INTEGRAL-INDEFINIDA-Y-SUS-PROPIEDADES (2)

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INTEGRAL INDEFINIDA Y SUS PROPIEDADES.
· Primitiva e integral indefinida.
En el cálculo diferencial, el problema inicial consistía en, dada una función f definida en un cierto intervalo I = (a, b) podíamos determinar su derivada, la cual se denotaba como f’ o etc. Para ello nos valíamos de unas ciertas fórmulas, las cuales se aplicaban dependiendo de la forma o estructura que presentara la función a derivar.
La situación ahora es la siguiente, si se conoce una función f, la cual es derivada de otra función F, desconocida, el problema es determinar dicha función, la cual recibe el nombre de primitiva. 
Definición. 1 una función derivable F(x), se llama función primitiva 
(O simplemente primitiva) para la función f(x) sobre el intervalo (a, b), si F’(x) = f(x) para .
Ejemplo 1. Si la derivada de una función es f(x) = 3x2, entonces su primitiva puede ser F(x)= x3 ya que F’(x)= 3x2
Pero otras primitivas podrían ser:
El ejemplo anterior nos lleva a la siguiente definición:
Definición. 2. Si la función F(x) es una primitiva para función f(x),, entonces el conjunto de todas las primitivas para la función f se prefija por la fórmula F(x) + c, .
Definición. 3. El conjunto de todas las primitivas de la función f(x) sobre el intervalo (a, b) se llama integral indefinida (o anti derivadas) de la función f sobre el intervalo (a, b) y se designa o simboliza como 
Este símbolo se lee así. “Integral de efe de equis respecto a de equis”. El símbolo se llama signo integral; f(x) función subintegral; f(x) dx, integrando (o expresión subintegral); dx, indica quien es la variable de integración.
Si F(x), es una primitiva cualquiera de la función f(x) sobre el intervalo (a, b), entonces se escribe: . Donde c es una constante arbitraria 
La determinación de una función por su derivada o por su diferencial se denomina integración de la función. La integración es la operación inversa a la derivación. La forma correcta para el ejemplo 1, seria escribir: 
· Propiedades principales de la integral indefinida.
Si en cada una de las siguientes fórmulas, las funciones están definidas sobre un mismo intervalo y tiene sobre estos intervalos primitivos, entonces:
· Tablas de integrales indefinidas. (I)
Existen algunas fórmulas que permiten calcular la integral indefinida de una función, dependiendo de la forma o estructuras que presente dicha función. Podemos denominar esta tabla, como tabla de integración inmediata.
 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O DE CAMBIO DE VARIABLE.
(,)
xab
Î
32
11
3'2
22
3
()1'()3
()5()3
(),tan.
FxxyaqueFxx
FxxyaqueFxx
obienengeneralFxxcdondecesunaconstearbit
raria
=+=
=-=
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(,)
xab
Î
c
Î
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()
fxdx
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(
)
,
xab
Î
()()
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ò
23
3
xdxxc
=+
ò
(
)
(
)
'
1.()()
2.()()
3.'()()
4.()()
5.()()0tan
6.(()())()()
fxdxfx
dfxdxfxdx
fxdxfxc
dfxfxc
afxdxafxdxdondeaesunaconste
fxgxfxdxgxdx
=
=
=+
=+
=¹
±=±
ò
ò
ò
ò
òò
òòò
2
2
1
1.0,tan10.sec
2.11.csc
3.(1)12.secsec
1
4.cos13.csccsc
5.cos
6.lnsec
7.ln
n
n
dxccesunaconstextagxc
dxxcxdxctgxc
x
xdxcnxtagxdxxc
n
senxdxxcxctagxdxxc
xdxsenxc
tagxdxxc
ctgxdxs
+
==+
=+=-+
=+¹-=+
+
=-+=-+
=+
=+
=-
òò
òò
òò
òò
ò
ò
ò
2
8.seclnsec
9.csclncsc
:
11
.cos.cosa
1
.sec.c
enxc
xdxxtagxc
xdxxctgxc
Demaneraadicionaltenemoslassiguientesfor
mulascomocasoespecialdelasformulas
anteriores
IsenaxdxxcIIxdxsenxc
aa
IIIaxtagxcIV
a
+
=++
=-+
=-+=+
=+
ò
ò
òò
ò
2
1
sc
11
.secksec.csckcsc
:,tan.
axdxctgxc
a
VxtagkxdxxcVIxctagkxdxxc
kk
Notaayksonvaloresconstes
=-+
=+=-+
ò
òò
1
222
222
33233
33233
3,:
1
()2
()2
i......()33
()33
().(
n
n
mm
n
mp
nn
p
n
m
x
Paraaplicarlaformulaxdxcesrecomendablere
cordarlosiguiente
n
abaabb
abaabb
kk
xxiikxiiikxivabaababb
x
x
abaababb
aba
+
-
-
æö
=+
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+
èø
+=++
-=-+
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-=-+-
+
ò
(
)
22
.
