nudia cuadrática hacia la (unción / (a).
Si ta sucesión {/„(x )J de funciones de converge uniformemente 
liacia /(.v). entonces I (<)(z¡-i y { !„ ( v) f converge en media hacia / (.v).
Se dice que la sucesión '/„ (x)¡ de funciones de t..¡ converge en
media en si mismo, si para cualquier número e. > 0 existe un Si > 0
tal, que
b
[ [ t u — ( X ) | * í / X S £ 8
a
para n > N y m > A'. A veces, las sucesiones convergentes en sí mis­
mas se llaman ¡tindumenlales. Para que una sucesión {/ „ (* ) } converja 
en inedia hacia cierta función, es necesario y suficiente que dicha 
sucesión sea fundamental. El espacio es completo, es decir, toda 
sucesión fundamental de funciones de JU converge hacia una función 
que también pertenece a L>.
Dos funciones / (x) y g (x) de L..(a. b) se llaman equivalentes en 
(a, 6). si l (x )? - g (x ) únicamente en un conjunto de medida cero. Eli 
este caso se dice que /(x) g (x ) casi en todas partes en (a. b)
5. Espacio C (0 (a , h). Los elementos de este espacio son todas las 
funciones definidas en el segmento |a. b| y que tienen en dicho seg­
mento derivadas continuas de hasta /-ésimo orden inclusive. Las ope­
raciones de la suma y producto de funciones por un número se definen 
de manera habitual.
La norma del elemento / (x| £ C (ÍI (a, b) se define mediante la 
fórmula
11/11=2 m í* 1/'“ (*>!.
* * ” & O < : X < b
siendo/">’ (x) = /(x).
La convergencia en C '1'(a , b) significa la convergencia uniforme, 
tanto de la sucesión de las propias funciones, como de las sucesiones 
de sus derivadas de ft-ésimo orden (*= 1 ,2 .........../).
U) O B S E R V A C I O N E S I ' K E I . I M I N A K E S
Los conceptos <le conjunto medible, [unción medible, función su- 
mable, etc. se generalizan al caso de un espacio de mayor dimensión. 
Asi, por ejemplo, la (unción F (*. I ) se llamará de cuadrado sumable 
en / « ¡ó } , si la integral
b b
O B S E R V A C I O N E S P R E L I M I N A R E S II
H F ‘ (x, I ) dx di < -j- oo.
La norma de la (unción F (x, I) se deíine en este caso por la igualdad
/ ' h b
B M - 1 / ‘>dxdl-
a n
6. Una función /(a) de variable compleja z. derivable en cada 
punto de la región 0 del plano de la variable compleja z, se llama 
analítica (regular) en dicha región.
La función / (r) se denomina entera, si es analítica en todo el 
plano (excluyendo el punto infinito).
La función / (z) se llama mrromorfa (o quebrada), si puede ser 
representada en forma de cociente de dos (unciones enteras:
/ ( z ) - f - g A ( 4 * 0 .
Una función meromoría / (z) puede tener sólo un número (inito de 
polos en cualquier región acotada.
E l punto z— a se llama punto singular aislado de la función / (z), 
si existe un entorno 0 < |z— <i | < ó de este punto, en el cual / (z) es 
analítica, mientras que ert el propio punto z ~ a no lo es. E l punto 
singular aislado z = u se denomina pola de la función / (z). si
lim / (z) — co
-* a
(se supone que / (z) es uniforme en un entorno del punto z = a, 
z a).
Para que el punto z — a sea polo de la función f (z) es necesario
y suficiente que dicho punto sea cero de la función q (z) j ~ , es
decir, que tp(a)--0.
Se llama orden del polo z — u de la función / (z) el orden del cero 
z = a de la [unción
7. Se llama residuo de la función / (z) en el punto singular aislado 
Z = a al número
res I (z )~ i /<*)«*»,
donde c es la circunferencia | z— «| — p de radio suficientemente pe­
queño.
S i el punto z — a es un polo de n — ésimo orden de la función ¡ (z), 
entonces
- u r h y . } ' " ) , J z ^ i I h i ­
para un polo simple (/n I) será
res/ ( ? ) - lim {(z— a)/ (a )}.
2 = a ¿ * a
Si i (z) -- . v además <p (u) * 0 y i|'fz) tiene un coro de primer
orden en el punto z---a, es decir. i| (u )^ 0 , i)-’ (o) ■/. 0. entonces
.•=« 4 l«>
8. Lema de Jordán. S i / (z) es continua en la región | z | -—• /?„, 
Im zL'; a (a es un número real fijo) y lim /(Z| — 0, entonces pura cuat-
' z -»«
quier \ > 0 será
lim f eiX‘ ¡(z )dz — 0.
‘/í
donde cg es el orco de la circunferencia | z j - R que pertenece a la re­
gión considerada.
9. La función / (x) se llama localmente saamble, si es sumable en 
cualquier conjunto acotado.
Supongamos que la .función compleja i| (/) de variable real I es 
localmente sumable, igual a cero para I < 0. y satisface a la condición 
|i| ( í )| < Mes°‘ para todas las I (M >0, s„ Tales funciones <p (/1
las llamaremos ¡unciones-objeto. E l número s„ se denomina índice de 
crecimiento de la función (j ¡í).
Llamaremos transformación de l.aplace de la función cp ( í) a la fun­
ción <l) (p) de variable compleja pt^s— ia. definida por la igualdad
12 O B S E R V A C I O N E S P R E L IM I N A R E S
<!*(/»)— \ e-P'i, (t) di.
Para cualquier objeto if( í ) . Iü función <T> (p) está definida en el 
semiplano Re p > s„ y es una función analítica en dicho semiplano. 
E l hecho de que <l> (p) es una transformación de Laplace de la función 
if ( t ) se escribirá asi:
<r(t) = «P(p).
10. Teorema de inversión. S i q ( I ) es ana ¡unción-objeto, y <t> (p) 
es su imagen, entonces
Y •*-» oí
<1(0 = ¿ 7 \ e>''<\<(p)dp. v> s „ . (*)
O B S E R V A C I O N E S PR E L IM IN A R E S 13
donde la integral se loma a lo largo de la recia Ue p — y, que es para­
lela al eje imaginario y se entiende en el sentido de valor principal:
y + i cc y + lio
\ ef'<i>(p)dp= lim f eP1 D (p) dp.
*■'. 0 ) -*• CX JY-ícc y — lia
La fórmula (*) se llama fórmula de inversión de la transformación 
de Laplace. Si
donde M (p) y IV (p) son polinomios en p, siendo el grado de M (p) 
menor que el de ,V (p), la función-objeto para <I> (p) será 
t
* (,) - £ , (^ ~ T )T
donde ak son los polos de *T» (p). nh sus órdenes, y la suma se toma 
por todos los polos de la función <1* (p).
Enel caso en que todos los polos « ¿ ( ¿ = 1 , 2........../) de la íun-
Vf (n)ción <1> (p) — -TV-,- sean simples, tendremos
' N(p)
. U (p ) . _ . v M a - = ( 0 
,\ I D - — N ’ ia„)
I I . Teorema del producto (teorema de la convoluclón). Supongamos
que las ¡unciones / (/) y <p (í| son ¡unciones-ob¡eto y sean 
H ‘ ) = F (P ).
<P(0 = 1»(P)-
Entonces
F (p) ' f (p) = \ i (T) f (í — T) dx.
T.a integral del segundo miembro de (5) se llama convoluclón de 
las funciones f ( t ) y i| (f) y se designa por el símbolo /(/)*<|>(0-
De esle modo, el producto de las imágenes es también una imagen, 
precisamente, la imagen de la convoluclón de las funciones-objeto:
E(p)-0> ( p ) » i ) (O-
12. Supongamos que la función ¡ (x) es absolutamente integrable 
en todo el eje — cc<x<-bce. La función
?(>-)“ 5 t(x)C'**dX 
se llama transformación de Fourier de la /unción I (x).
La fórmula de inversión de la transformación de Fourier llene 
la forma
+ *>
/ W ~ ¿ fj h l U - ‘K'd \ .
— ac
Para dar a las fórmulas de transformación directa e inversa de Fourier 
una mayor simetría, éstas se escriben con Irecuencia en la forma
- *
7,X)~ t W í i ™ ' 1'* **-
— ac
, w * t W í 7(X)í' ' ‘' di-
14 O B S E R V A C I O N E S P R ELI MI N A R E S
C A P I T U L O I 
E C U A C IO N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
§ 1. Conceptos fundam entales
La ecuación
X
q (x ) = / M + * $ * ( * . ( I )
a
donde / (x), K (x, 0 son (unciones conocidas. q (x) es una función 
incógnita y A. un parámetro numérico, se llama ecuación integral lineal
de Volterra de segunda especie. La función K (x. I) se denomina núcleo
de la ecuación de Volterra. Si / (x) i_ ü. la ecuación ( I) toma la forma
•C
q>(x)=A$/C<x, <)<l <t)dt (2)
a
y se llama ecuación homogénea de Vollerra de segunda especie.
La ecuación
X
 ̂K (x. i) <f (t) di — I (x), (3)
a
donde q (x) es la función incógnita, se llama ecuación integral de Vol­
terra de primera especie. Sin perder generalidad, se puede suponer que 
el limite inferior a es igual a cero, cosa que haremos en lo sucesivo.
Se llama solución de la ecuación integral ( I ) . (2) ó (3) a la función 
q (x) que. al ser sustituida en dicha ecuación, la transforma en una 
identidad (respecto a x).
E j e m p l o . Demostrar que la función <p (x) = T ’h es la solu-
(1 -j- x2) ’
ción de la ecuación integral de Volterra
x
*<'>*• (4)
u
R e s o l u c i ó n . Sustituyendo en el segundo miembro de (4) la
(unción -----— yr- . en lugar de if (.t), tendremos
( I -[-*») ■
' _ ( _ ! -----— x
T” ¿ I + **(•+<*) 1 '+ * I r * 1
/ i L_ i ________ i _ . i .
\ ( I +/-)■'•/|r=o l + Jt* ' ( I + * 3)v * 1 + -‘ ‘ ( I + *-)'■ * * '
De este modo, la sustitución de i f (x)— ------ — en ambos miembros
(l-¡-.t-) •*
de la ecuación (4) transforma a esta en una identidad respecto a x: 
I I
16 C A P I T U L O I. E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
( I -i-*3»’/’ < !+ **)4/*
Esto significa, según la definición, que «f (x) = ------ — es la solu-
(1-r*-) '
cióu de la ecuación integral (4).
Com probar que las funciones dadas son soluciones de 
las ecuaciones integrales correspondientes.
I . IP (.V) = y j ;
. . 3-r -+- 2jt3 ('3.r-F2x3 — I . . . . .
t = 3 ( i-.¡ ( I * W d l -
11
2. <p (a:) = e* (eos eA — ex sen e-v);
X
q, (x ) « (1 — xe-x) eos 1 — e¿x sen 1 -{- ̂ [ 1 — ( x — t) e2x] (p (/) d t.
o
X
3. <p (a ) = xex\ q> (a ) = sen x -'r 2 [ eos (x — t ) tp (0 d t .
d
X
4. ip (x )= .v — (x) = je — ̂ sh (x — t ) y ( t ) d t .
