Simulación del campo electromagnético del motor de inducción para generar estrategias de análisis

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SIMULACION DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 
DEL MOTOR DE INDUCCIÓN PARA GENERAR 
ESTRATEGIAS DE ANALISIS COMPUTACIONAL 
EN MAQUINAS ELECTRICAS 
 
 
 
 
2 
 
 UNIVERSIDAD DE CARABOBO 
AREA DE ESTUDIOS DE POSTGRADO 
FACULTAD DE INGENIERIA 
MAESTRIA DE INGENIERIA ELÉCTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMULACION DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO DEL MOTOR DE 
INDUCCIÓN PARA GENERAR ESTRATEGIAS DE ANALISIS 
COMPUTACIONAL EN MAQUINAS ELECTRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
AUTOR: 
ING. ADRIANA GARCIA 
 
 
 
 
 
VALENCIA, MARZO DE 2010 
 
 
 
 
 
3 
 
UNIVERSIDAD DE CARABOBO 
AREA DE ESTUDIOS DE POSTGRADO 
FACULTAD DE INGENIERIA 
MAESTRIA DE INGENIERIA ELÉCTRICA 
 
 
 
CERTIFICADO DE APROBACION 
Los Aabajo firmantes, miembros del jurado designado para examinar el Trabajo 
Especial de Grado titulado: “SIMULACION DEL CAMPO 
ELECTROMAGNÉTICO DEL MOTOR DE INDUCCIÓN PARA GENERAR 
ESTRATEGIAS DE ANALISIS COMPUTACIONAL EN MAQUINAS 
ELECTRICAS”, realizado por el (la) ciudadano (a) Adriana García, titular de la 
cédula de identidad Nº 12143215, para optar al título de Magister en Ingeniería 
Eléctrica, certificamos por medio de la presente, que hemos revisado y aprobado 
dicho trabajo. 
 
 
En Valencia, Marzo del año dos mil once. 
 
 
 
_____________________________ 
Presidente 
 Prof Rafael Albornoz 
 
_____________________________ _____________________________ 
 Miembro Miembro 
 Prof Antonio Millan Prof Juan Arcila 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
DEDICATORIA 
 
 
 
 
 
 
A mi hija Cristina de diez años, que gracias a este trabajo tomo una decisión “mamá, 
nunca cometeré el error de hacer una tesis de ingeniería eléctrica”. 
A mi hija Leonor que con su tres años invento un nuevo verbo, “mamá, anda, sigue 
computeando para que termines tu trabajo”. 
A las abuelas por haber cuidado de mis hijas tantas veces. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
A la Profesora Irahis Rodríguez. 
A la Profesora Marleni González, con la cual me encanta conversar. 
Muy especialmente al Profesor Rafael Albornoz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INDICE GENERAL 
 
Dedicatoria ii 
Agradecimiento iii 
INTRODUCCION 13 
CAPITULO I EL PROBLEMA 14 
1.1.Planteamiento del Problema 14 
1.2. Objetivos 18 
1.2.1. Objetivo General 18 
1.2.2. Objetivos Específicos 19 
1.3. Justificación 19 
1.4. Alcances 20 
CAPITULO II MARCO TEORICO 21 
2.1. Antecedentes de la investigación 21 
2.2 .Bases Teóricas 32 
2.2.1 Método de Elementos Finitos 32 
2.1.1.1. Introducción al Método de Elementos Finitos. 32 
2.1.1.2. Método de los Residuos ponderados 34 
2.1.1.3. Aproximación de Funciones 35 
2.1.1.4. Método de los Residuos ponderados a través del Método de Garlekin. 38 
2.1.1.5. Método de Elementos Finitos con Funciones de Prueba por tramos 41 
2.1.1.6. Aproximación de Funciones mediante Funciones de Forma Variables 42 
2.1.1.7. Definición local de las funciones de Forma 45 
2.1.1.8. Aproximación a la Solución de Ecuaciones Diferenciales 46 
2.1.1.9. Método de elementos finitos para problemas en dos dimensiones 47 
2.1.1.10. Interpolación de Funciones 54 
2.1.1.11. Definición local de la Función de Forma 56 
2.1.1.12. Error de la Solución y Convergencia 59 
2.1.1.13. Teorema de Unicidad 60 
2.2.2 Modelo Electromagnético del Motor de Inducción 60 
7 
 
2.2.2.1 Ecuaciones Iníciales 61 
2.2.2.2 Reducción del Problema 3D a un problema de 2D. 62 
2.2.2.3 Modelo Electromagnético General. 64 
2.2.2.4 Modelo Electromagnético Específico. 67 
2.2.2.5 Modelo Magnetoestático 2D 68 
2.2.2.6 Modelo con formulación compleja y corrientes inducidas. 69 
2.2.2.7 Modelo Magnetodinámico con corrientes inducidas y movimiento. 71 
CAPITULO III MARCO METODOLOGICO 75 
3.1. Naturaleza de la Investigación 75 
3.2. Fases de la Investigación 76 
3.2.1 Fase 1. Documentación del Problema 78 
3.2.2 Fase 2. Modelo electromagnético del Motor de Inducción 78 
3.2.3 Fase 3. Resolución de un caso Magnetoestático en 2D 81 
3.2.4 Fase 4. Selección de un Programa de simulación electromagnética 89 
3.2.5 Fase 5. Simulación del motor de inducción 93 
3.2.5.1 Proceso Simulación Estructura ¼ de motor. 93 
3.2.5.2 Proceso Simulación Estructura motor entero. 106 
CAPITULO IV ANALISIS Y PRESENTACION DE RESULTADOS 101 
4.1 Fase 6. Presentación y Análisis de Resultados de Simulaciones del Motor de 
inducción 
107 
4. 1.1 Resultados para la estructura ¼ de motor. 107 
4.1.2 Resultados y Análisis para la estructura entera del motor 112 
4.2 Fase 7. Diseño de Estrategias para analizar el Motor de Inducción mediante 
herramientas computacionales basadas en el método de elementos finitos. 
118 
CONCLUSIONES 122 
RECOMENDACIONES 124 
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 126 
APENDICES 131 
ANEXOS 136 
 
 
8 
 
INDICE DE FIGURAS Y GRAFICOS 
 
Figura N. 1. Modelo del Motor de Inducción. 23 
Figura N. 2. Vector de Potencial Magnético en el entrehierro para un motor sano, 
una barra rota y cuatro barras rotas. 
23 
Figura N. 3 Densidad de Flujo Magnético en el entrehierro para un motor sano y 
con falla. 
24 
Figura N. 4 Análisis del tercer armónico en densidad de flujo magnético en motor 
sano y con falla. 
26 
Figura N.5 Distribución de Campo magnético en la sección transversal de un motor 
de 3 KW sano y con falla. 
29 
Figura N.6 Vector de Potencial Magnético en el entrehierro 29 
Figura N.7 Densidad de Flujo Magnético en el motor de 3 KW. 30 
Fig. N.8 Densidad de campo magnético y contenido armónico. 31 
Fig. N.9 Ejemplo de sistema Discreto: Circuito Eléctrico. Ejemplo de sistema 
Continuo: Líneas de campo magnético en un electroimán 
33 
Fig. N.10 Función real y Función aproximada 35 
Figura N.11 Aproximación de Funciones mediante Funciones de Forma de 
variación lineal 
44 
Figura N.12 Discretizacion del Dominio 48 
Figura Nro. 13 Elemento Triangular, con nodos i,j,k.. Numerados en sentido 
antihorario. 
56 
Figura N.14 Dominio 2D para Motor de Inducción 63 
Figura N.15 Circuito Equivalente del Motor de Inducción 78 
Figura N.16 Circuito Equivalente del Motor de Inducción. Prueba en vacío. 79 
Figura Nro. 17 Dominio discretizado. 81 
Figura N. 18 Elemento tridimensional para la discretización. Tetraedro. 87 
Figura N.19 Motor entero en 3D y Datos del Motor. 87 
Figura N. 20 Porciones de estudio del Motor de Inducción 
Figura N. 21 Porción ¼ de Motor: Región límite. 
88 
9 
 
Figura N. 22 Porción ¼ de Motor: Partes. 90 
Figura N. 23 Curva B-H para D-23 90 
Figura N. 24 Condiciones de Borde asignadas por el programa. 91 
Figura N. 25 Condiciones de Borde Periódicas. 92 
Figura N. 26 Condiciones de Borde de Aislamiento. 93 
Figura N. 27 Devanado de Estator con Bobinas. 94 
Figura N. 28 Distribución de Ranuras en el estator. 94 
Figura N. 29 Distribución de Fases en el estator. 95 
Figura N.30 Proceso de Análisis Adaptativo 97 
Figura N. 31 Motor Entero y Región. 98 
Figura N. 32 Línea en el entrehierro. 103 
Figura N. 33 Vector de Densidad de Campo Magnetico en el plano XY 105 
Figura N. 34 Magnitud de Densidad de Campo Magnético y Malla. 105 
Figura N. 35 Vector de Densidad de Campo Magnético en el estator. 108 
Figura N. 36 Magnitud Densidad Campo Magnético y detalle de la Malla. 109 
Figura N.37 Distribución vectorial del campo magnético en el estator. 111 
Figura N.37 Distribución Magnitud de Densidad de campo magnético y malla. 111 
Grafico N.1 Densidad de Campo Magnético en el entrehierro ¼ Motor 104 
Grafico N.2 Densidad de Campo Magnético en el entrehierro Motor Entero. 108 
Grafico N.3 Densidad de CampoMagnético en el entrehierro Motor Entero. 110 
 
 
 
 
 
 
10 
 
INDICE DE CUADROS 
Cuadro N.1 Método de los Residuos Ponderados por Garlekin. Formulación Débil. 39 
Cuadro N.2 Fases de la Investigación y su relación con los objetivos específicos. 75 
Cuadro N.3 Coeficientes y determinante para cada elemento. 
 
Cuadro N.4 Coeficientes de la Matriz S para cada elemento. 
 
