Ejercicios de la Parabola y Recta

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Ejercicios de la Recta y Parabola.
Ejercicio 1: Recta
Supongamos que estás caminando por una calle recta y quieres calcular la distancia
que has recorrido en función del tiempo. Si caminas a una velocidad constante de 5
metros por segundo y has estado caminando durante 10 segundos, puedes utilizar
la ecuación canónica de la recta para resolverlo.
La ecuación canónica de la recta es: y = mx + b, donde "m" es la pendiente y "b" es
la ordenada al origen. En este caso, la pendiente es la velocidad constante de 5
metros por segundo y la ordenada al origen es cero, ya que empezaste a caminar
desde el punto de origen.
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = 5x + 0. Ahora, podemos
calcular la distancia recorrida después de 10 segundos sustituyendo x = 10 en la
ecuación: y = 5 * 10 + 0 = 50 metros.
Por lo tanto, después de 10 segundos, habrás recorrido una distancia de 50 metros.
Ejercicio 2: Parábola
Imagina que estás lanzando una pelota al aire desde el suelo y quieres determinar
la altura máxima que alcanza en función del tiempo. Si la pelota sigue una
trayectoria parabólica y tarda 2 segundos en alcanzar su altura máxima, puedes
utilizar la ecuación canónica de la parábola para resolverlo.
La ecuación canónica de la parábola es: y = a(x - h)^2 + k, donde (h, k) es el
vértice de la parábola y "a" determina la concavidad de la parábola. En este caso, el
vértice de la parábola es el punto (2, h), donde "h" es la altura máxima que
queremos calcular.
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = a(x - 2)^2 + k. Como
queremos determinar la altura máxima, sabemos que en ese punto la velocidad
vertical es cero, lo que implica que la pendiente de la parábola en el vértice es cero.
Esto nos lleva a la ecuación: 0 = a(2 - 2)^2 + k. Simplificando, obtenemos: 0 = k.
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: y = a(x - 2)^2. Ahora, podemos calcular
la altura máxima sustituyendo x = 2 en la ecuación: y = a(2 - 2)^2 = 0.
Por lo tanto, la altura máxima que alcanza la pelota es cero.
Ejercicio 3: Recta y Parábola
Supongamos que estás conduciendo un automóvil y quieres determinar la distancia
recorrida en función del tiempo. Al principio, el automóvil acelera a una velocidad
constante de 2 metros por segundo al cuadrado durante 5 segundos, y luego
mantiene una velocidad constante de 10 metros por segundo.
Para resolver este ejercicio, dividiremos el problema en dos partes: la primera
parte, donde el automóvil acelera, se puede modelar con una parábola, y la segunda
parte, donde el automóvil mantiene una velocidad constante, se puede modelar con
una recta.
En la primera parte, utilizaremos la ecuación canónica de la parábola: y = a(x -
h)^2 + k. Sabemos que al principio el automóvil acelera a una velocidad constante
de 2 metros por segundo al cuadrado durante 5 segundos, por lo que la ecuación de
la parábola será: y = 2(x - 0)^2 + 0.
En la segunda parte, utilizaremos la ecuación canónica de la recta: y = mx + b.
Sabemos que el automóvil mantiene una velocidad constante de 10 metros por
segundo después de los primeros 5 segundos, por lo que la ecuación de la recta
será: y = 10x + d, donde "d" es la distancia recorrida durante los primeros 5
segundos.
Para obtener la distancia total recorrida, debemos sumar las distancias recorridas
en ambas partes. La distancia recorrida en la primera parte se puede calcular
integrando la ecuación de la parábola en el intervalo de tiempo de 0 a 5 segundos.
La distancia recorrida en la segunda parte se puede calcular multiplicando la
velocidad constante de 10 metros por segundo por el tiempo transcurrido después
de los primeros 5 segundos.
Ejercicio 4: Recta
Imagina que estás en una tienda de ropa y quieres determinar el precio total de una
prenda en función de la cantidad de artículos que compres. Si cada prenda tiene un
precio de $50 y además debes pagar una tarifa fija de $10, puedes utilizar la
ecuación canónica de la recta para resolverlo.
La ecuación canónica de la recta es: y = mx + b, donde "m" es la pendiente y "b" es
la ordenada al origen. En este caso, la pendiente es el precio por artículo ($50) y la
ordenada al origen es la tarifa fija ($10).
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = 50x + 10. Ahora, podemos
calcular el precio total de la compra en función de la cantidad de artículos que
compres. Por ejemplo, si compras 3 artículos, sustituimos x = 3 en la ecuación: y =
50 * 3 + 10 = 160.