O
X
5. tp ( a -) — 1 — x; J e* ~ ' tp (/) d t — x.
o
6- tp (at) = 3; x3 — \ (x — /)=<p ( t ) d i.
§ I. C O N C E P T O S F U N D A M E N T A L E S 17
7- < p w = 4 ; ¡ ¡ j g L - d t - v x .
o
8. <f (x ) = — f -%===-dt = 1 .
n y x .) v a — <
o
O b s e r v a c i ó n . Las ecuaciones integrales de Volterra surgen 
en los problemas de la física, en los que existe un sentido de prefe­
rencia de la variable independiente (por ejemplo, el tiempo, la ener­
gía, etc.).
Consideremos un haz de rayos Roentgen que pasa por una sustancia 
en dirección del eje O X. Consideraremos que, ai dispersarse, el haz 
conserva dicha dirección. Tomemos el conjunto de rayos que tienen 
una longitud de onda dada. A) pasar por una capa de sustancia de 
un espesor dx, una parte de estos rayos se absorbe, y otra parte cambia 
su longitud de onda en virtud de la dispersión. Por otro lado, este 
conjunto se completa a cuenta de los rayos que, teniendo originalmente 
una energía mayor (es decir, teniendo una longitud de onda X menor), 
pierden parte de ésta por la dispersión. De este modo, si la función 
/(A. x) dA da el conjunto de rayos, cuya longitud de onda se halla 
comprendida en el intervalo desde X basta A-f-dA, entonces
u fa- a)
dx
r.
= — I‘/ (X, a ) + J P (X, r ) / (r, a ) dx.
donde p es el coeficiente de absorción, y P (X, x)dx, la probabilidad 
de que un haz de longitud de onda x adquiera, al pasar por una capa 
de espesor unidad, una longitud de onda comprendida entre X y A -j-dA.
Hemos obtenido una ecuación inlegrodiferencial. es decir, una ecua­
ción en la cual la función incógnita / (X, x) se encuentra bajo los 
signos de derivada e integral.
Haciendo
U9
f (A,. X) — $ e~px y (k. p) dp>
0
donde x|> (X, p) es una nueva función incógnita, se halla que i|! (X, p) 
satisface a la ecuación integral de Volterra de segunda especie
Á
♦ (*. T) í p )dx-
C A I ' l ' l l . l .O I. K C L A C '.K IN K S 1 N T E G K A l .E S D E V O L T E R R A
§ 2. Nexo en tre las ecuaciones d ife ren c ia le s 
lin ea le s y la s ecuaciones in teg ra le s 
de V o lte r ra
L a re s o lu c ió n d e la e c u a c ió n d ife r e n c ia l l in e a l
ii"u ti'1 ~ 1 IV
dF« ' • 4-"-, (-»)!/ -/• (•') ( l )
co n c o e f ic ie n te s c o n t in u o s u , ( A ) ( f . _ I , 2 . n ) , co n la s c o n d ic io n e s
in ic ia le s
5 <0.1- C„. y ' (0) C (0) C „ _ „ (2)
p u ed e ser re d u c id a a la re s o lu c ió n d e c ie r t a e c u a c ió n in te g ra l d e Vol- 
le r ra d e seg u n d a esp ec ie .
D e n io s lre n io s e s to en e l e je m p lo d e la e c u a c ió n d ife r e n c ia l d e 
seg u n d o o rd en
(1-1/ til!
lix- • ' lx )7 ¿ ' ae lx i y - H x ) , ( ! ')
y' (0) C ,. (2')
H a g a m o s
r l-y
d.ví 'I <*>’ <3)
D e a q u í , y te n ie n d o en c u e n ta la s c o n d ic io n e s in ic ia le s ( 2 ' ) , se h a l la
su c e s iv a m e n te :
j j j - - f l (Od/ + C,. y - j Ix — l ) H ( l ) ‘I ' -i- CiX-r C„. (4)
í) O
A q u i liem os a p lic a d o la fó rm u la
X A X X
J d x [ d x . \ f ( X ) d x -n ^ ( x — ? ) " - > i ( ? ) d z .
A o -Vn A '„ A 0
n
T e n ie n d o e n c u e n ta (3 ) y (4 ) , e s c r ib am o s la e c u a c ió n d ife re n c ia l (1 ) 
a s í:
X X
q>(*)+‘j a, (x)q>(t)(J/ + C,a, (x )+ ( a2 (x) (x— I ) <f (0 di + 
o o
+ C,xai (x) + Caa¡ (x) = F (x).
5 2 . N E X O E N T R E LAS E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S 19
o bien
x
K W + “ » ( * ) ( *— 0)<p(0<*< =
= F (x)— C,a, (x) — C,xo* (x) — C„o, (x). (5)
Haciendo
K (x, 0 = — |at (x) + a* (x) (x— 1)|. 
f (x) = F (x) — C,a, (x)— C,xas (x)— CoüjCx),
(6)
(7)
reducimos (5) a la forma
x
(8)
u
es decir, se llega a una ecuación integral de Volterra de segunda 
especie.
La existencia de una solución única de la ecuación (8) se sigue 
de la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy 
{ ! ') — (2'), para la ecuación diferencial lineal con coeficientes continuos 
en un entorno del punto x = 0.
Reciprocamente, resolviendo la ecuación integral (8) con K y l, 
determinadas mediante las fórmulas (6) y (7), y sustituyendo la ex­
presión obtenida para ip (x) cu la última de las ecuaciones (4), se 
obtiene la solución única de la ecuación ( ! ') . que satisface a las con­
diciones iniciales (2’).
E j e m p l o . Formar la ecuación integral que corresponde a laecuación diferencial
y’ + x¡/'+ !/~0 0)
y a las condiciones iniciales
íf(0) = l, y' (0) = 0. (2)
R e s o l u c i ó n . Hacemos
(3)
Entonces
:«> c.apiti'i.o i. ecuaciones in teo ra i í.s nr vo i.tth ra 
Sustituyendo (3) \ (1) .-II la ecuación d iie re iK i.il «taita. » i Halla
4 X
«I ( . v>^ jr«|•(/)</.' i \ (e— l ) t {l)dt \ 1 = 0.
ú o
o bien
.?
V (v) - - I - J (2* - 0 >f (/)«//.
1>
Form ar las ecuaciones integrales correspondientes a las 
.ecuaciones diferenciales siguientes con las condiciones in i­
ciales dadas:
9. i y O; ;/<<>) 0. //'(<>)- I.
10 . u ' — ii 0 ; y ( ll) 1 .
11. //' y cus.v: y ( ü ) //'(O) 0.
1 2 . (/' — 5//' ! C.y- 0; 1/ (0 )- 0 , y ' (0) 1.
13. y " | y eos.y; y (0 ) -0 , //'(O) 1.
14. y " — //’ sen.v i <•*//- a-: y ( 0 ) I . y ' ( 0 ) = — I.
15. y ” ( l- i x-) y eo sx ; y (0 ) — 0 . y ' (0 ) 2.
16 . i j ” xi/’ (a 4— .Y) y -xe* - I ;
í/(0) //' (0 ) - I. y ” (0) — 0.
17. i/” — 2.vy 0; y (0 ) - -i-. y ' (0 ) -- y ' «1) I .
1H. Dem ostrar que una ecuación d iferencia l lineal con 
coeficientes constantes y condiciones in ic ia le s cualesquiera 
se reduce a una ecuación in tegra l de V o lle r ra de segunda
especie, cuyo núcleo depende sólo de la d iferencia de los
argum entos (a — /) (ecuación in teg ra l con c ic lo cerrado 
o ecuación de convo lución).
§ 3. Reso lvente de la ecuación in tegra l de V o lte rra .
Resolución de una ecuación integral 
m ediante la resolvente
Supongamos que se (¡ene una ecuación integral de Volterra de 
segunda especie
X
>r M I (y)+ )„ \ K (x. o <»> (i 1 di. d i
O
donde K (x. I ) es una función continua para 0 < < < a , 0 < ( < > , 
y / (jr) es continua para 0< ,x < a .
Busquemos la solución de la ecuación integral (1) en forma de 
serie infinita de potencias de X:
Y <*) = <fo <x) + Xq, (x) -hX-if'-. (x) + . . . + X "y „ (x) + . (2)
Sustituyendo formalmente esta serie en (1). se obtiene
Yo M + *Y i <x) + - - - + X".r„ (x> + . . . =
X
= /(x) + X J K (x. / J lYotO + Xq). (<)+•• . + X " Y „ ( f ) + . . . ] d f . (3)
e
Comparando los coeficientes de iguales potencias de X. se halla:
Yo (x) ^ / (x),
Y, W = $ K (x. I ) Yo (0 di = j AT (x. I) i <0 df. (4)
0 0
X X i
< M x )= $ lf (r. /) <fi « )< « = J K {x . / ) J *<<• I , ) ¡ il,)d l,d t
a o ó
Las relaciones (4) permiten determinar sucesivamente las funciones 
Y„ (x) . Se puede demostrar, que bajo las hipótesis hechas con respecto 
a I (x) y K (x. I), la serie (2). obtenida de este modo, converge uni­
formemente respecto a a- y a X para cualquier X y r £ (0. <r|, y su
suma es la solución única de la ecuación (1).
Además, de (4) se deduce que
X
Y, (ar) = $ K ( x , O U D d l. (5)
11
X t
<Mx)= 5 A' (X. ' ) [ $ * < / . <i' =
0 0
X X X
= $ * (Xl 0 K ( l - l,)
0 1 , U
donde
X
K ,(x . f , )= $ K (x. I ) K { I . /,) dt. (7)
De forma análoga se establece que. en general.
t 3. R E S O L V E N T E . R E S O L U C I O N M E D I A N T E L A R E S O L V E N T E 21
Yn (x )= $ K „ (x . 0 / ( 0 * (n — 1 , 2 . . . . ) . (8)
C A P I T U L O I. E C U A C I O N E S I N T E O R A l .E S D E V O i . T E R R A
Las (unciones A „ (a. /) se llaman núcleos repelidos o Heredas. Estos, 
como no es difícil demostrar, se determinan mediante las fórmulas de 
recurrencia
A , (x. O A (a. t),
X
K „ * , (x . / ) = $ * < * . *)A„<?. 0«fc (n -• 1. 2. . . . ) . (9)
t
Aplicando (8) y (0), l,i igualdad (2) puede escribirse asi:
« ,r
<pW = / (i|- f ^ v J ¡ A , ( j t . t ) l ( t ) d t . ( 10)
V - 1 U
La función R (x, /; A) que se determina por la serie 
00
/ ? (* ./ ; X ) - £ r A „+, ( a. r). (11)
v=0
se llama resolvente (o núcleo resolvente) de la ecuación inlegral (I).
La serie (11) converge en (orina absoluta y uniforme, si el núcleo
A (a. t) es continuo.
Los núcleos iterados, asi como la resolvente, no dependen del 
limite inferior en la ecuación inlegral.