Cuadro N.5 Esquema de relaciones nodales. 
Cuadro N.6 Densidad de Campo Magnético por elemento. 82 
Cuadro N. 7 Características de algunos Programa de Simulación Electromagnética 
basados en el Método de Elementos finitos 
84 
Cuadro N.8 Propiedades de los Materiales 90 
Cuadro N.9 Distribución del devanado en el estator 95 
Cuadro N. 10 Parámetros de Análisis ¼ de Motor 99 
Cuadro N.11 Parámetros de Análisis Motor entero 100 
Cuadro N.12 Resumen de Análisis para estructura de ¼ de Motor 101 
Cuadro N.13 Resultados de convergencia para Setup 10 102 
Cuadro N.14 Resumen de Análisis para estructura de Motor entero 106 
Cuadro N.15 Resumen de Convergencia para estructura de Motor entero 107 
Cuadro N. 16 Actividades Estratégicas para Análisis del Motor de Inducción 114 
Cuadro N. 17 Proceso de Simulación Motor de Inducción Enfoque 
Magnetoestatico 
115 
 
 
 
 
 
 
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UNIVERSIDAD DE CARABOBO 
AREA DE ESTUDIOS DE POSTGRADO 
FACULTAD DE INGENIERIA 
MAESTRIA DE INGENIERIA ELÉCTRICA 
 
SIMULACION DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO DEL MOTOR DE 
INDUCCIÓN PARA GENERAR ESTRATEGIAS DE ANALISIS 
COMPUTACIONAL EN MAQUINAS ELECTRICAS 
 
Autor: Adriana García 
Tutor: Irahis Rodríguez 
Fecha: Marzo 2010 
RESUMEN 
 
 Hoy en día las máquinas eléctricas se pueden estudiar utilizando herramientas 
computacionales basadas en la aplicación de métodos numéricos que permiten resolver 
las ecuaciones que describen el comportamiento y los fenómenos electromagnéticos 
asociados a la maquina. La máquina de inducción es una de las más empleadas en el 
ámbito industrial, por lo tanto, analizar sus parámetros y comportamiento a través de 
recursos computacionales representa un avance en el área de nuevos conocimientos y 
tecnologías. La presente investigación consistió en la simulación del campo 
electromagnético del motor de inducción mediante herramientas computacionales 
apoyadas en la aplicación del método de elementos finitos. Inicialmente se estudiaron 
los modelos electromagnéticos del motor de inducción con la finalidad de seleccionar 
un modelo para ser analizado mediante el método de elementos finitos. Se escogió el 
modelo del circuito equivalente con enfoque magnetoestático. Dada la compleja 
estructura de la maquina, la simulación fue realizada a través de un programa de 
simulación electromagnética. Los resultados mostraron la forma y distribución de la 
densidad de campo magnético en un motor de inducción trifásico, 4 Polos, 5Hp, 380V. 
La validación de la magnitud del campo magnético, se efectuó mediante el contraste 
con resultados analíticos. El proceso de simulación permitió formular estrategias para 
el análisis del motor de inducción mediante recursos computacionales sustentados en el 
método de elementos finitos. El diseño sistemático de las estrategias facilitará el 
desarrollo de futuras investigaciones y aplicaciones prácticas relacionadas con el tema. 
También contribuirán a ampliar las herramientas didácticas en la enseñanza de las 
maquinas eléctricas. 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
UNIVERSIDAD DE CARABOBO 
AREA DE ESTUDIOS DE POSTGRADO 
FACULTAD DE INGENIERIA 
MAESTRIA DE INGENIERIA ELÉCTRICA 
 
ELECTROMAGNETIC FIELD SIMULATION OF INDUCTION MOTOR FOR 
GENERATING COMPUTER ANALYSIS STRATEGIES IN ELECTRICAL 
MACHINES 
Author: Adriana García 
Tutor: Irahis Rodríguez 
Date: March 2010 
ABSTRACT 
Today, electric machines can be studied using computational tools based on the 
application of numerical methods that allow to solve the equations that describe the 
behavior and electromagnetic phenomena associated with the machine. The induction 
machine is one of the most widely used in industry, therefore, analyze their parameters 
and behavior through computational resources represents an advance in the area of 
new knowledge and technologies. The present investigation consisted to electromagnetic 
field simulation of induction motor using computational tools supported in the 
application of finite element method. Initially the electromagnetic models of induction 
motor were studied with the aim of selecting a model for analysis by finite element 
method. It was chosen the equivalent circuit model of magnetostatic approach. Because 
the complex structure of the machine, the simulation was made through an 
electromagnetic simulation programa. The results showed the shape and density 
distribution of magnetic field in a three-phase induction motor, 4 poles, 5HP, 380V. The 
validation was made by the contrast with analytical results. The simulation process 
allowed to formulate strategies for the analysis of induction motor using computing 
resources supported by finite element method. The systematic design of strategies 
facilitate the development of future research and practical applications related to the 
topic. Also they will expand educational tools in teaching of electric machines. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
INTRODUCCION 
El presente proyecto se relaciona con la simulación del campo electromagnético del 
Motor de Inducción, como punto de partida al desarrollo de técnicas y actividades enfocadas 
en aplicar el análisis computacional al estudio de las máquinas eléctricas. Se utilizó una 
herramienta computacional basada en el Método de Elementos Finitos. 
 En el primer capítulo, se presentan aspectos relacionados con el problema, definiendo 
los objetivos, el alcance y la razón de ser de la investigación. Posteriormente el capítulo dos, 
esboza de manera detallada aspectos bibliográficos asociados al problema, tales como 
investigaciones previas así como teorías y conceptos al respecto. 
En el capítulo tres se presenta el proceso sistemático de la modelación y simulación en 
régimen permanente del Motor de Inducción sin carga, lo cual representa el punto de partida 
para generar metodologías que permitan profundizar la aplicación de los métodos numéricos 
en el análisis de las máquinas rotativas. 
En el capítulo cuatro se señalan importantes resultados cuantitativos y cualitativos 
producto de la simulación, que conllevan a estrategias para el diagnóstico, diseño y 
caracterización de las máquinas eléctricas mediante el método de elemento finitos. 
Finalmente se enumeran conclusiones y recomendaciones cuyo aporte al área de 
investigación serán determinantes para futuros trabajos. 
 
 
14 
 
CAPITULO I 
EL PROBLEMA 
1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 
Uno de los principales ejes industriales de Venezuela se encuentra en el estado 
Carabobo, cuya concentración de empresas es una de las de mayor importancia en América 
Latina según Armas, G., (2002). 
Estas empresas cuentan con áreas de producción, operadas principalmente mediante 
motores de inducción, los cuales han evolucionado en el diseño y en los sistemas 
electrónicos para control de velocidad, monitoreo de parámetros, y otros. 
El motor de inducción representa un equipo ampliamente utilizado debido a que tiene 
un diseño relativamente simple, es de construcción robusta, operación segura, bajo costo 
inicial, fácil operación y mantenimiento, así como relativa alta eficiencia. 
Estas condiciones justifican la necesidad de conocer el comportamiento del motor de 
inducción. El modelo clásico de análisis, está basado en el circuito equivalente eléctrico del 
motor, cuyos parámetros se determinan a partir del circuito magnético o mediante cálculos 
analíticos de las ecuaciones de campo magnético. 
La desventaja de este enfoque es que hay efectos cuya consideración precisa se 
dificulta, tales como: efectos de saturación,efectos del movimiento relativo entre rotor y 
estator y efecto piel. Algunas características de salida también resultan limitadas en su 
estudio, estas son: formas de onda de corriente y torque, cambios del campo magnético 
15 
 
respecto del tiempo y armónicos espaciales del campo magnético, cuya contribución genera 
un torque adicional. 
 Según el autor Cortez, C., y otros (2008), evaluar el problema desde un enfoque 
analítico requiere excesivas simplificaciones que nos alejan cada vez más de la realidad. Las 
interrogantes e imprecisiones en los resultados que se generan con métodos analíticos pueden 
ser abordadas utilizando técnicas numéricas. 
El Método de Elementos Finitos es una técnica numérica de simulación de fenómenos 
electromagnéticos, cuyo uso se ha extendido a partir de la aplicación de recursos 
computacionales. Según el autor Sadiku (2000) es una herramienta versátil, con alto grado 
de exactitud en la resolución de problemas de compleja geometría, tales como las máquinas 
rotativas, considerando la no linealidad de los materiales así como la variación en el tiempo 
de campos electromagnéticos. Se ha empleado en la resolución de campos electromagnéticos 
para aplicaciones de diseño y optimización de máquinas, y para el estudio de fallas y 
parámetros, mediante simulación y control. 
El autor Bianchi, N., (2005), señala que se han desarrollado varios modelos para 
estudiar campos magnéticos en máquinas eléctricas usando el metodo de elementos finitos, 
con la finalidad de incrementar la exactitud durante el análisis y el diseño. Estos modelos, se 
basan en la resolución de las ecuaciones de Maxwell para conocer la distribución de los 
campos electromagnéticos en las estructuras bajo estudio, en donde difícilmente se puede 
encontrar una solución analítica exacta, debido a las complejas estructuras geométricas de 
las maquinas eléctricas y a las características no lineales de sus materiales. 
16 
 
 En este sentido, todo el dominio de estudio, se divide en subdominios elementales 
que son llamados elementos finitos y las ecuaciones de campo se aplican a cada uno de ellos, 
considerando la diversidad de materiales así como la variación en el tiempo. 
Con el método de elementos finitos se puede comprender el comportamiento 
eléctrico, magnético y mecánico de la maquina y complejos procesos involucrados en su 
funcionamiento pueden ser considerados, tales como: armónicos electromagnéticos de alto 
orden, proceso de arranque, pérdidas, rotación del rotor, efectos de corrientes inducidas, 
funciones no sinusoidales, inclinación de las barras, corrientes entre barras y efectos 
tridimensionales. 
Para aplicaciones de análisis, prediccion de fallas y estimación de parámetros en el 
motor de inducción, el estudio se inicia a partir del campo electromagnético. Los autores J. 
Faizmy y B.M. Ebrahimi (2006) afirman que la distribución del campo electromagnético 
dentro del motor contiene información del estator, rotor y elementos mecánicos del motor, 
de allí que las fallas pueden ser diagnosticadas mediante su análisis continuo y los 
parámetros perfectamente determinados. 
De esta manera, se evidencia la necesidad de realizar un estudio, que permita aplicar 
el Método de Elementos Finitos para conocer el campo electromagnético del Motor de 
Inducción con mayor precisión que la alcanzada a través de métodos analíticos. Así mismo 
es necesario generar conocimientos asociados a la aplicación de métodos computacionales al 
estudio de las máquinas rotativas, ante las escasas investigaciones latinoamericanas en el 
tema. En Venezuela a la fecha, no hay evidencias de aplicaciones del método de elementos 
finitos al estudio de campos electromagnéticos en motores de inducción. 
17 
 
En un principio, es imprescindible conocer el campo magnético del motor en 
condiciones normales, por lo cual esta investigación aborda dicho problema, mediante la 
simulación electromagnética. Este primer paso, representa el punto de partida para generar 
técnicas que permitirán estudiar las máquinas eléctricas a través del método de elementos 
finitos, en diversas condiciones de operación. 
En un segundo orden, la aplicación del método de elementos finitos, facilitará el 
desarrollo de estudios precisos, relacionados con la caracterización, el diseño y diagnóstico 
de las máquinas eléctricas. 
Se plantea entonces la siguiente interrogante: ¿Cómo emplear el Método de 
Elementos Finitos para estudiar el campo electromagnético en el Motor de Inducción en 
condiciones normales?. Esta interrogante se formula ante la carencia de estrategias que 
permitan abordar el problema de utilizar métodos computacionales en el proceso de modelar, 
simular y analizar el campo electromagetico del motor de inducción para fines de diseño, 
estudio y sobretodo diagnostico de fallas incipientes. 
El diagnóstico de las máquinas eléctricas representa un área de investigación 
desarrollada en la Universidad de Carabobo a través del Mantenimiento Predictivo. Una vez 
que se conozca una metodología para la aplicación del método de elementos finitos al motor 
de inducción, será posible generar investigaciones y aplicaciones relacionadas con la 
predicción de anomalías y diagnóstico de fallas en el motor de inducción. 
Por otro lado, a partir del método de elementos finitos, es factible determinar de 
manera precisa los parámetros característicos del motor de inducción, datos necesarios para 
estudiar su comportamiento y proveer datos referenciales a los drivers. 
18 
 