)
..().()
.()...(´)
...
ix.
m
mnmnmn
n
n
mmn
nn
n
bab
a
vaaaproductodepotenciasdeigualbaseviadiv
isióndepotenciasdeigualbase
a
viiaapotenciadeunapotenciaviiiababraizde
unproducto
abcdabc
eeee
+-
ì
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
-=-
î
==
==
++++
=+++
(
)
32
....
exp,
3.
.
1.4
:intint
d
e
Todasestasresionesnospermitirantransform
arelejercicoplanteadodetalmaneraquesepue
da
aplicarlaformula
EjerciciosresueltosI
xxdx
SoluciónLaegralseseparaenendosegralesyse
aplicalafo
+
+
ò
(
)
43
323243
32
64
32536
3.
41
44
433
2.(23)
:int,
3.
231
(23)23
643
rmula
xx
xxdxxdxxdxcxxc
yydy
SoluciónSeaplicalapropiedaddistributivay
separamosendosegralesparaluegoaplicarla
formula
yy
yydyydyydycy
+=+=++=++
-
-=-=-+=
òòò
ò
òòò
4
3
2
3
1
335
2
2
2
222
3
1
2
4
3
4
3.
:int3.
21
252
4.
:
yc
xxdx
soluciónSeparamosendosegralesyaplicamosl
aformula
xx
xxdxxdxxdxcxxc
xx
dx
x
SoluciónTransformamoslasraicesyaplicamos
productodepotencia
+
+
-+
æö
-
ç÷
èø
æö
-=-=-+=-+
ç÷
èø
ò
òòò
ò
,
3.
sdeigualbasedivisiónde
potenciasdeigualyfinalmenteaplicamoslafo
rmula
(
)
(
)
1
5
1
3159
2
4
2
4
2444
15
4
1
44
3
35
23232
2
2
22
11
22
2
2223243254
.
44
99
21
5.
52
1
6.4()8(4)8162
5
xx
xxxxx
dxdxxdxxdxcxcc
x
x
xxxxxx
dxdxdxdxxdxxdxxxc
xxx
xx
yydyyyydyydyydyydyyy
+
-
+
====+=+=+
æö
+
=+=+=+=++
ç÷
ç÷
èø
+=++=++=++
òòòò
òòòòòò
òòòòò
3
33223
22222222
33333333
4224
22
3333
4527
23
3333
4527
23
3333
22
2
2
16
3
7.33
33
331
33
573
991
573
(1)(2)
8.
yc
axdxaaxaxxdx
adxaxdxaxdxxdx
axaxaxxc
axaxaxxc
xx
x
+
éù
æöæöæöæöæö
êú
-=-+-
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
êú
èøèøèøèøèø
ëû
=-+-
=-+-+
=-+-+
+-
òò
òòòò
4224242
22222
33333
10421371
333333
13
33
22
1315
2222
2222
33
26
137
222
9.222222
333
2
10.(1)t(1)t
5
xxxxxxx
dxdxdxdxdx
xxxxx
xdxxdxxdxxxxc
ptdtptdtptdtptcptcptc
ttdttdttdtdtt
-
-+---
===--
=--=--+
===+=+=+
+=+=+=
òòòòòò
òòò
òòò
òòòò
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
53
2
2
22
11
1
111111
1
111111
1
1
2
22
5
1
11.11111111
2
12..
11
1
13.
nnn
nnnnn
n
nn
nnnnnn
n
nnn
nnnnnn
n
n
tcttc
xxdxxdxxdxxdxxc
xx
nxdxnxdxncncnnxc
nnn
nn
nxcnxcnxcnxc
x
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+
-----
-
--+
+
-
++=++
éù
+-++=+-=+-==+
êú
ëû
==+=+=+
--+
+
=+=+=++
òòòò
òò
111
111
11
111
11
nn
nnnn
nn
xx
dxxdxxdxcxxc
nnn
x
-+-+
---
-+
æö
+=+=++=++
ç÷
-+-
èø
òòò
(
)
}
{
3332
22
32
222
22
82(2)(24)
14.2424
22(2)
1
4
3
15.2882(44)2(2)2(2)22
12
2222
22
Pararesolverlasintegrales
xxxxx
dxdxxxdxxdxxdxdx
xxx
xxxc
xxdxxxdxxdxxdxxdxdx
xxcxxc
+++-+
===-+=-+
+++
=-++
-+=-+=-=-=-
ì
ü
=-+=-+
íý
þ
î
òòòòòòò
òòòòòò
22
22
22
2222
2222
trigonometricas,esnecesariorecordarlassi
guientesidentidades:
1
2.1.csc
1cos
1.1.cos1
cos1
1.2.