La resolvente R (a, t. i.) satisface a la siguiente ecuación funcio­
nal:
A
R ix . t: K) = K (x . ()-+\ { A (a. s) R (r. t: \) ds. (12)
u
Aplicando la resolvente, la solución de la ecuación integral ( I ) se 
escribe en la forma
X
<p<*) = /(*) + >.$ R ( a. /; (13)
o 
(véase 13). [7)).
E j e m p l o . Hallar la resolvente de la ecuación integral de Vol­
terra con núcleo A (a . / ) “ •■
R e s o l u c i ó n . Tenemos K , (a, t) = K (x , /) = I . Ahora, según 
las fórmulas (9),
S 3. R E S O L V E N T E . R E S O L U C I O N M E D I A N T E LA R E S O L V E N T E '.'ii
A i (a, ( ) — ^ K [x , z )K ,{z , r)./ í= ^ d z ^ x — t,
! i
X
K-Ax. t)-~\ l (T - l)r f2 = Ü ^ f .
/
* l ( , .
#cM(* . «» =5 „ * ■
( I
De este modo, en virtud de la definición, la resolvente será 
R (a, I: >.)- ¿ X " * „ ,., (a, í)=--V * " (« - < )" ^ „
rt = « rt = 0
H a l l a r las reso lventes de las ecuaciones in tegra les ue V o l­
terra con los núcleos siguientes:
19. K (x , 0 - x — í.
2 0 . K (a-. 0 - e*-».
2 1 . K {x . <)- e*'~
2 2 . K ( x , 0
1 + A3
H - 13 '
23. K (a. i ) ■
2 eos .i 
2 + eos í
24. K ( A, 1)
ch A 
ch /
25. K (A. l ) - ax_ ' (ti
Supongamos que el núcleo A' (x. t ) sea un polinomio de (n — I)- 
ésimo grado con respecto a I de modo que se pueda representar en la 
lorma
K (x . 0 = *o (*>+*, < x )(x-/ )+ . . .- ! ¡ r ~ ~ - ! ( x ~ 0 “ -‘. (14)
siendo los coeficientes ti* (a) continuos en |0, a|. Si se determina la
■>1 C A P IT U L O I . E C U A C IO N E S IN T E G R A L E S D E V O I .T E R R A 
función g(x. /; X) romo la solución de la ecuación diferencial
M S l - ] o . US)
que satisface a las condiciones
. ‘¡g\ _ d" ~ -g | , ,K>
entonces la resolvente R (a. í; X) se determinará por la igualdad
« < * . * : * ) ¿ Í S i y L i L . • U7)
Análogamente, en el caso en que
K ( x , i)=-l
la resolvente será
K (x . 4, ( I ) ( / - * ) + . . ■ (18)
* ( , . (l9)
donde g(x, I: X) es la solución de la ecuación
^ + * [ fco ( O ^ + . - . - l - é a - . Í O ^ - O , (20,
que satisface a las condiciones (16) (véase |3().
E j e m p l o . Hallar la resolvente de la ecuación integral
r
(p(x) = f'(x)-f £ (X — /)<p(í) di. 
u
R e s o l u c i ó n . En nuestro caso K [ x . l ) = x — I; l - l ; 0 = 2; 
por consiguiente, según (14). a, (x) — 1 . <i„(x)»-0.
En este caso, la ecuación (15) tiene la forma
d'g iá J ~ ~ B (x . t-, 1, - 0.
de donde
g < *. t ; 1 ) = g (x . l ) = C , U ) e * + C . ( l ) e - * .
Las condiciones (16) dan
I C , (/, n' -j-C« (/) e ' ’ = 0.
\ C 1 ( 0 c , - C I ( / ) e - , ~ 1.
Resolviendo el sistema (21), se halla
C ,(< )= -^e-'. C . ( -/ )--- ~ e ‘.
(2 1 )
4 3. R E S O L V E N T E . R ES O L U C IO N M E D IA N T E LA R E S O L V E N T E 25 
v, por consiguiente.
g(x. O 1" y (e*“ *— e-,x- '’) = sh (* — <)•
De acuerdo con la (17).
/ ? ( * . / ; 1) |sh (at — /)J " = sh (.v — /).
H a lla r las resolventes de las ecuaciones integrales con 
los siguientes núcleos ( X = 1):
26. K (x. O — 2 — (x — /).
27. K ( x . t) — 2 -i-3 ( * — /).
28. K ( x , I ) - - 2.v.
On L' I .. 2 . 8 (X í )29. A (A. t) - _ _ j + _ 5_ _ r .
30. Sea dada una ecuación integral de V o ltc rra cu yo núcleo 
dependa sólo de la diferencia de sus argumentos:
< f (x )- / (x ) $ * < * - / ) * < / ) < « I) . (22)
O
D em ostrar que para la ecuación (22) todos los núcleos re­
petidos y la resolvente dependen tam bién solamente de la 
diferencia x — l.
Supongamos que / (a ) y K (x) en la ecuación (22) son funciones- 
objelo. Apliquemos la transformación de I-aplace a ambos miembros 
de (22); utilizando el teorema sobre el producto (transformación de 
convolución), se llalla
'!>(/>) - F (p)-i-A' 0>) d> (p),
donde
i, ( * ) = <1> (p ).
H x) = F(p).
K (*) = A <p)
De aquí que
<t> (p ) . * ( p ) T I . (23)
I - A (p)
Aplicando los resultados del ejercicio 30, podemos escribir la solución 
de la ecuación integral (22) en la forma
V
<1 <*) = /<*) + J R (x — t ) f [ l )d i. (24)
0
dondeR (x— t) es la resolvente <le la ecuación integral (22).
C A P I T U L O I E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
Aplicando la transí* rinación tic [.aplace a ambos miembros de la 
ecuación <24». so halla
•i» </>: f u» i r i r ) /• (í>).
donde
R (.v) R (p).
De aquí que
<25)
Siisliluyendo en (25) la expresión para *1» Ip) lomada de la (23). se ob­
tiene
R (/.) - _ _ * W _ . (26)
I K UD
La [unción-objeto para R (/>) será la resolvente de la ecuación 
integral (22).
E j e m p l o . Hallar la resolvente de la ecuación integral de V o l­
terra con núcleo K (.<• O se ti (.v — í). ^
R e s o l u c i ó n . Tenemos que R lp) Según la igualdad (26)p - i
I
p- '-r I I
R ( P ) ? * = * ■
/>- I I
Por consiguiente, la resolvente buscada de la ecuación integral es 
R ( a-, (; I) x — t.
H a l l a r las reso lventes de las ecuac iones in teg ra les de 
V o lte rra con los núcleos (Á — I) : 
3 ! . K ( x , /) = s h (x — O .
32. K ( x ,
33. K ( x , Ó = e - s e n (x — /).
34. K (x , t ) * = c h (x — /).
35. K (.v, ( ) — 2 eos (x — ()•
E j e m p l o . Hallar, mediante la resolvente, la solución de la in­
tegral
•( (x) = e**-|- ex" - >| (/) di.
R e s o l u c i ó n . La resolvente del núcleo K (x. /) = «*’ -'* para 
X = I e s R (x .t ; I ) = e‘ ~ ' e*2~ '* (véase el *T« 21). Según la fórmula(13), 
la solución de la ecuación inlegral dada es
§ 3 . R E S O L V E N T E . RESO L U CIO N M E D I A N T E L A R E SO L VE N T E
<p (.() = ex‘ + ] ex-'e*'- "e '’dt - 
o
A p licando los resultados de los ejercicios anteriores, ha­
lla r las soluciones de las siguientes ecuaciones integrales 
m ediante las resolventes:
36. <p(A) ex J ex ~' q; ( l )dt .
n
X
0
x
39. <p(A) ex sen ,v -i \.} 2 - eos t
.‘ 2 -1- eos x
O
X
0
0
V 2 X
o
X
45. y ( x ) = e~x -r lx "s e n (x — t ) y ( t ) d t .
C A P I T U L O I. E C U A C IO N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
O b s e r v a c i ó n I. La existencia de una solución única de las 
ecuaciones de Volterra de segunda especie
X
< |'(* )-/ (x ) + A 5 K ( x , l ) i y U ) J t ( I)
ó
tiene lugar bajo hipótesis mucho más generales con respecto a la fun­
ción /(.v) y al núcleo K (x, I) que la continuidad de éstas.
T e o r e m a . La ecuación integrul de Valieren de segunda especie 
( i ) , cuyo núcleo K (x, 0 W cuyo función í (* j pertenecen a los espucios (S20) 
y ¿ ..(0.a ). respectivamente, tiene una. y sólo una, solución del espa­
cio 1 . (0, a).
Esta solución viene dada por la formula
<1 <*) = / (c)-l-A J R (x. f. A) / (i) d i. (2)
0
donde la resolvente R (x, t \ >.) se determina mediante la serie
<r-
R (x . I-, A )- 23 A'/C,f I (x. /), (3)
v=u
formada pnr los núcleos iterados y que converge casi en todas partes.
O b s e r v a c i ó n 2. En los problemas de la unicidad de la solu­
ción de una ecuación integral juega un papel esencial la clase de fun­
ciones en la' cual se busca la solución (la clase de funciones sumables, 
de cuadrado sumable. continuas, etc.).
Asi. si el núcleo K (x. I) de la ecuación de Volterra está acotado, 
cuando x varia en cierto intervalo finito (o. b). de manera que 
• K (x, O fcó . ' f . Al const. .v f |a. h). 
y el termino independiente / (x) es sumable en el intervalo (</, b) la 
ecuación de Volterra tiene una solución única sumable y (x) en el in ­
tervalo (a . b) para cualquier valor de A.
Sin embargo, si prescindimos de la condición de que la solución 
sea sumable. el teorema de unicidad deja do ser válido, en el sentido 
de que la ecuación puede tener, además de la solución sumable, solu­
ciones no sumables también.
P. S. Urison construyó ejemplos muy sutiles de ecuaciones inte­
grales (véanse más abajo los ejemplos I y 2) que poseen, conjuntamente 
con las sumables, soluciones no sumables. incluso en el vaso en que el 
núcleo K (x. /) y la función f u ) sean continuos.
Consideraremos, para simplificar, que / (x) 0. y estudiemos la
ecuación integral
<i (x) K (X, f)i| ( I ) di, ( I)
0
donde K (*s 0 es una función continua.
La íinica solución sumable de la ecuación ( I ) será cp (x) ™ 0. 
E j e m p l o I . Sea
s 3. R E S O L V E N T E . RESOLUCION M E D IA N T E LA RESOLVENTE L'O
í 4 — ite'- , 0 l l *se '■
#C(*. O — < , - J . (2)
V. xe ' ‘ s£ I «£ jr,
{ 0. t > x.
En el cuadrado Í2„{0<s.r, el núcleo K (x, I ) está acotado, pues­
to que 0< zK(x . ( ) < x « £ I. Es más, éste es continuo para 0 < ( « . 
La ecuación ( I ) tiene, en este caso, la solución sumable e v id e n te 
ip(*) = 0 y, en virtud de lo expuesto más arriba, dicha ecuación no 
tiene otras soluciones sumables.
Por otro lado, mediante una comprobación directa se ve nue la 
ecuación ( 1) tiene un conjunto infinito de soluciones no sumables en 
(0, I) del tipo
(C es una constante arbitraria, x 0).
