PROBLEMAS_DE_GEOMETRIA_ANALITICA_Y_DIFERENCIAL-105

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MP
MQ  k, constante.
Solución: Sea la ecuación de la circunferencia: x  Rcos, y  R sin. La ecuación de la tangente a las
curvas buscadas es: xcos  y sin − p  0. Los puntos de intersección P y Q, vienen dados por
Rcoscos  R sin sin − p  0, es decir, Rcos −  − p  0. Sean estos puntos de intersección
PRcos1,R sin1, QRcos2,R sin2. Como la derivada de la tangente es: −xcos  ycos − p ′  0,
se tiene que: MPMQ 
−Rcos1 cos  R sin1 cos − p ′
−Rcos2 cos  R sin2 cos − p ′
 k. Luego, p
′  R sin − 1
p ′  R sin − 2
 k. Como
cos −   pR , se tiene que:
p ′  R2 − p2
p ′ − R2 − p2
 k. Luego se obtiene: k − 1p ′  k  1 R2 − p2 ,
k − 1dp
R2 − p2
 k  1d. Integrando: p  R sin k  1 − 0k − 1 . Luego la curva pedida es la envolvente:
xcos  y sin − R sin k  1 − 0k − 1  0.
I 100- Sea M un punto de la curva fu,v  0, en la que u y v pueden representar: 1º) Las distancias del punto
a las rectas A y B. 2º) Las distancias de M a los puntos fijos P y Q. 3º) u, la distancia del punto M a A, y v,
la distancia MP. Demostrar que en todos los casos, si se lleva a partir de M, paralelamente a las
direcciones de las rectas u y v, longitudes proporcionales a fu′ y fv′ , considerando los signos, la diagonal del
paralelogramo construido con esas longitudes estará dirigida según la normal en los puntos M.
Solución: La ecuación de la curva está referida a los ejes OX,OY, estando situado O al mismo lado de A
y B que M. Sea p la longitud de la perpendicular desde O sobre A, y sean  y  los ángulos que forma con
los ejes. Luego: MA ≡ p − xcos − y sin. Análogamente, MB ≡ p1 − xcos1 − ycos1. Sean Pa,b y
Qa1,b1, PM  x − a2  y − b2 , QM  x − a12  y − b12 . La ecuación de la normal es
X − x
f
u 
u
x 
f
v 
v
x
 Y − y
f
u 
u
y 
f
v 
v
y
, y como en todos los casos ux  −cos u,x ,
u
y  −cos u,y ,
v
x  −cos v,x ,
v
y  −cos v,y , esta ecuación toma la forma:
X − x
f
u cos u,x 
f
v cos v,x
 Y − y
f
u cos u,y 
f
v cos v,y
, que es la expresión analítica que
demuestra la proposición del enunciado.
I 101- Se trazan a varias curvas dadas, a partir de un punto M situado en el plano de las curvas, normales que
las encuentran en los puntos M1, M2, .... El punto M se desplaza de forma que se tenga siempre que
MM12  MM22 . . . k, constante. Demostrar que la normal al lugar que describe M, pasa por el centro de
distancias medias de M1, M2,...
Solución: Sean las coordenadas de los sucesivos puntos: M,, Mixi,yi. Luego se tiene:
∑MMi2 
n
i1
∑ xi − 2  yi − 2  n2  2 − 2∑ xi − 2∑ yi ∑ xi2 ∑ yi2  k. En esta
igualdad, diferenciando respecto a  y , se tiene que: 2n − ∑ xid  2n − ∑ yid  0. Es decir:
 −
∑ xi
n d   −
∑ yi
n d  0. Luego la normal al lugar que describe M, pasa por el punto
∑ xi
n ,
∑ yi
n .
I 102- Hallar las curvas cuyo radio de curvatura es constante.
Solución: Siendo R  dsd , x  0

