Práctica 11 conservativos en R3-2023

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias
2018
Práctica 11 - Teorema de Stokes - Teorema de Gauss
Si un ejercicio se pide comprobar el Teorema de Gauss o de Stokes, deberán comprobar las hipótesis y calcular las dos integrales.
Si un ejercicio pide calcular una integral usando el Teorema de Gauss o de Stokes, se espera el cálculo de la otra integral
involucrada en el Teorema, además de la comprobación de las hipótesis correspondientes.
Si no se especifica la manera, depende del integrando y de la región cuál integral es la que conviene calcular.
A. Teorema de Stokes
1. Comprobar que se cumple la igualdad correspondiente al Teorema de Stokes en los siguientes casos,
a) Para
−→
F (x, y, z) = 3y
−→
i − xz
−→
j + yz2
−→
k y la superficie S de la primera figura.
b) Para
−→
F (x, y, z) = (x + y, 2x− z, y + z) y S la porción del plano 3x + 2y + 2z = 6 en el primer octante orientada con
el vector normal hacia el origen.
2. Calcular
∫∫
S
(∇×
−→
F ) · −→n dS siendo S la porción del paraoloide 2z = x2 + y2 para 0 ≤ z ≤ 2 orientada con el normal
exterior y
−→
F (x, y, z) = 4y
−→
i − xz
−→
j + yz2
−→
k .
3. Calcular
∮
C
xydx + zdy + ydz siendo C la curva de la segunda figura.
4. Calcular
∮
C
(x + y) dx + ydy + zdz siendo C el rectángulo de vértices (1, 2,−1), (1, 2, 3), (0, 2, 3) y (0, 2,−1).
5. Calcular
∮
C
(
(arctan (y) + sen (z)) dx +
x
1 + y2
dy + (x cos (z) + y) dz
)
, siendo C la curva intersección entre el paraboloide
x2 + 5y2 = z y el plano z = 27 orientada en sentido antihorario al verse desde el eje z positivo.
6. Considerar
−→
F (x, y, z) = 4x3y
−→
i + 3y2z2
−→
j + xz3
−→
k ,
−→
G (x, y, z) = −x4
−→
j +
(
xz3 − 2y3z
)−→
k y C la elipse determinada por
la intersección del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano 2x + 3y − z = 9. Mostrar que∮
C
−→
F · d−→r =
∮
C
−→
G · d−→r .
—————————————————————————————————————
B. Teorema de Gauss
1. Comprobar que se cumple la correspondiente igualdad del Teorema de Gauss en cada caso,
a) Para
−→
F (x, y, z) = x
−→
i +y
−→
j +z
−→
k y S la superficie frontera del sólido comprendido entre los paraboloides z = 10−x2−y2
y z = 2 + x2 + y2.
b) Para
−→
F (x, y, z) = x3
−→
i + y3
−→
j + z3
−→
k y S la esfera unitaria centrada en el origen.
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7.
2. Calcular el flujo saliente del campo
−→
F (x, y, z) = x
−→
i −
−→
j + 3z2
−→
k a través de la superficie frontera del sólido encerrado en
el primer octante por el plano 2x + y + 4z = 2.
3. Calcular
∫∫
S
(
∇×
−→
F
)
· d
−→
S siendo
−→
F (x, y, z) =
(
sen 2
(
y2 + z2
)
+ zy, 2ex
2z, x2 + y2
)
y S la frontera del sólido compren-
dido entre la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 1 y el plano z = 0.
4. Calcular el flujo saliente del campo
−→
F (x, y, z) =
(
xz,−y2, xz
)
a través de la superficie frontera del sólido interior al cilindro
x2 + y2 = 1 para 0 ≤ z ≤ 4.
5. Mostrar que el volumen de un sólido V puede calcularse con
1
3
∫∫
∂V
−→
F · −→n dS siendo
−→
F (x, y, z) = x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k .
6. Dado
−→
F (x, y, z) = (x + yz, xye−xz, e−xz), calcular
∫∫
S
−→
F · d
−→
S siendo S la porción del paraboloide z = 1−x2−y2 que está
sobre el plano xy orientado con el normal hacia arriba (notar que la superficie no es cerrada).
