TEORÍA DE PROBABILIDAD

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Universidad de Los Andes
Núcleo Universitario “Rafael Rangel”
Departamento de Ciencias Económicas, Administrativas y Contables
Pampanito, Estado Trujillo
 
 
 
 
 
 
TEORÍA DE PROBABILIDAD
 
 
 
 
 
 
Elaborado por:
Alicar Paulino Ocanto Bastidas
V-29.541.891
Estadística Aplicada
Prof: Alba Hernández
 
Febrero, 2023
Introducción
 Las probabilidades son parte de nuestro entorno, a diario estamos frente a ellas y esto explica un teorema donde el conocimiento de las condiciones en las que éstos se desarrollan no garantiza los resultados, lo cual es innegable al uso de una función que asigne niveles de certidumbre a cada uno de los desenlaces del fenómeno. Así ésta es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos, todo aquel experimento al cual el resultado que se obtiene no siempre es el mismo, esto cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales.
 Ejemplo más sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy modestos, hay situaciones en donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia. En un principio, no se sabe cuál será el resultado del experimento aleatorio, por lo cual se requiere que por lo menos agrupemos en un conjunto a todos los resultados posibles, o se supone que es lo más aceptable. 
Probabilidad Clásica
 Sea 𝐴 un subconjunto de un espacio muestral Ω de cardinalidad finita. Se define la probabilidad clásica del evento 𝐴 como el cociente:
(𝐴) = #𝐴/#Ω
 En donde el símbolo #𝐴 denota la cardinalidad o número de elementos del conjunto 𝐴. Claramente, esta definición es sólo válida para espacios muestrales finitos, pues forzosamente necesitamos suponer que el número de elementos en Ω es finito. 
 Además, el espacio debe ser equiprobable, pues para calcular la probabilidad de un evento 𝐴, únicamente necesitamos contar cuantos elementos tiene 𝐴 respecto del total, sin importar exactamente qué elementos particulares sean. Por lo tanto, esta definición de probabilidad presupone que todos los elementos de Ω son igualmente probables o tienen el mismo peso. Este es el caso, por ejemplo, de un dado equilibrado.
 Para este experimento el espacio muestral es el conjunto Ω = {1, 2,3, 4, 5,6}, y si deseamos calcular la probabilidad (clásica) del evento 𝐴 correspondiente a obtener un número par, es decir, la probabilidad de 𝐴 = {2, 4,6}, entonces
𝑃(𝐴) = #{2,4,6} /#{1,2,3,4,5,6} 
= 3/6 
= 1/2
· Ejemplo 1: Entre 7 personas se reparten 5 cartas cada uno, el objetivo del juego es quien obtiene la combinación más alta de cartas, entonces, ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada uno de ganar la ronda?
g= Ganar
P(g): 1/7*100%: 0.1429*100%: 14.29%
· Ejemplo 2: Un hombre ha pensado un número entre 1 y 15, si este hombre le pide a su amigo que adivine en que número pensó, ¿Cuál es la probabilidad de que su amigo adivine el número en el primer intento?
an = Adivinar número
P(an) = 1/15*100%: 0.067*100%: 6.7%
Experimento Aleatorio:
 Un experimento se dice que es aleatorio cuando, puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma manera.
· Ejemplo 3: El lanzamiento de un dado no cargado y observar el número que aparece en la cara. 
· Ejemplo 4: El lanzamiento de una moneda cuatro veces y contar el número total de caras obtenidas.
Espacio Muestral:
 El espacio muestral (o también llamado espacio muestra de un experimento aleatorio o conjunto de todos los resultados posibles de los experimentos) es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega).
 En algunos textos, se usa también la letra 𝑆 para denotar al espacio muestral. Esta letra proviene del término sampling space de la lengua inglesa equivalente a espacio muestral. Evento, es llamado a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, etc. Una correcta proyección de estos y otros conceptos es lo que va a permitir estudiar grandes colectivos a partir de pequeñas partes de ellos, llamadas muestras, dando lugar a lo que se conoce como inferencia estadística.
· Ejemplo 5: Lanzar una moneda. Se puede obtener cara (que representaremos por C) o cruz (que representamos por X). El espacio muestral es E = { C, X }
· Ejemplo 6: Si lanzamos dos monedas el espacio muestral estaría formado por los posibles resultados de cara (C) o cruz (X) de cada una de las dos monedas y sería
E = {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.
Axiomas de la Probabilidad:
 En la definición axiomática de la probabilidad, no se establece la forma explícita de calcular las probabilidades, sino únicamente se proponen las reglas que el cálculo de probabilidades debe satisfacer:
1. Siempre es positiva.
2. Siempre estará entre 0 y 1.
3. Sea Ai...An, sucesos tales que son disjuntos dos a dos (es decir, la intersección es Ø) Ai ∩ Aj = φ, la probabilidad es la suma de todas las probabilidades de sucesos.
P (∪ Ai) =∑P(Ai).
· Ejemplo 7: Calcula P(A∩B).
P(A)= {1, 3, 5}
P(B)= {2,3,4,6}
P(1,3,5)+P(2,3,4,6)-P(3)
Solo cuando P(A∩B)=0, es decir que son disjuntos.
· Ejemplo 8: Excluirse mutuamente quiere decir que A y B no pueden ocurrir simultáneamente en el mismo experimento. Así, la probabilidad de obtener águila o sol en la misma tirada de una moneda será:
P(A∩B): P(A)+P(B): 1/2+1/2: 1
Cálculo de la Probabilidad:
 El cálculo de probabilidades es el estudio de cómo se determina la posibilidad de ocurrencia de un suceso. Esto, cuando tiene injerencia el azar. El cálculo de probabilidades forma parte de la teoría de la probabilidad. Esta es aquella área de las matemáticas y la estadística que engloba todos los conocimientos relativos a la probabilidad. Dicho análisis es aplicado, por ejemplo, en los juegos de azar; como el póker.
La fórmula para el cálculo de probabilidades es: 
Número de casos favorables/Número total de casos posibles
· Ejemplo 9: Supongamos que lanzando un dado, deseamos saber la probabilidad de obtener como resultado un múltiplo de tres:
Casos favorables: 3, 6: Dos casos.
Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6: Seis casos.
Por tanto, la probabilidad sería: 2/6= 1/3= 0,3333= 33,33%
· Ejemplo 10: Suponiendo que una persona tiene que elegir un papel que, al abrirlo, mostrará un número. Hay diez papeles, donde se debía numerar del 1 al 10. Pero, por error, se ha escrito dos veces el número 8. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de elegir el número 8?
Número de casos favorables: 2.
Número total de casos posibles: 10.
Probabilidad: 2/10= 1/5= 0,2= 20%.
Sucesos o eventos mutuamente excluyentes:
 Son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo. Un claro ejemplo es el conjunto de resultados de un solo lanzamiento de moneda, que puede resultar en cara o cruz, pero no en ambos.
· Ejemplo 11: El lanzamiento de una moneda, ambos resultados son, en teoría, colectivamente exhaustivos, lo que significa que al menos uno de los resultados debe ocurrir, por lo que estas dos posibilidades juntas agotan todas las posibilidades. Sin embargo, no todos los eventos mutuamente excluyentes son colectivamente exhaustivos. Los resultados 1 y 4 de una sola tirada de un dado de seis caras son mutuamente excluyentes (ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo) pero colectivamente no son exhaustivos (hay otros resultados posibles: 2, 3, 5, 6).
· Ejemplo 12: Un ejemplo más concreto es el de 7 canicas en una bolsa: 4 verdes, 2 azules y una roja. Alicar, se acerca a la bolsa y a ciegas saca una canica. Las siguientes letras hacen referencia a los eventos:
· A– la canica es roja
· B– la canica es azul
· C– la canica es verde
 Los 3 deben ser excluyentes: si sacamos una sola canica de la bolsa, entonces puede ser roja o azul o verde. ¡No hay posibilidad de que sea azul y verde!
A. Hay 7 canicas y solo una es roja, entonces PAG(A) =1/7.
B. Hay 7 canicas y 2 son azules, entoncesPAG(B) =2/7.
C. Hay 7 canicas y 4 son verdes, entonces PAG(C) =4/7.
D. Los eventos son excluyentes, por lo tanto PAG(BorA)= P(B)+P(A)= 2/7+1/7= 3/7.
E. Los eventos son excluyentes, por lo tanto PAG(CorA)= P(C)+P(A)= 4/7+1/7=5/7.
F. Los eventos son excluyentes, por lo tanto 
PAG(CoBorA)= P(C)+P(B)+P(A)= 4/7+2/7+1/7= 7/7= 1.
 Los últimos dos resultados tienen sentido: PAG(CoBorA) que significa la probabilidad de que la canica sea verde, azul o roja. Debe ser uno de estos colores.
Sucesos o eventos solapados:
 Los eventos solapados son aquellos que tienen intersección no nula; Dos eventos E1 y E2, son solapados si tienen puntos muestrales comunes. Los puntos muestrales comunes a E1 y E2, forman un subconjunto llamado intersección de E1 y E2, y se representa por E1∩E2. Su fórmula es:
P(E1*E2)=P(E1óE2) = P(E1)+P(E2)-P(E1*E2) 
· Ejemplo 13 y 14: Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:
A) Motocicleta solamente: ...................................................5
B) Motocicleta: .........................................................................38