Este estudio contribuirá a que la Universidad de Carabobo, una vez más, se enrumbe 
hacia el uso de tecnologías novedosas en áreas de investigación, generando nuevos 
conocimientos que en un futuro permitirán dar respuesta a las necesidades técnicas de la 
zona. 
1.2. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN 
1.2.1. OBJETIVO GENERAL 
Simular el Campo electromagnético del Motor de Inducción en condiciones normales 
y bajo régimen permanente, mediante herramientas computacionales basadas en el método 
de elementos finitos, para generar estrategias de análisis numérico en máquinas eléctricas. 
1.2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS 
 Estudiar los modelos electromagnéticos del motor de inducción analizados con el 
método de elementos finitos para seleccionar un modelo específico. 
 Simular mediante recursos computacionales basados en el método de elementos 
finitos, el modelo electromagnético seleccionado del motor de inducción para 
caracterizar el campo magnético. 
 Formular estrategias para analizar a través de métodos computacionales el motor 
de inducción. 
1.3. JUSTIFICACIÓN 
19 
 
El Método de elementos finitos es una herramienta exitosa en el análisis 
electromagnético de máquinas eléctricas. Mediante su aplicación es posible evaluar el campo 
electromagnético lo cual permite identificar los parámetros del motor, efectuar el 
diagnóstico oportuno de fallas y optimizar el diseño de la maquina. 
En este sentido, la presente investigación pretende contribuir al estudio y análisis de 
las máquinas eléctricas mediante herramientas computacionales basadas en el método de 
elementos finitos. 
En la Universidad de Carabobo, no se han efectuado aplicaciones del método de 
elementos finitos al estudio electromagnético de máquinas eléctricas, por lo tanto esta 
investigación permitirá abrir una puerta para comenzar a generar conocimientos en esta área 
de investigación, inclusive novedosa en Venezuela. 
A través de esta investigación, la Universidad de Carabobo (UC), responderá en un 
futuro a las necesidades técnicas de la Zona Industrial del Edo. Carabobo, en el área de 
diagnóstico de fallas en motores de Inducción y caracterización de parámetros eléctricos. 
En el ámbito teórico, la investigación, contribuirá a ampliar los conocimientos en el 
campo del estudio de los fenómenos electromagnéticos en motores de inducción, aspecto 
relevante para el desarrollode drives o manejadores. De igual manera, la metodología de 
aplicación del método de elementos finitos y el modelo del motor, servirán de aporte a 
estudios de problemas o casos similares. 
1.4. DELIMITACION Y ALCANCE 
20 
 
El trabajo se encuentra enmarcado en la línea de investigación de Mantenimiento 
Predictivo en Máquinas Eléctricas, correspondiente a la Escuela de Ingeniería Eléctrica en el 
Departamento de Potencia. Dentro de esta línea, la investigación se ubica en un subgrupo 
relacionado con la utilización de Métodos Computacionales en el Análisis Electromagnético 
de Máquinas Eléctricas. 
La investigación comprende la modelación, simulación y estudio del campo 
electromagnético del motor de inducción bajo régimen permanente sin carga a partir de un 
enfoque magnetoestático el cual permitirá establecer mecanismos para la utilización del 
método de elementos finitos en el estudio de máquinas eléctricas. 
La aplicación práctica del método de elementos finitos se efectuó a través de recursos 
computacionales. 
 
CAPITULO II 
2.1. ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN 
Para el desarrollo de este trabajo, se consideraron investigaciones realizadas en el 
ámbito de aplicaciones del Método de Elementos Finitos al estudio del motor de inducción. 
En Venezuela, el Método de Elementos Finitos, se ha aplicado en ingeniería mecánica 
y recientemente en medicina para el desarrollo de prótesis de miembros superiores e 
inferiores. En el área de Máquinas Eléctricas, El Dr. Azuaje, C. (2003) del Centro de 
Investigaciones Aplicadas de EDELCA (Electricidad del Caroni) publica una investigación 
sobre la utilización del Método de Elementos finitos para estudiar fuerzas electromagnéticas 
21 
 
en el estator, efectos de armónicos y vibración electromagnética en un generador sincrónico 
de polos salientes de la Planta Macagua. El trabajo fue elaborado utilizando el programa Flux 
2D de Magsoft. 
Más recientemente en el mismo centro de EDELCA y mediante el programa Magsoft, 
se han publicado trabajos sobre aplicaciones del método de elementos finitos: Rojas, J., y 
Varela, R., (2006) efectúan la simulación electromagnética de un transformador de 25MVA/ 
34.5KV y Vargas, C., y Hernandez, T., (2009) determinan los parámetros eléctricos del 
generador 15 de la Central Hidroeléctrica Simón Bolívar de 700MVA. 
Actualmente, las investigaciones enmarcadas en la IEEE (Institute of Electrical and 
Electronics Engineers), apuntan hacia el uso del método de elementos finitos para las 
siguientes aplicaciones: 
a. Predecir y diagnosticar la presencia de fallas en el motor de inducción. 
b. Generar diseños con alto grado de eficiencia sin emplear costosos prototipos. 
c. Caracterizar los parámetros eléctricos del motor de inducción. 
El autor Faiz, J. (2007) utiliza el método de elementos finitos en dominio del tiempo, 
para estudiar el motor de inducción ante la presencia de barras rotas en el rotor. El autor 
afirma que la distribución del campo magnético dentro del motor, contiene información del 
estator, rotor y elementos mecánicos del motor, de allí que las fallas en motores eléctricos 
pueden ser diagnosticadas mediante el análisis continuo del campo magnético. 
En su investigación, utiliza el análisis en régimen permanente para determinar el 
comportamiento del motor en condiciones normales. Una adecuada simulación 
magnetoestática permite al autor garantizar un modelo acorde con la realidad 
22 
 
electromagnética del motor de inducción. Posteriormente en el dominio del tiempo se simula 
la condición normal y la condición de falla, y se comparan los espectros de frecuencia del 
campo magnético en el entrehierro en ambas condiciones. 
La ecuación que emplea el autor para analizar el comportamiento electromagnético del 
motor es la siguiente: 
(1) 𝑟𝑜𝑡 𝜈(𝑟𝑜𝑡𝑨) = 𝐉𝐒 − 𝜎
𝜕𝑨
𝜕𝑡
+ 𝜎𝐯 × 𝑟𝑜𝑡𝑨 
Donde A es el vector de potencial magnético, Js es la densidad de corriente y v es la 
velocidad relativa del motor. 
En el análisis se considera un sistema de referencia tal que, es posible eliminar de la 
ecuación la densidad de corriente asociada al movimiento. Posteriormente se plantea el 
acople entre las ecuaciones de campo magnético, las tensiones y corrientes en los 
conductores. 
El modelo del motor de inducción, tanto para falla como para la condición de motor 
sano, considera el acople de elementos externos a las ecuaciones de campo, de manera tal, 
que los elementos internos del sistema, son calculados mediante la combinación de tales 
ecuaciones. El voltaje aplicado en los terminales es un valor conocido. 
 
Figura 1. Modelo del Motor de Inducción. Fuente: Faiz, J. (2007). 
23 
 
 
Figura N 2. Vector de Potencial Magnético en el entrehierro para un motor sano (a), una barra rota (b) 
y cuatro barras rotas (c). Fuente: Faiz, J. (2007). 
 
 
(a) 
(b) 
(c) 
(a) 
(b) 
24 
 
 
Figura N. 3 Densidad de Flujo Magnético en el entrehierro para un motor sano (a), una barra rota (b) y 
cuatro barras rotas (c). Fuente: Faiz, J. (2007). 
El planteamiento para el periodo transitorio se realiza en función del Vector de 
Potencial Magnético y la corriente de fase en el estator, como parámetros desconocidos. Al 
cabo de un corto periodo transitorio se alcanza un régimen permanente y el sistema se analiza 
en el dominio de la frecuencia. 
Luego de efectuar la simulación, los resultados muestran que la presencia de fallas 
genera asimetrías en la distribución del campo magnético en el entrehierro y un incremento 
de los componentes armónicos en el vector de potencial magnético. 
Para estudiar el comportamiento del motor bajo falla, se determinó el torque 
electromagnético con la técnica de Maxwell Stress, conociendo los componentes tangencial 
y radial del campo magnético. En este paso se consideró la saturación magnética, cuyo efecto 
en el estado permanente respecto a la falla no es considerable, debido a que el motor opera 
en un punto cercano al quiebre de la curva de magnetización. 
El mismo autor publica luego con otros investigadores, Faiz, J., Ebrahimi, B.M., Akin, 
B., Toliyat, H.A., (2008), un trabajo donde estudia la excentricidad del motor de inducción, 
mediante el análisis del espectro de corriente de entrada, utilizando el método de elementos 
finitos. A partir del acople de las ecuaciones de campo y ecuaciones de circuitos en el motor 
(c) 
25 
 
de inducción, es posible crear un sistema de ecuaciones, donde la variable conocida es la 
tensión de entrada y las variables a determinar son las corrientes y el vector de potencial 
magnético, de esta forma se pueden calcular y analizar con el método de elementos finitos 
las corrientes. Los parámetros del motor de inducción se determinan utilizando un análisis 
en régimen permanente. 
Los autores, Cusido, J., Romeral, L., Delgado, M., García, A. y Ortega, J.A. (2007), 
publican un estudio de barras rotas en el rotor de un motor de inducción alimentado mediante 
un PWM, lo que evidencia la versatilidad del método de elementos finitos. 
El aporte del trabajo de Li, W., Xie, Y., Shen, J., and Luo, Y. (2007), se enfoca al 
análisis en el dominio del tiempo del motor de inducción con método de elementos finitos, a 
través del cual simulan barras rotas en el rotor, y posteriormente analizan el contenido de 
armónicos en el campo electromagnético del entrehierro, mediante el cual es posible 
visualizar cambios cualitativos y cuantitativos ante la presencia de una o más barras rotas. 
26 
 