En efecto, teniendo en cuenta la expresión (2) para el núcleo 
K (x, I), se halla
i- A
‘ -A-.
{ m x , t ) i f ( t ) d i.~ f / / ! £-<¡t
Jf o '
1 C
De este modo, obtenemos 
C
\ x £- di =Cx + Cx ln e*" =
(x ¿ 0).
Q
Esto significa, precisamente, que <f (x) = — es una solución (no su­
mable) de la ecuación (I).
E j e m p l o 2. Sea 0 ^ l ^ x < a { a > 0 es un número cualquiera, 
en particular, a = -¡-oo),
* < * • '> “ I ; * ¥ ? * • <3 >
La función K (x, t) es incluso holomorfa en lodas parles, a excep­
ción del punto (0, 0). Sin embargo, la ecuación ( I) con el núcleo (3)
C A P IT U L O I E C U A C IO N E S IN T E G R A L E S D E V O L T E R R A 
admite soluciones no sumaVdis. En electo, la ecuación
2 (• xl- , 2 arete x*
♦ (-') 7T.\ x* !*♦<' )~ 7T —x‘— (4)
0
tiene una solución siunabli*. puesto i|ik* la función
,<x, y - y y
es acolada y continua en todas parles, a excepción del punto x — 0. 
La función
/ 0. x -- 0.
¡ t „ ) T i v , 0. (5)
donde ip (.<) es la solución de la ecuación ( i), será una solución ya nu
sumable de la ecuación I I ) con núcleo |3).
.En efecto, para x 0 limemos que
ü K ' » i l '> * - .; í / ¡ - i ? -i i'» d< i ~ j V r r * • <6 )
En virtud de la ecuación (1), el primer sumando del segundo 
miembro de (ti) es
2 arete x-
El segundo sumando da
V l = x
2 f X (II 2 1 , I \
T .\ .f*T »4 ~ P a,c" {O
De este modo,
x
H K (X . /) <1 (0 di - * (x) -|- 2 I ¿ arctg 2 {x) J , , W i
O
lo cual significa, precisamente, que la función (| <x), determinada me­
díanle la igualdad (ó), es una solución no sumable de la ecuación ( I) 
con núcleo (3).
E j e m p l o 3. La ecuación
i) \x)= ̂ l ‘ -' <t(f)d( (Q«üx, < -a. I )
tiene una, y sólo una solución continua <p(j*)üaO. Mediante la susti­
tución directa se comprueba, que esta ecuación tiene, además, un 
conjunto infinito de soluciones discontinuas de la forma
<p (x) = Cxx~ >, 
donde C es una constante arbitraria.
§ 4 . M é to d o de las ap ro x im ac io n es sucesivas
Supongamos que se tiene una ecuación integral de Volterra de 
segunda especie
x
<p( * ) = / ( * ) 4 A. $ * < • « . t ) < p ( t ) d t . ( I )
o
Supondremos que f (x) es continua en |0, n|, y que el núcleo K (x, I) 
es continuo para 0 st; .v «S a, 0 I s í x.
Tomemos cierta función <f» (ar), continua en [0, a]. Sustituyendo 
en el segundo miembro de la ecuación ( 1 ) la función <p0 (*) en lugar 
de <p(x) se obtiene
X
<f v (•'") = / (* ) + >■ ̂ K (■<-. 0 i|„ (/) di.
La función cp, (x) definida de este modo es también continua en el 
segmento (0, u|. Continuando este proceso se obtiene la sucesión de 
funciones
fo (*)• f i (* ) ...........<p„ (x).........
donde
X
<!>„ (*) - f (X) + X { K (X. I ) <p„ _ , (0 di.
O
Según las hipótesis hechas con respecto a / (x) y a K (x. I) . la sucesión 
{rp„ (x )} converge para n —> oo hacia la solución •, (x) de la ecuación 
integral ( 1 ) (véase (ti|).
S i. en particular, se toma I (x) en calidad de <(0 (-*•). entonces 
q>„ (* ) serán, precisamente, las sumas parciales de la serie (2) del § 3 
que determina la solución de la ecuación integral (1). Una elecciónacertada de la aproximación "nula" <p0 (■*) puede conducir a una con­
vergencia rápida de la sucesión hacia la solución de la ecuación
integral.
E j e m p l o . Resolver la ecuación integral
X
ip (X) =-~ H - $ <f> </) di,
O
p o r e l m é to d o d e la s ap ro x im ar- io n es s u c e s iv a s , to m a n d o fpp f-r) — 0 .
§ 4 . M E T O D O D E L A S A P R O X I M A C I O N E S S U C E S I V A S T|
C A P I T U L O I. E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
R e s o 11 c i ó n. Como <p„ (x) = 0, cotonees'<p, (x) = l .
Luego
X
<f. (A)s-* I -1- ̂ I '(¡i — I -|-X,
4»
.V
«TaM- 1 -i-^ 0 + 0 ^ .
X
9 . (a) \ + \ ^ l + f + - y ) í H = l + jr
«I
Es evidente que
■,- ¡T + 5r + " - + ( í r T j ! -
De esta manera. (f-„ (x) es la /i-ésima suma parcial de la serie
co n
— cx. De aquí se deduce que <fw(x) —* >'x. No es difícil com- nf. n -
flBtl
probar que la función (f (x)-~rx es la solución de la ecuación Integral 
dada.
Reso lver por el método de las aprox im aciones sucesivas 
las siguientes ecuaciones integrales:
46. <p ( a ) — .v —
47. <f (a ) = 1 -
48. cp (a ) = i !
(x — t ) f f ( t ) d t , t , ( í ) s 0 . 
(a — /)< p(0d f, (f0 ( i ) s O .
( x - t )q > ( t )d t , ero (a ) 1 .
X
49. <p(x) = x 1 — f <p ( l ) d t ,
a ) cp„(x) 1 , b ) <p„(.v)=.v | 1 .
X
50. <f ( A ) = £ + .v - j '< p (0 d / ,
a ) <r„ (a ) - 1 . b ) q„ (a ) = a . c ) <f0 (x ) - £ + -v.
X
51. «p (x ) = 1 -j- a ! - J(AT — /)<p(/)d/. «p0 ( x ) = l .
I»
X
52. q> (jc) = 2.v-»- 2 — 5< p(/ )d í, 
a ) « P o ( * ) = l . b ) (p0 ( a ) = 2 .
X
53. <f(x) = 2x* i 2 — § x ip ( ( )d / ,
O
a ) «Po (-'•) = 2- b) *Po ( * ) = 2a.
X
54. «p0 ( * )= * * .
55. Supongam os que K (x , /) sa tisface a la cond ición
17 X
5 ̂ K - (x , t) d i dx < -i- oo.
«1 0
D em ostrar que la ecuación
X
ip (x ) — X ^ K (a , t ) < f ( t )d t = 0
tiene la so lución ú n ica <p(jt)ssO para cu a lq u ie r ?. en la 
clase L.. (0, tí).
E l método de las aproximaciones sucesivas puede ser aplicado 
también a la resolución de las ecuaciones integrales no lineales de 
Volterra de la forma
X
* ( * ) - * » J P |/ . y(t)\d t (2)
O
o más generales
X
cp (A) = / (A) + J F (A. I, <( (0 ) di (3)
IJ
para hipótesis nuiy amplias con respecto a las funciones F (x, t, z) 
y f ( x) . E l problema de la resolución de la ecuación diferencial
(tu— = F(X, y)t y\x=0^yo
3-18
5 4 . M E T O D O D E L A S A P R O X I M A C I O N E S S U C E S I V A S 3 3
3 4 C A P ITU L O I. E C U A C IO N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
se reduce a una ecuación del lipo (2). Al igual que en d caso ele las 
ecuaciones integrales lineales, buscaremos la solución de la ecuación (3) 
como el lim ite de la sucesión jip,, (x)J. donde. por ejemplo. q„ (x) . /(x). 
y los elementos siguientes <f k (.<•) se calculan sucesivamente por la 
fórmula
T . W - / U H Jí'Ia- . I. <rk_ , ( t ) )d i (k I. 2. (4)
Si / (x) y F (x. I. z) son de cuadrado sumable y satisfacen a las con­
diciones
donde las [unciones a (.». /) y n (x) son lales que en la reglón Innda- 
mental (0 i x -- «)
entonces la ecuación integral no lineal de Volterra de segunda especie (3 ) 
tiene una solución única <p (a )£ L : (H. u). la cual se define com o e l 
I í ni i te de fj ,| ( v ) . cuando n — - <x.
donde las funciones q „ (x) se hallan por las fórmulas de recurrencia (4). 
Como q „ (x) se puede tomar cualquier función de /-.(O, a) (en particu­
lar. una función continua) que cumpla la condición (6). Señalemos que 
una elección acerlada de la aproximación nula puede facilitar la reso­
lución de la ecuación integral.
E j e m p l o . Resolver la ecuación integral
X
| í'(x . I . z..) — F lx . I. r , ) | ’ -‘i (v. l ) f z_. — z, |,
n- (.v) dx .V4. Jj dx \ a- (x, I ) di -r._ A4. (7)
l( (A) - lili) (| „ (A),
A
por el método de las aproximaciones sucesivas, tomando como apro­
ximación nula: I) qo( r ) = 0; 2) q„(x) = x.
«Pl
dt - arclg jr-j-A- arctg1 x-f.
R e s o l u c i ó n . 1) Sea <p„ (x) = 0. Entonces
X
W “ Í T T P “ “ n l * Xt
X
<Pi (*) = ̂ 1 "l'|a^ 7T~i dl = arc,e * + -5- nrctg3 X ,
f 1 + farctK ( -I- A arctR’ í V 
?,(*)-= J - qrT^ " “ ‘ * T 3
u
’2 I
+ 5 7 5 a r c , B 6 * H f ^ § a r t í l B , - « .
X
<f4 <*) = \ 1 i ' ^ i 0 di = arete * + -i- arclfí3 -* + 3 3 arclg1 x +
+ 5 J h arct,i7 x ' ^ a rc lB ,x + <r T T ^ 25 arclKl l* +
-|-3 - S - tV i3 arcltiUx-: ? r ¿ T 5 «'•«■• *••••
Designando arclg x u y comparando las expresiones de <j>„ (xj con el 
desarrollo
iB « ^ ¿ i r - •,
v= 1
l“ K f
donde B , son los números de Rernoulli •), se advierte que 
<f„ <x) —* tg (arctg x) x.
n -• «
No es difícil comprobar que la función q.(x )= x es la solución de la 
ecuación integral dada.
« i . M E T O D O DE LAS A P R O X I M A C I O N E S SUCESIVAS 3 5
*) l os números de Beruoulli B , „ , , con Índices impares son iguales 
a cero, 11 excepción de B, = — y . E l número fl„ = l; los números B¡, 
se dclenninan por las fórmulas de recurrencia
3 0 C A P I T U L O I. E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O I .T E R R A
2) Sea ifo ( * ) — * . En to n ces
r i + 1*
<r' w “ j T T / * rf/ - x-
D e form a an á log a se h a l la q u e >|„ (.v> v (; i — 2 , 3 . . . A.