Por lo tanto, el precio total de la compra de 3 artículos sería de $160.
Ejercicio 5: Parábola
Supongamos que estás lanzando una pelota desde el suelo y quieres determinar la
altura a la que se encuentra en función del tiempo. Si la pelota sigue una
trayectoria parabólica y tarda 2 segundos en alcanzar su punto más alto, puedes
utilizar la ecuación canónica de la parábola para resolverlo.
La ecuación canónica de la parábola es: y = a(x - h)^2 + k, donde (h, k) es el
vértice de la parábola y "a" determina la concavidad de la parábola. En este caso, el
vértice de la parábola es el punto (2, k), donde "k" es la altura máxima que
queremos calcular.
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = a(x - 2)^2 + k. Como
sabemos que la pelota tarda 2 segundos en alcanzar su punto más alto, podemos
asumir que en ese punto la velocidad vertical es cero, lo que implica que la
pendiente de la parábola en el vértice es cero. Esto nos lleva a la ecuación: 0 = a(2
- 2)^2 + k. Simplificando, obtenemos: 0 = k.
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: y = a(x - 2)^2. Ahora, podemos calcular
la altura de la pelota en función del tiempo. Por ejemplo, si queremos saber a qué
altura se encuentra la pelota después de 3 segundos, sustituimos x = 3 en la
ecuación: y = a(3 - 2)^2 = a.
Por lo tanto, la altura de la pelota después de 3 segundos es "a".
Ejercicio 6: Recta y Parábola
Imagina que estás organizando una fiesta y quieres determinar el costo total en
función del número de invitados. Si el costo por invitado es de $20 y además tienes
un costo fijo de $100 para la decoración, puedes utilizar la ecuación canónica de la
recta y la parábola para resolverlo.
En este caso, utilizaremos la ecuación canónica de la recta para calcular el costo
total por invitados: y = mx + b. La pendiente "m" será el costo por invitado ($20) y
la ordenada al origen "b" será el costo fijo de la decoración ($100).
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = 20x + 100. Ahora,
podemos calcular el costo total de la fiesta en función del número de invitados. Por
ejemplo, si tienes 10 invitados, sustituimos x = 10 en la ecuación: y = 20 * 10 +
100 = 300.
Por lo tanto, el costo total de la fiesta con 10 invitados sería de $300.
Ejercicio 7: Recta
Imagina que estás en un supermercado y quieres determinar el costo total de tus
compras en función de la cantidad de productos que adquieras. Si cada producto
tiene un precio de $5 y además debes pagar una tarifa fija de $10, puedes utilizar la
ecuación canónica de la recta para resolverlo.
La ecuación canónica de la recta es: y = mx + b, donde "m" es la pendiente y "b" es
la ordenada al origen. En este caso, la pendiente es el precio por producto ($5) y la
ordenada al origen es la tarifa fija ($10).
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = 5x + 10. Ahora, podemos
calcular el costo total de tus compras en función de la cantidad de productos que
adquieras. Por ejemplo, si compras 3 productos, sustituimos x = 3 en la ecuación: y
= 5 * 3 + 10 = 25.
Por lo tanto, el costo total de tus compras de 3 productos sería de $25.
Ejercicio 8: Parábola
Supongamos que estás lanzando una pelota al aire y quieres determinar la altura a
la que se encuentra en función del tiempo. Si la pelota sigue una trayectoria
parabólica y tarda 2 segundos en alcanzar su altura máxima, puedes utilizar la
ecuación canónica dela parábola para resolverlo.
La ecuación canónica de la parábola es: y = a(x - h)^2 + k, donde (h, k) es el
vértice de la parábola y "a" determina la concavidad de la parábola. En este caso, el
vértice de la parábola es el punto (2, k), donde "k" es la altura máxima que
queremos calcular.
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = a(x - 2)^2 + k. Como
sabemos que la pelota tarda 2 segundos en alcanzar su altura máxima, podemos
asumir que en ese punto la velocidad vertical es cero, lo que implica que la
pendiente de la parábola en el vértice es cero. Esto nos lleva a la ecuación: 0 = a(2
- 2)^2 + k. Simplificando, obtenemos: 0 = k.
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: y = a(x - 2)^2. Ahora, podemos calcular
la altura de la pelota en función del tiempo. Por ejemplo, si queremos saber a qué
altura se encuentra la pelota después de 3 segundos, sustituimos x = 3 en la
ecuación: y = a(3 - 2)^2 = a.