 
Figura N. 4 Análisis del tercer armónico en la densidad de flujo magnético, (a) motor sano, (b) una barra 
rota, (c) dos barras adyacentes rotas. Fuente: Li, W., Xie, Y., Shen, J., and Luo, Y. (2007). 
El autor Mohammed Fellow en un trabajo titulado “Modeling and Characterización of 
Inducción Motor Internal Faults using Finite – Element and Discrete Wavelet Transforms” 
(2006), presenta un modelodel motor de inducción con fallas internas aplicando el método 
de elementos finitos, a partir del cual ilustra su comportamiento bajo fuentes de voltaje 
sinusoidales y no sinusoidales y emplea la Transformada de Wavelet para caracterizar las 
fallas. 
El autor, plantea que el primer paso en el diseño de sistemas de detección de fallas en 
el motor de inducción es modelar el equipo en condiciones normales, y luego con fallas 
internas. La aplicación del método de elementos finitos, facilita el acoplamiento a otros 
27 
 
circuitos externos para simular condiciones reales, como el caso de motores alimentados a 
través de Pulse Wide Modulación (PWM). 
Los armónicos y discontinuidades generados por tales fallas, pueden tener una amplia 
banda de frecuencia, tanto para variaciones en transitorios de alta frecuencia y ligeras 
variaciones de componentes armónicos, de allí que, el análisis en el dominio del tiempo o la 
frecuencia por sí solo, no son suficientes para capturar características que son desplegadas 
en un determinado ancho de banda. La transformada de Wavelet provee una representación 
local en el dominio del tiempo y la frecuencia de una señal no estacionaria, por lo tanto, es 
adecuada para analizar señales donde la resolución en el dominio del tiempo y la frecuencia 
son necesarios, a diferencia de la Transformada rápida de Fourier (FFT), la cual provee una 
representación global de la señal. 
El esquema de la investigación de Mohammed Fellow (2006), se resume en los 
siguientes aspectos: 
 Modelar el Motor de Inducción: Se consideró conductividad constante en los 
conductores, núcleo de hierro como material isotrópico magnético no lineal. El modelo en 
el MEF contiene elementos de segundo orden y condición de borde de Dirichlet en el 
diámetro exterior de la maquina. Los circuitos externos describen conductividad eléctrica, 
entre regiones conductoras, cargas externas y fuentes de alimentación. 
 Aplicación de la Transformada Discreta de Wavelet (DWT): Se emplean 
varios niveles de filtrado de la señal de corriente del estator, la cual se plantea en función del 
campo magnético. 
28 
 
 Análisis de Resultados: El autor efectúa un análisis detallado de fallas en el 
estator y en el rotor, con alimentación sinusoidal y sin ella, a partir de la simulación efectuad, 
concluye que los cambios en la corriente del estator y en la distribución del flujo magnético, 
resultan visiblemente considerables ante la presencia de fallas. Con la aparición de barras 
rotas, se observa un incremento en la densidad del flujo magnético, lo que da lugar a 
saturación local, afectando el comportamiento armónico del motor. La validación se efectúa 
en un motor trifásico de 380 V, 4 polos y 60 Hz. 
En este mismo orden de ideas, el autor Fiser, R., (2001), también utilizó el método 
de elementos finitos para predecir fallas debido a rotura de barras en el rotor del Motor de 
Inducción. El esquema de trabajo de este autor es siguiente: 
 Modelar la maquina utilizando Elemento Finitos: Se calcula el campo 
magnético del motor, utilizando el método de elementos finitos como un problema no lineal 
en dos dimensiones a través de corrientes parásitas (2-D nonlinear eddy-current problem). 
Salvo en el caso de rotor bloqueado, la corriente y densidad de flujo en el estator y rotor se 
encuentran pulsando a la misma frecuencia. Dado que se utiliza análisis fasorial, todas las 
variables deben estar a una única frecuencia. La corriente del estator se define en Amper 
vueltas. 
 Validar el Modelo y Análisis del Campo Magnético: A partir del modelo 
anterior, se simulan las condiciones de falla en el motor, las cuales se comprueban mediante 
pruebas en un motor real 2 polos, 3 KW, 177 V. Uno de los aspectos analizados, es la 
distribución del campo magnético, cuya malla en elementos finitos se calcula sobre una 
pequeña parte simétrica del modelo total del motor, a partir de la cual se realiza el estudio 
en la totalidad de su sección transversal, lo cual es válido para campos magnéticos simétricos 
29 
 
(condiciones normales). Se comprueba que ante la presencia de una falla de barra rota, 
aparecen asimetrías en el campo, debido a la falta de corrientes inducidas en la barra fallada 
(ver figura N. 5). 
El vector de potencial magnético A, (figura N. 6) muestra desviaciones de su forma 
sinusoidal ante la presencia de la falla. 
 
Figura N.5 Distribución de Campo magnético en la sección transversal de un motor de 3 KW sano (a) 
y con falla (b). Fuente: Fiser, R., (2001). 
 
Figura N.6 Vector de Potencial Magnético en el entrehierro. Fuente: Fiser, R., (2001). 
(a) (b) 
30 
 
La Densidad de Flujo Magnético B, también se muestra afectada ante la presencia de 
fallas (Fig. N. 7). La malla generada tras la aplicación del método de elementos finitos, se 
ajusto manualmente en el área cercana al entrehierro donde su gradiente es mayor. 
 
Figura N.7 Densidad de Flujo Magnético en el motor de 3 KW sano (a) y con 7 barras rotas (b) Fuente: 
Fiser, R., (2001). . 
El seguimiento de las corrientes inducidas en el rotor, confirman su incremento debido 
a la falla de rotura de barra. La aplicación del método también permite identificar la ubicación 
de las barras falladas. 
En función del campo magnético calculado a través del Método de elementos finitos, 
se obtuvieron parámetros tales como torque y fuerza magnéticas, que permiten evaluar el 
funcionamiento del motor. 
Los investigadores Simion, L., y Romila, L., (2006) realizan bajo un enfoque 
magnetoestático, el estudio del tercer armónico en un motor de inducción bifásico, y evalúan 
la manera de atenuar sus efectos mediante la modificación de ranuras simétricas en el estator, 
a través del método de elementos finitos. 
La necesidad de atenuar el tercer armónico surge del hecho de que origina torques 
parásitos sincrónicos y asincrónicos que disminuyen el torque de salida y dificultan el 
(a) (b) 
31 
 
arranque, incrementan vibraciones y niveles de ruido, aumentan las pérdidas en el hierro, 
principalmente en los dientes del estator y rotor, lo que origina disminución de la eficiencia 
y aumento del coeficiente de dispersión de los bobinados. 
En la figura N. 8 se muestra los resultados para la densidad de campo magnético en el 
entrehierro, para 𝑠 = 0,𝑤𝑡 = 0°, 𝑤𝑡 = 45°, 𝑤𝑡 = 30°, así como el contenido armónico en 
cada caso. El autor demuestra que es posible disminuir el tercer armónico modificando las 
ranuras del estator. 
 
 
Figura N.8 Densidad de Flujo Magnético en el en el entrehierro, para 𝑠 = 0, (𝑎) 𝑤𝑡 = 0°, (𝑏)𝑤𝑡 =
45°𝑦 (𝑐) 𝑤𝑡 = 30° .Fuente: Simion, L., y Romila, L., (2006) 
(a) (b) 
(c) 
32 
 
En el presente año las investigaciones en esta materia apuntan hacia la optimización 
del tiempo de computación empleando mecanismos para tomar en cuenta la saturación, 
histéresis y movimiento del rotor con mayor exactitud y menor tiempo de computación, 
Xiaoyan, W. y Dexin, X. (2009). 
 
2.2 BASES TEORICAS 
2.2.1 METODO DE ELEMENTOS FINITOS 
Introducción al Método de Elementos Finitos. 
El comportamiento de los problemas de ciencias e ingeniería, puede expresarse 
mediante ecuaciones matemáticas relativamente complejas, cuyo estudio se aborda de forma 
natural, mediante la subdivisión del sistema en partes o elementos de estudio sencillo, que 
luego se vuelven a ensamblar considerando la contribución de cada elemento. 
Los autores Oñate, E. y Zarate, F. (2000), plantean que los sistemas discretos, son 
aquellos en donde tales partes resultan evidentes, como una red de circuitos eléctricos. En 
estos casos el análisis del sistema, lleva a un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas con 
variables nodales definidas en los puntos de unión de los elementos o partes cuya solución 
determinará el comportamiento del sistema. 
En los sistemas continuos, las partes no son obvias, ya que el procesode subdividir 
el sistema es indefinido, resultando divisiones infinitésimas que arrojan modelos 
matemáticos expresados mediante ecuaciones diferenciales, generalmente en derivadas 
33 
 
parciales, que deben satisfacerse en todos y cada uno de los puntos del sistema, por ejemplo 
ciertos problemas de campos electromagnéticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. N.9 Ejemplo de Sistema Discreto (a) . Sistema Continuo (b): Líneas de campo magnético en 
un electroimán. Fuente: Escobar, A. y Betancourt, G., 2006. Fuente Elaboración Propia. 
 
La solución analítica o exacta de las ecuaciones diferenciales que rigen el 
comportamiento en los sistemas continuos es laboriosa o imposible. El autor Zienkiewicz, 
O. (1982), plantea que el problema ha sido abordado por matemáticos mediante 
aproximaciones aplicadas directamente a las ecuaciones diferenciales, tales como diferencias 
finitas y método de los residuos ponderados. Los ingenieros, por su parte suelen emplear 
 
 
Elemento 
Nodo 
(a) 
(b) 
34 
 
analogías entre elementos discretos reales y porciones finitas de un dominio continuo (por 
ejemplo, circuito equivalente eléctrico para una estructura electromagnética). 
Una herramienta que se emplea es el método de elementos finitos, mediante técnicas 
de discretizacion a través de la cual el problema continuo es representado en un sistema 
discreto que aproxime su comportamiento, para reducir el número infinito de variables 
incógnitas (grados de libertad) a un número finito, cuya resolución sea viable. 
El método de elementos finitos, permite estudiar sistemas continuos de carácter uni, bi 
o tridimensional. La mayoría de los sistemas continuos son inherentemente tridimensionales, 
sin embargo muchos de estos pueden representarse mediante modelos matemáticos uni o 
bidimensionales. 
A través de los métodos aproximados mencionados, se obtendrá una solución estimada, 
ya sea a partir de la ecuación diferencial original (método de diferencias finitas) o mediante 
una formulación integral equivalente (formulación variacional y formulación residual). 
Método de los Residuos ponderados 
Antes de definir matemáticamente el Método de Elementos Finitos, conviene presentar 
brevemente el Método de los Residuos Ponderados ya que es parte fundamental para el 
entendimiento del MEF aplicado a máquinas eléctricas. 
Los autores Oñate, E. y Zarate, F., (2000), plantean que el método de los residuos 
ponderados, se basa en transformar la ecuación diferencial que gobierna el problema en una 
expresión integral equivalente. 
En este sentido Brewer, A., (2003), esboza de forma general el método de los residuos 
ponderados como un procedimiento de aproximación que permite resolver una ecuación 
35 
 
diferencial (ordinaria o en derivadas parciales). Cuando dicha ecuación está definida en un 
dominio continuo presentará un número infinito de puntos dentro los cuales deben 
satisfacerse las variables de tal ecuación, de forma que es necesario replantear el problema 
matemático dándole una forma puramente algebraica, que involucre solamente operaciones 
matemáticas básicas, lo cual se logra a través de la discretizacion del dominio. 
El proceso de discretizacion consiste en reemplazar los infinitos puntos en los que se 
necesita conocer la función incógnita por un número finito de ellos, dando lugar a un número 
finito de parámetros desconocidos. 
Aproximación de Funciones 
Dada una función u definida en un dominio D, delimitado por un contorno Γ. 
Supóngase que se quiere aproximar la función u, una función propuesta aproximada será �̂�, 
la cual debe satisfacer exactamente los valores del borde Γ. 
 