D e este m odo , la sucesión {■ ( , , (* ' } es la sucesión e s ta c io n a r ia {x\, 
c u y o l im ite es q (a ) -a-. I .a so lu c ión d e la ecu ac ió n in teg ra l d ad a se 
o b tien e de in m ed ia to :
■I (■') a .
56. Reso lver la ecuación integral
o
por el método de las aproxim aciones sucesivas. 
57. Ha l l a r , por el método de las aproxim aciones suce­
s ivas , la segunda aproxim ación q., ( a ) de la solución de la 
ecuación integral
*
(P ( x ) ^ i 4 \ [*j■■*(/) + t<¡ ( n -4 r-\dt.
58. H a lla r , por e l método de las aproxim aciones sucesi­
vas. la tercera aproxim ación <j’;, ( a ) de la solución de la 
ecuación integral
<f ( V ) - J [/«,■*( 0 - l | < « .
§ 5. Ecuaciones de convolución
Sean q>, ( * ) y tf. (a ) dos funciones continuas, defin idas para A 0. 
Se llama convolución de estas ¡unciones a la función <|3 (a ), que se 
define por la igualdad
<ra (*>•- 5 «Pi <ar — /)■(>»(/) d/. (I)
Esta función, definida paraje S i 0, será también continua. S ii|, (A ). <(3 (a )
son funciones-objeto para la transformación de Lap lace , entonces
= r r JF fa . (2)
es decir, la imagen de una convolución es igual al producto de las 
imágenes de las funciones que entran en convolución (teorema del 
producto).
Consideremos la ecuación integral de Volterra de segunda especie 
<f (*) = /< * ) + $ K < * ' O t i ‘ ) (3)
O
cuyo núcleo depende sólo de la diferencia x — I. A la ecuación (3) la 
llamaremos ecuación integral de convolución.
Sean / ( a ) y K ( a ) funciones derivables un número suficiente de 
veces, que para x —- co crecen en forma no más rápida que la función 
exponencial, de modo que
| / (x ) | « A V - V * . | K ( a ) | « C M ,e - V C (4)
Aplicando el método de las aproximaciones sucesivas se puede demos­
trar que en este caso la función <| (a ) también satisfará a una acota­
ción del tipo (4):
| q (a ) | <
En consecuencia, se puede hallar la imagen según Laplace de las 
funciones f ( x) . K ( a ) y <f ( a ) (la cual estará definida en el semiplano
Re p — s > máx (*,. s2. s3)).
Sean
/ ( a ) = F ( / j ) . q ( a ) — ’ <!> (p). K ( a ) = K ( p ) .
Aplicando la transformación de Laplace a ambos miembros de la 
ecuación (3) y utilizando el teorema del producto, se halla que
![i(p ) — ft/ il- r K (;>) <1> (/>). (5)
De aqui que
d ' ( p l - ( K t p ) F l ) .
I — K (p)
La función-objeto <| ( a ) para 0> (p) será la solución de la ecuación 
integral (3) (véase 1111).
E j e m p I o. Resolver la ecuación integral
i| ( a ) -sen a - ¡- 2 J eos ( a — /) ■( ( í) di.
o
R e s o l u c i ó n . Es sabido que 
I
5 5 . E C U A C I O N E S D E C O N V O L UC I O N
sen a ■—r . eos x =- — —r- .’ P ¡ -i'l P3-f-l
Sea (l ( a ) < l > ( p ) . Aplicando la transformación de Laplace a ambos
miembros de la ecuación y teniendo en cuenta además el teorema del
38 C A P IT U L O I . E C U A C IO N E S IN T E G R A L E S D E V O L T E R R A 
producto (de la imagen de una convolución) se obtiene
De aquí que
«J> (p ) [ I - -^ -r 
I p- -I- I
o bien
Por lo tanto, la solución de la ecuación integral dada es
q (a) — xex.
R e so lv e r las s ig u ien tes e cuac iones in teg ra les :
l
59. <p (a ) = ex — J ex~t cp ( t ) d ¿ .
o
X
60. q> ( a ) = a*— e-'- '<p (/) d/.
o
V
6 ! . q,(A) = e2' | $ e '~ x q. ( í ) d t.
0
X
62. <p(x) = x — ^ ( a —
0
x
63. cp (x ) = eos a- — ^ (x — t) eos ( a - — /) <p (/) d t .
o
x
64. cp ( x ) = 1 + x +
0
x
65. ip (x ) = x-\- j sen(A' — ()<p ( t )d t .
X
66 . cp (x ) = sen * + $ (.v — t)<f ( t ) d t.
0
X
67. (p (x ) = x — J s h ( A : — t ) * $ (t )d t .
5 5 . E C U A C I O N E S D E C O N V O L U C I O N 39
68 . <p (x ) = 1 — 2x — 4x2+ j [ 3 + 6 ( . v — 0 — 4 (x — t ? ] tp ( i )d l .
0
X
69. tp (.v) sh .v — $ cli (.v — /) tp (/) d i.
ü
70. <( (x) ---= 1 |-2 J eos (a : — t)< p (t)d t.
O
X
71. «p (.v) -• e* ! 2 J eos (x — I ) <p </) d t .
0
72. ip(.v) - eos . v i It f . ( í ) d t .
La transformación de Laplace puede ser aplicada a la resolución 
de sistemas de ecuaciones integrales de VolIerra del tipo
s <
<l>, (a) /, (.v) + 2 \ K/j (.v - I ) <(, (0 di (/ — 1 .2 .........s). (6)
í= i o
donde K ¡ ¡ ( x ) y /, (a) son funciones continuas conocidas que poseen 
imagen según Laplace.
Aplicando la transformación de Laplace a ambos miembros de (6) 
se obtiene
d\ (/>> - fp) I 2 * '7 (p) a>/
I — l
(i = l. 2-----s). (7)
Este es un sistema de ecuaciones algebraicas lineales con respecto a 
<J)y (p ). Resolviéndolo se hallan (!>, (/»). cuyas funciones-objeto serán, 
precisamente, la solución del sistema inicial de ecuaciones integrales (6).
E j e m p l o . Resolver el sistema de ecuaciones integrales 
v x
c p , ( v ) - 1 — 2 $ « * * * - » ! <h ( / ) d i - i- $ ■ (.. ( 0 d/.
4 * - $ q ,(/)<*/-j-4 $ ( * - i ) ip a (/)d/.
(8)
40 C A P I T U L O I. E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
R e s o l u c i ó n . Pasando a las imágenes y aplicando el teorema 
sobre la imagen de una eonvolueii'm se oblicué
j (P). + Mp),
\ •!>* </»> = , 7 T - y (pi i ~ r (rt-
Resolviendo el sistema obtenido con respecto a <I>i (p) y a <I'c (/>), se 
llalla que
H*, (p >- 
3p - 2
< P P | l ( P ; 1 )'J ' 
8 1 1 1
( p - 2 ) ( P f- l)3 9 P — 2 3 (,. ¡ I )2 <) p | l ‘
Las (unciones-objeto para >!', (p) y *Jv, (p) son iguales respectivamente a
ip, (a ) e~* — .te- * ,
V i (*) = + - j are--v- — c'-v.
Las [unciones <pi (a). rp.> (a ) son la solución del sistema inicial de ecua­
ciones integrales (8).
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones-integrales:
cp, < x ) — s e n a- f J q j., ( / ) d t , 
o
X
V i (* ) = 1 — eos -V— 5 *F 1 (0 d t ■
0
AT
V i ( * ) = «2v + $ V i ( ‘ ) d t-
O
X
V i (■*) = 1 — $e2(v-' ’ V i (0 á / .
73.
74.
75 .
7 6 .
7 7 .
7 8 .
79 .
5 5 . E C U A C I O N E S D E C O N V O L U C I O S 
x x
< f iW = c ‘ + $ <Pi ( t ) d t — $ ( 0 d t ,
O o
x x
<P. ( * ) = — X — $ ( * — 0 « P i ( 0 d t - f $ c p . ( t ) d t .
O o
cp, ( x ) = ex — $ < p , ( / ) d i + 4 5 ex ~ ' <pt ( i ) d t , 
o o
X X
« M * ) = l - $ e l - * < p l ( t ) d t + $ < p t ( t ) d t . 
o o
x
c p , ( x ) — x - h § c p . ( t ) d t ,
O 
x
Vz ( * ) = ! — 5 q> i(í)d< t
O
<p3 (.V) = sen x -(- -i- J ( * — O <Ti ( O
O
<Pi ( * ) = 1 — $ q>4 ( / ) < / / .
O
X
<p2 ( * ) = COS AT— l -f- $ <pa (7) d t ,
O
X
<p3 ( * ) = eos .* + $ cp, (O dt .
O
x
c p , ( a t ) = x + 1 + $ cp 3 ( i ) d t ,
O
x
<Pi ( * ) = — X + 5 ( x — t ) < p , ( t ) d i ,
O
x
V a ( x ) = <-’OS .V — f — J cp, ( t ) d t .
C A P I T U L O I E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
§ 6 . R eso lu c ión de las ecuaciones 
in teg rod ife rencia les m ed ian te la transfo rm ac ión 
de Ln p lace
Se llama t‘('tiiu'i<trt in h ’grod ifeien cin l lineal a la venación del tipo 
„ „ (.»') <| " ,l (•'•) i « , í.-vj < | ' 11 (a) . .. i - ( . v ) .( (.v)
-I V \ k , „ ¡x . 0 ' l ‘“ MOd< -/(■*). 0 )
", ■- <> (•,
Aquí « „ ( * ) . . . ,u „(.r), / (.v). K ,„ ( a . ! ) ("< 0 , I .........s) son funciones
conocidas, y ‘| (-V) es la función incógnita.
Al resolver las ecuaciones integrodiferenciales ( I I . a diferencia del 
caso de las ecuaciones integrales, para la función incógnita <( (.v) se 
plantean condiciones iniciales del tipo
<1 (0) -I|„. 1| ' (0) .....<1 ' “ -o (0) (2)
Supongamos que en ( I ) los coeficientes nk (.«) consl ( f e 0 . ..I .........it),
y que K ,„{x . 0 K ,„ (a- -1) (m 0 . 1 ......... s). es decir, que todas las
K m dependen sólo de la diferencia .c— t de los argumentos. S in de­
trimento de la generalidad, se puede considerar que n„ — I. Entonces 
la ecuación ( I ) toma la forma
<p‘" ‘ (jr) r m,<| ( j r ) + . . . i a„<p(v) |-
s ,í
+ £ \ K m(.X - f ) q ‘“ »( f )df^/( .v) (<i , a „ consl). (t)
™ = u U
Supongamos, además, que las funciones ¡ (a ) y /<„, (a ) son funciones- 
objeto y que
/ (x) .-2 F ( p ) , K m ( X ) y A R m (p) (m 0. I s).
Entonces la función <f ( a ) tendrá también su imagen según Laplace 
<f <x) = <1> (/>)-
Apliquemos a ambos miembros de (3) la transformación de i.aplace.
En virtud del teorema sobre la imagen de la derivada,
<p«> (A) ==• p>*> © (p )- p ‘ - 1 f o - p " - — . . . — MÍ.* ■' (4)
(fe —0, I ......... n).
