Guía de Trabajos Prácticos Estadística de 2020

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CÁTEDRA DE ESTADÍSTICA 
 
 
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS 
2020 
 
 
 
 
 
 
Carreras: 
Contador Público Nacional 
Licenciatura en Administración 
Licenciatura en Economía Política 
 
 
 
Personal Docente: 
Profesor Adjunto: Esp. Alfredo Ramírez 
Profesor Adjunto: C.P.N. Jorge Herrera 
Jefe de Trabajos Prácticos: Lic. Marianela Greppi 
Ayudante de Primera: C.P.N. Javier Bulacios 
Ayudante de Primera: C.P.N. Valeria Di Scala 
 
 
 PROGRAMA DE TRABAJOS PRACTICOS 
 
 T.P. N° T E M A 
 1 Revisión de conceptos matemáticos. 
 2 Estadística Descriptiva. 
 3 Representaciones gráficas. 
 4 Números índices. 
 5 Probabilidad. 
 6 Variable aleatoria. Esperanza y varianza de X. Distribuciones de probabilidad discretas. 
 7 Distribución de probabilidad normal. 
 8 Métodos de muestreo. Distribuciones muestrales: de la media, de la proporción, de la 
diferencia de dos proporciones y de la diferencia de dos medias. 
 9 Inferencia estadística de parámetros con muestras grandes. 
 10 Análisis de correlación lineal y de regresión simples. 
 11 Series económicas: Estimación de la tendencia. 
 
 
 
2 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: REVISIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS 
 
a) Notación para sumas abreviadas o sumatorias 
 
 Sea la sucesión numérica indicada por: X1, X2, X3,.........., Xn 
 
 A la expresión: X1 + X2 + X3 + .......... + Xn se la conoce con el nombre de SERIE. 
 
Debido a que las series se emplean con tanta frecuencia, se ha creado una notación abreviada para 
expresarlas. El signo de sumatoria  (letra griega sigma mayúscula que corresponde a la letra S del alfabeto 
normal) forma parte de dicha notación. 
 
De este modo surge la igualdad: X1 + X2 + X3 + .......... + Xn= ∑ Xi
n
i=1 
 
(el último término se lee: sumatoria de n valores de X sub i comenzando con i = 1 hasta i = n). 
 
Observación: Xi representa a todos y cada uno de los valores de X, y recibe el nombre de término genérico. 
 
Recordando que: 
* Una constante (C): es una cantidad que no varía durante el análisis. 
* Una variable (X): es un símbolo utilizado para representar a cualquier posible valor en un análisis dado. 
 
Se indican a continuación algunas reglas que deben aplicarse ante la presencia de la sumatoria: 
 
 1) Si C es una constante para n observaciones, la suma de las n constantes C es igual al producto de 
la constante multiplicado por el número de observaciones n, esto es: 
 
 ∑ Cni=1 = n.C 
 
 2) Si C es constante y X es variable con valores X1, X2, X3, .........., Xn, la suma de la constante 
multiplicada por la variable es igual al producto de la constante por la suma de la variable (propiedad 
distributiva de la multiplicación respecto de la suma): 
 
 ∑ Cni=1 Xi= C. ∑ Xi
n
i=1 (demostrar) 
 
 3) Si X e Y son dos variables de valores X1, X2, X3,...,Xn e Y1, Y2, Y3,...,Yn, respectivamente, entonces 
la suma de todos los valores de X + Y es igual a la suma de X más la suma de Y: 
 
 ∑ (Xi 
n
i=1 + Yi) = ∑ Xi
n
i=1 + ∑ Yi
n
i=1 (demostrar) 
 
 
Aplicaciones 
 
1) Indicar la veracidad de las siguientes expresiones (demostrando el por qué de su respuesta): 
 
∑ (Xi
2)ni=1 = (∑ Xi
n
i=1 )
2 ; ∑ Xi 
n
i=1 . Yi = (∑ Xi
n
i=1 )  (∑ Yi
n
i=1 ) 
 
 
2) Desarrollar las siguientes sumas: ∑ 4. Yi
33
i=1 ; ∑ (2. Xi 
4
i=1 + Yi) 
 
Obtener nuevamente las sumas dadas, pero aplicar previamente las reglas de cálculo. Comparar los 
resultados. 
 
3) Utilizar la notación de sumatoria para abreviar las siguientes expresiones: 
 2. X1 + 2. X2 + 2. X3 + 2. X4 + 2. X5 ; (1+ X1) + (4 + X2)2 + (9 + X3)3 + (16 + X4)4 
 
4) Si: 
 C = 5 , ∑ Xi = 9
3
i=1  ∑ Xi
2 = 413i=1  ∑ Yi = 16
3
i=1 
 
 
3 
calcular aplicando previamente las propiedades: 
 
 ∗ ∑ (C + Xi + C. Yi)
3
i=1 ; ∗ ∑ (2 Xi − C)
23
i=1 
 
5) Sean las siguientes series para i, X e Y: 
 
 i: 1 2 3 4 5 6 7 
 Xi: 5 8 4 2 1 5 1 
Yi: 9 3 1 6 5 4 3 
 
Calcular: ∗ ∑ (Xi − Yi)
7
i=1 ; ∗ ∑ (3Xi
2 − 4Yi
2
)7i=1 
 
6) De los registros de una fábrica se obtuvieron los siguientes datos respecto al producto que elaboran: 
 
 Año costo de producción precio de venta unidades vendidas 
 (u$s por unidad) (u$s por unidad) 
1980 8 9.5 300 
1981 9 11.0 200 
1982 10 12.0 180 
1983 11 13.0 230 
1984 13 16.0 250 
1985 15 18.0 270 
1986 18 22.5 225 
1987 19 23.0 290 
1988 22 26.0 310 
1989 25 30.0 340 
Indicar utilizando sumatoria y calcular: 
a) Costo promedio de producción entre 1980 y 1989. 
b) Utilidad promedio por unidad entre 1985 y 1989. 
c) El monto promedio de ventas entre 1980 y 1983. 
 
b) Notación para productos abreviados o productoria 
En forma análoga a la expresión de sumatoria, existe la notación de productoria , que se utiliza para escribir 
en forma sintética un producto de n factores. Si X1, X2, X3,........., Xn son los valores de una sucesión numérica, 
entonces el producto de todos ellos será: 
 
 (X1 . X2 . X3 . ......... . Xn) =∏ Xi
n
i=1 
 
Aplicaciones 
 
1) Desarrollar: ∏ 4Xi
25
i=1 ; ∏ (4Xi
3 + 2)8i=1 
 
2) Escribir en forma sintética los siguientes productos: 
 
* (3.1) . (3.8) . (3.27) . (3.64) ; * (1.1) . (2.4) . (3.9) . (4.16) 
 
 
c) Teoría de conjuntos 
 Conjunto: Colección cualquiera de objetos (por ejemplo, números), a los que se denomina elementos. 
 Notación: 
 - De conjuntos: A, B, C,... 
 - De elementos de un conjunto: a, b, c, ..... 
 - De pertenencia de un elemento a un conjunto: a  A 
 - De no pertenencia de un elemento a un conjunto: a  A 
 Forma de definir un conjunto: 
 - Por extensión: se detallan todos los elementos del conjunto 
 - Por comprensión: se indica la propiedad común a los elementos del conjunto 
 
 
4 
 Tipos de conjuntos: 
 - Vacío: es aquel que carece de elementos:  
 - Universal: es el que comprende a todos los elementos en estudio: U 
 - Unitario: es el conjunto compuesto por un solo elemento 
 
Representación gráfica de conjuntos: Se la realiza con los diagramas de Venn. El conjunto universal se 
representa con un rectángulo y los subconjuntos de él mediante círculos dentro del rectángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Subconjunto: Un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B si cada elemento de A es también 
elemento de B. 
 Notación: A  B 
 
 
 
 
 
 
 Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. 
 
 Operaciones de conjuntos 
 
 a) Unión: La unión de A y B, denotada como A  B, es el conjunto de los elementos que pertenecen al 
conjunto A o al conjunto B o a ambos. 
 
 En símbolos: A  B = { x/x  A o x  B } 
 Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 b) Intersección: La intersección de A y B, denotada como A  B, es el conjunto de los elementos que 
pertenecen al conjunto A y al conjunto B simultáneamente. 
 
 En símbolos: A  B = { x/x  A y x  B } A  B 
 Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 Observación: si A  B = , se dice que A y B son "mutuamente excluyentes". 
 
 c) Complemento de un conjunto: El complemento de un conjunto A, designado por A’,es el conjunto 
formado por los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. 
 
 En símbolos: A’ = { x/x  S y x  A } 
 Gráficamente: 
 
 
 
B 
A 
 
A 
 
B 
S 
A 
A’ 
A B 
A B A 
 
5 
Aplicaciones1) Definir por extensión y por comprensión los siguientes conjuntos: 
 
 - conjunto de los números enteros entre 20 y 27 
 - conjunto de números naturales pares 
 - conjunto de tipos de depósitos bancarios 
 - conjunto de tipos de tasas municipales en S.S. de Jujuy 
 
2) Dados los conjuntos: 
 
 A = { x  N / x < 10 y x impar } 
 B = { x  N / x2 + x - 12 = 0 } 
 C = { x  Z / -4  x  4 } 
 D = { x  Z / 2 x - 6 = 0 } 
 
 i- Definir por extensión 
 ii- Indicar cuáles son vacíos y cuáles unitarios 
 iii- Indicar si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones: 
 
 C  B D  A B  C 
 
3) Para el conjunto universal formado por todos los números dígitos y los subconjuntos de él, definidos por: 
 A = { x  Z / x - 4 = 0 } 
 B = { x  N / x  3 } 
 D = { x  N / x es divisor de 8 } 
 E = { x  N / x es múltiplo de 2 } 
 
Calcular: 1) A  B 2) BA  3) DE  4) DE  
 
4) Un experimento consiste en seleccionar tres piezas de un proceso manufacturero y observar si son 
defectuosas (D) o no lo son ( D D) 
 
 i) Formar un conjunto de todas las opciones posibles que se pueden obtener 
 ii) Definir el subconjunto del anterior en el cual: 
 a) Por lo menos dos piezas sean defectuosas 
 b) Exactamente una pieza sea defectuosa 
 iii) Cómo puede definirse por comprensión el conjunto A = { DD D , D DD, D D D } 
 
5) Una encuesta a 250 estudiantes de la carrera de Contador Público Nacional pertenecientes a los dos 
primeros años de estudio indicó que: 
 
 80 estudiantes habían rendido Análisis Matemático solamente 
 35 estudiantes habían rendido Análisis Matemático y Economía 
 210 estudiantes habían rendido Análisis Matemático o Economía 
 
 i) ¿Cuántos alumnos rindieron solamente Economía? 
 ii) ¿Cuántos alumnos no rindieron ninguna de estas dos materias? 
 
d) Teoría de Funciones 
Función: Una función definida en el conjunto A y con el conjunto B se define como una regla que asocia a 
cada elemento del conjunto A uno y sólo un elemento del conjunto B. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
A B 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
 
6 
Notación: Si se escoge la letra  para representar una función, se indica con "x" a cualquier elemento del 
conjunto A (x variable independiente), y con "y" al correspondiente de "x" por la función perteneciente al 
conjunto B (y variable dependiente), entonces una función definida en A y con valores en B se indica de la 
siguiente forma: 
 : A → B 
 x → y =  (x) 
 
Observación: y =  (x) indica que se obtiene y al aplicar la función a "x" o que el valor de "y" depende de "x". 
 