 
 
 
 
Fig. N.10 Función real y Función aproximada. Fuente: Brewer, A. (2003). 
Se propone encontrar una función 𝜓 (solución particular), tal que resulten satisfechas 
las condiciones de borde 𝜓|Γ = 𝑢|Γ y además se sugiere un conjunto de funciones de prueba 
(funciones de forma) 𝜙m, para m=1,2,…M tales que para todos los m del borde resulte 
𝒖 
𝒖 
𝑫 
36 
 
𝜙m|Γ = 0, entonces para todos los puntos del dominio D, la función u se puede aproximar 
de la siguiente manera: 
(2) 𝑢 ≅ �̂� = 𝜓 + ∑ 𝑎𝑚
𝑀
𝑚=1 𝜙𝑚 
En la que �̂� es la aproximaxion de u, y 𝑎𝑚 son parámetros de ajuste a ser calculados. La 
función de forma 𝜙𝑚 debe garantizar que en la medida que m aumente, mejor será la 
aproximación, para lograr esta convergencia, debe tener completitud, es decir que pueda 
representar cualquier variación de la función u en el dominio D. Frecuentemente como 
funciones de forma 𝜙𝑚, se escojen monomios, funciones de fourier o funciones 
exponenciales. El grado de las derivadas involucradas tambien condiciona la funcion de 
aproximación. 
Las constantes 𝑎𝑚 se determinan definiendo el error o residuo 𝑅𝐷 de la aproximación 
como: 
(3) 𝑅𝐷 = 𝑢 − �̂� 
El área entre las dos curvas representa el residuo o la diferencia entre la función 
aproximada y la función real, de allí que se busca hacer dicho residuo muy cercano a cero. 
(4) 𝑤1𝑅1+𝑤2𝑅2+𝑤3𝑅3+⋯𝑤𝑙𝑅𝑀 ≈ 0 
La expresión (4) representa la sumatoria ponderada de los residuos según el aporte de 
cada uno de ellos al área entre las curvas. 𝑅1, 𝑅2, 𝑅3…𝑅𝑀 son los residuos de las funciones 
aproximadas por tramos, y 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3…𝑤𝑙 son las funciones ponderadas. 
De la definición de residuo, se deduce que 𝑅𝐷 representa una función de la posición en 
el dominio D. Al intentar disminuir el residuo surgen expresiones integrales del error que 
ponderan a R de distintas maneras, y cuya forma general es la siguiente: 
37 
 
(5) ∫ 𝑤𝑙𝐷 (𝑢 − �̂�)𝑑𝐷 = ∫ 𝑤𝑙𝐷 𝑅𝐷𝑑𝐷 = 0 𝑙 = 1,2,3…𝑀 
Donde 𝑤𝑙 son un conjunto de funciones de peso independiente. La ecuación anterior 
expresa la condición general de convergencia en donde �̂� → 𝑢, cuando 𝑀 → ∞, lo cual se 
cumple si 𝑅𝐷 → 0 en todos los puntos del dominio. 
Reemplazando la aproximación (3) y (2) en la integral del residuo ponderado (5), 
se obtiene un sistema de ecuaciones que permite determinar los parámetros 𝑎𝑚: 
∫ 𝑤𝑙
𝐷
(𝑢 − �̂�)𝑑𝐷 = ∫ 𝑤𝑙
𝐷
(𝑢 − (𝜓 +∑ 𝑎𝑚
𝑀
𝑚=1
𝜙𝑚)) 𝑑𝐷 = 0 
∫ 𝑤𝑙
𝐷
(𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 + ∫ 𝑤𝑙
𝐷
∑ 𝑎𝑚
𝑀
𝑚=1
𝜙𝑚𝑑𝐷 = 0 
 ∫ 𝑤𝑙
𝐷
∑ 𝑎𝑚
𝑀
𝑚=1
𝜙𝑚𝑑𝐷 = ∫ 𝑤𝑙
𝐷
(𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 
∫ 𝑤𝑙
𝐷
(𝑎1𝜙1 + 𝑎2𝜙2 +⋯𝑎𝑚𝜙𝑚)𝑑𝐷 = ∫ 𝑤𝑙
𝐷
(𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 
∫ 𝑤𝑙
𝐷
𝑎1𝜙1𝑑𝐷 +∫ 𝑤𝑙𝑎2𝜙2
𝐷
𝑑𝐷 +⋯∫ 𝑤𝑙
𝐷
𝑎𝑚𝜙𝑚𝑑𝐷 = ∫ 𝑤𝑙
𝐷
(𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 
Para l=1 
∫ 𝑤1
𝐷
𝑎1𝜙1𝑑𝐷 +∫ 𝑤1𝑎2𝜙2
𝐷
𝑑𝐷 +⋯∫ 𝑤1
𝐷
𝑎𝑚𝜙𝑚𝑑𝐷 = ∫ 𝑤1
𝐷
(𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 
Para l=2 
∫ 𝑤2
𝐷
𝑎1𝜙1𝑑𝐷 +∫ 𝑤2𝑎2𝜙2
𝐷
𝑑𝐷 +⋯∫ 𝑤2
𝐷
𝑎𝑚𝜙𝑚𝑑𝐷 = ∫ 𝑤2
𝐷
(𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 
Para l=M 
38 
 
∫ 𝑤𝑀
𝐷
𝑎1𝜙1𝑑𝐷 + ∫ 𝑤𝑀𝑎2𝜙2
𝐷
𝑑𝐷 +⋯∫ 𝑤𝑀
𝐷
𝑎𝑚𝜙𝑚𝑑𝐷 = ∫ 𝑤𝑀
𝐷
(𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 
Usando las siguientes expresiones: 
(6) 𝐾𝑙,𝑚 = ∫ 𝑤𝑙𝐷 𝜙𝑚𝑑𝐷 1 ≤ 𝑙,𝑚 ≤ 𝑀 
(7) 𝑓𝑙 = ∫ 𝑤𝑙𝐷 (𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑀 
Queda el sistema de ecuaciones expresado de la siguiente manera: 
Para l=1, K11𝑎1 + K12𝑎2 +⋯K1M𝑎𝑀 = 𝑓1 
Para l=2, K21𝑎1 + K22𝑎2 +⋯K2M𝑎𝑀 = 𝑓2 
Para l=M, KM1𝑎1 + KM2𝑎2 +⋯KMM𝑎𝑀 = 𝑓M 
Las ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma de matriz como: 
(8) [
𝐾11 𝐾12 ⋯𝐾1𝑀
𝐾21 𝐾22 ⋯𝐾2𝑀
⋮
𝐾𝑀1
⋮
𝐾𝑀2
⋮
𝐾𝑀𝑀
] [
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑀
] = [
𝑓1
𝑓2
⋮
𝑓𝑀
] 
(9) 𝐊𝐚 = 𝐟 
Donde: 
(10) 𝐚 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎𝑀) 
(11) 𝐾𝑙,𝑚 = ∫ 𝑤𝑙𝐷 𝜙𝑚𝑑𝐷 1 ≤ 𝑙,𝑚 ≤ 𝑀 
(12) 𝑓𝑙 = ∫ 𝑤𝑙𝐷 (𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑀 
Método de los Residuos ponderados a través del Método de Garlekin. 
Se han implementado diversos tipos de funciones de peso, lo cual ha originado 
subdivisiones en el método de los residuos ponderados, tales como: Método de colocación, 
Colocación de subdominios y Método de Garlekin, siendo este último, el que se utiliza para 
aplicaciones en máquinas eléctricas, razón por la cual será desarrollado a continuación. 
39 
 
El Método deGarlekin propone utilizar como función de peso, a las mismas funciones 
de forma, 𝑤𝑙 = 𝜙𝑙. Esto equivale a modificaciones en la matriz de K y f. Vale mencionar 
que la matriz K resulta simétrica. Los términos resultan según las siguientes expresiones: 
(13) 𝐾𝑙,𝑚 = ∫ 𝜙𝑙𝐷 𝜙𝑚𝑑𝐷 1 ≤ 𝑙,𝑚 ≤ 𝑀 
(14) 𝑓𝑙 = ∫ 𝜙𝑙𝐷 (𝑢 − 𝜓)𝑑𝐷 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑀 
De manera general, dadas las ecuaciones diferenciales para el dominio y el borde, la 
resolución mediante el método de los residuos ponderados por Garlekin, presenta tres 
variantes. En las dos primeras variantes, se pueden desarrollar sistemas donde se satisfacen 
o no las condiciones de borde mediante la solución aproximada. Una tercera clasificación es 
la formulación débil, la cual se utiliza en motores de inducción. (ver cuadro N.1). 
 
Cuadro N.1 Método de los Residuos Ponderados por Garlekin. Formulación Débil. 
METODO DE LOS RESIDUOS PONDERADOS POR GARLEKIN 
Ecuación Diferencial en el Dominio (15) 𝐵(𝑢) = ℒ(𝑢) + 𝑝 = 0 
Ecuación Diferencial en el Borde (16) 𝐶(𝑢) = ℳ(𝑢) + 𝑟 = 0 
Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales. Formulación débil. 
Solución Aproximada 
(2) 𝑢 ≅ �̂� = 𝜓 + ∑ 𝑎𝑚
𝑀
𝑚=1 𝜙𝑚 
Condiciones de Borde 
No necesariamente son satisfechas por las funciones de 
prueba. 
Ecuación del Residuo (17) 𝑅𝐷 = 𝐵(�̂�) = ℒ(�̂�) + 𝑝 en 𝐷 
(18) 𝑅𝛤 = 𝐶(�̂�) = ℳ(�̂�) + 𝑟 en 𝛤 
Integral del Residuo (19) ∫ 𝑤𝑙𝐷 𝑅𝐷𝑑𝐷 + ∫ �̅�𝑙𝛤 𝑅𝛤𝑑𝛤 = 0 , 𝑤𝑙 =
𝜙𝑙 y �̅�𝑙 = −𝑤𝑙 
El Sistema de Matrices 𝐊𝐚 = 𝐟 se obtiene integrando por partes el termino 
∫ 𝑤𝑙𝐷 𝑅𝐷𝑑𝐷 
 