Rcosd  R sin, sin  xR , y  0

R sind  −Rcos − 1,
cos  R − yR . Luego sin
2  cos2  x
2
R2
 
R − y2
R2
 1. Es decir: x2  y2 − 2Ry  0, que es una
circunferencia.
I 103- Un plano móvil P resbala sobre un plano fijo P0. Sobre el plano P0 se marca un punto O y una curva
C. Sobre el plano P se marca un punto A y una curva D. El punto A describe la curva C, mientras que la
curva D pasa por O. Indicar el método a seguir para encontrar la base y la ruleta.
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Solución:
O X
X1
Y
Y1 A
O1
α
O X
X1
Y
Y1 A
O1
α
Sean XOY los ejes en el plano fijo, y X1O1Y1 los ejes en el móvil. El punto A de la figura movible está
definido por las coordenadas x1,y1, y respecto a XOY por: x  x0  x1 cos − y1 sin,
y  y0  x1 sin  y1 cos I. Dado el movimiento de la figura plana, se conocerán:   t,
x0  x0t, y0  y0t. Las componentes de la velocidad de A, corresponden a las derivadas de I:
vx  dxdt 
dx0
dt − x1
d
dt sin − y1
d
dt cos, vy 
dy
dt 
dy0
dt  x1
d
dt cos − y1
d
dt sin II. Como el
centro instantáneo de rotación tiene velocidad nula, al particularizar II para las coordenadas , de
este punto, se tendrá que: vx  vy  0. Por tanto, se tiene: dx0dt − 
d
dt sin − 
d
dt cos  0,
dy0
dt  
d
dt cos − 
d
dt sin  0, de donde:  
dx0
dt sin −
dy0
dt cos
d
dt
,  
dx0
dt cos 
dy0
dt sin
d
dt
III, que son las ecuaciones de la ruleta móvil. Para hallar la ruleta fija, basta sustituir estas últimas
coordenadas en I, obteniendo:   x0 −
dy0
dt
d
dt
,   y0 
dx0
dt
d
dt
IV. Las ecuaciones III se pueden
escribir así:   dx0d sin −
dy0
d cos,  
dx0
d cos 
dy0
d sin. Y las ecuaciones IV de esta forma:
  x0 −
dy0
d ,   y0 
dx0
d , con lo que se ve que las ruletas no dependen del tiempo, sino únicamente
de la posición relativa de los ejes fijos y móviles.
I 104- Hallar la ecuación en polares de la curva tal que, siendo P el pie de la perpendicular bajada desde un
punto fijo O sobre la tangente en M, la proyección de OP sobre el radio vector OM sea constante.
Solución:
O
P
H
M
O
P
H
M
Siendo OH  k, V  OPH  OMP,   OM, se tiene: sinV  kOP 
k
 sinV . Luego,  sin
2V  k.
Como tanV  −
′
, se tiene la ecuación: 3 − k2  ′2  0, obteniéndose: ′   k − 1 . Es decir:
d


