Práctica 9 y adicionales_ 2023

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias
2022
Práctica 9 Campos conservativos - Teorema de Green
A. Campos conservativos
1. Mostrar que ~F (x, y) = y cos (x)~i + x sen (y)~j no es un campo vectorial gradiente.
2. Analizar en cada caso si es posible encontrar una familia de funciones potenciales. En caso afirmativo, hallarla.
(a) ~F(x, y) = (x2 + y2)~i + 2xy~j (b) ~G(x, y) = −xy~i + x~j
3. Dado el campo ~F(x, y) = (2xy, x2),
(a) demostrar que es conservativo y calcular la familia de funciones potenciales.
(b) Calcular
∫ B
A
~F · d~r, donde A = (1, 2) y B = (2, 8).
4. Calcular
∫
C
~F · d~r en los siguientes casos,
(a) ~F(x, y) = ∇(
√
1 + x2 + y2) siendo C el segmento de (2, 1) a (−2, 2).
(b) ~F(x, y) = (ex sen (y), ex cos(y)) sobre el tramo de la parábola y = x2 con x ∈ [−1, 1].
5. ¿Es la integral
∫
C
(2y + x) dx+ (2x− 3y) dy independiente del camino? ¿Por qué?
6. Sean ~s (x, y) = −y~i + x~j y ~G (x, y) = ~s/‖~s‖2.
(a) ¿Cuál es el dominio donde ~G es de clase C1? ¿Es simplemente conexo?
(b) Mostrar que el campo vectorial ~G no es conservativo en todo su dominio. Para ello, calcular la integral del campo
sobre la circunferencia x2 + y2 = 1.
(c) Mostrar que f (x, y) = arctan
(y
x
)
es una función potencial de ~G en todo el plano salvo el eje y. ¿Hay alguna
contradicción con el inciso anterior?
(d) Buscar ahora una función potencial que esté definida en todo el plano salvo el eje x.
(e) Utilizando adecuadamente los incisos anteriores, calcular
∫
C
~F · d~r en los siguientes casos:
1. C es el tramo de parábola x = 2− y2 con −1 ≤ y ≤ 1.
2. C es el tramo de parábola y = x2 + 1/4 con −1/2 ≤ x ≤ 1/2.
7. Consideremos los puntos del plano B = (−2, 0), A = (−1, 1), O = (0, 0), D = (1,−1), E = (2, 0) y F = (1, 1).
Llamemos XY al segmento orientado que une el punto X con el punto Y .
Si es un campo conservativo en el plano y sabemos que
∫
AOF
~F · d~r = 3,
∫
OF
~F · d~r = 2 y
∫
AB
~F · d~r = −5, calcular el
trabajo realizado por la fuerza a lo largo de los siguientes caminos:
AODEF FEDO BOEF FAODEB FDOBAF
C. Teorema de Green
Si un ejercicio pide comprobar el Teorema de Green, deberán comprobar las hipótesis y calcular las dos integrales.
Si un ejercicio pide calcular una integral usando el Teorema de Green, se espera el cálculo de la otra integral involucrada
en el Teorema.
Si no se especifica la manera, depende del integrando y de la región cuál integral es la que conviene calcular.
8. Utilizando el Teorema de Green, calcular
∮
C+
Pdx+Qdy en los siguientes casos,
(a) P = x2 − y2, Q = 2xy, C = ∂R, con R =
{
(x, y) ∈ R2 : |x| < 1, |y| < 1
}
.
(b) P = x, Q = x+ y2, C = ∂R, donde R es la región comprendida entre x = 3 y 3y2 = 4x.
No olvidar verificar las hipótesis del Teorema.
9. Calcular el área encerrada por cada una de las siguientes curvas utilizando integrales de ĺınea.
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anaes
Cuadro de texto
2023
10. Sea C el borde de un rectángulo de altura h y base b. Mostrar que la integral
∮
C
(
x2y + 2x
)
dy+ xy2dx no depende de
la ubicación del rectángulo en el plano.
11. Sean C1 y C2 dos curvas cerradas simples que no se cortan entre śı, con C1 en el interior de C2. Llamemos Ω a la región
encerrada por ellas.
Sea D un abierto tal que Ω̄ ⊂ D, y consideremos un campo ~F = P ĭ+Qj̆ de clase C1(D).
Demostrar que el Teorema de Green es válido en Ω, es decir,∫∫
Ω
(Qx − Py) dx dy =
∫
C+2
P dx+Qdy −
∫
C+1
P dx+Qdy.
12. Sean P (u, v) = vu2 yQ (u, v) = −uv2. Comprobar el Teorema de Green sobre el anilloR =
{
(u, v) ∈ R2 : 1 ≤ u2 + v2 ≤ 4
}
(es decir, comprobar las hipótesis y calcular las dos integrales).
13. Considerar el campo ~G (x, y) =
(
−y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
del ejercicio 7 de la Parte B.
(a) Calcular ∂Q∂x −
∂P
∂y .
(b) Considerar el disco unitario D. ¿Por qué no puede aplicarse el Teorema de Green en este caso?
(c) En el Ejercicio 6 calcularon
∫
∂D
~G · d~r. Consideren ahora una curva C simple cerrada contenida en D.
1. ¿Cuánto vale
∫
C
~G · d~r si C no encierra al origen?
2. ¿Cuánto vale
∫
C
~G · d~r si C encierra al origen? (Sugerencia: considerar la región que tiene como frontera a C
y a ∂D y aplicar el Teorema de Green).
14. Encontrar todas las circunferencias C para las cuales se satisface la siguiente igualdad
∮
C+
5ydx+ 7xdy = 14π.
15. Considerar ~F (x, y) = (3y + ey cos (x))~i + (11x+ ey sen (x))~j.
(a) Calcular
∮
C
~F · d~r siendo C la frontera del semićırculo x2 + y2 ≤ π
2
4
con y ≥ 0 recorrida en sentido antihorario.
(b) Calcular
∫
C′
~F · d~r siendo C ′ la semicircunferencia x2 + y2 = π
2
4
en el semiplano superior.
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Análisis Matemático II
Curso 2022
Adicional Prácticas 8 y 9
17. Calcular
∫
C
~F · d~r para ~F = (y, x2 + y2) y C es el arco de circunferencia x2 + y2 = 4 recorrido en sentido
horario desde (−2, 0) hasta (0, 2) en ese orden.
18. Calcular ∫
γ
−y
x
√
x2 − y2
dx +
1√
x2 − y2
dy ,
donde γ es la porción de hipérbola x2 − y2 = 1 que une (1, 0) con (
√
2, 1).
19. Calcular el trabajo ejercido por la fuerza ~F(x, y) = y cos(xy)i+ x cos(xy)j al mover una part́ıcula a lo largo
de la curva dada por y = tanx, con x ∈ [0, π/4].
20. Sea γ la curva poligonal con vértices en los puntos (2, 0), (1, 1), (−1, 1) y (−2, 0).
Utilizando apropiadamente el Teorema de Green, calcular la siguiente integral de linea∫
γ
(x− y2)dx+ (3x+ y)dy
21. Sea C la porción de parábola y = x2 que une (2, 4) con (0, 0) (en ese orden).
Calcular de dos maneras distintas
∫
C
~F · d~r en los casos siguientes:
a) ~F = (2xy, x2)
b) ~F = (xy, x2)
22. Utilizar el Teorema de Green para calcular mediante una integral de ĺınea el área de la porción del ćırculo
x2 + y2 ≤ 2 que se encuentra por encima de y = 1.
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