40 
 
La formulación débil se utiliza en varias aplicaciones del método de elementos finitos, 
y surge debido a que en cierto tipo de problemas, el desarrollo de la ecuación (18), presentará 
derivadas de la función aproximada �̂� para lo cual se requiere continuidad de las funciones 
de forma, a pesar de que las funciones de peso no requieren ser continuas al no estar 
derivadas, esto representa una contradicción para el método de Garlekin, donde 𝑤𝑙 = 𝜙𝑙. 
Esta contradicción origina además asimetría en la matriz K. 
Para solucionar esta situación se efectúa una integración por partes del primer término 
de la ecuación (18). El primer termino de la integral queda: 
∫ 𝑤𝑙RD
D
𝑑𝐷 = ∫ 𝑤𝑙
D
[ℒ(�̂�) + 𝑝]𝑑𝐷 
Donde: 
∫ 𝑤𝑙
D
ℒ(�̂�)𝑑𝐷 = ∫ [D𝑤𝑙]
D
[𝐸(�̂�)]𝑑𝐷 + ∫ 𝑤𝑙
𝛤
𝐹(�̂�)𝑑𝛤 
En la que D, E y F, son operadores diferenciales lineales de un orden menor que el 
correspondiente a ℒ , tal que: 
∫ 𝑤𝑙
𝐷
𝑅𝐷𝑑𝐷 +∫ �̅�𝑙
𝛤
𝑅𝛤𝑑𝛤 = ∫ 𝑤𝑙
𝐷
(ℒ(�̂�) + 𝑝)𝑑𝐷 +∫ �̅�𝑙
𝛤
(ℳ(�̂�) + 𝑟)𝑑𝛤 
 
 
 
= ∫ 𝑤𝑙
𝐷
ℒ(�̂�)𝑑𝐷 + ∫ 𝑤𝑙
𝐷
𝑝𝑑𝐷 +∫ �̅�𝑙
𝛤
ℳ(�̂�)𝑑𝛤 + ∫ �̅�𝑙
𝛤
𝑟𝑑𝛤 
 
= ∫ [D𝑤𝑙]
D
[𝐸(�̂�)]𝑑𝐷 + ∫ 𝑤𝑙
𝛤
𝐹(�̂�)𝑑𝛤 + ∫ 𝑤𝑙
𝐷
𝑝𝑑𝐷 +∫ �̅�𝑙
𝛤
ℳ(�̂�)𝑑𝛤 + ∫ �̅�𝑙
𝛤
𝑟𝑑𝛤 
 
41 
 
A partir de esta ultima expresión, es posible lograr que se cancelen términos de 
integrales de contorno complicadas para evaluar, ya que se involucran derivadas de �̂� en el 
contorno 𝛤. Esto será posible mediante la elección de adecuadas funciones de peso �̅�𝑙, por 
ejemplo �̅�𝑙 = −𝑤𝑙. 
Esta última condición se llama formulación débil del método de los residuos 
ponderados, dado que las derivadas que allí aparecen son de menor orden que las de la 
ecuación original, la escogencia de la función aproximada estará condicionada también por 
una continuidad de menor orden, haciendo más amplio el rango de escogencia. Por otro lado, 
las funciones de peso, están restringidas a ser continuas en su primera derivada, 
restringiéndose el campo de selección. 
Método de Elementos Finitos con Funciones de Prueba por tramos. 
El Método de Garlekin carece de un procedimiento sistemático que permita construir 
las funciones de forma. Hasta el momento tales funciones deben cubrir los requerimientos de 
independencia, continuidad y derivabilidad. Salvo por tales características, las funciones de 
forma son prácticamente de diseño arbitrario. Esta situación tiende a complicarse en 
problemas bidimensionales y tridimensionales, en los cuales el diseño de las funciones de 
forma debe satisfacer condiciones de borde en geometrías complicadas. 
Adicionalmente, existe el riesgo de generar matrices K complicadas, las cuales 
dificultan o imposibilitan la solución del sistema, debido a una mala elección de la función 
de forma. 
Ante esta situación es factible dividir el dominio D en subdominios o elementos De no 
superpuestos y luego construir una función aproximada �̂� por tramos, siendo cada tramo un 
42 
 
elemento, de esta manera las funciones de forma podrán ser mas manejables e incluso variar 
de un elemento a otro, según la conveniencia de la aproximación. En este sentido las 
integrales anteriormente definidas en el dominio entero, estarán representadas por la suma de 
las contribuciones de cada elemento. 
(20) ∫ 𝑤𝑙𝐷 𝑅𝐷𝑑𝐷 = ∑ ∫ 𝑤𝑙𝐷𝑒 𝑅𝐷𝑑𝐷
𝐸
𝑒=1 
(21) ∫ �̅�𝑙𝛤 𝑅𝛤𝑑𝛤 = ∑ ∫ �̅�𝑙𝛤𝑒 𝑅𝛤𝑑𝛤
𝐸
𝑒=1 
Considerando por supuesto que la sumatoria de cada uno de estos elementos, tanto en 
el dominio como en su contorno, resultara igual al dominio entero: 
(22) ∑ 𝐷𝑒 = 𝐷𝐸𝑒=1 
(23) ∑ 𝛤𝑒 = 𝛤𝐸𝑒=1 
 En estas últimas expresiones E representa el número total de subdivisiones en las 
regiones 𝐷 y 𝛤. Es importante resaltar la ventaja que representa evaluar las ecuaciones 
integrales en cada subdominio, ya que las funciones de forma pueden construirse de tal modo 
que tengan un valor nulo en todas partes del dominio excepto en el elemento evaluado y en 
los adyacentes a este. 
Aproximación de Funciones mediante Funciones de Forma Variables. 
En el método de elementos finitos, se plantea una aproximación de la función 𝑢, 
mediante una función �̂� que varia linealmente por tramos o por subdominios. En la figura 
N.11, se muestra un dominio unidimensional 𝐷 = [0, 𝐿]. 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura N.11 Aproximación de Funciones mediante Funciones de Forma de variación lineal. Fuente: 
Brewer, A. (2003). 
 
El dominio es dividido en elementos o subdominios (e=M-1), cada elemento 
comprende dos nodos denotados por 𝑥𝑖 que va desde 𝑥1 = 0 hasta 𝑥𝑀 = 𝐿 , además 𝑖 =
1,2, …𝑀. Cada elemento se define en el intervalo 𝑥𝑒 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑒+1. En la figura se han 
numerado los nodos y los elementos. Los nodos coinciden con los extremos del elemento, la 
función de forma global 𝜙𝑖 se asocia con cada nodo 𝑖, con la propiedad de que 𝜙𝑖 es no nula 
en los elementos conectados a dicho nodo, vale 1 en el nodo 𝑖 y cero en los otros nodos. 
Nodos 
Elementos 
i1 i2 k i3… 
X1
=0 
X2 X3… 
j i 
Xe Xe+1 XM=L 
1 
1 
1 
𝜙𝑖 
𝜙𝑗 
𝜙𝑘 
1 j i 
Xe Xe+1 
Ni
e Nj
e 
e1 e2 e eM-1 
Funciones de 
Forma Globales 
Funciones de 
Forma Elementales 
𝒖 
𝒖 
44 
 
La función aproximada por cada tramo quedaría expresada de la siguiente forma: 
(24) 𝑢 ≅ �̂� = ∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗 en 𝑫 
Donde 𝜙𝑗 es una función de forma global, definida de la siguiente forma: 
𝜙𝑗
{
 
 
 
 
𝑥 − 𝑥𝑗−1
ℎ𝑗
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑗−1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑗 
𝑥𝑗+1 − 𝑥 
ℎ𝑗
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑗 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑗+1
 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑗−1 ≤ 𝑥 𝑦 𝑥 ≥ 𝑥𝑗+1
 
El valor que adquiere la función 𝑢 en el nodo j está definido por �̂�𝑗 , por lo tanto se 
satisfacen automáticamente las condiciones de borde, por esta razón se omite a 𝜓 de la 
solución aproximada. Esta aproximación se acercara más al valor real, en la medida en que 
se aumente el número de subdivisiones. 
 
Finalmente los coeficientes �̂�𝑗 de la aproximación, se obtienen minizando el residuo 
y utilizando Garlekin para aproximar las funciones de peso: 
(25) ∫ 𝜙𝑖
L
0
(𝑢 − �̂�)𝑑𝐷 = 0 
Lo cual lleva al conocido sistema 
(26) 𝐊𝐚 = 𝐟 
(27) 𝐚 = (�̂�1, �̂�2, �̂�3, … �̂�𝑀) 
(28)𝐾𝑖,𝑗 = ∫ 𝜙𝑖
L
0
𝜙𝑗𝑑𝑥 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑀 
(29) 𝑓𝑖 = ∫ 𝜙𝑖
L
0
𝑢𝑑𝑥 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑀 
 
 
Definición local de las funciones de Forma 
45 
 
La figura N.4, también muestra la aproximación de la función 𝑢 desde el punto de vista 
del elemento: 
(30) 𝑢𝑒 ≅ �̂�e = ∑ �̂�𝑛
𝑛=𝑗
𝑛=𝑖 𝑁𝑛 = 𝑢𝑖𝑁𝑖
𝑒 + 𝑢𝑗𝑁𝑗
𝑒 en un elemento generico 𝒆 
Donde 𝑢𝑖 y 𝑢𝑗 son los valores de 𝑢 en los nodos i y j, mientras que 𝑁𝑖
𝑒 𝑦 𝑁𝑗
𝑒 son 
las funciones de interpolación lineal definidas en el elemento, es decir, funciones de forma 
definidas localmente en el dominio del elemento. 
Dentro de un elemento genérico la función incógnita 𝑢 varía de la siguiente manera: 
(31) 𝑢𝑒 ≅ �̂�e = ∑ 𝛼𝑝
1
𝑝=0 𝑥𝑝 = 𝛼0+𝛼1𝑥 
Dados que los nodos están a los extremos, en donde la función aproximada coincide 
con la verdadera, se puede escribir el siguiente sistema de ecuaciones: 
(32) 𝑢𝑖
𝑒 = 𝛼0+𝛼1𝑥𝑖 
(33) 𝑢𝑗
𝑒 = 𝛼0+𝛼1𝑥𝑗 
De donde se obtiene las siguientes expresiones: 
(34) 𝛼0 = 𝑢𝑖
𝑒 −
𝑢𝑖
𝑒−𝑢𝑗
𝑒
𝑥𝑗−𝑥𝑖
𝑥𝑖 
(35) 𝛼1 = 
𝑢𝑗
𝑒−𝑢𝑖
𝑒
𝑥𝑗−𝑥𝑖
 
Sustituyendo estas expresiones en la función a aproximada (31) queda: 
�̂�e = 𝑢𝑖
𝑒
(𝑥𝑗 − 𝑥)
ℎ𝑒
+ 𝑢𝑖
𝑒
(𝑥 − 𝑥𝑖)
ℎ𝑒
 = 𝑢𝑖𝑁𝑖
𝑒 + 𝑢𝑗𝑁𝑗
𝑒 
Así las funciones de forma en el elemento quedan definidas de la siguiente manera: 
(36) 𝑁𝑖
𝑒 =
(𝑥𝑗−𝑥)
ℎ𝑒
 