Según el teorema del producto,
X
$ K m ( x - 1 ) <p<™> ( t ) d t = R a (p ) Ip ” <t> (p ) - p "- - q ‘ 1 ’ J (5 )
o
(m = 0, 1 , — , s).
5 S . R E S O L U C IO N M E D IA N T E T R A N S F O R M A C IO N D E L A P L A C E 43 
Por esto, la ecuación (3) se transforma en la siguiente:
<I>(P) |pn + a iP n _ , + • • • + « „ + 2 K ( p ) P m = <4 (p ) , (6)L m=0 J
donde A (p) es una función conocida de p.
De la igualdad (6) se halla «1> (p) que es la solución operacional 
del problema (3) — (2 ) . Hallando la (unción-objeto para <1* (p), se o b ­
tiene la solución <p( * ) de la ecuación integrodiferencial (3 ) , qu e s a t is ­
face a las condiciones iniciales (2).
E j e m p l o . Resolver la ecuación integrodiferencial
X X
<p” (* ) + <f'(x) + ^ V)d<— J (-*— (7)
0 o
V (0) = <p' (0) = 0. (8)
R e s o l u c i ó n . Sea <|> (x) = D (p). En virtud de (8), 
if ' (x) =: p<D (p).
<p" <*) .= ' P - 'l ' <P>-
Por esto, luego de aplicar la transformación de Laplace, la ecuación 
(7) toma la forma
P-<J> (P ) + «!> (P ) = (9)
o bien
De (10) se llalla que
Por consecuencia, la solución <p(x) de la ecuación integrodiferencial (7),
que satisface a las condiciones iniciales (8). se determina por la
igualdad
t¡ ( i ) — xex— ex + 1 .
R e so lv e r las s igu ien tes ecuaciones in tegrod iferencia les :
80. < p ' ( x ) + $ e a '*-'*<p' (0 < «= e** ; <p(0 ) = 0 , <p'(0 ) = l .
0
X X
8 ! . <p' (x ) — cp (x) + $ (x — f ) <p' ( 0 d i — $ <p (0 d t = x;
o o
cp (0 ) = — 1.
x
8 2 . cp " ( A ) - 2 < f ' ( A ) j q> ( ,V ) 2 i ' e o s (A - 0 rp " ( 0 d t +
u
A'
4 2 Jj s e n (a- — t ) < p ' ( t ) d t — e o s .v ; cp ( 0 ) = c p ' ( 0 ) = 0 . 
1)
8 3 . cp " ( x ) - 2 c p ' (a -) - f cp ( x ) - j ( x — t ) ( / ) d / -
O
x
— 2 $ s e n ( .v — t ) cp ' ( / ) d / = e o s x ; cp ( 0 ) = cp.' ( 0 ) = 0 . 
Ó
8 4 . cp ” ( a ) + cp (a -) - ¡ - j s h (x — t ) cp ( / ) d i + -
O
X
+ ^ c h ( .v — i ) c p ' ( t ) d t = c h .y ; cp ( 0 ) — c p ' ( 0 ) = 0 .
O
X
8 5 . cp " (a -) + cp (a -) - i - ^ s h ( * — O <P ( O d t i -
X
- f - J c h ( x — / ) c p ' ( l ) d t =■. c h .y ; cp ( 0 ) - - --------1 , c p ' ( 0 ) = 1 .
u
§ 7. E cu ac io n es in teg ra les de V o lte r ra con lím ite s ( j r , + o o )
Las ecuaciones integrales del tipo
rr>
cp(x) = / (x )+ \¡ K ( x - t ) y ( t ) d t . ( I )
X
que surgen en varios problemas de la física, pueden ser resuellas tam­
bién mediante la transformación de l.aplace. Para esto, establezcamos
el te o rem a de la convolución para las expresiones
CO ̂K ( x — l)< P (D d t. (2)
X
Es conocido que para la transformación de Fouricr
4 4 C A P I T U L O 1. E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
donde 0 (X). V (X) son las transformaciones de Fourier de las funciones 
g(x) y ’F (x), respectivamente.
Hagamos g(x) = K _ (x). « decir.
Entonces (3) toma la forma
¿ f 1 5 K < * - ' ) * « o A t } = y ' * - < % * + <*>$•
$ T . E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S C O N L I M I T E S (x. -too) 4 5
<61
(aquí y en lo sucesivo, los Índices J o J f indican que se toma la 
imagen de la función según Fourier o Laplace. respectivamente).
Para pasar de la transformación de Fourier a la de Laplace. 
obsérvese que
F X M ^ 2 n ■ <6)
Por consiguiente, de (5) y (G) se halla que
x | jj K ( x - t ) y ( t ) d t | = [a :_ (<»].g.(®+ (p))x . (7)
Expresemos ahora [}^ 2 ñ /C_ (‘P ) ]^ mediante la transformación de 
Laplace:
0 CE
[ V 5 R * _ ( i » ] s = $ K ( X ) e - ^ d x = ^ K ( - x ) t P * d x .
~ «e 6
Haciendo K (— x) = X (x), se obtiene
CE
[ K 2ñ ( , » ] ^ p) = $ K ( - x)e” * dx.
De este modo.
J e \ 0 <P<0 <« | * = & x {~P)<t >x {p) . (8)
Volvamos a la ecuación integral ( I ) . Aplicando la transformación 
de Laplace a ambos miembros de ( I ) , se obtiene
0 > ( p ) - f (p) + P r ( - p ) ® ( p ) (9)
45 C A P IT U L O I. nC U A C lO N T .S IN T E G R A L E S D E V O L T E R R A 
(el índice X se ha omitido), o bien
donde
La función
0> (p ) = ... .± ¿1 1 --- U ' ( - p ) r f 1 ). (10 )
I — Si’l —p)
Sí’ l - p ) ^ K l — x)er*dx. ( I I )
V4 «OS
í r i f e s ! » * m
y — ico
es una solución particular de la ecuación integral ( I) . Obsérvese que 
para que la solución (9) ó (12) tenga sentido es necesario que las 
regiones en que X (— p) y F (p) son analíticas, tengan puntos comunes 
(véase (8|).
E j e m p l o . Resolver la ecuación integral
<(<(*) = * | jje* «-*>., (0 di. (13)
-V
R e s o l u c i ó n . En el caso dado / ( a ) = *, K ( x )-e-x. Por esto
F (P) r-- ̂ ^ t~'iX *PS dx ’ 2 ^ 7 ■ Re P < 2‘
De este modo, obtenemos la siguiente ecuación operacional: 
de forma que
De aquí se obtiene
v i ®
* w = 5¿ J (0 < v < 2). (15)
Y-I»
La integral (15) puede ser calculada por la fórmula integral de Cauchy. 
La función subintegral tiene un polo doble p — 0 y uno simple, p = l . 
el cual aparece para y > *• es' ° ligado con la inclusión o no en
la solución de la ecuación (13) de las soluciones de la ecuación homo-
* 8. E C U A C IO N E S D E V O L T E R R A D E P R I M E R A E S P E C IE 47 
génea correspondiente
q, (x) = ^ it ( t )d l.
X
Hallemos los residuos de la función subintegral en sus polos:
res (■ = 2 x + 1, res ( ,P ~ '2, l O 'A = — e*.P=n \p - (p— I) 1 P =i \P ¡ (/>- I I 1
Por lo tanto, la solución de la ecuación integral (13) es <p(x)a> 
= 2x + 1 -hCex (C es una constante arbitraria).
Resolver las ecuaciones integrales:
cc
86. tp (x) = e~x + J tp ( t ) dt.
X
*
8 7 . t p ( * ) = e ~ * ( ^ ex~l tp {l)d t.
X
8 8 . tp ( x ) = eos x-\- ̂e*~’ tp (t)d t.
X
CC
8 9 . tp ( x ) = 1 - i- ̂e«'* - '‘tp ( l ) dt (cc > 0).
X
§ 8. E cu ac io n es in tegra les de V o lte rra 
de prim era especie
Sea dada una ecuación integral de Volterra de primera especie
X
$ K (x , />cp</)d/ = f (* ) . / (0) -= 0, ( I )
o
donde tp(x) es la función incógnita.
Supongamos que K (x. I), • I (x) V / '(a ) son continuas
para 0 0 s ; í s ; í . Derivando ambos miembros de ( I ) respecto
a x, se obtiene
X
K (x, x) tp (x) + J d K {*x l) <f(t)dt = f (x). (2)
0
4 8 C A P I T U I .O I. H C U A C I O N E S I N T C O K A I . K S l>i: V O L T E R R A
Cualquier solución q (je), continua para 0 < t - S i i de la ecuación ( I ) 
satisface también, evidentemente, a la ecuación (2). Reciprocamente, 
cualquier solución continua para 0 < x a de la ecuación (2) satisface 
asimismo a la ecuación ( I).
Si K (a. x) no se* anula en ningún punto del intervalo fundamen­
tal (0. «J. la ecuación <2) puede escribirse asi;
•'<'> jS S W - Í $ £ # * < « * •u
es decir, esta se reduce a una ecuación integral «le Volterra de segunda 
especie, que ya fue considerada más arriba (véase |9|).
Si K (x. x) 0. «i veces resulta útil derivar nuevamente la ecua­
ción (2) con respecto a x. etc.
O b s e r v a c i ó n . Si K. <*. x> se anula en cierto punto |0. ,¡\t 
por ejemplo, en el punto v 0. la ecuación (3) adquiere propiedades 
peculiares, completamente diferentes de las ecuaciones de segunda 
especie. (Tales ecuaciones fueron llamadas por Picard ecuaciones de 
tercera especie.) Aqui surgen complicaciones semejantes a las que sue­
len tener lugar cuando el coeficiente de la derivada de mayor grado 
se anula en una ecuación diferencial lineal.
E j e m p l o . Resolver la ecuación integral
*
$ eos (* — O 'l (O l í '- A . H )
O
R e s o l u c i ó n . Las funciones I (x) x, K (x. f) — coste— I) 
satisfacen a las condiciones de continuidad y derivabilidad formuladas 
más arriba.
Derivando ambos miembros de ( I ) con respecto a x. se obtiene
X
<f> (a ) eos 0 — ̂ sen (a — I) if ( t ) di I *>0
o bien
X
? W = I t J sen(* — /)<p (/)<*/. (5)
o
La ecuación (5) es una ecuación integral de segunda especie de tipo 
convolución.
Aplicando la transformación de Laplace se halla su solución:
5 9 . I N T E Q R A L E S D E E U L E R 4 9
de donde
x*La función cp (je) = 1 H— será la solución de la ecuación (5) y , por lo
tanto, también de la ecuación (4). lo cual puede comprobarse con 
facilidad por sustitución directa.
Resolver las siguientes ecuaciones integrales de primera 
especie, reduciéndolas previamente a ecuaciones integrales 
de segunda especie:
Se llama función Gamma, o integral de Euler de segunda especie 
a la función I’ (x), que se define por la igualdad
donde x es un número complejo arbitrario. Re x > 0. Para at=¿ 1 se 
obtiene
X
O
*
0
X
9 2 . $ a * " ' = / ( * ) . /(O) 0.