1.2.sec1sec1
1.3.csc1csc1
xs
senx
senxx
senxx
xsenx
xtagxtagxx
xctgxctgxx
=Þ
ì
ì
=-
ï
+=Þ
ï
í
=-
ï
ï
î
ï
í
=+Þ=-
ï
=+Þ=-
ï
ï
î
2
22
2
1
csc
11
2.2.seccos
cossec
11
2.3.
2.4.
cos
1
2.5.
1cos2
4.1.
3.1.22cos
2
3.4.
1cos2
3.2.cos2cos
4.2.cos
2
5.
enx
x
xx
xx
ctgxtagx
tagxctagx
senx
tagx
x
ctagx
tagx
x
senx
senxsenxx
x
xxsenx
x
s
ì
=
ï
ï
ï
=Þ=
ï
ï
ï
=Þ=
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
=
ï
î
-
ì
=
ï
=
ì
ï
íí
+
=-
î
ï
=
ï
î
(
)
(
)
22
()coscos
cos()coscos
.
1.32cos32cos3cos2
2.
3.4csc2sec4csc2sec4csc
enxysenxysenyx
xyxysenxseny
EjerciciosresueltosII
senxxdxsenxdxxdxxsenxdxc
senxdysenxdyysenxc
ctgdctgdd
qqqqqqqqq
±=±
ì
í
±=
î
-=-=--+
==+
+=+=-
òòò
òò
ò
m
2
222
222
22222
2
2
4.sec(sec)sec.secsec
111
5.csc.cscsec
cos
11
tagc
ttagttdtttagtdttdtttagtc
tagxtagxsenx
dxdxdxxdxdxxdxxdx
senxsenxsenxxsen
tagx
ctgxtagxctagxcc
tagxtagx
qq
++
-=-=-+
-
=-=-=-
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+
=--+=-++=+
ç÷
èø
òò
òòò
òòòòòòò
2
2
sec
cos1122
.2csc2
cos2cos2
cos
x
c
tagx
x
ccccxc
senxsenxsenxsenx
x
=+
=+=+=+=+=+
(
)
(
)
(
)
32323
2
222222
22
22
1
6.cos(1)cos.seccoscos
cos
7.232(csc13(sec1)2csc23sec3
2csc3sec23
8.()2
xtagxdxxxdxxdxxdxsenxc
x
ctgttagtdtttdxtt
tdxtdxdxctgttagttc
tagxctgxdxtagxtagxctgx
+====-+
-=---=--+
=-+=--++
+=+
òòòò
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ò
(
)
(
)
222
22
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22
2
22
sec12csc1
1
seccsc
cos
1
1cos(scos)
coscos
cos
coscos
2(coss2cos2
2cos
ctgxdxxxdx
xdxxdxtagxctgxctagxc
tagx
senxsenxx
tagxxenxx
xx
cccc
senxsenx
tagx
xsenx
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xenxx
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senxx
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=+=-+=-+
-
-
--
=+=+=+=+
--
=+=-
òò
òò
(
)
(
)
22
2
22
22
2
9.secsec(sec1)sec
secsecsec
10.cos
(1)
11.
1(1)(1)
cctgxc
senx
tagxtagxxdxtagxdxtagxxdxxdxtagxxdx
xdxdxtagxxdxtagxxxc
xsenxdxdxxc
senysenysenyseny
dydy
senysenyseny
+=-++
+=+=-+
=-+=-++
+==+
++
==
--+
òòòòò
òòò
òò
òò
22
222
22
2
22
1coscos
1
sec(sec1)
coscos
secsecsec
coscoscos1
12.csccsc
1cos
3
13.
senysenyseny
dydydy
senyyy
seny
dytagytagyydyydy
yy
tagyydyydyytagyycxxx
dxdxdxctgxxdxxc
senxsenx
xsenx
t
=+
-
=+=+-
=+-=+-+
====-+
-
òòò
òòòò
òòò
òòòò
(
)
(
)
22
22
2
222
2
222
4coscos
343sec4cos
coscoscos
3sec4
41
14.44csc4
15.sec2secsecsec12
agyytagyy
dydydytagyydyy
yyy
ysenyc
senxsenx
dxdxdxdxxdxxctgxc
senxsenxsenx
tagxxdxtagxtagxxxdxxtagc
-
=-=-
=-+
-
=-=-=++
+=++=-+
òòòòò
òòòòò
òò
(
)
2
2
2
22
secsec
2sec2sec22sec
1
16.sec
1cos
22cosx
17.22cos
coscos
xxdx
xdxtagcxdxdxtagxxxc
dx
dxxdxtagxc
senxx
senxsenx
dxdxsenxdxxc
xx
+
=+-=+-+
===+
-
===-+
ò
òòò
òòò
òòò
2222
22
322cos
18.36cos6
1(1cos)1cos1cos1cos
19.