(37) Nj
e =
(𝑥−𝑥𝑖)
ℎ𝑒
 
(38) ℎ𝑒 = 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 
46 
 
 Con las funciones anteriores también se puede generar el sistema de matrices de forma 
local. 
Aproximación a la Solución de Ecuaciones Diferenciales 
Las Funciones definidas en el apartado anterior se pueden utilizar para encontrar la 
solución de ecuaciones diferenciales, cuya forma general es: 
(15) 𝐵(𝑢) = ℒ(𝑢) + 𝑝 = 0 en 𝐷 
(16) 𝐶(𝑢) = ℳ(𝑢) + 𝑟 = 0 en 𝛤 
La forma discreta de estas ecuaciones, se plantea utilizando el Método de los Residuos 
Ponderados: 
(19) ∫ 𝑤𝑙𝐷 𝑅𝐷𝑑𝐷 + ∫ �̅�𝑙𝛤 𝑅𝛤𝑑𝛤 = 0 
En donde: 
(17) 𝑅𝐷 = 𝐵(�̂�) = ℒ(�̂�) + 𝑝 en 𝐷 
(18) 𝑅𝛤 = 𝐶(�̂�) = ℳ(�̂�) + 𝑟 en 𝛤 
Tal que, la integral del residuo queda: 
∫ 𝑤𝑙
𝐷
(ℒ(�̂�) + 𝑝)𝑑𝐷 +∫ �̅�𝑙
𝛤
(ℳ(�̂�) + 𝑟)𝑑𝛤 = 0 
Utilizando la función aproximada 
(24) 𝑢 ≅ �̂� = ∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗 en 𝑫 
Se puede llegar al sistema de matrices mencionado anteriormente. 
(39) 𝐊𝐚 = 𝐟 
(40) 𝐚 = (�̂�1, �̂�2, �̂�3, … �̂�𝑀) 
(41) 𝐾𝑖,𝑗 = ∫ 𝜙𝑖𝐷 ℒ(𝜙𝑗)𝑑𝐷 + ∫ 𝜙�̅�𝛤 ℳ(𝜙𝑗)𝑑𝛤 
47 
 
(42) 𝑓𝑖 = −∫ 𝜙𝑖𝐷 𝑝𝑑𝐷 − ∫ 𝜙�̅�𝛤 𝑟𝑑𝛤 
Método de elementos finitos para problemas en dos dimensiones 
En este apartado se busca sistematizar la aplicación del Método de Elementos Finitos. 
Dada la siguiente ecuación diferencial en un determinado dominio: 
(43) −
𝜕
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑎12
𝜕𝑢
𝜕𝑦
) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑎22
𝜕𝑢
𝜕𝑦
) + 𝑎00𝑢 − 𝑓 = 0 
Donde los 𝑎𝑖𝑗 (𝑖, 𝑗 = 1,2) son valores conocidos, 𝑎00 y 𝑓 son condiciones de borde 
especificadas. Un caso especial de esta ecuación es la Ecuación de Poisson, en la cual 𝑎11 =
𝑎22 y 𝑎12 = 𝑎21 = 𝑎00 = 0, de manera que la exprecion (43) se convierte en: 
(44) −
𝜕
𝜕𝑥
(𝑎
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑎
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) − 𝑓 = 0 
(45) −𝛁 ∙ (𝑎𝛁𝑢) = 𝑓 en Ω ó 𝐷 
Discretizacion del Dominio: El autor Reddy N. (1993), sostiene que en dos 
dimensiones la discretizacion del dominio va más allá de una simple línea como ocurre en el 
caso unidimensional. En un dominio bidimensional (2D), el número, forma y tipo (lineal o 
cuadrático) del elemento deben ser tal que la geometría del dominio quede representada con 
la exactitud deseada. La geometría del elemento debe estar definida únicamente por un grupo 
de puntos los cuales servirán como nodos para el desarrollo de las funciones de forma o 
también llamadas funciones de interpolación. El triangulo es la figura geométrica más simple 
para la discretizacion de un dominio en bidimensional, seguido del rectángulo. 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
Figura N.12 Discretizacion del Dominio (a) Dominio original, (b) Dominio discretizado. Fuente: 
Matthew, N. Sadiku. (2001). 
 
Formulación Débil de la Ecuación de dominio: La ecuación del residuo para una 
ecuación diferencial es: 
(17) 𝑅𝐷 = 𝐵(�̂�) = ℒ(�̂�) + 𝑝 en 𝐷 
La expresión integral del residuo es: 
(46) ∫ 𝑤𝑙RDD 𝑑𝐷 = 0 
Sustituyendo la expresión (43) en (46), queda: 
(47) ∫ 𝑤𝑙 [−
𝜕
𝜕𝑥
(𝐹1) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝐹2) + 𝑎00�̂� − 𝑓]𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 
Donde: 
(48) 𝐹1 = 𝑎11
𝜕𝑢 
𝜕𝑥
+ 𝑎12
𝜕𝑢 
𝜕𝑦
 
(49) 𝐹2 = 𝑎21
𝜕𝑢 
𝜕𝑥
+ 𝑎22
𝜕𝑢 
𝜕𝑦
 
Dado que: 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑤𝐹1) =
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝐹1 + 𝑤
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
 
y 
x 
D 
 
y 
x 
D 
 
Borde 
Actual 
 
Borde 
Aproximado 
 
(a) (b) 
49 
 
𝜕
𝜕𝑦
(𝑤𝐹2) =
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝐹2 + 𝑤
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
 
Despejando queda: 
(50) −𝑤
𝜕𝐹1
𝜕𝑥
=
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝐹1 −
𝜕
𝜕𝑥
(𝑤𝐹1) 
(51) −𝑤
𝜕𝐹2
𝜕𝑦
=
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝐹2 −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑤𝐹2) 
Utilizando el teorema del gradiente en (50) y (51): 
 
(52) ∫
𝜕
𝜕𝑥
(𝑤𝐹1)𝑑𝑥𝑑𝑦Ω = ∮ n̂X𝑤𝐹1𝑑𝑠𝛤 
(53) ∫
𝜕
𝜕𝑦
(𝑤𝐹2)𝑑𝑥𝑑𝑦Ω = ∮ n̂y𝑤𝐹2𝑑𝑠𝛤 
 
Donde, nx = cos(x, 𝐧 ) y ny = cos(y, 𝐧 ) son las proyecciones del vector unitario 𝐧 
sobre los ejes rectangulares, tal que nx corresponde al coseno del angulo entre el vector 𝐧 y 
el eje x. 
(54) 𝐧 = n̂X𝐢 + n̂y𝐣 
De manera que la expresión (47) se desarrolla de la siguiente manera: 
50 
 
∫ 𝑤 [−
𝜕
𝜕𝑥
(𝐹1) −
𝜕
𝜕𝑦
(𝐹2) + 𝑎00�̂� − 𝑓]
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦
= ∫ (−𝑤
𝜕
𝜕𝑥
(𝐹1) − 𝑤
𝜕
𝜕𝑦
(𝐹2) + 𝑤𝑎00𝑢 − 𝑤𝑓)
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦
= ∫ ((
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝐹1 −
𝜕
𝜕𝑥
(𝑤𝐹1)) + (
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝐹2 −
𝜕
𝜕𝑦
(𝑤𝐹2)) + 𝑤𝑎00𝑢 − 𝑤𝑓)
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦
= ∫ (
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝐹1 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝐹2 + 𝑤𝑎00𝑢 − 𝑤𝑓)
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 −∫
𝜕
𝜕𝑥
𝑤𝐹1
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∫
𝜕
𝜕𝑦
𝑤𝐹2
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦
= ∫ (
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝐹1 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝐹2 + 𝑤𝑎00𝑢 − 𝑤𝑓)
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 −∮ n̂X𝑤𝐹1𝑑𝑠
𝛤
−∮ n̂y𝑤𝐹2𝑑𝑠
𝛤
= ∫ (
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝐹1 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝐹2 + 𝑤𝑎00𝑢 − 𝑤𝑓)
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 −∮ 𝑤(n̂X𝐹1 + n̂y𝐹2)𝑑𝑠
𝛤
= 0 
 
El término 𝑤𝑎00𝑢 corresponde a la condición de borde esencial. El término n̂X𝐹1 +
n̂y𝐹2 = 𝑞𝑛 constituye la condición de borde natural y corresponde a la proyección del 
vector u a lo largo del vector unitario normal al borde 𝐧 , es decir 𝒂 ∙ 𝛁𝑢. Finalmente la 
formulación débil queda: 
(55) ∫ (
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝐹1 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝐹2 + 𝑤𝑎00𝑢 − 𝑤𝑓)𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∮ 𝑤𝑞𝑛𝑑𝑠𝛤 = 0 
Definición de la Solución Aproximada en cada elemento 
La función aproximada quedara: 
(24) 𝑢(𝑥, 𝑦) ≅ �̂�(𝑥, 𝑦) = ∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗(𝑥, 𝑦) en 𝑫 
Donde, 𝑢𝑗 es el valor de la función 𝑢 en el nodo j, y 𝜙𝑗 son las funciones de forma 
Global. Así que, utilizando la expresión (55) y sustituyendo en ella (48), (49) y (24) queda: 
51 
 
(55) ∫ (
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝐹1 +
𝜕𝑤
𝜕𝑦
𝐹2 + 𝑤𝑎00𝑢 − 𝑤𝑓)𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∮ 𝑤𝑞𝑛𝑑𝑠𝛤 = 0 
(56) ∫ (
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕
𝜕𝑥
∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗 + 𝑎12
𝜕
𝜕𝑦
∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗) +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕
𝜕𝑥
∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗 +𝐷
𝑎22
𝜕
𝜕𝑦
∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗) + 𝜙𝑖𝑎00∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗 − 𝜙𝑖𝑓)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∮ 𝜙𝑖𝑞𝑛𝑑𝑠𝛤 = 0 
∫ (
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕
𝜕𝑥
(�̂�1𝜙1 + �̂�2𝜙2 +⋯ �̂�𝑀𝜙𝑀) + 𝑎12
𝜕
𝜕𝑦
(�̂�1𝜙1 + �̂�2𝜙2 +⋯ �̂�𝑀𝜙𝑀))
𝐷
+
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕
𝜕𝑥
(�̂�1𝜙1 + �̂�2𝜙2 +⋯ �̂�𝑀𝜙𝑀) + 𝑎22
𝜕
𝜕𝑦
(�̂�1𝜙1 + �̂�2𝜙2 +⋯ �̂�𝑀𝜙𝑀))
+ 𝜙𝑖𝑎00(�̂�1𝜙1 + �̂�2𝜙2 +⋯ �̂�𝑀𝜙𝑀))𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝜙𝑖𝑓𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
+∮ 𝜙𝑖𝑞𝑛𝑑𝑠
𝛤
 
∫ (
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
𝑎11
𝜕
𝜕𝑥
�̂�1𝜙1 +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
𝑎11
𝜕
𝜕𝑥
�̂�2𝜙2 +⋯
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
𝑎11
𝜕
𝜕𝑥
�̂�𝑀𝜙𝑀
𝐷
+ 
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
𝑎12
𝜕
𝜕𝑦
�̂�1𝜙1 +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
𝑎12
𝜕
𝜕𝑦
�̂�2𝜙2 +⋯
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
𝑎12
𝜕
𝜕𝑦
�̂�𝑀𝜙𝑀
+ 
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
𝑎21
𝜕
𝜕𝑥
�̂�1𝜙1 +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
𝑎21
𝜕
𝜕𝑥
�̂�2𝜙2 +⋯
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
𝑎21
𝜕
𝜕𝑥
�̂�𝑀𝜙𝑀
+ 
𝜕𝜙𝑖𝜕𝑦
𝑎22
𝜕
𝜕𝑦
�̂�1𝜙1 +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
𝑎22
𝜕
𝜕𝑦
�̂�2𝜙2 +⋯
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
𝑎22
𝜕
𝜕𝑦
�̂�𝑀𝜙𝑀 
+ 𝜙𝑖𝑎00�̂�1𝜙1 + 𝜙𝑖𝑎00�̂�2𝜙2 +⋯𝜙𝑖𝑎00�̂�𝑀𝜙𝑀) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝜙𝑖𝑓𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
+∮ 𝜙𝑖𝑞𝑛𝑑𝑠
𝛤
 