k − 1
 d. Integrando: 2arctan k − 1    C. De donde:   k sec
2   C
2 
2k
1  cos  C ,
ecuación de una parábola de foco el origen.
I 105- Si por un punto M de una curva Γ se traza la tangente MA a la parábola y2 − 2px  0, la tangente MT a
la curva Γ es paralela a OA. Hallar las curvas Γ.
Solución: Sea Mx,y, y sea Ax0,y0 el punto de tangencia. Se tiene
y − y0
x − x0 
p
y0 , y0
2 − 2px0  0,
y0
x0  y
′. Eliminando x0 
2p
y ′2
,y0  29y ′
, queda la ecuación diferencial de Γ: xy ′2 − 2yy ′  2p  0. Es
decir: 2y  xy ′  2p
y ′
. Derivando: 2y ′  y ′  x dy
′
dx −
2p
y ′2
 dy
′
dx . Luego:
dx
dy ′
− x
y ′
 2p
y ′3
 0, ecuación
lineal, cuya solución es: x  y ′ C  2p
3y ′2
 Cy ′  2p
3y ′2
. Llamando y ′  t, se tiene la ecuación pedida:
314
x  3Ct
3  2p
3t2
, y  3Ct
3  8p
6t . En el dibujo siguiente se ha representado Γ, y en línea fina la parábola
dada, para p  C  1.
-2 2 4
-5
5
I 106- Hallar la curva para la que se verifica que las distancias desde el origen a los puntos en que su tangente
corta al eje OY y su normal corta al eje OX, están en una relación dada constante.
Solución: La ecuación de la tangente en x,y es: Y − y  y ′X − x, siendo su ordenada en el origen:
y − xy ′. La ecuación de la normal en x,y es: Y − y  − 1
y ′
X − x, siendo la abscisa en el origen: x  yy ′.
Por tanto: y − xy ′  kx  yy ′, es decir: dyx  ky  dxkx − y  0. Haciendo el cambio: x  cos,
y   sin, se tiene: dx  cos  d −  sind, dy  sin  d  cosd. Sustituyendo y operando:
kd  2d  0, kd  d  0, d 
−d
k , ln 
−
k  C,   e
−
k C  Ae
−
k .
I 107- Sea una recta OM que pasa por un punto fijo O y que encuentra en A1, A2, ..., An, a n curvas dadas
A1, A2, ..., An. El punto M es tal que se verifica que
hn
h1
 ahOAh
 mOM , siendo a1,..., an y m,
constantes dadas. Cuando OM gira alrededor de O, el punto M describe una curva M. Demostrar que se
verifica que
hn
h1
 ah
h cos3h
 m
Rcos3
, donde h es el radio de curvatura de la curva Ah, h es el
ángulo que forma este radio con OM, y R y  son las cantidades análogas en la curva M.
Solución: Se toma como polo el punto O. La ecuación de la recta OM es:   1. Las ecuaciones de las
curvas A1,..., An, son: r1  f1,..., rn  fn. La curva lugar de M al girar OM, siendo OM  r, es:
m
r 
a1
f1
. . . anfn
, siendo su radio de curvatura: R  r
2  r ′2
3
2
r2  2r ′2 − rr ′′
. Como el radio de curvatura está
situado sobre la normal a la curva, el ángulo que forma dicha normal con OM, es:   V  2 , siendo V
el ángulo que formala tangente a la curva M con el radio vector r. Luego de lo expuesto se deduce que:
tan  tan V  2 
r
r ′
 tan 2
1 − r
r ′
tan 2
 −r
′
r , es decir: cos 
1
1  r
′
r
2
 r
r2  r ′2
1
2
. Por lo
tanto: Rcos3  r
2  r ′2
3
2
r2  2r ′2 − rr ′′
 r
3
r2  r ′2
3
2
 r
3
r2  2r ′2 − rr ′′
. De acuerdo con esto, se tiene que:
hn
h1
 ah
h cos3h
 a1
r13
r12  2r1′2 − r1r1′′
. . . a1r1
2  2r1′2 − r1r1′′
r13
. . . a1r1 
a2
r2 . . .
ai
ri . . . 

a12r1′2 − r1r1′′
r13
. . . ai2ri
′2 − riri′′
ri3
. . . . Como 1r
′
 −r
′
r2
, 1r
′′
 −r
′′r  2r ′2
r3
, se tiene,
introduciendo estos valores, que:
hn
h1
 ah
h cos3h
 a1r1 . . .  a1
1
r
′′
. . .  mr  m
1
r
′′

 m 1r −
r ′′r − 2r ′2
r3
 m r
2 − r ′′r  2r ′2
r3
 m
Rcos3
.
I 108- Sea M un punto cualquiera de la curva y  fx. Sea N el punto donde la normal en M encuentra a OX,
y sea P el pie de la perpendicular trazada desde O a MN. Hallar la ecuación diferencial que se debe
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