1cos(1cos)(1cos)
1cos
cos1
csccsccscc
senxsenxx
dxdxxdxsenxc
senxsenx
d
ddddd
sensensen
dddctgdctg
sensen
qqqqq
qqqqq
qqq
qqqq
q
qqqqqqqqq
qq
===+
---
====-
++-
-
=-=-=-+
òòò
òòòòòò
òò
2222
22
sc
1(1cosx)1cosx1cosx1cosx
20.
1cos(1cosx)(1cosx)
1cos
cosx1
csccsccscxcscx
21.
11(1)
c
dx
dxdxddxdxdx
x
xsenxsenxsenx
xdxdxxdxctgxdxctgxc
senxsenx
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senxsenxsenx
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+
+++
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-
=+=+=--+
=-=-
---
òò
òòòòòò
òòòò
òò
22
22
22
2
(1)11
(1)
1cos
11
secsecsec
coscos
coscos
sec
(1)11
22.
1(1)(1)
1c
senxsenxsenx
dxdx
sen
senxx
senxsenx
dxdxxdxdxxdxtagxxdx
xx
xx
tagxxc
dxdxsenxsenxsenx
dx
senxsenxsen
senx
+++
=-=-
+
-
=--=--=--
=--+
+++
===
--+
-
òòò
òòòòòò
òòò
222
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22
222
1
oscoscos
1
secsecsecsec
coscos
(sec)secsec
23.
sec(sec)(sec)
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senx
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tagtttagtttagtt
tagtttagt
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---
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--+
òòò
òòòò
ò
2
22
2
22
22
22
2222
)
secsec
sec
1
1
(sec1)secsecsecsec
cos2cosco
24.
coscos
dt
tagt
tagttagtttagttagtt
dtdttagtdttagttdt
tagttagt
tdttagttdttdtdttagttdttagtttc
xxsenx
dxdx
senxxsenxx
--
===-+
-
--
=--+=-++=-+++
-
==
òòò
òòòò
òòòòò
òò
22
222222
22
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coscoscos
cscsec
xsenx
dxdxdxdx
senxxsenxxsenxx
xdxxdxctgxtagxc
-=-
=-=--+
òòòò
òò
,int,int
.int,
.
int
Existenmétodosllamadostécnicasdeegración
quenospermitenreducirciertasegrales
aotrasyaconocidasEntreestastécnicastenem
oslaegraciónporsustituciónyotraslas
cualesseestudiaranmasadelante
Esta
(
)
int
:()'(x)dxosiesdelaforma(),()'()
egraciónporsustituciónesrecomendableapli
carlacuandosetenganegralesdela
formafgxgfuduconugxydugxdx
==
òò
(
)
(
)
.()'(x)dxF()
:
.()duF(u)c
intvar,
:
1.
n
ifgxggxc
Encadaunadelassituacionesanteriorestendr
iamos
iifu
Paracalcularestasegralesmedianteelcambio
deiablesugeridoesrecomendable
apoyarseenlasiguientetabla
udu
ì
=+
ï
í
=+
ï
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ò
ò
[
]
1
2
2
(1)
1
2.
3.
4.()()()du()
5.cos
6.cos
7.sec
8.csc
9.secsec
10.csccsc
n
u
cn
n
duuc
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fugudufuguc
senuduuc
udusenuc
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uductguc
utaguduuc
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Ejerciciosresuelto
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=+
=+
=-+
=+
=-+
ò
ò
òò
òòò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
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234244535
2
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333233
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3
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(1)3
888884
3332
(1)33
sIII
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x
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x
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dydy
yy
yyduduu
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-
ì
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ï
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ï
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Þ=
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====+=-+=
-
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òòò
ò
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2
2
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222
4
3(1)
124
4
3.312
3321
3123.(12)
44432
c
y
du
uxduxdxdx
x
xxdx
du
xxdxxuuduucxc
x
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
-+
ï
+
ï
î
ì
=-Þ=-Þ=-
ï
ï
-Þ
í
æö
ï
-=-=-=-+=--+
ç÷
ï
èø
î
òòòò
ò
òòò
df
dx
(,)
xab
Î