3- Ejemplo con ambos teoremas

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Ejemplo de aplicación de los Teoremas de Función Impĺıcita y Función Inversa
Éste es un ejercicio de aplicación de ambos teoremas. Intenten primero hacerlo y luego comparen con
la resolución propuesta.
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Sea F : R3 → R de clase C1 tal que F (5, 3, 2) = 6. Supongamos que la recta r(t) dada por
r(t) = (5, 3, 2) + t(1,−1, 2) es normal a la superficie de nivel F (x, y, z) = 6 en el punto (5, 3, 2).
1. Demostrar que la ecuación F (x, y, z) = 6 define a z = g(x, y) de clase C1 en un entorno
adecuado de (5, 3).
Veamos si se satisfacen las hipótesis del Teorema de la función impĺıcita (TFI) para poder aplicarlo.
a) Del enunciado se sabe que F (5, 3, 2) = 6.
b) También, del enunciado, se sabe que F es C1(R3).
c) Fz(5, 3, 2) 6= 0 pues el vector director de la recta normal a la superficie de nivel F (x, y, z) = 6 en el
punto (5, 3, 2) es paralelo al gradiente de la función F en el punto (5, 3, 2). Por lo tanto, ∃λ ∈ R,
λ 6= 0 tal que ∇F (5, 3, 2) = λ(1,−1, 2). Luego, Fz(5, 3, 2) = 2λ con λ 6= 0.
También, Fx(5, 3, 2) = λ y Fy(5, 3, 2) = −λ.
Entonces, por el TFI, se puede concluir que existen un entorno U de (5, 3) en R2 y una vecindad V
de 2 en R tal que existe una función única z = g(x, y) definida para (x, y) ∈ U y z ∈ V que satisface
que F (x, y, g(x, y)) = 6. Más aún, si (x, y) ∈ U y z ∈ V satisfacen F (x, y, z) = 6, entonces z = g(x, y).
Finalmente, z = g(x, y) es continuamente diferenciable, con
gx(x, y) = −
Fx(x, y, z)
Fz(x, y, z)
y gy(x, y) = −
Fy(x, y, z)
Fz(x, y, z)
.
2. Hallar una función H : R2 → R de la forma H(x, y) = T (x, y) + C con T lineal y C
constante, de tal modo que H sea la mejor aproximación de ese tipo para g en las
cercańıas de (5, 3). Calcular además el valor aproximado de g(5.1, 2.7) usando esa
construcción.
Por ser g(x, y) diferenciable en (5,3), H será la mejor aproximación lineal a g(x, y) en las cercańıas de
(5, 3) si H satisface las siguientes condiciones:
a) H es una función lineal,
b) H(5, 3) = g(5, 3),
c) Hx(5, 3) = gx(5, 3) y Hy(5, 3) = gy(5, 3).
Por tanto, H(x, y) = g(5, 3) + gx(5, 3)(x− 5) + gy(5, 3)(y − 3). De los incisos previos se conoce que
gx(5, 3) = −
Fx(5, 3, 2)
Fz(5, 3, 2)
= − λ
2λ
= −1
2
y gy(5, 3) = −
Fy(5, 3, 2)
Fz(5, 3, 2)
= −−λ
2λ
=
1
2
.
Luego, reemplazando g(5, 3) = 2, Hx(5, 3) = − 12 y Hy(5, 3) =
1
2 resulta
H(x, y) = 2− 1
2
(x− 5) + 1
2
(y − 3)
y concluir que H(x, y) = T (x, y) +C con T (x, y) = − 12x+
1
2y y C = 3. Para calcular el valor aproximado
de g(5.1, 2.7) utilizaremos al mejor aproximación lineal de g en las cercańıas de (5, 3) pues consideramos
que (5.1, 2.7) está cerquita de (5, 3). Luego, g(5.1, 2.7) ≈ H(5.1, 2.7) = 1.8.
3. Consideremos ahora G(x, y) = (x−y2, g(x, y)). Probar que existe un entorno adecuado
W de (5, 3) donde G es invertible. Calcular DG−1(−4, 2).
Debemos analizar si se cumplen las hipótesis del teorema de la función inversa,
a) Sea u(x, y) = x − y2 y v(x, y) = g(x, y) las componentes de la función G. Como g(x, y) es una
función C1(U) y u(x, y) es un polinomio, resulta que G(x, y) es una función C1(U). Por lo que será
posible analizar si G es invertible sólo en el entorno U de (5, 3).
b) Veamos si det(DG(5, 3)) 6= 0.
DG(x, y) =
(
ux(x, y) uy(x, y)
vx(x, y) vy(x, y)
)
=
(
1 −2y
gx(x, y) gy(x, y)
)
luego,
DG(5, 3) =
(
1 −6
− 12
1
2
)
y resulta det(DG(5, 3)) = −52 6= 0.
Por lo tanto, podemos concluir, por el teorema de la función inversa, que existe un entorno W1 ⊂ U
de (5, 3) y un entorno W2 ⊂ R×V de G(5, 3) donde G es localmente invertible y G−1 de clase C1(W2).
Observar que G(5, 3) = (−4, 2), por lo tanto G−1(−4, 2) = (5, 3) y
DG−1(−4, 2) = (DG(5, 3))−1 =
(
1 −6
−12
1
2
)−1
=
1
det(DG(5, 3))
(
1
2 6
1
2 1
)
Luego, DG−1(−4, 2) = −25
(
1
2 6
1
2 1
)
.