El conjunto A recibe el nombre de Dominio de la función. 
El conjunto B recibe el nombre de Codominio de la función. 
Al subconjunto (propio o no) de valores de B formado por elementos que son imágenes de los elementos de 
A, se los conoce con el nombre de Imagen de la función. 
Si a la variable independiente x se le asigna un valor posible y constante "a", o sea x = a, la imagen de ese 
valor por la función será un valor de la variable dependiente "y", al cual se lo indica con 
Y = (a). 
  
 a  (a) 
 (a) es el valor numérico de la función en a 
 
Gráfica de una función: Una función puede graficarse en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. 
Su gráfica estará formada por los puntos del plano cuyas coordenadas sean los valores correspondientes a la 
función. Así, la gráfica de una función puede ser un conjunto de puntos (gráfica discreta) o una curva continua 
(gráfica continua). 
 
 
 B B 
 
 
 
 
 
 A A 
 
Una función particular: Función Lineal: si A = B = R (conjunto de números reales), la función 
(x): R → R 
 x → y = f (x) = a.x + b donde a y b son constantes. 
 
Esta función recibe el nombre de Función Lineal y su gráfica es una recta. 
 
 b: ordenada al origen 
 a = tg(): pendiente de la recta 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicaciones 
1) Calcular los valores numéricos indicados de las siguientes funciones: 
i)  (x) = 3. x2 + 5 . x – 2 
 ii)  (x) = 4x2x2 ++ Se pide  (4),  (–2) y  (6) 
 
2) El costo total en dólares de la fabricación de q unidades de un cierto artículo viene dado por la función: 
 C (q) = q3 - 30. q2 + 400 . q + 500 
 
• 
• 
• 
 
b 
 
7 
 i) Determinar el dominio de la función "Costo". 
 ii) Calcular el costo de fabricación de 20 unidades. 
3) La demanda de consumo para cierto artículo es: 
 
 D (p) = – 200. p + 12000 
unidades por mes cuando el precio del mercado es "p" dólares por unidad. 
 i) Dibuje la función "demanda". 
 ii) Interprete las constantes que intervienen en la fórmula. 
 iii) Calcular el número de unidades demandadas en el mercado cuando el precio por unidad es de 50 
dólares. 
 
4) Desde principios del mes, un depósito local ha estado perdiendo agua a ritmo constante. El día 12 del mes, 
el depósito tenía 200 millones de Hl de agua y el 21 tenía sólo 164 millones de Hl. 
 i) Expresar la cantidad de agua en función del tiempo y dibujar. 
 ii) ¿Cuánto pierde el tanque por día? 
 iii) ¿Cuánta agua había en el depósito los días 3, 4, 5, 6, 7 y 8 del mes? 
 
5) Determinar el precio de equilibrio y el correspondiente número de unidades ofertadas y demandadas, si la 
función "oferta" para un cierto artículo es: S(p) = p2 + 3.p – 70 y la función "demanda" es D(p) = 410 – p. 
 
6) La tabla siguiente muestra los valores correspondientes de una función: 
 
 x y =  (x) 
 1 4 
 2 6 i) Graficar la función. Su gráfica es 
 3 8 discreta o continua? 
 4 10 
 5 12 ii) Calcular (usando calculadora) 
 6 14  Xi  Yi  Xi2  Yi2 
 7 16  Xi.  Yi  (Xi – Yi)2 Xi2 – Yi2 
 
 
e) Integral Definida 
 
La integral definida de la función  entre a y b es la diferencia 

b
a
dx(x)f = F(b) – F(a) 
donde F es una primitiva de , o sea que F'(x) =  (x) 
 
Área de integración 
Existe una relación estrecha entre los conceptos de integral definida y área de integración. 
Si  es una función continua y no negativa en el intervalo [a,b] y "R" es una región cerrada y acotada por la 
gráfica de , las rectas x = a y x = b y el eje OX, entonces: 
 Area R = 
b
a
dx(x)f 
Gráficamente: 
 y 
 
 y =  (x) 
 
 
 
 
 
 x 
 x = a x = b 
R 
 
8 
Aplicación 
 
1) Calcular las siguientes integrales: 
i) ( ) +
4
0
x62 ii) dx
x
lnx
e
1
 
 iii) 
ln2
0
x dxex iv) 
2
e
2
1
dxx)(2ln 
 
2) Determinar el área de la región limitada por las curvas: 
 y = x2 + 1 y y = 2.x – 2 entre x = –1 y x = 2 
Graficar. 
 
2) Cuando una cierta maquinaria industrial tiene x años genera ingresos a un ritmo de I (x) = 5000 – 20 x2 
dólares por año, siendo que los costos de fabricación se acumulan a un ritmo de C(x) = 20000 + 10 x2 
dólares por año: 
 i) Graficar las curvas de Ingreso y Costo 
 ii) Cuántos años es provechoso el uso de la maquinaria? 
 iii) Si las ganancias netas totales por la fabricación en un cierto período de años es la diferencia entre 
el ingreso total generado por la maquinaria y el costo total de la operación, cuáles son las ganancias netas 
totales generadas por la maquinaria durante el período de tiempo obtenido en el apartado anterior? 
 
 
f) Cálculo Combinatorio 
 
El cálculo combinatorio es la parte del álgebra que analiza las distintas formas de agrupar elementos y 
calcular el número de posibilidades. 
Factorial de un número: Si n  Z+ U {0}, el factorial de n se define de la siguiente manera: 
 
 n! = n. (n-1). (n-2). ...... . 3 . 2 . 1 si n ≥ 1 
 n! = 1 si n = 0 
Variaciones: Dados n objetos a, b, c, ....., k, l, llámese arreglos o variaciones de los objetos tomados de m en 
m (siendo m ≤ n) a los grupos de objetos que sepueden formar de modo que: 
 a) En cada grupo entran m de los n objetos; 
 b) Dos grupos se consideran distintos cuando difieren, o bien en alguno de los objetos, o bien (aún 
siendo los mismos objetos) en el orden en que van colocados. 
Fórmula: Vn
m n!
(n−m)!
 
 
 
Permutaciones: Las permutaciones de n objetos son las distintas ordenaciones en que se pueden disponer 
los n objetos. Dicho de otra forma, son las variaciones en cada una de las cuales entran todos los objetos. 
 
Fórmula: Pn
n = Vn = n! 
 
Combinaciones: Se llaman combinaciones de n objetos tomados de m en m (con n y m números naturales, m 
≤ n) a los distintos grupos que con esos objetos se pueden formar, y que cumplen con los siguientes 
requisitos: 
 
 a) En cada grupo entran m objetos 
 b) Dos grupos se consideran distintos cuando difieren en alguno de los objetos que lo conforman 
 
Observación: Comparando las definiciones de variaciones y combi-naciones, vemos que difieren en la 
segunda condición: mientras que en las variaciones interesa el orden de los objetos, en las combinaciones no. 
 
9 
Fórmula: 
m)!(nm!
n!
Cmn
−
= 
 
Número combinatorio: Es una expresión de la forma: 





m
n
 donde n indica el número de elementos de un 
conjunto y m indica el número de elementos de un subconjunto 
 
Fórmula: 





m
n
 = 
m
nC 
 
Números combinatorios complementarios: Dos números combinatorios son complementarios si se cumple 
que: 
 
uno es 





r
n
 y el otro es 





r-n
n
 
Propiedades: 
 
i) 





n
n
 = 1 ii) 





0
n
 = 1 iii) 





1
n
 = n 
 
iv) Para un conjunto de n elementos los números combinatorios complementarios son iguales: 





r
n
 = 





r-n
n
 
v) 





r
n
 = 0 si r > n 
 
vi) 





0
n
 + 





1
n
 + 





2
n
 + ...... + 





n
n
 = 2 n 
 
 
Aplicaciones: 
 
1) Demostrar: 
i) 
(n + 1)! − n!
n2
= (𝑛 − 1)! ii) 
1
𝑛!
− 
1
(𝑛+1)! 
 = 
𝑛
(𝑛+1)!
 
 
 
2) La casa central de un banco cuenta entre su personal con 15 cajeros. Una sucursal de este banco solicita 
cuatro de estos cajeros para reforzar el plantel fijo en los días de pago de impuestos. ¿De cuántas formas 
diferentes se pueden elegir los cuatro cajeros? 
3) Veinte contadores se presentan para cubrir cuatro cargos en una repartición de la administración pública. 
Estos cargos son: secretario general, secretario administrativo, jefe de departamento y jefe de división. ¿De 
cuántas maneras distintas pueden cubrirse estos cargos? 
4) Si los siguientes son números combinatorios complementarios, determinar el valor de r. 





r
19
 ; 





1-4r
19
 
 
 
 
 
10 
g) Algebra Matricial 
 
Matrices y Vectores 
 
 Un sistema de "m" ecuaciones lineales en "n" variables (X1, ..., Xn) puede ser ordenado como sigue: 
 
a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn = d1 
a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn = d2 
................................ 
am1X1 + am2X2 + ... + amnXn = dm 
 
donde: aij: coeficiente que precede a la variable X 
 X j : variables 
 di : término constante de la ecuación 
 
La matriz se define como un ordenamiento rectangular de números, parámetros o variables. En un sistema 
de ecuaciones, las matrices sirven como ordenamiento. En nuestro ejemplo: 
 
A = (
a11 a12
a21 a22
… a1n
… a2n… …
am1 a11
… …
… amn
) X = (
x1
x2…
n
) 𝐷 = (
d1
d2…
𝑑𝑚
) 
 
 
La primera matriz representa al conjunto de coeficientes aij, el segundo ordenamiento es el conjunto de 
variables X1,...,Xn; y el último es el conjunto de términos constantes d1,...,dm. 
 
Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones lineales: 
 
6 X1 + 3 X2 + X3 = 22 
X1 + 4 X2 - 2 X3 = 12 
4 X1 - X2 + 5 X3 = 10 podemos escribir: 
 
A = (
6 3 1
1 4 −2
4 −1 5
) 𝑋 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) D = (
22
12
10
) 
 
 
Cada uno de los tres ordenamientos constituye una matriz. Los miembros de este ordenamiento, llamados 
elementos de la matriz, suelen estar encerrados entre corchetes o entre paréntesis. 
 
El número de filas y el número de columnas de una matriz definen conjuntamente la dimensión de la matriz. 
Puesto que la matriz A contiene "m" filas y "n" columnas, decimos que su dimensión es m x n. Es importante 
recordar que el número de filas precede siempre al de columnas. En el caso especial en que m = n, la matriz 
se llama matriz cuadrada; así, la matriz A de nuestro ejemplo es una matriz cuadrada de 3 x 3. 
Algunas matrices pueden contener sólo una columna, como X y d en nuestro ejemplo. Esas matrices reciben 
el nombre especial de vectores columna. Si el ordenamiento es horizontal reciben la denominación de 
vector fila. 
 
Algebra de matrices 
 
Igualdad de matrices: Dos matrices A = [aij] y B = [bij] son iguales si y sólo si tienen la misma dimensión y 
elementos idénticos en las posiciones correspondientes. 
 
Ejemplo: (
4 3
2 0
) = (
4 3
2 0
)  (
2 0
4 3
) 
 
Suma y resta de matrices: Podemos sumar dos matrices si, y sólo si, tienen la misma dimensión. 
 
Ejemplo:A = (
4 9
2 1
) B = (
2 0
0 7
) 
 
11 
 
A + B = (
4 + 2 9 + 0
2 + 0 1 + 7
) = (
6 9
2 8
) 
 
 
Multiplicación escalar: Multiplicar una matriz por un número (o, en la terminología del álgebra de matrices, 
por un escalar) es multiplicar cada uno de sus elementos por el escalar dado. 
 
 Ejemplo: 7 . (
3 −1
0 5
) = (
21 −7
0 35
) 
 
Multiplicación de matrices: Dadas dos matrices A y B, la condición para que sea posible su multiplicación A 
x B, llamada condición de conformabilidad, es que la dimensión columna de A (la primera matriz de la 
expresión A x B) sea igual a la dimensión fila de B (la segunda matriz de la expresión). 
 
Por ejemplo, si: 
 
A (1 x 2) = ( a11 a12) B (2 x 3) =(
𝑏11 𝑏12 𝑏13
𝑏21 𝑏22 𝑏23
) 
 
el producto A x B estará definido, pues A tiene 2 columnas y B tiene 2 filas, precisamente el mismo número. 
En cambio, el producto de B x A no está definido en este caso. Además, la dimensión de la matriz resultante 
será el número de filas de A x el número de columnas de B. 
 
Queda por definir el procedimiento exacto de multiplicación. Supongamos para eso que tomamos las matrices 
A y B. Puesto que el producto A x B está definido y es expresado por la dimensión 1 x 3, podemos escribir: 
 
A x B = C = ( c11 c12 c13) 
 
Cada uno de los tres elementos de C está definido como una suma de productos de los elementos de una fila 
particular de A y una columna particular de B. Específicamente tenemos: 
 
c11 = (a11 x b11) + (a12 x b21) 
c12 = (a11 x b12) + (a12 x b22) 
c13 = (a11 x b13) + (a12 x b23) 
 
Por ejemplo, dados: 
 
A (3 x 2) =(
1 3
2 8
4 0
) y B (2 x 1 ) = (
5
9
) 
 
 A x B = (
(1x5) + (3x9)
(2x5) + (8x9)
(4x5) + (0x9)
) = (
32
82
20
) Dimensión de A x B = 3 x 1 
 
Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada con "unos" en su diagonal principal y "ceros" en todas las demás 
posiciones. 
 
I = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 
 
 
La importancia de este tipo de matriz reside en el hecho de que cumple un papel semejante al número 1 en el 
álgebra de los números. 
 
I x A = A x I = A 
 
 
12 
Matriz Traspuesta: Si intercambiamos las filas y las columnas de una matriz A (de manera que la primera fila 
quede como primera columna, y viceversa) obtendremos la traspuesta de A, simbolizada por A'. Veamos un 
ejemplo. 
 
A (2 x 3) = (
3 8 −9
1 0 4
) A'(3 x 2) = (
 3 1
 8 0
−9 4
) B (2 x 2 ) = (
3 4
1 7
) B' (2 x 2) =(
3 1
4 7
) 
 
Propiedades de las matrices traspuestas: 
 
 1) (A')' = A 
 2) (A + B)' = A' + B' 
 3) (A x B)' = B' x A' 
 
 
Matriz Inversa: La inversa de la matriz A, denotada por A-1, sólo está definida si A es una matriz cuadrada, encuyo caso la inversa es la matriz que satisface la condición: 
 
 A x A-1 = A-1 x A = I 
 
Es decir, ya sea que premultipliquemos o posmultipliquemos A por A-1, el producto será la misma matriz 
identidad. 
 
Además de la condición necesaria para la existencia de la inversa (que la matriz sea cuadrada), hay una 
condición suficiente: que sus filas sean linealmente independientes. 
 
 
Determinantes 
 
El determinante de una matriz cuadrada A, simbolizado │A│, es un número escalar definido unívocamente, y 
asociado con esa matriz. Los determinantes sólo están definidos para matrices cuadradas. Para una matriz 
cuadrada de orden 2: 
 
A = |
a11 a12
a21 a22
|su determinante está definido por la suma algebraica de dos términos: 
 
 
│A│ = |
a11 a12
a21 a22
|= (a11 x a22) - (a21 x a12) = un escalar 
 
que se obtiene por la multiplicación de los dos elementos de la diagonal principal de A, a cuyo producto 
sustraemos el producto de los dos elementos restantes. Por su dimensión, │A│ se llama determinante de 
segundo orden. 
Un determinante de orden 3 corresponde a una matriz de 3 x 3. 
 
Dado: A = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
) su determinante toma el valor: 
 
 |A| = |
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
| = a11 x |
a22 a23
a32 a33
|− a12 x |
a21 a23
a31 a33
| + a13 x |
a21 a22
a31 a32
| 
 
 
│A│= (a11 x a22 x a33) - (a11 x a23 x a32) + (a12 x a23 x a31) - (a12 x a21 x a33) + (a13 x a21 x a32) - (a13 x a22 x a31) 
 
El mismo determinante anterior puede obtenerse a través del procedimiento de expansión de Laplace. El 
valor de │A│ también puede ser considerado como una suma de tres términos, cada uno de los cuales es un 
producto de un elemento de la primera fila y un determinante especial de segundo orden. Este último 
procedimiento para obtener │A│ ilustra la expansión de Laplace del determinante. 
 
13 
Los tres determinantes de segundo orden que intervienen en el cálculo no han sido determinados 
arbitrariamente, sino que están especificados por medio de una ley definida. 
 
El primero|
a22 a23
a32 a33
| , es un subdeterminante de │A│ obtenido por la eliminación de la primera fila y la 
primera columna de │A│. Se lo llama menor del elemento a11, y se lo simboliza mediante │M11│. Los otros 
dos determinantes de segundo orden son, respectivamente, los menores │M12│ y │M13│. 
 
│M11│ =|
a22 a23
a32 a33
| , │M12│ = |
a21 a23
a31 a33
| , │M13│ =|
a21 a22
a31 a32
| 
 
Un concepto íntimamente relacionado con el menor es el de cofactor. Un cofactor es un menor con un signo 
algebraico que le precede. La regla de los signos es la siguiente: si la suma de los dos subíndices i y j del 
menor │Mij│ es par, el cofactor toma el mismo signo que el menor, es decir, │Cij│ = │Mij│. Si dicha suma 
es impar, el cofactor toma el signo opuesto al del menor, es decir, │Cij│ = − │Mij│. En resumen, tenemos: 
 │Cij│ = (− 1)i+j │Mij│ 
donde es evidente que la expresión (− 1)i+j puede ser positiva si y sólo si (i + j) es par. 
 
 
Por ejemplo, en el determinante|
9 8 7
6 5 4
3 2 1
| , el menor del elemento 8: 
 │M12│ = |
6 4
3 1
| = −6 ; pero el cofactor de este mismo elemento es: 
 
│C12│ = − │M12│ = 6, pues i + j = 1 + 2 = 3, que es impar. 
 
Procedimiento para la inversión de matrices 
 
Comprende los pasos siguientes: 
1) Hallar │A│. Proseguiremos con los pasos posteriores si y sólo si │A│  0, pues si │A│ = 0, la inversa 
no estará definida. 
2) Hallar los cofactores de todos los elementos de A, y disponerlos como una matriz de cofactores 
C = [│Cij│]. 
3) Tomar la transpuesta de C para hallar la adjunta de A (que es igual a la matriz de cofactores). 
4) Dividir la adjunta de A por el determinante de A. 
Ejemplo: 
Hallar la inversa de A = |
3 2
1 0
| 
 
Como │A│ = − 2  0, A tiene inversa. 
 
