norma y producto punto de vectores, proyecciones sobre vectores

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Cálculo diferencial en varias variables
Lázaro R. Dı́az Lievano
January 2021
Ejercicios del la sección 1.2: Norma y producto punto de vectores.
1.21. Sea U = (u1, u2), V = (v1, v2) y W = (w1, w2). Demuestre
a) la propiedad distributiva U · (V +W ) = U · V + U ·W .
Solución: Por definición el producto punto entre dos vectores en R2 esta dado
como
U · V = u1 v1 + u2 v2
Entonces
U · (V +W ) = u1 (v1 + w1) + u2 (v2 + w2)
= u1 v1 + u1 w1 + u2 v2 + u2 w2
= (u1 v1 + u2 v2) + (u1 w1 + u2 w2)
= U · V + U ·W.
b) La propiedad conmutativa U · V = V · U
U · V = u1 v1 + u2 v2
= v1 u1 + v2 u2
= V · U.
1.22. ¿Cuáles de los siguientes vectores son ortogonales? Solución:
1. (a, b), (−b, a)
2. (1,−1), (1, 1)
3. (0, 0), (1, 1)
4. (1, 1), (1, 1)
1
Por definición, dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a 0.
Veamos que
(a, b) · (−b, a) = −a b+ b a = 0.
(1,−1) · (1, 1) = (1)(1) + (−1)(1) = 1− 1 = 0.
(0, 0) · (1, 1) = 0(1) + 0(1) = 0.
(1, 1) · (1, 1) = (1)(1) + (1)(1) = 2 6= 0.
1.23. Cuales de estos vectores son vectores unitarios? Solución:
1. (
3
5
,
4
5
)
2. (cos θ, sin θ)
3. (
√
0.8,
√
0.2)
4. (0.8, 0.2)
Un vector es unitario si su modulo es igual a 1.
Û =
U
||U ||
=
U√
x2 + y2
veamos que vectores tienen modulo 1
||(3
5
,
4
5
)|| =
√
3
5
2
+
4
5
2
=
√
9
25
+
16
25
= 1
||(cos θ, sin θ)|| =
√
cos2 θ + sin2 θ = 1
||(
√
0.8,
√
0.2)|| =
√
(
√
0.8)2 + (
√
0.2)2 =
√
1 = 1
||(0.8, 0.2)|| =
√
0.82 + 0.22 =
√
17
25
6= 1
1.24. Usa la ecuación 1.8 y el teorema 1.5 para demostrar la ley de cosenos:
para cada triangulo en el plano con lados a,b,c y un ángulo θ opuesto al lado c
(vea la figura 1.11), se cumple
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ
2
Solución: Renombramos a
||U || = a
||V || = b
||U − V || = c
Partimos de la ecuación 1.8
||U − V ||2 = ||U ||2 + ||V ||2 − 2U · V
donde por el teorema 1.5
U · V = ||U || ||V || cos θ
Asi,
||U − V ||2 = ||U ||2 + ||V ||2 − 2||U || ||V || cos θ
Sustituyendo,
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ
1.25. Sea f una función lineal de R2 a R para el cual f(2, 1) = 3 y f(1, 1) = 2.
Encuentre el vector C que cumpla f(U) = C · U .
Solución:
f(2, 1) = C · (2, 1) = (c1, c2) · (2, 1) = 2c1 + c2 = 3
f(1, 1) = C · (1, 1) = (c1, c2) · (1, 1) = c1 + c2 = 2
=⇒ c1 = 1, c2 = 1
Entonces C = (1, 1)
1.26. Encuentre el coseno del angulo entre el vector U = (1, 2) y V = (3, 1).
Solución:
U · V = ||U || ||V || cos θ
(1, 2) · (3, 1) = ||(1, 2)|| ||(3, 1)|| cos θ
1(3) + 2(1) =
√
12 + 22
√
32 + 12 cos θ
5 =
√
5
√
10 cos θ
5 =
√
50 cos θ
5 = 5
√
2 cos θ
1√
2
= cos θ
3
Entonces
θ = cos−1
(
1√
2
)
=
π
4
1.27. Use la ecuacion 1.8 para mostrar que para todo U y V en R2,
||U + V ||2 = ||U ||2 + ||V ||2 + 2U · V
Solución: Usando que ||U ||2 = U · U tenemos que
||U + V ||2 = (U + V ) · (U + V )
Entonces
(U + V ) · (U + V ) = U · (U + V ) + V · (U + V )
= U · U + U · V + V · U + V · V
= ||U ||2 + ||V ||2 + 2U · V.
Por lo tanto,
||U + V ||2 = ||U ||2 + ||V ||2 + 2U · V
1.28. Sea U = (x, y). Encuentre un vector C para expresar la ecuación de una
linea y = mx+ b como C · U = b.
Solución: Sea C = (c1, c2) y despejando b de la ecuacion, b = y −mx.