O
X
o
X
94. ^ (2 -I- x2 — i 2) cp ( 0 dt = .va.
0
X
o
§ 9. In teg ra le s de E u le r
(i)
12)
o
4-18
5 0 C A P I T U L O I. E C U A C IO N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A 
Integrando por partes, de la igualdad ( I ) hallamos que
’’ w 'T í e~ 't * dl “ r ( ? " • (3)a
Esta igualdad expresa la propiedad fundamental de la función Gamma:
r ( x + i ) - x r ( x ) . (4 )
Aplicando (2). se obtiene
r ( 2 ) - r ( i + t ) = i - r ( t ) — i . 
r ( 3 ) = r ( 2 + i ) = 2 - r ( 2 ) 21 . 
r (4 ) = r ( 3 + 1 ) = 3 - r <3 ) ^ 31 .
y, en general, para un valor n entero positivo
!’ («) = <« — !)!. (5)
Es conocido que
0
Haciendo x — t if* en esta igualdad se halla que
® J j
J e " ' * 2 d t = V n . 
o
Teniendo en cuenta la expresión ( I ) para la función Gamma, la última 
igualdad se escribe así:
r g g - iG f .
De aquí y aplicando la propiedad fundamental de la función Gamma, 
expresada por la igualdad (4). se halla que
En general, como es fácil comprobar, tiene lugar la igualdad
1 \ 1 - 3 - 5 . . .
2 ) 2
(n es un entero positivo).
Conociendo el valor de la función Gamma para cierto valor de 
argumento, se puede calcular, partiendo de la igualdad (3). el valor 
de esta función para el argumento disminuido en una unidad. Por
ejemplo:
i 9 . I N T E G R A L E S D E E U L E R
Por esto
2
Actuando de forma análoga, se halla:
H - 2
2
5 '
e,c-
No es difícil comprobar que T (0 )= T (— I ) — ■.. — T ( — n) = . . . = ce. 
Hemos definido más arriba I' (ar) para Re x > 0. E l método de cálculo 
de T (x) que acabamos de indicar permiteprolongar esta función al 
semiplano izquierdo, donde r (x) está definida en todas partes, 
a excepción de los puntos x = — n (n es un entero positivo y 0). 
Señalemos además las siguientes relaciones:
r , x , r ( i - * ) = _ J 5 _ . <s>
r ( x ) T - i- )= 2*-4Xn v »r(2x). (9)
en general
r <*> r ( * + ± ) r . r ^ = (2„ ) ~ " nxr(*x)
( t e o r e m a d e l p r o d u c t o de G a u s s y L e g e n d r e ) .
La función Gamma fue definida por Weierstrass mediante la
donde
7 = lim + + ‘^T — ln m ) = 0.57721...
es la constante de Euler. De la igualdad <10) se ve que la función 
P(z) es analítica en todas partes, salvo en los puntos z?=0, z = — !,
2 = — 2 donde tiene polos simples.
Citemos también la fórmula de Euler, que se obtiene de <10):
5 2 C A P I T U L O I. E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
( I I )
Esta tiene lugar en todas partes, a excepción de los puntos z = 0, 
z —- — I. z = — 2. . . .
96. Demostrar que ]p '(I) = — y.
97. Demostrar que para Re z > 0
r w = ¡ ¡ ( \ n - L y ~ l dx.
u
98. Demostrar que
I " (D ( 2 ) _ o jn 2
99. Demostrar que
1 -2 .. , ( n— I)
I (■ 7 )= *t*n z ,— — n — 7— ¡ r , n -' ( Z + l ) . . . (* + « — O
Introduzcamos la integral de Euler de primera especie R (p. q), 
llamada ¡unción Beta:
i
B (/>■ <!)*= ^ (1 — a-)»-' dx (Re p > 0. Re q > 0). (12)
u
Tiene lugar la siguiente igualdad, que liga I3S integrales de Euler de 
primera y de segunda especie:
100. Demostrar que
B (p , q) = B (q , p).
101. Demostrar que 
B (p , q) = B (p + 1, q) + B (p . q !- 1).
102. Demostrar que
B ( p + 1. q) = £ -B (p. q 4- I).
103. Demostrar que
i
$ (1 + * K - l ( l — x y - ' d x ^ Z r + i - ' B i p , q).
- 1
104. Calcular la integral
71
2
7 = 5 e o s ""1 x-sen"-1 xdx (R e m > 0 , R e n > 0 ) . 
o
§ 10. P rob lem a de A b e l. Ecuac ión integral 
de A b e l y sus generalizaciones
Un punto material se mueve bajo la acción de la fuerza de fa 
gravedad en un plano vertical (E., 1}) por cierta curva. Se pide 
determinar esta curva de inodo que el punto material, que comienza 
su movimiento sin velocidad inicial en el punto de la curva de
s 10 . P R O B L E M A D E A B E L 5 3
o r d e n a d a x , a l c a n c e e l eje 5 a l cabo de un tiempo l = f , ( x ) , d o n d e 
i , ( a ) es una función d a d a ( ¡ i g . I ) .
La magnitud absoluta de la velocidad del punto en movimiento 
es u— y r2g(x — ri). Denotemos por p el ángulo de inclinación de la 
tangente respecto al eje £.. Entonces tendremos
í ! l = _ V 2 g ( x - .|)senp.
De aquí que
dt = ---------ÍÍIL _ .
•M C A P I T U L O I. E C U A C IO N E S I N T E G R A L E S DP. V O L T E R R A
V 2 g ( A — 1,) sen P
Integrando desde 0 hasta x y denotando ~~ T (*!)■ s** obtiene la
ecuación de Abel:
1 V x— n
Designando — 2g /, (*) por f (x), se obtiene definitivamente
(D.1 
o
donde cp ( a ) es la función incógnita, y / ( a ) es una función dada. 
Hallando 9 (1]) se puede escribir la ecuación de la curva. En efecto,
‘P W - s - ^ p -
de donde 
Ahora
de donde
t| = ® (P).
d.| <I>- (P) dP
S tg p ' >BP ’
y. por consecuencia, la curva buscada se determina por las ecuaciones 
para métricas
l= ® .(P). \ (2.
De este modo, el problema de Abel se reduce a la resolución de 
una ecuación integral del tipo
X
/<a)=^ K(x, t)(f ( l )dt
con el núcleo K (x, I). la función / ( a ) dados y la función incógnita 
q>(A), es decir, a la resolución de una ecuación integral de Volterra 
de primera especie.
Se llama también ecuación de Ab.l a la ecuación un tanlo más 
general:
131
o
donde a es una constante, 0 < a < 1 (ecuación generalizada de. Abel). 
Consideraremos que la íunción / (*) tiene derivada continua en cierto
segmento (0, a|. Obsérvese que para j . el núcleo de la ecuación
(3) no es de cuadrado integrable, es decir, no es una función de L t. 
Sin embargo, la ecuación (3) tiene solución, la cual puede ser hallada 
de la siguiente manera.
Supongamos que existe una solución de la ecuación (3). Sus­
tituyendo en la ecuación x por s, multiplicando ambos miembros
de la igualdad obtenida por e integrando respecto a s desde
0 hasta x se obtiene:
C — d± — (' di - f - J M — ds (4)
J (a - s )>-« J ( s - 0 * J t x r - s ) '- ’ d í - ( 1
Ü 0 o
Cambiando el orden de integración en el primer miembro, se tiene
X X
¡t 10 . P R O B L E M A D E A B E L 5 S
donde
í6)
Hagamos la sustitución s = / + y(ar — /) en la integral interior:
x i
 f dy ji
s — ~ J g’ (1 — y)‘ - “ ~ sen an ‘
x i
f * .) ( jt— s)»-*(s-
í ü
Entonces, de la ecuación (5) se obtiene
o bien
(7)
5 6 C A P I T U L O 1. E C U A C I O N E S I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
De esta manera, la solución única de la ecuación (3) se da por la fór­
mula (7), la cual, mediante la integración por partes, puede ser escrita 
también en la forma
Esta solución tiene sentido fisico sólo en el caso en que sea no
Demostremos que. en el cas _ la solución
del problema de Abel es una cicloide. (Problema de la tautócrona: 
hallar una curva tal, que una partícula pesada que se deslice sin roza­
miento por ella alcance su posición más baja al cabo de un mismo 
tiempo, independientemente de su posición inicial). En este caso
a -y ■ Por lo tanto, según la fórmula (8)
105. D em ostrar que, en e l caso en que f ( x ) = C V x , 
las so luciones del p rob lem a de A b e l serán rectas.
X
(8)
O
menor que 1 en valor absoluto
Por esto
de donde
Ahora
,c _ di) C- 2 sen P eos p j0 C2
a s t g p . i 2 t g p “ P - n * ( I + eos 2P) dp.
Definitivamente:
(ecuaciones paramétricas de la cicloide).
Resolver las ecuaciones integrales siguientes:
»06- <° < « < > ) •
O
107. f ^ = s e n * .
J F * — tO
, 08. J V X — io
109. =
J 7 * — <o
110. Resolver la ecuación bidimensional de Abel 
(p (.(, y ) dx dy_
7 7II
5 10 . P R O B L E M A D E A B E L 5 7
Aquí la región D es un triángulo rectángulo isósceles con 
hipotenusa en el eje O X y vértice en el punto (x0. y0).
Consideremos la ecuación integral (véase |I0|)
X
$ (x— l f < f { l )d t ^ x “ (9)
0
(X S :0 . p > — I es real), que es, en cierto sentido, una generalización 
ulterior de la ecuación de Abel (3).
Multipliquemos ambos miembros de (9) por (z— *)“ (ji > — I) 
e integremos respecto a x desde 0 hasta z:
2 X Z
 ̂ ( r _ , v)e Q (.v— /)s (,(0 x> U — x):'dx. (10)
O Ü o
Haciendo x= pz en el segundo miembro de (10), se obtiene
z i
*'• (z - * F dx - z*+•■J $ p ' ( I - p F dp = zk '» J 1 B (H + 1. I* + ' > =
, zXH.+, . r y + o r o t + ii ) (A + ,,+ 1 >xsaO) . ( I I )
Cambiando el orden de intjgravión t-11 el primor miembro de (10) 
se obtiene
7 X 7 7
i' ( i" e — v):’ (•»'— <)>¥ ( 0 * ) J X - J ( 5 (* — ■»)’ (c r( (0 dt.
O <1 (• f
( 12)
Hagamos en la integral interior del segundo miembro de (12)
x — t-i f»(e— /).
Entonces
7 1
5 (*—-*-F (x — lf dx (z— iy • ? ■1 p-1 (I —())" dp =
/ u
= /}(p.| i . , ,-; = (13)
Teniendo en cuenta ( I I ) . (12), (13). de la igualdad (10) se llalla 
' ) •2, i „ _ H ± ~ H
r.S C A P I T U L O I. r C I f A i - I O N I -S I N T E G R A t F . S Di- V O I / l l k R A
T (P 1 !■ I 2) í á 11" ( ' > - n x r r r r F , - 2' H ■“ J <I4>
Escojamos jr de modo que fH _ P ¡ 1 = ft *'-<* i,r> númeio entero 110 ne­
gativo. Entonces de (14) tendremos
!'<p 11 (z — /)» n> (?) d/ =■
r t í i - r i l J ' 1 r (x -1- / .- P + I ) zI»
o bien
c u )d t = _________ n > + i ) , > . , - 3
J m r (p -t-1) r (X -|- n — p h 1 j • ( I->)o
Derivando ambos miembros de (15) / i+ l veces respecto a z, se 
obtiene
T (T )- r <x + o a - t- n — p > ( x+/i— p — o. ..(x ( 1 6 .