El cofactor de cada elemento es en este caso un determinante 1 x 1. 
Así, tenemos: C = (
|c11| |c12|
|c21| |c22|
) = (
 0 −1
−2 3
) 
 
Al transponer la matriz de cofactores obtendremos: Adj A =(
 0 −2
−1 3
), de manera tal que podemos expresar 
la inversa A-1: 
A −1 =
1
|A|
 Adj A = −
1
2
 x (
 0 −2
−1 3
) = (
0 1
1
2
−
3
2
) 
 
Se puede comprobar que el resultado satisface A x A-1= A-1 x A = I. 
TRABAJO PRÁCTICO N° 2: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
 
Guía de lectura 
 
a) ¿Qué entiende por estadística descriptiva y qué por inferencia estadística? 
b) Explique brevemente qué se entiende por variable y cómo se clasifican las variables. 
c) Explique la diferencia entre variables cualitativas y cuantitativas. Dé ejemplos de variables económicas 
de ambas clases. 
d) Distinga entre variables discretas y continuas. Dé ejemplos. 
e) ¿Cuáles son los gráficos adecuados para cada tipo de agrupación de datos? 
f) ¿Qué es una tabla de frecuencias y cómo se interpreta? 
g) ¿Qué se entiende por frecuencia acumulada y cuál es su utilidad? 
h) ¿Cómo interpreta el gráfico acumulativo de frecuencias? 
i) ¿Cuál es la interpretación de un bastón en un diagrama de frecuencias cuando los datos están 
agrupados sin intervalos? 
j) ¿Cuál es la interpretación del área de un rectángulo en un histograma de frecuencias? 
k) ¿Qué se entiende por frecuencias relativas y cuál es su utilidad? 
l) ¿Cómo se representan gráficamente las frecuencias relativas? 
m) ¿Cuándo se habla de pérdida de información? 
n) ¿A qué se refieren las medidas de tendencia central, cuáles son y para qué sirven? 
o) ¿Qué medida de posición es la que da mayor información en una distribución asimétrica? 
p) ¿Cuándo coinciden media aritmética, mediana y moda? 
q) ¿Puede haber más de una moda en una distribución? Ejemplifique. 
r) ¿Cómo calcularía la mediana en caso de tener un número par de observaciones? 
s) ¿Cuándo conviene usar una u otra medida de tendencia central? (Ventajas y desventajas de su 
empleo en ejemplos concretos) 
t) ¿Cuál medida de dispersión es más fácil de interpretar, la variancia o la desviación estándar? ¿Por 
qué? 
u) ¿Describen los valores de la media y la variancia completamente una distribución? 
v) Suponga que cada valor observado de una distribución se multiplica por 2: 
a) ¿Qué le ocurre a la media aritmética de la distribución? 
b) ¿Qué le ocurre a la variancia de la distribución? 
c) ¿Qué le ocurre a la desviación estándar de la distribución? 
w) Explique el concepto y las aplicaciones de las medias geométricas y armónica. 
x) Complete un cuadro como el siguiente: 
 
 
 
Características 
MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE TENDENCIA CENTRAL 
Media aritmética Mediana Moda Media geométrica Media armónica 
Símbolo 
Concepto 
Fórmulas S.Simple D.Agrup. 
Propiedades 
Cálculo gráfico 
Ventajas 
Desventajas 
Interpretación 
 
y) Complete un cuadro igual que el anterior para las medidas de dispersión. 
 
 
Bibliografía 
 
Berenson M.L. y Levine D.M. Estadística para Administración y Economía: Conceptos y 
Aplicaciones. Nueva Editorial Interamericana. México 1984. 
Marcoleri M.E. (1997). Estadística Descriptiva. 2010. 
Shao S.P. Estadística para economistas y administradores de empresas. Editorial Herrero Hnos. 
Suces. S.A. México 1970. 
Llanos Lydia M. (2004). Estadística Descriptiva. Guía práctica para resolver problemas de aplicación. 
 
 
15 
Problema 1 
Clasificar las siguientes variables en cuantitativas o cualitativas e indicar la escala de medición. Para el 
caso de cuantitativas, clasificarlas en discretas y continuas; y para el caso de cualitativas indicar las 
categorías. 
a. Estado civil de los alumnos que regularizaron la materia Estadística de la Facultad de Ciencias 
Económicas de la Universidad Nacional de Jujuy en el ciclo lectivo 2019. 
b. Peso en kg de los recién nacidos en un día en Brasil. 
c. Cantidad de beneficiarios de las becas progresar por año. 
d. Distancia que viajan los estudiantes de una escuela para llegar a clases. 
e. Número de autos fabricadosen Argentina, por año en los últimos 10 años. 
f. Ingresos de los obreros de una fábrica de autopartes por mes en 2016. 
g. Números de las tallas de ropa que vende una casa de ropa de vestir de hombres. 
h. Cantidad de llamadas realizadas diariamente por un departamento de marketing. 
i. Temperatura máxima diaria registrada por un laboratorio meteorológico, durante el último mes. 
j. Toneladas de trigo destinadas a la exportación por mes en el año 2019. 
k. Estaciones del año y cantidad de turistas que concurren al norte de Jujuy en cada estación. 
l. Número de cuentas a cobrar en una empresa por mes. 
m. Número de un dado arrojado al azar 20 veces. 
n. Número de las camisetas de los jugadores del equipo de futbol de Gimnasia y Esgrima de 
Jujuy. 
o. Monto de las retenciones a las exportaciones de soja en Argentina en el año 2018, por mes. 
p. Número de leyes sancionadas por el Congreso Nacional por mes en los últimos dos años. 
q. Grados centígrados promedio diario, registrados en la ciudad de La Quiaca en cada mes de 
2019. 
 
Problema 2 
Para obtener datos sobre cuál es la red social más popular entre los estudiantes de Argentina, se identificó 
una muestra de estudiantes que utiliza redes sociales de una región y se registró la que más utiliza cada 
alumno. A continuación, se presenta la muestra que se obtuvo (F = Facebook, W = WhatsApp, Y = 
YouTube, I = Instagram, T = Twitter): 
 
 
 
 
 
 
 
a) Identificar la variable, clasificarla, indicar su escala de medición, y las categorías. 
b) Construir una tabla de frecuencias absolutas, relativas y relativas porcentuales. Interpretar. 
c) Representar los datos utilizando el tipo de gráfico más adecuado. 
d) Indicar la categoría modal de la variable. 
 
Problema 3 
La oficina de Crédito Público del gobierno una ciudad está relevando datos sobre firmas locales con más 
de una sucursal, a fin de implementar políticas crediticias para las mismas. Este cuadro resume los 
resultados del relevamiento: 
 
Cantidad de Sucursales 2 3 4 5 6 7 
Número de Empresas 8 15 20 32 51 24 
F I F W F Y I F T F 
I T W Y W W F W Y Y 
Y I F I F W Y T W F 
Y F I I W F T Y F I 
I Y F F Y F F I W I 
 
16 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición. 
b) Calcular e interpretar las Frecuencias absolutas, relativas, relativas porcentuales y acumuladas. 
Interpretar dos frecuencias de cada tipo. 
c) Un 16% de las empresas, ¿Cuántas sucursales tiene? 
d) ¿Qué porcentaje de las empresas tiene 4 sucursales? 
e) ¿Qué porcentaje de las empresas tiene 5 sucursales o menos? 
f) ¿Qué porcentaje de empresas tiene más de 3 sucursales? 
g) Representar gráficamente las frecuencias y las frecuencias acumuladas con el gráfico más 
adecuado. 
h) Calcular e interpretar las medidas de tendencia central, de posición y de dispersión. 
i) El 75% de las empresas tiene ………. sucursales o más. 
j) Hallar el coeficiente de Asimetría y de Kurtosis. Interpretar. 
 
Problema 4 
Un científico social investiga el uso de una aplicación de podcasts entre los alumnos de una clase. El 
número de podcasts que escucharon ayer es el siguiente: 
4 2 0 3 1 1 5 3 2 2 1 4 0 3 2 4 0 1 5 1 2 3 2 1 4 0 3 2 2 0 
a) Identificar la variable, clasificarla e indicar su escala de medición 
b) Elaborar una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia absoluta, absoluta acumulada, 
relativa, relativa porcentual y relativa acumulada. Interpretar dos frecuencias de cada tipo. 
c) Representar gráficamente las distribuciones de frecuencias. 
d) ¿Qué porcentaje de alumnos no uso ayer la aplicación? 
e) ¿Cuántos alumnos escucharon más de dos podcasts? 
f) Calcular las medidas de tendencia central y de dispersión. Interpretar cada una de ellas. 
g) Completar: 
i. El promedio de podcast escuchados es …………. 
ii. El número de podcast escuchados ayer que se presenta con mayor frecuencia es ………. 
iii. El 50% de los alumnos de la clase escuchó …………………. o menos podcasts. 
h) Graficar e interpretar el diagrama de caja (Boxplot). 
i) El 50% central de la cantidad de podcasts escuchados ¿qué variabilidad tiene? 
j) Calcular y comentar los coeficientes de Asimetría y Curtosis. 
Problema 5 
Una empresa quiere restructurar el departamento de atención al público, para ello registró cuantas 
personas por día realizaron sus consultas en mesa de entrada e información durante 22 días hábiles de un 
mes, resultando los siguientes datos: 
32 18 26 16 19 27 9 16 27 32 40 13 19 36 17 23 21 29 30 34 37 21 
a) Identificar y definir la variable. Clasificar e indicar escala de medición de la misma. 
b) Presentar los datos mediante un Diagrama de Tallo y Hojas. 
c) Calcular e interpretar las medidas de tendencia central. 
d) Representar mediante el diagrama de caja (Boxplot) e interpretar. 
e) Comentar e interpretar el tipo de asimetría que presenta la distribución, y su relación con las 
medidas de tendencia central. 
 
Problema 6 
Una plataforma de compras por internet estudia el tiempo de entrega (cantidad de días que trascurren 
desde que se hace un pedido hasta que se entrega) en una muestra de pedidos recientes. Los datos 
obtenidos se presentan a continuación: 
Tiempo de entrega (días) [0-4) [4-8) [8-12) [12-16) [16-20) [20-24) [24-28) 
Cantidad de pedidos 4 6 7 12 8 8 3 
 
17 
 
a) Identificar y definir la variable. Clasificar e indicar escala de medición de la misma. 
b) Calcular las frecuencias absolutas, relativas, relativas porcentuales y absolutas acumuladas. 
Interpretar dos frecuencias de cada tipo. 
c) ¿Cuántos pedidos tienen menos de 12 días de demora? 
d) ¿Cuántos pedidos tienen 16 días de demora o más? 
e) ¿Qué porcentaje de pedidos tienen 8 días de demora o más pero menos de 20? 
f) Representar gráficamente las frecuencias relativas porcentuales acumuladas con el gráfico más 
adecuado. 
g) Calcular las medidas descriptivas. De posición y de dispersión. 
h) Graficar e interpretar el diagrama de caja (Boxplot). 
i) Calcular y comentar los coeficientes de Asimetría y Curtosis. 
 
Problema 7 
Los ingresos diarios (en $) de 30 trabajadores informales seleccionados en un barrio con población de bajos 
ingresos son: 
450 475 280 369 196 420 390 385 208 315 
310 250 350 300 310 400 360 355 325 375 
390 280 290 305 310 380 320 280 320 370 
 
a) Definir la variable y clasificarla e indicar su escala de medición. 
b) Agrupar los datos en intervalos de clase. Graficar el histograma de frecuencias absolutas e interpretar. 
c) Realizar una tabla de frecuencias relativas porcentuales y de frecuencias acumuladas. Interpretar dos 
frecuencias de cada clase. 
d) Calcular la media, la mediana y la moda e interpretarlas. 
e) Encontrar gráficamente la moda e interpretar. 
f) Calcular e interpretar el 5° decil y el 75° percentil. ¿Con qué valores coincide? 
g) Calcular el desvío estándar e interpretarlo. 
h) Interpretar el rango y el rango intercuartílico. 
i) Construir el diagrama de caja e interpretarlo. 
j) Calcular el coeficiente de asimetría y compararlo con el histograma y el diagrama de caja. 
k) Calcular el coeficiente de Curtosis e interpretarlo. 
 