Por lo tanto, la altura de la pelota después de 3 segundos es "a".
Ejercicio 9: Recta y Parábola
Imagina que estás organizando un evento y quieres determinar el costo total en
función del número de asistentes. Si el costo por asistente es de $50 y además
tienes un costo fijo de $500 para la renta del lugar, puedes utilizar la ecuación
canónica de la recta y la parábola para resolverlo.
En este caso, utilizaremos la ecuación canónica de la recta para calcular el costo
total por asistentes: y = mx + b. La pendiente "m" será el costo por asistente ($50)
y la ordenada al origen "b" será el costo fijo de la renta del lugar ($500).
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = 50x + 500. Ahora,
podemos calcular el costo total del evento en función del número de asistentes. Por
ejemplo, si tienes 10 asistentes, sustituimos x = 10 en la ecuación: y = 50 * 10 +
500 = 1000.
Por lo tanto, el costo total del evento con 10 asistentes sería de $1000.
Ejercicio 10: Recta
Imagina que estás organizando un negocio de venta de helados y quieres
determinar tus ganancias diarias en función del número de helados vendidos. Si
cada helado tiene un costo de producción de $2 y los vendes a $5 cada uno, puedes
utilizar la ecuación canónica de la recta para resolverlo.
La ecuación canónica de la recta es: y = mx + b, donde "m" es la pendiente y "b" es
la ordenada al origen. En este caso, la pendiente es la diferencia entre el precio de
venta y el costo de producción ($5 - $2 = $3) y la ordenada al origen es cero, ya
que no tienes ganancias si no vendes ningún helado.
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = 3x + 0. Ahora, podemos
calcular tus ganancias diarias en función del número de helados vendidos. Por
ejemplo, si vendes 50 helados en un día, sustituimos x = 50 en la ecuación: y = 3 *
50 + 0 = 150.
Por lo tanto, tus ganancias diarias al vender 50 helados serían de $150.
Ejercicio 11: Parábola
Supongamos que estás lanzando una pelota al aire y quieres determinar la altura a
la que se encuentra en función del tiempo. Si la pelota sigue una trayectoria
parabólica y tarda 2 segundos en alcanzar su altura máxima, puedes utilizar la
ecuación canónica de la parábola para resolverlo.
La ecuación canónica de la parábola es: y = a(x - h)^2 + k, donde (h, k) es el
vértice de la parábola y "a" determina la concavidad de la parábola. En este caso, el
vértice de la parábola es el punto (2, k), donde "k" es la altura máxima que
queremos calcular.
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = a(x - 2)^2 + k. Como
sabemos que la pelota tarda 2 segundos en alcanzar su altura máxima, podemos
asumir que en ese punto la velocidad vertical es cero, lo que implica que la
pendiente de la parábola en el vértice es cero. Esto nos lleva a la ecuación: 0 = a(2
- 2)^2 + k. Simplificando, obtenemos: 0 = k.
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es: y = a(x - 2)^2. Ahora, podemos calcular
la altura de la pelota en función del tiempo. Por ejemplo, si queremos saber a qué
altura se encuentra la pelota después de 3 segundos, sustituimos x = 3 en la
ecuación: y = a(3 - 2)^2 = a.
Por lo tanto, la altura de la pelota después de 3 segundos es "a".
Ejercicio 12: Recta y Parábola
Imagina que estás planeando un viaje en automóvil y quieres determinar la
distancia recorrida en función del tiempo. Durante la primera hora, conduces a una
velocidad constante de 60 km/h, y luego aumentas tu velocidad a 80 km/h. Puedes
utilizar la ecuación canónica de la recta y la parábola para resolverlo.
En la primera parte del viaje, utilizaremos la ecuación canónica de la recta: y = mx
+ b. La pendiente "m" será la velocidad constante de 60 km/h y la ordenada al
origen "b" será cero, ya que empezaste a conducir desde el punto de origen.
Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos: y = 60x + 0. Ahora, podemos
calcular la distancia recorrida durante la primera hora sustituyendo x = 1 en la
ecuación: y = 60 * 1 + 0 = 60 km.
En la segunda parte del viaje, utilizaremos la ecuación canónica de la parábola: y =
a(x - h)^2 + k. La velocidad constante de 80 km/h se mantendrá durante el resto del
tiempo, por lo que no habrá cambios en la altura de la parábola.
Por lo tanto, la distancia total recorrida en el viaje será de 60 km durante la primera
hora, y luego se calculará multiplicando la velocidad constante de 80 km/h por el
tiempo restante del viaje.