—————————————————————————————————————
Más ejercitación
1. Sea F(x, y, z) = (x+yez, Q(x, z), 5z), siendo Q una función diferenciable. Considerar el sólido S determinado por el interior
de la esfera dada por x2 + y2 + z2 = 25, con z = 4. Se sabe que el flujo de F a través de la porción del plano z = 4, con
x2 + y2 = 9 es igual a 4. Calcular el flujo de F a través de la porción de esfera que es es borde de S.
2. Calcular
∫
C
−→
G · d−→r , donde
−→
G(x, y, z = (yz + arctan z, ezy + sen z, z3) y C es la curva intersección del cono z =
√
x2 + y2
con el cilindro x2 + y2 = 1 recorrida en sentido antihorario cuando se observa desde el eje z.
3. Una part́ıcula se mueve por la acción del campo de fuerza F(x, y, z) = (z2, 2xy, 4y2) a lo largo de segmentos de recta desde
el origen, pasando por (1, 0, 0), (1, 2, 1) (0, 2, 1) y regresando al origen .Usando el Teorema de Stokes, encontrar el trabajo
realizado.
4. Verificar el Teorema de Gauss para el campo F(x, y, z) = (x4,−x3z2, 4x2z) y el sóildo determinado por x2 + y2 = 1 y los
planos z = 0 y y z = x + 2.
5. A partir del Teorema de Gauss, calcular el flujo de F(x, y, z) = (z2x, y
3
3 + tan z, x
2z + y2), sobre la semiesfera superior S
dada por x2 + y2 + z2 = 1. Sugerencia: considerar S ∪ S1, donde S1 es el disco x2 + y2 ≤ 1 con z = 0.
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II - Grupo Ciencias
2023
Práctica 11 - Segunda Parte - Campos conservativos en el espacio
A. Rotor y divergencia de campos vectoriales
18. Sean ~F, ~G : R3 → R3 y f, g : R3 → R funciones con derivadas parciales de segundo orden continuas. Probar las
siguientes identidades (las dos primeras son básicas y las usarán a menudo).
(a) rot (∇f) = 0 (b) div
(
∇× ~F
)
= 0
(c) ∇×
(
f · ~F
)
= ∇f × ~F + f
(
∇× ~F
)
(d) ∇ ·
(
f~F
)
= ∇f · ~F + f∇ · ~F
(e) ∇ ·
(
~F× ~G
)
=
(
∇× ~F
)
· ~G− ~F ·
(
∇× ~G
)
(f) ∇ · (∇f ×∇g) = 0
B. Campos conservativos
19. Analizar si los siguientes campos admiten una familia de funciones potenciales. En caso afirmativo, encontrar dicha
familia.
(a) ~G(x, y, z) = −xy~i + x~j + xz~k
(b) ~F(x, y, z) =
x
(x2 + y2 + z2)2
~i +
y
(x2 + y2 + z2)2
~j +
z
(x2 + y2 + z2)2
~k
20. Dado el campo ~F(x, y, z) = (2xy, x2 + z2, 2yz + z),
(a) demostrar que es conservativo y calcular la familia de funciones potenciales.
(b) Calcular
∫ B
A
−→
F ·~r, donde A = (1, 2, 3) y B = (2, 8, 0).
21. Sean a,R dos números reales positivos. Calcular∫
γ
yz dx + zx dy + xy dz ,
donde γ es el tramo de hélice ~r(t) = (R cos t, R sen t, 4atπ ) limitado por los planos z = 0 y z = 5a.
22. Dado el campo ~F(x, y, z) =
(
x
x2 + z2
, ey, 2z +
z
x2 + z2
)
,
(a) Determinar si ~F es conservativo (y en qué región). Justificar la respuesta. En caso afirmativo, hallar la familia de
funciones potenciales asociada a esa región.
(b) Calcular la integral de ĺınea de ~F a lo largo de un tramo de hélice circular que va desde ( 12 , 0, π) hasta (
1
2 , 0, 3π).
(c) Sea γ la curva cerrada dada por x2 + z2 = 4, y = 0. Calcular
∫
γ
~F · d~r.
(d) Sea γ la curva cerrada dada por 2x2 + z2 = 1, y = 0. Utilizando el ı́tem anterior y el Teorema de Stokes de modo
conveniente, demostrar que
∫
γ
~F · d~r = 0.
Observar que a partir del inciso (a) y de una generalización del inciso (d), es posible demostrar que el campo es
conservativo en su dominio natural (a pesar de no ser simplemente conexo).
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