Problema 8 
El precio de los alquileres de departamentos de dos dormitorios que administra una inmobiliaria, en dos 
barrios de una ciudad, uno en el centro y otro en la periferia, se presenta a continuación: 
Barrio Precio de alquiler [6 – 10) [10 – 14) [14 – 18) [18 – 22) [22 - 26) 
Céntrico Cantidad de departamentos 17 22 32 21 8 
Periferia Cantidad de departamentos 27 35 28 9 1 
 
a) Identificar y definir la variable. Clasificar e indicar escala de medición de esta. 
b) Graficar, comparar e interpretar las dos distribuciones. 
c) Encontrar el precio de alquiler promedio de los departamentos para cada uno de los barrios y 
también la mediana de los precios de alquiler, e interpretar ambas medidas. 
d) ¿Cuál es el barrio que tiene elprecio de los alquileres de departamentos de dos dormitorios más 
homogéneos? ¿Qué medida estadística usa para responder la pregunta anterior? ¿Por qué? 
e) Realizar en un mismo gráfico los dos diagramas de caja (Boxplot) e interpetar. 
 
 
 
 
18 
Problema 9 
a) El siguiente histograma muestra los resultados en el primer examen de una clase de estadística. 
 
a. ¿Cuántos estudiantes presentaron el examen? 
b. ¿Cuál es la amplitud de los intervalos de clase? 
c. ¿Cuál es la marca de clase del primer intervalo? 
d. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron un resultado inferior a 70? 
 
 
 
 
b) La siguiente gráfica muestra el número de pacientes que admite diariamente un Hospital por la sala 
de urgencias. 
 
a. ¿Cuál es el punto medio de la clase que va de 2 a 4? 
b. ¿Cuántos días se admitió de 2 a 4 pacientes? 
c. ¿Aproximadamente cuántos días fueron estudiados? 
d. ¿Cómo son los intervalos y cuál la amplitud de cada 
clase? 
e. ¿Qué nombre recibe esta gráfica? 
 
Problema 10 
1) Seleccionar la respuesta correcta 
El siguiente cuadro contiene algunos de los resultados del análisis descriptivo de la distribución de X = 
"cantidad de CD defectuosos en una caja de 50 unidades de la marca A" en una muestra de 100 cajas. 
 
¿Cuál/es de las siguientes opciones son correctas? Justificar. 
a) El 50% de las cajas contiene como máximo 3 unidades defectuosas. 
b) El 75% de las cajas contiene como máximo 5 unidades defectuosas. 
c) El 75% de las cajas contiene más de 5 unidades defectuosas. 
d) El 50% de las cajas contiene menos de 3 unidades defectuosas. 
 
 
 
 
 
 
2) Indicar cuales medidas son las correctas. 
Los sueldos mensuales, en miles de pesos, de los empleados en las distintas categorías 
administrativas de una firma que brinda servicios de gestión de empresas son los siguientes: 
 
 
 
1.- El valor de la moda es: 
 a) 60,1 
 b) 61,5 
 c) 62,9 
2.- El valor de la media: 
 a) 59,92 
 b) 60,87 
 c) 61,5 
3.- El rango de los valores es: 
 a) 5,6 
 b) 12 
 c) 64,3 
 
Sueldos (en miles de pesos) 58,7 60,1 61,5 62,9 64,3 
Frecuencia absoluta 8 14 8 8 2 
 
19 
Problema 11 
Una compañía está considerando la conveniencia de implantar dos programas de capacitación para sus 
empleados. Se seleccionaron dos grupos y a ambos se les impartió capacitación para realizar la misma 
tarea. 
En el grupo en que se implementó el programa A se requirieron en promedio 32,11 horas para capacitar a 
cada empleado, con una varianza de 68,09. En el grupo en donde se llevó a cabo el programa B se 
necesitó un promedio de 19,75 horas para capacitar a cada empleado, con una varianza de 71,14. ¿Cuál 
programa presentó la menor variabilidad relativa en sus resultados? 
 
Problema 12 
a) Las ganancias obtenidas por una empresa de construcción en 4 años recientes variaron a razón de 
3%, 2%, 4% y 6%. Determinar la tasa promedio de cambio en las ganancias. 
a) Calcular la tasa de crecimiento promedio a la que ha variado las ventas de cierto producto en el 
primer semestre del 2019 con base a la siguiente tabla: 
 
 
 
Problema 13 
Una familia realiza un viaje en automóvil a una ciudad y cubre los primeros 100 km a 60 km/h, los 
siguientes 100 km a 70 km/h y los últimos 100 km a 80 km/h. Calcular, en esas condiciones, la velocidad 
media realizada. 
 
Problema 14 
Durante el periodo 2016 a 2019 se observó una gran volatilidad en el valor de los metales. Los datos 
presentados en la tabla a continuación representan las tasas de rendimiento total del platino, del oro y de 
la plata de 2016 a 2019. 
Año Rendimiento Platino Rendimiento Oro Rendimiento Plata 
2019 34,2 19,5 24,0 
2018 24,5 24,5 5,5 
2017 -21,3 1,2 -3,0 
2016 -23,3 1,8 5,9 
 
a) Calcule la tasa de rendimiento geométrica del platino, del oro y de la plata. Interprete. 
b) ¿Qué conclusiones se obtienen en relación con las tasas de rendimiento geométricas de los tres 
metales? ¿Cuál resultó ser la mejor inversión en el periodo? Y ¿Cuál la peor? 
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio 
Ventas 500 550 600 700 800 850 
TRABAJO PRACTICO N° 3: REPRESENTACIONES GRAFICAS 
 
Guía de lectura 
 
a) ¿Por qué son importantes las representaciones gráficas en los trabajos estadísticos? 
b) ¿Cómo deben ser las escalas de un gráfico? 
c) Realizar una síntesis con los distintos tipos de gráficos estudiados y la oportunidad de uso adecuado 
de cada uno de ellos. 
d) Mencionar y describir las distintas partes de un gráfico estadístico. 
Bibliografía 
Marcoleri M.E., Cornell A.M., Morales L. Presentación de Datos Estadísticos (2001). 
Llanos Lydia M. (2004). Estadística Descriptiva. Guía práctica para resolver problemas de aplicación. 
 
Problema 1 
La siguiente tabla presenta los Índices de Precios al Consumidor (IPC Base Dic 2016= 100) en la región 
Noroeste Argentino según meses del año 2019, y la variación porcentual mensual, para la canasta básica. 
 
Meses Índice Variación % 
enero 189,6 3,2 
febrero 197,6 4,2 
marzo 207,3 4,9 
abril 214,8 3,6 
mayo 223,1 3,9 
junio 229,4 2,8 
julio 233,9 2,0 
agosto 243,6 4,1 
septiembre 257,8 5,8 
octubre 265,2 2,9 
noviembre 275,4 3,9 
diciembre 285,6 3,7 
Fuente: INDEC 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Presentar la evolución de la variación porcentual del I.P.C. en el Noroeste Argentino según meses 
del año 2019 mediante el Gráfico que considere más adecuado, justificando su elección. 
c) Realizar un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
Problema 2 
La Encuesta Permanente de Hogares (EPH) que lleva a cabo el INDEC, arroja los siguientes indicadores 
laborales en forma trimestral para el conglomerado Jujuy-Palpalá desde el año 2017: 
 
Indicadores Laborales (en porcentajes) 
Tasa de 
Actividad 
Tasa de 
Empleo 
Tasa de 
Desocupación 
Tasa de 
Subocupación 
Demandante 
Tasa de 
Subocupación 
No Demandante 
1° trimestre 2017 44,0 42,1 4,2 10,0 5,5 
2° trimestre 2017 47,0 43,5 7,4 10,6 2,4 
3° trimestre 2017 46,7 43,9 5,9 10,3 2,4 
4° trimestre 2017 44,3 41,7 5,9 8,8 2,5 
1° trimestre 2018 41,4 38,5 7,1 9,2 2,6 
2° trimestre 2018 44,6 42,0 5,9 11,0 4,2 
3° trimestre 2018 43,2 41,2 4,6 8,5 2,1 
4° trimestre 2018 45,3 42,2 6,8 9,6 3,6 
1° trimestre 2019 46,1 40,9 11,4 10,8 4,7 
2° trimestre 2019 47,2 43,7 7,5 13,0 5,6 
Fuente: INDEC, Encuesta Permanente de Hogares Continua. 
 
21 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Representar gráficamente de la manera más adecuada, que pueda visualizarse la evolución de los 
diferentes indicadores laborales, justificando su elección. 
c) Realizar un análisis conciso que surge de los datos 
 
Problema 3 
El siguiente cuadro corresponde a la cantidad de proyectos financiados por la Agencia Nacional de 
Promoción de la Investigación, el Desarrollo Tecnológico y la Innovación, discriminados por jurisdicción de 
nuestro país en el año 2017. 
Región Proyectos 
Bonaerense 1542 
Centro 730 
Cuyo 179 
NEA 196 
NOA 203 
Patagonia 142 
Total 2992 
Fuente: Ministerio de Ciencia, 
Tecnología e Innovación 
 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Presentar la composición de la variable mediante el Gráfico que considere más adecuado, 
justificando su elección. 
c) Realice un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
Problema 4 
En una encuesta realizada por una empresa de Recursos Humanos en el año 2018 se preguntó a 150 
ejecutivos cual creían que era el error más común de los candidatos durante las entrevistas de trabajo. Los 
resultados fueron los siguientes: 
Razón Cantidad 
Poco o nulo conocimiento de la empresa 66 
Sin preparación para discutir sus planes profesionales 35 
Escaso entusiasmo 24 
Falta de contacto visual 8 
Sin preparación para discutir sus habilidades/experiencias 4 
Otras Razones 13 
 
a) Definir la variable. Clasificare indicar la escala de medición 
b) Presentar la evolución de variable mediante el Gráfico que considere más adecuado, justificando 
su elección. 
c) Realice un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
 
Problema 5 
La siguiente tabla presenta el consumo privado y público, en el país a precios corrientes. 
Consumo en millones de Pesos a precios corrientes. Años 2009-2016 
Años Consumo privado Consumo público Consumo total 
2009 197.044 39.175 236.219 
2010 185.164 38.037 223.202 
2011 193.482 38.245 231.727 
2012 237.567 42.997 280.563 
2013 281.189 49.826 331.015 
2014 326.276 63.359 389.635 
2015 386.305 81.248 467.552 
2016 475.876 105.013 580.890 
Fuente: INDEC. 
 