C) No gustan del automóvil: ................................................9
D) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil: .............3
E) Automóvil Solamente: ………………..............20
F) No gustan de la bicicleta: .................................................72
G) Ninguna de las tres cosas: ...............................................1
H) No gustan de la motocicleta: ........................................ 61
Por consiguiente:
13: ¿A cuántos no le gustaba la bicicleta y si el automóvil?
P{E1 ∩ E2} = P{E1} ∙ P [E2] 
92
14: ¿A cuántos les gustaba la motocicleta y la bicicleta?
P{E1 ∩ E2} = P{E1} ∙ P [E2]
3
Eventos Independientes:
 Se dice que dos eventos A y B son independientes si y solo si la probabilidad del evento B no está influida por el suceso del evento A o viceversa. El comprender y distinguir los eventos ya sean independientes o dependientes nos permitirá tener claridad sobre la probabilidad condicional.
· Ejemplo 15 Y 16: En un experimento de preferencia de color, ocho juguetes se ponen en un recipiente. Los juguetes son idénticos excepto por el color, dos son rojos y seis son verdes. Se pide a un niño que elija dos juguetes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño elija los dos juguetes rojos?
Considera R: “se elige un juguete rojo” o V: “se elige un juguete verde”
Rojo 1/7 RR
Verde 6/7 RV
Rojo 2/8
Rojo 2/7 VR
Verde 6/8
Verde 5/7 VV
Si A: “ambos juguetes rojos”, entonces: A: (2/8)*(1/7)= 2/56= 1/28
Eventos Dependientes:
 Cuando los eventos no se afectan entre sí, se les conoce como eventos independientes. Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Muchas otras situaciones también pueden incluir eventos independientes. Para calcular correctamente las probabilidades, necesitamos saber si un evento influye en el resultado de otros eventos.
· Ejemplo 17: Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?
El primer lanzamiento no es un 6.
El primer lanzamiento es un 6.
El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.")
· Ejemplo 18: Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?
Sacar una canica roja en el primer intento.
Sacar una canica roja en el segundo intento.
Los eventos son independientes porque regresaste la primera canica a la bolsa y tu segundo intento fue con la bolsa en su estado original.
Teorema de la eliminación:
El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales usa la propiedad de la igualdad de la suma. Puedes sumar el mismo valor a cada lado de la ecuación.
· Ejemplo 19: Usa eliminación para resolver el sistema.
−2x + 3y = −1
2x + 5y = 25
−2x+3y=−1
2x+5y=25
Observa los coeficientes de cada variable en la ecuación. Si sumas estas dos ecuaciones, el término x será eliminado porque −2x + 2x = 0.
−2x+3y=−1
2x+5y=25
8y=24
y=3
Suma y resuelve y.
2x + 5y = 25
2x + 5(3) = 25
2x + 15 = 25
2x = 10
x = 5
Sustituye y = 3 y x = 5 en una de las ecuaciones originales.
−2x + 3y = −1
−2(5) + 3(3) = −1
−10 + 9 = −1
−1 = −1
VÁLIDO
2x + 5y = 25
2(5) + 5(3) = 25
10 + 15 = 25
25 = 25
VÁLIDO
· Ejemplo 20: Usa eliminación para resolver el sistema.
2x + y = 12
−3x + y = 2 
2x + y = 12
−3x + y = 2
 2x + y = 12
3x – y = −2
5x = 10
x = 2
2(2) + y = 12
4 + y = 12
y = 8
2x + y = 12
2(2) + 8 = 12
4 + 8 = 12
12 = 12 
VÁLIDO
−3x + y = 2
−3(2) + 8 = 2
−6 + 8 = 2
2 = 2
VÁLIDO
Teorema de Bayes:
Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos tal que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades P(B/Ai), entonces:
· Ejemplo 21: P(Ai∩B) = P(Ai) ⋅ P(B/Ai) = P(B) ⋅ P(Ai/B) i=1,...,n 
· Ejemplo 22: Es realizada la extracción de la bola extraída que en este caso es blanca. Calcular la probabilidad de que sea de la urna nº1:
P: 1/2*3/5 / 1/2*3/5+1/2*2/5 = 3/5.
Conclusión
 La estadística y la probabilidad son habitualmente confundidas. Son conceptos relacionados pero bajo ningún concepto son sinónimos. La diferencia puede parecer, en un principio, algo sin importancia. Nada más lejos de la realidad. Conocer la diferencia entre uno y otro concepto nos ayudará a entenderlos mejor y obtener un conocimiento más preciso de la materia. 
 La teoría de la probabilidad constituye un aparato matemático, una herramienta que proviene de la ciencia matemática. Van de la mano, por decirlo de alguna manera, se sirven de dicha uno al otro para poder llegar a conclusiones más precisas. Por tanto, podemos definir que probabilidad no es lo mismo que estadística. Y de hecho, es más, ni siquiera es una rama de la estadística.