C · U = b
c1x+ c2y = y −mx
Entonces c1 = −m, c2 = 1, asi C = (−m, 1)
1.29. Si C y D son vectores ortogonales distintos de cero, hay una expresión
simple para a y b en una combinación lineal
U = aC + bD
a) Realice el producto punto por C en ambos lados de la ecuación para mostrar
que
a =
C · U
||C||2
Solución:
U = aC + bD
C · U = C · (aC + bD)
= C · aC + C · bD
= aC · C + bC ·D
= a ||C||2 + b(0)
4
Entonces
C · U = a ||C||2 =⇒ a = C · U
||C||2
b) Encuentre una formula para b.
Solución: Si ahora aplicamos el producto punto por D en ambos lados, de
manera analoga obtenemos lo siguiente
D · U = a(C ·D) + b ||D||2 =⇒ b = D · U
||D||2
c) Si (8, 9) = a( 35 ,
4
5 ) + b(−
4
5 ,
3
5 ), halle a.
Solución:
(8, 9) = a
(
3
5
,
4
5
)
+ b
(
−4
5
,
3
5
)
=
(
a
3
5
, a
4
5
)
+
(
−b4
5
, b
3
5
)
=
(
a
3
5
− b4
5
, a
4
5
+ b
3
5
)
Entonces {
8 = a 35 − b
4
5
9 = a 45 + b
3
5
=⇒ a = 12, b = −1.
1.30. Sea U un vector distinto de cero y t un numero. Sea f(t) la distancia entre
un punto V y el punto tU sobre la linea que pasa por 0 y U como se muestra
en la figura 1.12.
a) Use calculo para hallar el valor de t que minimice (f(t))2.
Solución: Definimos a f(t) como f(t) = ||tU − V ||, entonces
(f(t))2 = ||tU − V ||2 = ||tU ||2 + ||V ||2 − 2tU · V
5
Ahora, para hallar el valor de t que minimice (f(t))2 debemos derivarlo e
igualarlo a cero para encontrar los picos de la funcion y con el criterio de la
segunda derivada sabremos si es un minimo o un maximo.
Derivamos (f(t))2
d
dt
(
(f(t))2
)
= 2t||U ||2 − 2U · V
Igualamos a cero y despejamos t.
d
dt
(
(f(t))2
)
= 0
2t||U ||2 − 2U · V = 0
=⇒ t = U · V
||U ||2
b) Use el producto punto para hallar el valor de t que hace que el angulo α en
la figura un angulo recto.
Solución:Dado que buscamos el valor de t que hace que el angulo α sea un
angulo recto, tU y V seran perpendiculares, asi, su producto punto sera igual a
cero.
tU · (V − tU) = t(U · V )− t2||U ||2
(U · V )− t||U ||2 = 0
=⇒ t = U · V
||U ||2
c) Confirme que el numero t hallado en la parte a) y b) son iguales.
Solución: En efecto, los valores obtenidos de t en el inciso a y b son iguales.
1.31. Expresa al vector U = (1, 0), V = (2, 2) en el sistema de coordenadas
rotado π4 en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Solución: Los modulos de los vectores son
||(1, 0)|| =
√
12 = 1
||(2, 2)|| =
√
22 + 22 = 2
√
2
note que el vector (1, 0) esta sobre el eje x y que el vector (2, 2) tiene pendiente
de 45 = π4 . Rotamos
π
4 en contra de las manecillas del reloj nuestro sistema de
coordenadas, entonces el vector (2,2) queda como (2
√
2, 0) sobre el eje x y el
vector (1, 0) estara como (cos π4 , sin
π
4 ).
Entonces
U = (− 1√
2
,
1√
2
)
V = (2
√
2, 0)
6
1.32. Un octagono regular mostrado en la figura 1.13. muestra un vertice
P = (c, s) donde c y s son el coseno y el seno de π8 .
a) Muestre que el vertice Q es (s,c).
Solución: Sea α = π8 y θ =
2π
8 , Q = (x, y) y U es el vector que va del origen
del sistema de coordenadas (0,0) a P = (c, s).
Entonces
x = ||U || cos (α+ θ) y = ||U || sin (α+ θ)
como ||U || = 1
x = cos (α+ θ) y = sin (α+ θ)
x = cos (
3π
8
) y = sin (
3π
8
)
Ahora, usaremos una identidad para llegar a que cos 3π8 = sin
π
8 .
cos
3π
8
=
√
1 + cos 3π8
2
=
√
1 + cos 135
2
=
√
1−
√
2
2
2
=
√
2−
√
2
2
=
√
1− cos 45
2
=
√
1− cos π8
2
= sin
π
8
Asi, s = senπ8 = cos
3π
8 = x
7
Analogamente, con sin 3π8 = cos
π
8 .
sin
3π
8
=
√
1− cos 3π8
2
=
√
1− cos 135
2
=
√
1 +
√
2
2
2
=
√
2 +
√
2
2
=
√
1− cos 45
2
=
√
1− cos π8
2
= cos
π
8
De esta manera, c = sin 3π8 = cos
π
8 = y
Por lo tanto,
Q = (x, y) = (s, c)
b) Muestre que sin π8 =
1
2
√
2−
√
2.
Solución: Usando la identidad del medio angulo para seno: sin A2 =
√
1−cosA
2
sin
π
8
=
√
1− cos π8
2
=
√
1− cos 45
2
=
√
1−
√
2
2
2
=
√
2 +
√
2
2
8