 
22 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Presentar la evolución y composición del consumo con el Gráfico que considere más adecuado, 
justificando su elección. 
c) Realizar un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
Problema 6 
La tabla siguiente muestra las exportaciones argentinas del sector oleaginoso por complejo, del año 2019, 
siendo este sector el más importante del total de las exportaciones, ya que representa un 29% de estas: 
 
Exportaciones según complejo del Sector Oleaginoso, año 2019 
 Sector oleaginoso Monto Total de exportaciones 
(millones de dólares) 
Total 18.867 
 Complejo soja 16.943 
 Complejo girasol 935 
 Complejo maní 841 
 Complejo olivícola 148 
Fuente: INDEC 
 
 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Presentar la información mediante el Gráfico que considere más adecuado, justificando su elección. 
c) Realizar un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
Problema 7 
El siguiente cuadro muestra los gastos en actividades científicas y tecnológicas, por sector de ejecución 
para los años 2011-2015 correspondientes al total del país. 
Año 
Gastos en actividades científicas y tecnológicas 
Total Gobierno Educación superior Empresas Entes sin fin de lucro 
2011 2.194,5 845,5 515,5 767,0 66,5 
2012 2.796,4 1.127,3 653,3 937,9 77,9 
2013 3.768,7 1.616,6 878,3 1.168,2 105,6 
2014 4.934,2 2.111,5 1.231,1 1.486,5 105,1 
2015 6.276,0 2.775,8 1.603,5 1.762,0 134,7 
* Cifras en millones de Pesos 
Fuente: Ministerio de Ciencia, Tecnología e Innovación Productiva. 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Representar la evolución y composición mediante el Gráfico que considere más adecuado, 
justificando su elección. 
c) Realizar un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
Problema 8 
La tabla siguiente muestra las temperaturas máximas y mínimas mensuales promedios del periodo 1981-
2010, correspondientes a la ciudad de San Salvador de Jujuy (temperatura en grados centígrados): 
 
 Valores climatológicos promedios 1981-2010 
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Sept. Octubre Noviembre Diciembre 
Temp. Máx 30 29 27 24 21 20 20 23 26 29 30 31 
Temp. Min 18 18 17 14 10 7 6 8 11 15 17 18 
Fuente: Servicio Meteorológico Nacional 
 
a) Definir las variables. Clasificarlas e indicar la escala de medición de estas. 
b) Presentar la información mediante en un único gráfico, el que considere más adecuado, justificando 
su elección. 
c) Realizar un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
 
 
 
23 
Problema 9 
En el siguiente cuadro se muestra la precipitación pluvial en milímetros del promedio de cada mes entre 
los años 1981 y 2010 en la Quiaca. 
Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre 
Precipitaciones (mm) 97,5 55,5 68,5 8,2 1,0 0,5 0,0 1,5 3,5 16,2 27,3 72,1 
Fuente: Servicio Meteorológico Nacional 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Represente los datos estadísticos gráficamente de la manera que crea más adecuada, 
considerando a los mismos en relación con la media aritmética. Interprete luego el gráfico. 
 
Problema 10 
La población total de la provincia de Jujuy en 2010, por país de nacimiento y por sexo, según grupos de 
edad, se refleja en el siguiente cuadro: 
Población total de Jujuy. por país de nacimiento y por sexo según grupo de edad. Año 2010 
Grupo de edad Población total 
País de nacimiento Sexo 
Argentina Otros Varones Mujeres 
Total 673.307 643.736 29.571 329.990 343.317 
0-4 60.753 60.344 409 30.715 30.038 
5-9 63.982 63.446 536 32.452 31.530 
10-14 71.211 70.621 590 36.109 35.102 
15-19 71.211 70.309 902 35.777 35.434 
20-24 54.808 53.526 1.282 27.133 27.675 
25-29 53.511 51.741 1.770 26.222 27.289 
30-34 53.776 51.706 2.070 26.332 27.444 
35-39 45.200 43.158 2.042 21.957 23.243 
40-44 36.595 34.450 2.145 17.541 19.054 
45-49 33.370 31.203 2.167 15.962 17.408 
50-54 30.451 28.261 2.190 14.354 16.097 
55-59 27.509 25.177 2.332 13.190 14.319 
60-64 22.271 19.549 2.722 10.511 11.760 
65-69 17.191 14.514 2.677 8.067 9.124 
70-74 12.949 10.733 2.216 5.986 6.963 
75-79 9.264 7.620 1.644 4.122 5.142 
80 y más 9.255 7.378 1.877 3.560 5.695 
Fuente: INDEC. Censo Nacional de Población, Hogares y Viviendas 2010. 
a) Definir las variables. Clasificarlas e indicar la escala de medición de estas. 
b) Realizar tres tipos de gráficos diferentes combinando la información de la tabla de la manera que 
considere más adecuada. 
 
Problema 11 
La tabla siguiente detalla cómo evolucionó la cantidad de empresas empleadoras privadas de a Argentina, 
según el tamaño de estas: 
Cantidad anual de empresas privadas empleadoras en Argentina, por tamaño de empresa de 2011 a 2017 
Tamaño de empresa 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 
Hasta 9 ocupados 520.389 521.502 523.059 519.231 515.997 517.816 517.910 
 De 10 a 49 ocupados 73.374 73.238 72.952 71.839 72.268 72.166 72.971 
 De 50 a 200 ocupados 14.232 14.234 14.274 14.499 14.844 14.747 14.973 
Más de 200 ocupados 3.199 3.233 3.302 3.305 3.471 3.501 3.539 
Fuente: Secretaría de la Transformación Productiva con base en el SIPA 
 
24 
 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Representar la evolución de los distintos tamaños de empresas mediante el gráfico que considere 
más adecuado, justificando su elección. 
c) Realizar un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
Problema 12 
La cantidad mensual de patentamientos de vehículos (automóviles, comerciales y pesados) desagregados 
por origen geográfico de fabricación en la República Argentina durante el año 2018 fue la siguiente: 
Número de patentamientos de vehículos por origen geográfico 
Mes 
Vehículos 
patentados 
Mes 
Vehículos 
patentados 
enero 120.558 julio 67.218 
febrero 69.609 agosto 65.487 
marzo 85.388 septiembre 52.711 
abril 77.601 octubre 48.571 
mayo 83.200 noviembre 39.717 
junio 64.659 diciembre 28.329 
Fuente: Asociación de Concesionarios de Automotores de la República 
Argentina 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Representar gráficamente estos datos. Justificar su elección. 
c) Interpretar el gráfico. 
 
Problema 13 
Se presentan a continuación los Índices de Precios de ciertas prendas de vestir, con base 2009 = 100: 
Índices de Precios anuales de Prendas de Vestir y Calzado 
Año 
Índices promedio anual (2009 = 100) 
Argentina Brasil Chile 
2010 93,36 103,36 93,13 
2011 89,17 107,32 87,72 
2012 118,36 115,54 84,21 
2013 143,18 126,87 80,35 
2014 152,97 139,1 78,76 
2015 170,16 152,24 77,83 
2016194,99 161,72 77,27 
Fuente: INDEC 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Presentar la información mediante el gráfico que considere más adecuado, justificando su elección. 
c) Realizar un breve comentario de lo que observa en el gráfico. 
 
 
Problema 14 
La siguiente tabla presenta las cantidades consumidas de gas natural (en miles de m3.) para consumo 
residencial, industrial, generación eléctrica y otros usuarios finales, en el total del país durante 2018. 
Meses del año 2018 ene feb mar abr may jun jul ago sep oct nov dic 
Consumo de Gas 3408 3194 3586 3639 4110 4435 4677 4573 3734 3550 3092 3098 
Fuente: Ministerio de Hacienda con base en INDEC 
a) Identificar la variable, clasificarla y señalar la escala de medición de esta. 
b) Presentar la información mediante el Gráfico que considere más adecuado, en relación con la 
media aritmética. 
c) ¿En 2018 se presentó estacionalidad en su consumo de gas natural? Realizar un breve 
comentario. 
TRABAJO PRACTICO N°4: NÚMEROS ÍNDICES 
 
 
Guía de lectura 
 
a) ¿Qué es y que mide un número índice? 
b) ¿Cuál es el índice para el período base? 
c) Explique las diferencias entre los tres principales tipos de índices: precio, cantidad y valor. 
d) ¿Qué mide el índice de precios al consumidor? 
e) ¿Cuáles son las dos formas básicas de usar los números índices? 
f) ¿Por qué deben tenerse precauciones al seleccionar un período base? 
g) ¿Cuál es la diferencia principal entre un índice de agregados ponderados y un promedio ponderado de 
índices relativos? 
h) ¿Cuál es el efecto del tiempo sobre la ponderación de un índice compuesto? 
i) Haga una lista de varias preferencias para la selección de un período base. 
j) Describa una técnica usada para evitar el uso de un período irregular para una base. 
k) ¿Qué problema existe con los números índices si la cantidad de un elemento cambia? 
l) Explique las principales aplicaciones de los índices de precios. 
m) Realice una síntesis integradora de los números índices, mencionando conceptos, ventajas, 
desventajas, aplicaciones, fórmulas y todo elemento que considere importante. 
 
Bibliografía 
 
Chou Y.L. Análisis estadístico. Editorial Interamericana. México 1979. 
Marcoleri de Olguín M.E. Números Indices. Abril de 1998 (Revisado en 2010). 
Llanos Lydia M. (2004). Estadística Descriptiva. Guía práctica para resolver problemas de aplicación. 
 
Problema 1 
El precio del litro de la lecha al productor, en pesos, evolucionó desde el año 2012 como se indica a 
continuación: 
Precio del litro de leche al productor - promedio anual 
Año 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 
Precio 1,57 2,09 3 2,96 3,9 5,51 7,35 14,72 
Fuente: Observatorio de la Cadena Láctea Argentina 
 
a) Definir la variable. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Construir índices univariables tomando como base el año 2019, e interpretarlos. 
c) Calcular las variaciones porcentuales anuales de los índices, e interpretarlas. 
d) Representar los datos utilizando conforme al tipo de gráfico más adecuado. 
 
Problema 2 
La producción de carne bovina de Argentina, en miles de toneladas res con hueso, para los meses del 
último trimestre de 2019 y del primero de 2020, son las siguientes: 
Periodo oct-19 nov-19 dic-19 ene-20 feb-20 mar-20 
Producción 296 272 281 257 224 238 
Fuente: Ministerio de Agricultura, Ganadería y Pesca de la Nación 
 
a) Definir la variable estudio. Clasificar e indicar la escala de medición 
b) Construir los índices de producción de carne bovina, tomando como base a octubre de 2019. 
c) Realizar el gráfico más conveniente de los índices de producción en base a octubre de 2019. 
d) Efectúe un cambio de base, actualizando el índice de producción en febrero de 2020. 
e) ¿Qué consideraciones debemos tener para elegir una nueva base? 
f) Debido la baja en la actividad económica a causa de la pandemia del COVID19, se espera una baja en 
la producción del 25%. ¿Cómo quedarían los índices de producción en iguales meses del cuarto trimestre 
de 2020 y del primero de 2021, considerando como base el mes de octubre? 
 