' r ( P + l ) r ( X + n — p + 1 ) ( l b )
o para X — p + fc / 0(fc = 0, I n)
<pW=r (P + o i ' t t - p ) C ")
Esta es precisamente la solución de la ecuación integral (0).
Obsérvese que. si la magnitud A — P — I es igual a un entero nega­
tivo. entonces se obtiene q. (z) - 0. En este caso la ecuación (<)) no 
admitesolución en la clase de las funciones comunes. Su solución es 
una función generalizada (véase la pág. 63).
I I I . ECU ACIO NE S DE V O L T E R R A D E P R I M E R A ESPECIE D E CO N V . 59 
E j e m p l o . Resolver la ecuación integral
X
O
R e s o l u c i ó n . En este caso (1 = 1, \ = 2. Como X — p + ft ¿ 0 
(ft-=0, 1. 2. . . . . n). entonces, según la fórmula (17),
«i — xt - 1 - 1 = o.r (2> r (i)
R eso lve r las ecuaciones integrales:
p — —111. ) ( x — /)» •f(l)d ( = x a — x*.
f -112. ) ( x — t ) - <p ( I ) d i — n x .
r —
1 1 3 . ) ( x — t ) ‘ < p ( t ) d t = x + x * .
(i
X
1 1 4 . $ ( x — 0 * ¥ ( t ) d t ^ = x 3 .
«
X
1 1 5 . i - $ ( * - / J * < p ( / ) £ H = C O S J C - l + y .
U
§ 1 1 . E c u a c i o n e s I n t e g r a l e s d e V o l t e r r a d e p r i m e r a 
e s p e c i e d e c o n v o l u c i ó n
La ecuación integral de primera especie
X
5 K ( * - f ) (f ( t )d t= f (x ) . (1)
o
cuyo núcleo K (x, I) depende sólo de la diferencia x— I de los argu­
mentos. la llamaremos ecuación integral de primera especie de convo­
lución.
A esta clase de ecuaciones pertenece, por ejemplo, la ecuación 
generalizada de Abel.
Consideremos un problema que nos llevará a una ecuación inte­
gral de Volterra de convolución.
lina casa de comercio compra y vende distintas mercancías. Se 
supone que:
C A P I T U L O I. E C U A C IO N E S I N T E G R A L E S l>E V O L T E R R A
1) la compra y la venta son procesos continuos y las mercancías 
compradas se ponen a la venta de inmediato;
2) I3 casa adquiere cada nueva remesa de cualquier mercancía en 
una cantidad que puede ser vendida durante 1111 intervalo de tiempo 
T , que es el mismo para todas las compras;
3) cada nueva remesa de mercancías se vende uniformemente du­
rante el tiempo 7\
l a casa comienza la venta de una nueva remesa de mercancías 
cuyo costo total es igual a la unidad. Se pide hallar la ley i( (/).
según la cual, la casa debe efectuar las compras de modo que el costo
de las mercancías que hay en existencia se mantenga constante.
R e s o l u c i ó n . Supongamos que el costo de las mercancías ini­
ciales, que quedan en el momento /, es igual a K (f), donde
* * > - [ l ~ r - ‘ ^ T -
' 0 . 1 > r .
Supongamos que en el intervalo do tiempo entre r y x-í-dx se 
compran mercancías por la suma de ip(x)dr. Esta reserva disminuye 
a causa de la venta, de modo que el costo del resto en el momento 
( > x es igual a K ( I — x) i( tr) dx. Ror esto, el costo de la parle de 
las mercancías no vendidas, adquiridas mediante las compras, en cual­
quier momento I será igual a
 ̂K (/—- x)<| (x) dr.
De este modo. 1 /■(/) debe satisfacer a la ecuación integral
I
1 — K (0 — \ K (f — x) i| (x) dr.
Hemos obtenido una ecuación integral de Vollerra de primera 
especie de convolnción.
Supongamos que /(v) y K (.v) son fundones-objeto, y sean
/ (-») = F (i>). K (x) — K (p). .( ( a ) . ' <1> (p).
íción de Laplace a ambos miein 
a el teorema de la convolución ten
R W ) <i>(p) -= F ( P). (2)
Aplicando la transformación de Laplace a ambos miembros de la 
ecuación (1) y utilizando el teorema de la convolución tendremos
de donde
1' (P) = ~ ~ 0). (3)
La función-objeto ip (xl para la función <!>(p), determinada por la 
igualdad (3), será la solución de la ecuación integral (I).
§ I I . EC U A C IO N E S D E V O L T E R R A D E P R I M E R A ESPECIE DE CONV. 6 | 
E j e m p l o . Resolver la ecuación integral
X
 ̂c*- ' ( I) dt (4)
o
R e s o l u c i ó n . Aplicando la transformación de Laplace a ambos 
miembros de (4) se obtiene:
¿ ¿ T ' I (5)
de donde
«1> (p) — — ~¡ r= | —a.p; p ;>•* •
La función q> (a) -- 1 — x es la solución de la ecuación (4).
Reso lver las ecuaciones integrales:
X
116. $ eos (x — í ) (f ( t )d t = sen x.
o
x
117. ( ex~< <j> ( t )d t = sh x.
i)
P — —118. J ( . v — / )* cp(/)d/=-.v* .
u
X
Í1 9 . ¡j c'-1* - ' ’ ip ( l ) d t = senA:.
0
120. $e*-'q> ( l )d t= x - .
0
x
.12!. ̂eos (x — t)<f ( t )d í = .v se n x .
0
X
122. ^ sil (x — í ) <p ( t ) d t — .r 'e- *.
0
X
123. $ J u (x — /)<p ( t ) t l l senx. 
u
124. j' ch { x ~ t ) i f ( t ) d t — x.
C A P I T U L O I . E C U A C I O S F . f i I N T E G R A L E S D E V O L T E R R A
*
125. J eos ( x — t ) (p ( / ) d t X |- x * .
0
•V
126. \ ( x * — f ¡ )< p (t )d t= £ .
X
127. J (A--4.V/ ¡- 3/4)<p ( t )d t = g .
Ü
128. ~ ^ ( x ~ — 4 . v / 3 / - ) < v ( / ) d / - x sJ 1 ( 2 l ' x ) .
ti
129. { ( * - 2 t)< f(t)dt
o
O b s e r v a c i ó n . S i K (x, v) — K. (0) j- 0. la ecuación ( I ) liene 
con seguridad, solución. En el problema 122 el núcleo K (x, I ) es 
idénticamente nulo para t — x, pero, de todos los modos, existe solu­
ción de esta ecuación.
Como fue indicado ya más arriba, la condición necesaria de exis­
tencia de una solución continua de una ecuación integral del tipo
<g>
ó
consiste cu que la (unción / (x| tenga derivadas continuas hasta de 
n-ésimo grado inclusive, y que todas sus n — 1 primeras derivadas se 
anulen para x 0.
Esta ecuación "modelo" (ti) indica que es necesaria una concor­
dancia de los órdenes de anulación del núcleo para l= x y del se­
gundo miembro f (x) para x 0 (el del segundo miembro debe ser su­
perior por lo menos en I).
Consideremos la ecuación integral
.r
$<* — t ) < H t ) d t = x . (7)
o
Aquí /(*)■=*. n — 2. Es evidente que I W tiene derivadas de todos 
los órdenes, pero su derivada primera / ' ( * ) = ! ?= 0. es decir, la con­
dición necesaria no se cumple.
Aplicando formalmente a ambos miembros de la ecuación (7) la 
translormación de Laplace. se obtiene
1 ........ I
5 I I . E C U A C I O N E S D E V O L T E R R A DE P R I M E R A E S P E C I E D E C O N V . 6 3
de donde
<l> <p) = l.
Esta es la imagen de la función ó (*).
Recuérdese que
« W = 1 .
.6*"" (x) == pm;
m es un entero S O .
De este modo, la solución de la ecuación integral (7) es la fun­
ción Ó:
cp (.r) = ó (a ).
Eslo puede comprobarse por verificación directa, si se tiene en cuenta 
que la convolución de la función ó con cualquier función g(x), deri- 
vable un número suficiente de veces, se define asi:
g ( a ) . Ó ( * )- « (* ) ,
ó<*> (a ) « g <*)-£< '• (x ) (* - = 1 ,2 , . . . ) .
En efecto, en nuestro caso g (x) — K (x) ■*= x, y
X
^ K { x - t ) & V ) d t ~ K { x ) = x. 
o
De este modo, la solución de la ecuación (7) existe, pero ya en 
la clase de funciones generalizadas.
R eso lve r las ecuaciones integrales:
X
130. J ( * — t)q > U )d t = xi + x — 1.
O
X
131. í (x — O.q ( f \ d í = sen x.
O
X
132. $ ( * — /)*< p(/)d/«A-*.|.A«.
0
x
133. J s e n (x — t ) r p ( t )d ( = x + 1.
0
X
134. J sen (x — / )<p (/) dt = 1 — eo s* .
0
Las ecuaciones integrales de primera especie con núcleo logarít­
mico
X
$<r(/)ln <*-()<*/ = / (* ). / (0) = 0, (8)
u
también pueden ser resueltas mediante la transformación de Laplace. 
Es sabido que
(Re v > — I). (9)
Derivemos la fórmula (9) con respecto a v:
, 1 d r ( v - H ) , 1 , 1
X' lll X — - r —:--------- - + -VT7 ln — • 1 (v-¡- I ) .• p’’-*1 dv p” * 1 p ' '
o bien
r < f r ( v + i )
. r ( v + i )
G4 C A P I T U L O ! . E C U A C IO N ES IN T E G R A L E S DE V O L T E R R A
Av lnjc: < ] .dv H-ln-l-l. (10)»**> I '(v - H )
Para v = 0 se tiene (véase la pág. 51) 
r ' ti)-¡rjjj — V’ 9ue es 'a constante de Euler, 
y la fórmula (10) toma la forma
l n * = l ( - v - l n p ) = - ^ ± V . ( I I )
Sean ip (*) r= <1* (p). / (.v) == F (p). Aplicando la transformación de 
Laplace a ambos miembros de (8) y utilizando la fórmula ( I I ) se ob­
tiene
_ a , (p , Ü L t h I „ F (rtt 
* <' ) — «2)
de donde
Escribamos <!• (p) en la [orina 
q . ( p ) = - 
Como /(0) = 0, se tiene
P*F (P )— /'(O) = /*<*). (14)
Volvamos a la fórmula (9). escribiéndola en la forma 
x1 I
F ( V + I ) ' p’ r>-
P ‘F {p)~ í ' <°> 
p ( ln p + Y ) P ( ln pH Y) ’
(9 ' )
Integrando ambos miembros de (9') respecto