 
 
 
26 
Problema 3 
Utilizando los índices de precios que se presentan en la siguiente tabla construya un nuevo índice con 
base 2019 = 100. 
AÑOS INDICE BASE 
2012 = 100 
INDICE BASE 
2017 = 100 
2013 141.2 
2014 208.7 
2015 155.6 
2016 165.2 
2017 162.3 
2018 134.2 
2019 139.9 
 
¿Cómo se llama el procedimiento realizado y para qué sirve? 
 
Problema 4 
Los precios en miles de pesos de terrenos en venta de tres proyectos en cartera según una empresa 
inmobiliaria de nuestra provincia, en enero de 2014 y enero de 2020, fueron: 
Precios por producto (en miles pesos) 
Producto ene-14 ene-20 
Lote Proyecto 1 565 760 
Lote Proyecto 2 630 772 
Lote Proyecto 3 498 820 
 
a) Calcular la variación porcentual de precios en 2020, tomando como base enero de 2014, para lote. 
b) Calcular la variación porcentual entre enero de 2020 y enero de 2014 para el lote proyecto 2. 
c) Calcular los índices agregados simples de precios para el año 2020, tomando como base 2014 
d) Calcular un índice promedio simple aritmético de relativos para los precios de 2020, con base en 2014. 
e) Comente brevemente las desventajas de estos dos Índices. 
f) Representar los datos utilizando conforme al tipo de gráfico más adecuado 
 
Problema 5 
Utilizando los índices de precios mensuales de la mano de obra de contratos de la obra pública, que se 
presentan en la siguiente tabla construya una nueva serie de índices con base febrero de 2020 = 100. ¿Es 
un buen período para tomar como base?, ¿por qué? ¿Cómo se llama este procedimiento realizados? 
Periodo Índice Base Junio 2019=100 Índice Base Dic 2019=100 
jul-19 104,1 
ago-19 108,0 
sep-19 108,6 
oct-19 115,7 
nov-19 122,4 
dic-19 126,4 
ene-20 136,6 108,1 
feb-20 145,0 114,7 
mar-20 147,3 116,5 
Fuente: INDEC 
 
Problema 6 
Los precios en pesos y las cantidades vendidas (en miles) de una sastrería masculina, que comenzó sus 
actividades en 2015, para diferentes artículos de vestir, en diciembre de 2015 y diciembre de 2019, fueron: 
Artículo 
Precio 
2015 
Cantidad 
2015 
Precio 
2019 
Cantidad 
2019 
Trajes de vestir 3200 75 8500 390 
Camisas 620 120 2000 720 
Chaquetas 1800 50 6700 80 
 
27 
a) Calcular la variación porcentual de precios en 2019, tomando como base el año 2015, para cada uno 
de los artículos. ¿Cuál producto tuvo el mayor incremento en su precio? 
b) Calcular un índice agregado simple de precios para el año 2019, tomando como base 2015. 
Interpretar 
c) Calcular un índice agregado simple de cantidades para el año 2019, tomando como base 2015. 
d) Calcular un índice promedio simple aritmético de relativos para los precios de 2019, con base en 
2015. 
e) Comentar brevemente las desventajas de estos dos Índices. 
f) Calcular e interpretar los índices de Laspeyres y Paasche para el nivel de precios de los artículos, 
tomando 2015 como base. Diferencie los resultados de dichos índices y diga cual índice es el más 
conveniente aplicar de acuerdo con los periodos. 
 
Problema 7 
Una fábrica de electrodomésticos compra tres repuestos importados de partes para las máquinas que 
utiliza en el proceso de manufactura. A continuación, se presentan los precios en dólares y cantidades 
compradas de los tres repuestos, para los años 2010 y 2019: 
Repuestos Precio 2010 Cantidad 2010 Precio 2019 Cantidad 2019 
RC-33. 0,50 320 0,60 340 
SM-14 1,20 110 0,90 130 
WC500 0,85 230 1,00 250 
a) Calcule la variación porcentual del precio de los repuestos en 2019, tomando como base el año 2010, 
para cada repuesto. 
b) Calcule un índice agregado simple de precios para el año 2019, tomando como base 2010. Explique la 
principal desventaja de este índice. 
c) Calcule un índice promedio simple aritmético y geométrico de relativos para los precios de 2019, con 
base en 2010. 
d) Calcule los índices de Laspeyres y Paasche para el nivel de precios de los repuestos,tomando 2010 
como base. Diferencie los resultados de dichos índices y diga cual índice es el más conveniente aplicar 
de acuerdo con los periodos. 
 
Problema 8 
La comercialización de combustible de una boca de expendio de con la bandera YPF en San Pedro de 
Jujuy se detalla a continuación, de acuerdo con los precios (pesos por litro) y cantidades (millones de 
litros) los principales productos comercializados en marzo de 2017 y de 2020: 
Tipo de 
Combustible 
Precio Mzo de 
2017 
Precio Mzo de 
2020 
Cantidades Vendidas 
Mzo 2017 
Cantidades Vendidas 
Mzo de 2020 
Nafta Super 20,62 60,99 124,7 137,6 
Gasoil grado 2 18,25 55,79 91,9 47,4 
GNC 11,12 29,30 112,4 68,3 
Fuente: Secretaría de Energía de la Nación. 
a) Calcular un índice agregado simple para el nivel de precios de los combustibles, tomando marzo de 
2017 como base. Interpretar. 
b) Calcular la variación porcentual del nivel de precios de cada tipo combustible. Interpretar. 
c) Calcular un índice de Laspeyres y uno de Paasche para el nivel de precios de los combustibles, 
tomando marzo de 2017 como base. Interpretar y comparar los resultados. 
 
Problema 9 
En una fábrica de cajas de embalaje, se producen cajas de 20, 35 y 45 lts. de capacidad. La siguiente 
información corresponde a las unidades producidas y las horas hombre (principal insumo) por unidad 
producida para 2016 y 2018 
Cajas de 
embalaje 
Unidades Producidas 
en 2016 
Horas Hombre por 
Unidad en 2016 
Horas Hombre por 
Unidad en 2018 
Caja de 20 lts. 4000 1 / 8 1 / 7 
Caja de 35 lts. 3500 2 / 7 2 / 6 
Caja de 45 lts. 2700 1 / 6 1 / 7 
Determinar si aumentó o disminuyó la productividad mediante el índice de productividad 2018 con base 
2016. ¿Cuánto se modificó? 
 
28 
Problema 10 
Una fábrica de Bombitas LED, produce cuatro variedades del producto. Presenta los siguientes datos 
sobre las unidades producidas y las horas hombre por unidad producida para 2017 y 2019: 
Bombitas 
de Luz 
Unidades Producidas 
en 2017 
Horas Hombre por 
Unidad en 2019 
Horas Hombre por 
Unidad en 2019 
6 w. 4000 1 / 8 1 / 7 
9 w. 3500 2 / 7 2 / 6 
12 w. 2700 1 / 6 1 / 7 
50 w. 4850 2 / 5 4 / 9 
Determinar si se modificó la productividad y cuanto mediante el índice de productividad 2019 con base 2017. 
 
Problema 11 
El siguiente cuadro indica el intercambio comercial de nuestro país con el resto del mundo en los años 2004 a 
2016 en millones de dólares: 
AÑO EXPORTACIONES 
(MILLONES U$S) 
IMPORTACIONES 
(MILLONES U$S) 
2004 9.579 4.205 
2005 12.353 4.377 
2006 11.979 8.276 
2007 12.235 14.872 
2008 13.117,6 16.783,4 
2009 15.839,2 21.590,3 
2010 20.893,3 19.968,7 
2011 23.810,7 23.761,9 
2012 26.434 31.379 
2013 26.409 25.508 
2014 34.453 22.320 
2015 40.013 28.692 
2016 43.300 33.200 
a) Determinar el saldo del intercambio comercial. 
b) Construir un índice de valor para las exportaciones y otro para las importaciones con base en el año 2004. 
c) Calcular alguna medida que muestre año a año la condición de intercambio. Interpretar. 
 
Problema 12 
Dos hermanos trabajan en el sector registrado, uno trabaja en el sector público y otro en el sector privado. 
Quieren saber si sus sueldos aumentaron, mantuvieron o perdieron el poder adquisitivo entre enero de 
2017 y enero de 2020. A continuación, se presentan los salarios nominales de ambos hermanos y el Índice 
de Precios al Consumidor de esos periodos. 
Periodo 
IPC 
Base ene-17=100 
Salario Nominal Sector 
PRIVADO Registrado 
Salario Nominal Sector 
PÚBLICO Registrado 
ene-17 100,00 $25.000 $20.000 
ene-20 287,94 $62.900 $47.650 
Fuente: INDEC (IPC e índice de salarios) 
a) Calcular la variación porcentual del nivel de salarios de cada hermano. Interpretar. 
b) ¿Cuáles fueron los salarios reales en enero de 2020 respecto de enero de 2017? ¿Cuál fue el sector 
que perdió más el poder adquisitivo? 
c) Para mantener la capacidad adquisitiva del año 2017, ¿cuánto deberían haber cobrado en 2020? 
 
Problema 13 
De acuerdo con el recibo de sueldo (neto a cobrar), el salario nominal de un empleado bajo relación de 
dependencia fue de $ 19.500 y no se modificó entre 2017 y 2019. El Índice de Precios al Consumidor en 
esos años se presenta a continuación: 
Año Salario Nominal IPC (2017 = 100) 
2017 $ 19.500 100.00 
2018 $ 19.500 147,79 
2019 $ 19.500 229,74 
a) ¿Cuál fue su salario real en 2018 y 2019 respecto del año 2017? 
b) Para mantener la capacidad adquisitiva de 2017, ¿cuánto debería haber cobrado en 2018 y en 2019?
TRABAJO PRACTICO N° 5: PROBABILIDAD 
 
Guía de lectura 
 
1. Vincular la definición clásica de probabilidad con la de frecuencia relativa. 
2. Enunciar brevemente las tres teorías de probabilidad. 
3. Explicar la diferencia existente entre sucesos independientes y sucesos no independientes. Dar 
ejemplos económicos. 
4. Explicar la diferencia existente entre sucesos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes 
(incompatibles y compatibles). Relacionar con la teoría de conjuntos y dar ejemplos económicos. 
5. ¿Qué se entiende por suceso cierto? 
6. ¿Cuándo un suceso es imposible? 
7. ¿Qué se entiende por espacio muestral? 
8. ¿Qué se entiende por evento o suceso? 
9. ¿Qué enuncia la regla aditiva para sucesos no mutuamente excluyentes? ¿y para sucesos 
mutuamente excluyentes? 
10. ¿Qué enuncian las reglas multiplicadoras? 
11. ¿Qué entiende por probabilidad condicional? 
12. ¿Para qué se usa el Teorema de Bayes? 
13. Realizar una síntesis integradora de las distintas leyes de probabilidad, indicando fórmulas, tipos de 
sucesos para los cuales se aplican, las clases de probabilidades con las que se asocian las leyes. 
 
Bibliografía 
 
Canavos G.C. Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. Editorial McGraw-Hill. 
1988. 
Walpole, Ronald E. y Myers, Raymond H. “Probabilidad y Estadística”. Cuarta Edición. (1992). 
Mc. Graw-Hill/Interamericana de México S.A. 
Marcoleri. (2007). Probabilidad. 
 
Problema 1 
Un analista de mercado afirma que las probabilidades de que las acciones de la Compañía XX suban más 
de 5 puntos, permanezcan igual, o bajen más de 5 puntos, este año, son: 0,24; 0,45; 0,31, 
respectivamente. Un segundo analista dice que son: 0,40; 0,27; 0,35, respectivamente. ¿Cumplen estas 
afirmaciones con el axioma de probabilidad del espacio muestral? 
 
Problema 2 
Se extrae una bolilla de una bolsa que posee 8 bolillas rojas, 10 negras y 10 blancas. ¿Cuál es la probabilidad 
de que sea: 
a) Roja b) Roja ó blanca c) No roja d) Ni roja ni blanca? 
Problema 3 
Muestre las siguientes situaciones a través de diagramas de Venn. 
a) Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Suponga que P(A) = 0.30 y P (B) = 0.20. 
 ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran ya sea A o B? ¿Cuál es la probabilidad de que ni A ni B 
sucedan? 
b) Un banco local informa que 80% de sus clientes tienen cuenta corriente; 60% tiene cuenta de ahorros y 
50% cuenta con ambas. 
 Si se elige un cliente al azar: 
1. ¿cuál es la probabilidad de que el cliente tenga ya sea una cuenta corriente o una cuenta de ahorros? 
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente no tenga una cuenta corriente ni una de ahorros? 
 
Problema 4 
En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben 
hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. 
 
a) Realice un diagrama de ven, y/o Construya una tabla de contingencia. 
b) Si escogemos uno de los viajeros al azar. 
1. ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? 
 
30 
2. ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? 
3. ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés? 
c) Construya una Tabla de Probabilidades conjuntas y marginales. Defina las variables consideras y 
clasifíquela/s. Para el caso de cualitativas, indicar las categorías. 
 
Problema 5 
En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2.500 personas para saber la audiencia de un debate 
y de una película que se emitieron en horas distintas:2.100 vieron la película, 1.500 vieron el debate y 350 
no vieron ninguno de los dos programas. 
a) Realizar un diagrama de Venn y construir una tabla de contingencia. 
b) Si elegimos al azar a uno de los encuestados, determine la probabilidad de que: 
1. no viera la película. 
2. Viera la película o viera el debate. 
3. viera la película y el debate. 
4. Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate? 
5. Sabiendo que no vio el debate, ¿cuál es la probabilidad que viera la película? 
c) Construir una Tabla de Probabilidades conjuntas y marginales. Definir las variables consideras y 
clasifíquelas. Para el caso de cualitativas, indicar las categorías. 
 
Problema 6 
200 obreros de una compañía se clasifican desde el punto de vista de su calificación y desde el punto de 
vista de la antigüedad, según la tabla siguiente: 
 Antigüedad 
Calificación Menos de 5 años 5 años o más 
Experto 25 115 
Aprendiz 15 45 
 
a) Definir las variables consideras y clasifíquelas. 
b) Volcar la información en un gráfico que considere adecuado para la misma. 
c) Construir una tabla de probabilidades conjuntas y marginales. 
d) Si se selecciona un obrero aleatoriamente: 
1) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un obrero experto ó tenga menos de 5 años de antigüedad? 
2) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un obrero Aprendiz y tenga 5 o más años? 
3) Sabiendo que es Experto, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 5 años de antigüedad? 
4) Son independientes los sucesos “menos de 5 años” y “Aprendiz”?. Demostrar. 
 
Problema 7 
Se está implementando un nuevo tratamiento para la cura de una determinada enfermedad, obteniendo 
resultados positivos en 60 de 81 casos. Con el tratamiento viejo, se observaron 43 casos de resultados 
positivos sobre 79. 
a) Construir un cuadro de contingencia de probabilidades conjuntas y marginales. Definir la/s variables 
consideras y clasificarla/s. Para el caso de cualitativas, indicar las categorías. 
b) Se selecciona aleatoriamente un paciente tratado: 
1) Si sabemos que está curado, ¿cuál es la probabilidad que se le haya aplicado el tratamiento viejo? 
2) ¿Cuál es la probabilidad de que esté curado o haya sido tratado con el nuevo método? 
3) ¿Cuál es la probabilidad de que no esté curado y haya sido aplicado el viejo tratamiento? 
4) ¿Los eventos Tratamiento nuevo y Resultado positivo (curado), son independientes? Demostrar 
5) Construir las Tablas de Perfiles Filas y Perfiles Columnas, e interpretar. Grafíquelas en forma 
adecuada. 
 
Problema 8 
Cada vendedor de una empresa se califica de acuerdo con su habilidad en las ventas y su posibilidad de 
promoción. De una muestra al azar de empleados de la empresa se obtienen los siguientes resultados: 
 
 Posibilidades de promoción 
Habilidades en ventas Regular Buena Excelente 
Por debajo del promedio 16 12 22 
Promedio 45 60 45 
Por arriba del promedio 93 72 135 
 
31 
a) Construir una tabla de probabilidades conjuntas y marginales. 
b) Se selecciona un vendedor al azar: 
1. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un vendedor por debajo del promedio? 
2. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un vendedor con posibilidades de promoción buena o 
que tenga habilidad promedio en ventas? 
3. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un vendedor con posibilidades excelentes de promoción 
y esté por arriba del promedio en sus habilidades en ventas? 
4. Salió seleccionado un vendedor con habilidades en ventas por arriba del promedio, ¿cuál es la 
probabilidad de que sea regular en cuanto a sus posibilidades de promoción? 
 
Problema 9 
En una clase de estadísticas hay 45 estudiantes: 5 de primer año, 30 de segundo, 6 de tercer año y 4 de 
cuarto año. Entre los 45 estudiantes, 2 de primero, 15 de segundo, 3 de tercero y 3 de cuarto son varones. 
a) Realizar un cuadro de probabilidades conjuntas y marginales. 
b) Si se selecciona aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad de que el estudiante sea: 
1. Varón o mujer 
2. De primer año o de segundo año 
3. Mujer o de segundo año 
4. De segundo, de tercero o de cuarto 
5. De segundo y mujer 
6. De tercero o cuarto y varón 
7. Varón, sabiendo que es de 1 año 
8. De segundo año, sabiendo que es mujer 
 
Problema 10 
En una ciudad, el 40% de los domicilios tienen conexión a Internet. De los que tienen este servicio de 
Internet, el 99% tiene contratado un servicio de TV por cable. De aquellos que no tienen Internet en el 
domicilio, el 75% tiene contratado TV por cable. 
a) Construir el Diagrama de Árbol. 
b) Si se releva un domicilio al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga TV por cable contratado? 
c) Si al relevar un domicilio resulta que tiene TV por cable. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga servicio 
de Internet? 
d) Construir una tabla de probabilidades conjuntas y marginales. 
 
Problema 11 
Los docentes de una escuela superior se clasifican así: el 50% tiene doctorado, el 30% son licenciados y 
el 20% son profesores. De los doctores, licenciados y profesores, el 60%, 40% y 70% son varones 
respectivamente. Se toma al azar un docente: 
a) Construir un diagrama que represente esta situación. 
b) Calcular la probabilidad de que: 
1) Sea mujer 
 
2) Sea doctor 
o varón 
3) Sea licenciado y 
mujer 
4) Dado que la persona seleccionada es 
mujer, sea licenciada 
c) ¿Son independientes los eventos que sea licenciada y sea mujer? 
d) Construir una tabla de probabilidades conjuntas y marginales. Mostrar la información en un gráfico que 
considere adecuado. 
 
Problema 12 
El 10% de los empleados de un Banco regional tienen cargos gerenciales y el 20% tienen jefaturas 
asignadas (el restante 70% no tienen jefaturas ni cargos gerenciales). Se observan demoras habituales en 
el ingreso a la jornada laboral en un 2% de los Gerentes, en un 6% de los Jefes, y en un 13% del resto de 
los empleados. Construya un diagrama de árbol. 
Elegimos al azar un trabajador del Banco: 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Jefe que presenta demoras en el ingreso a la jornada laboral? 
b) Si sabemos que nunca llega tarde, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de un Gerente? Resolver 
utilizando el Teorema de Bayes. 
 
Problema 13 
El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se 
realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la 
 
32 
enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. 
a) Construya un diagrama de árbol. 
b) Elegimos al azar un individuo de esa población: 
1) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? 
2) Sabemos que ha dado positiva ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? 
 
Problema 14 
En una importante tienda de ropa el 60% de los clientes pagan con Efectivo, el 30% con Tarjetas de Débito 
y solo el 10% con Tarjetas de Crédito. De aquellos que pagan en Efectivo solo el 60% exige la factura, de 
los que pagan con Tarjeta de Débito el 90% la exige, y quienes pagan con Tarjeta de Crédito siempre 
exigen la boleta. 
Un cliente exigió su factura al realizar la compra, ¿cuál es la probabilidad de que haya pagado con Tarjeta 
de Débito? Aplique el Teorema de Bayes. 
 
Problema 15 
Los datos de las siguientes cuatro tablas corresponden a una firma comercial informática: 
a) Identificar las variables, clasificarlas e indicar las escalas de medición. 
b) Interpretar la información de los cuatro cuadros. 
c) Mostar la información en un gráfico adecuado. 
 
Cuadro 1. Tabla de contingencia. Cuadro 2. Tabla de probabilidades 
 conjuntas y marginales 
 
 
 
Cuadro 3. Tabla de perfiles fila. Cuadro 4. Tabla de perfiles columna. 
 
 
Área * Retiro Crosstabulation
Count
5 15 20
30 50 80
35 65 100
Gerencia
Producción
Área
Total
Se retira No se retira
Retiro
Total
Área * Retiro Crosstabulation
% of Total
5,0% 15,0% 20,0%