52 
 
∫ [�̂�1 (
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕𝜙1
𝜕𝑥
+ 𝑎12
𝜕𝜙1
𝜕𝑦
) +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕𝜙1
𝜕𝑥
+ 𝑎22
𝜕𝜙1
𝜕𝑦
) + 𝜙𝑖𝜙1𝑎00)
D
+ �̂�2 (
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕𝜙2
𝜕𝑥
+ 𝑎12
𝜕𝜙2
𝜕𝑦
) +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕𝜙2
𝜕𝑥
+ 𝑎22
𝜕𝜙2
𝜕𝑦
) + 𝜙𝑖𝜙2𝑎00)…
+ �̂�𝑀 (
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕𝜙𝑀
𝜕𝑥
+ 𝑎12
𝜕𝜙𝑀
𝜕𝑦
) +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕𝜙𝑀
𝜕𝑥
+ 𝑎22
𝜕𝜙𝑀
𝜕𝑦
) + 𝜙𝑖𝜙𝑀𝑎00)] 𝑑𝑥𝑑𝑦
= ∫ 𝜙𝑖𝑓
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∮ 𝜙𝑖𝑞𝑛𝑑𝑠
𝛤
 
Variando i desde 1 hasta M queda el siguiente sistema de matrices de ecuaciones 
Para i=1 
K11𝑎1 + K12𝑎2 +⋯K1M𝑎𝑀 = 𝑓1 
Para i=2 
K21𝑎1 + K22𝑎2 +⋯K2M𝑎𝑀 = 𝑓2 
Para i=M 
KM1𝑎1 + KM2𝑎2 +⋯KMM𝑎𝑀 = 𝑓3 
donde 
(57) 𝐚 = (�̂�1, �̂�2, �̂�3, … �̂�𝑀) 
 
(58) 𝐾𝑖,𝑗 = ∫
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕𝜙𝑗
𝜕𝑥
+ 𝑎12
𝜕𝜙𝑗
𝜕𝑦
) +
𝜕𝜙𝑖
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕𝜙𝑗
𝜕𝑥
+ 𝑎22
𝜕𝜙𝑗
𝜕𝑦
) +
𝐷
𝜙𝑖𝜙𝑗𝑎00𝑑𝑥𝑑𝑦 
 
(59) 𝑓𝑖 = ∫ 𝜙𝑖𝑓𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∮ 𝜙𝑖𝑞𝑛𝑑𝑠𝛤 
El sistema de ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma de matriz como: 
[
𝐾11 𝐾12 ⋯𝐾1𝑀
𝐾21 𝐾22 ⋯𝐾2𝑀
⋮
𝐾𝑀1
⋮
𝐾𝑀2
⋮
𝐾𝑀𝑀
] [
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑀
] = [
𝑓1
𝑓2
⋮
𝑓𝑀
] 
Lo cual lleva al conocido sistema 
53 
 
(60) 𝐊𝐚 = 𝐟 
(61) ∑ 𝐾𝑖,𝑗
𝑀
𝑗=1 𝑢𝑗 = 𝑓𝑖 para 𝑖 = 1,2, …𝑀 
De esta manera se evalúan los parámetros de las matrices según la función de forma 
global. 
Adicionalmente, si se cumple que: 
(62) ∑ 𝐷𝑒 = 𝐷𝐸𝑒=1 
(63) ∑ 𝛤𝑒 = 𝛤𝐸𝑒=1 
 
Tanto la Formulación débil, como los parámetros K y f, pueden ser evaluados por 
tramos y la sumatoria de todos los tramos representa el dominio entero, tal que la expresión 
(56) para un elemento del dominio queda: 
(64) ∑ ∫ (
𝜕𝜙𝑖
e
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕
𝜕𝑥
∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗
e + 𝑎12
𝜕
𝜕𝑦
∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗
e) +
𝐷𝑒𝑒
𝜕𝜙𝑖
e
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕
𝜕𝑥
∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗
e + 𝑎22
𝜕
𝜕𝑦
∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗
e) + 𝜙𝑖
e𝑎00∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗
e)𝑑𝑥𝑑𝑦 =
∑ ∫ 𝜙𝑖
e𝑓𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷𝑒
+ ∮ 𝜙𝑖
e𝑞𝑛𝑑𝑠𝛤𝑒𝑒 
El sistema de ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma de matriz como: 
[
𝐾11 𝐾12 ⋯𝐾1𝑀
𝐾21 𝐾22 ⋯𝐾2𝑀
⋮
𝐾𝑀1
⋮
𝐾𝑀2
⋮
𝐾𝑀𝑀
] [
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎𝑀
] = [
𝑓1
𝑓2
⋮
𝑓𝑀
] 
Lo cual lleva al conocido sistema 
(65) 𝐊𝐚 = 𝐟 
(66) 𝐚 = (�̂�1, �̂�2, �̂�3, … �̂�𝑀) 
54 
 
(67) 𝐾𝑖,𝑗 = ∑ 𝐾𝑖,𝑗
𝑒
𝐞 = ∑ ∫
𝜕𝜙𝑖
e
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕𝜙𝑗
e
𝜕𝑥
+ 𝑎12
𝜕𝜙𝑗
e
𝜕𝑦
) +
𝜕𝜙𝑖
e
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕𝜙𝑗
e
𝜕𝑥
+
𝐷𝑒𝐞
𝑎22
𝜕𝜙𝑗
𝜕𝑦
) +𝜙𝑖
e𝜙𝑗
e𝑎00𝑑𝑥𝑑𝑦 
(68) 𝑓𝑖 = ∑ 𝑓𝑖
𝑒
𝐞 = ∑ ∫ 𝜙𝑖
e𝑓
𝐷𝑒
𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∮ 𝜙𝑖
e𝑞𝑛𝑑𝑠𝛤𝑒𝑒 
En las relaciones anteriores, los parámetros del sistema de matrices quedan expresados 
a partir de las funciones de forma global. 
Interpolación de Funciones 
La solución aproximada �̂�(𝑥, 𝑦) = ∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗(𝑥, 𝑦) en 𝐷, inicialmente es definida 
a partir de las funciones de forma globales, sin embargo al igual que el caso de una 
dimensión, las funciones de forma global, tienen un equivalente en el dominio local de cada 
elemento. 
En función a la evaluación por tramos de la formulación débil, es factible afirmar que 
en cada elemento tendremos un sistema de ecuaciones tal como sigue: 
(69) 𝐊𝐞𝐚𝐞 = 𝐟𝐞 
(70) 𝐚𝐞 = (�̂�1, �̂�2, �̂�3, … �̂�𝑀)
𝑒 
(71) 𝐊𝐞 = 𝐾𝑖,𝑗
𝑒 = ∫
𝜕𝜙𝑖
e
𝜕𝑥
(𝑎11
𝜕𝜙𝑗
e
𝜕𝑥
+ 𝑎12
𝜕𝜙𝑗
e
𝜕𝑦
) +
𝜕𝜙𝑖
e
𝜕𝑦
(𝑎21
𝜕𝜙𝑗
e
𝜕𝑥
+
𝐷𝑒
𝑎22
𝜕𝜙𝑗
𝜕𝑦
) +𝜙𝑖
e𝜙𝑗
e𝑎00𝑑𝑥𝑑𝑦 
(72) 𝐟𝐞 = 𝑓𝑖
𝑒 = ∫ 𝜙𝑖
e𝑓
𝐷𝑒
𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∮ 𝜙𝑖
e𝑞𝑛𝑑𝑠𝛤𝑒 
En este sentido existirá una función aproximada definida en el dominio de cada 
elemento: 
(73) �̂�e(𝑥, 𝑦) = ∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝜙𝑗
e(𝑥, 𝑦) en 𝐷𝑒 
55 
 
En lo sucesivo la función de forma definida en el dominio local, será denotada como 
𝑁𝑗 para mantener la analogía con el caso unidimensional de esta forma será indistinto la 
colocación del subíndice superior 𝑒. 
(74) �̂�e(𝑥, 𝑦) = ∑ �̂�𝑗
𝑀
𝑗=1 𝑁𝑗
e(𝑥, 𝑦) en 𝐷𝑒 
Esta función debe satisfacer las siguientes condiciones: 
a. Debe ser diferenciable, tal como se requiere en la formulación débil. 
b. Los polinomios usados deben ser completos, es decir cada término debe estar 
acompañado de una constante. 
c. Todos los términos del polinomio deben ser linealmente independientes. El 
número de términos independientemente lineales, determina la forma y número 
de grados de libertad del elemento. 
Al visualizar los términos de la matriz K en la formulación débil, es fácil ver que la 
solución aproximada debe ser al menos una función de x e y, por ejemplo el siguiente 
polinomio: 
(75) �̂�e(𝑥, 𝑦) = 𝛼0 + 𝛼1𝑥+𝛼2𝑦 
El polinomio anterior contiene tres términos linealmente independientes. Para escribir 
las constantes 𝛼i en término de los valores nodales de la función aproximada, debemos 
identificar tres puntos o nodos en el elemento, los cuales deben estar definidos únicamente 
por la geometría del elemento. Obviamente la forma geométrica definida por tres puntos en 
el dominio bidimensional es un triangulo, de allí que el polinomio definido anteriormente se 
asocia a un elemento triangular, donde los nodos se ubican en los vértices de dicho triangulo. 
56 
 
Un siguiente polinomio seria: 
(76) �̂�e(𝑥, 𝑦) = 𝛼0 + 𝛼1𝑥+𝛼2𝑦 + 𝛼3𝑥𝑦 
El cual contiene cuatro términos, por lo tanto se puede asociar a un triangulo con un 
cuarto nodo en el centro del mismo, o a un rectángulo con nodos en sus vértices. Sin embargo 
el triangulo no es un elemento compatible, ya que el nodo central del triangulo no provee una 
variación lineal de �̂�(𝑥, 𝑦) entre los bordes de los elementos. 
Definición local de la Función de Forma. 
Por razones metodológicas emplearemos el elemento triangular para derivar las 
funciones de forma. 
 
 
 
 
Figura Nro. 13 Elemento Triangular, con nodos i,j,k.. Numerados en sentido antihorario. Bastos, Joao 
y Sadowski, Nelson. (2003). 
 
A partir de la función aproximada, se busca definir las funciones de forma local 𝑁𝑗
e. 
(73) �̂�e(𝑥, 𝑦) = ∑ �̂�𝑗
𝑘
𝑖 𝑁𝑗
e(𝑥, 𝑦) en 𝐷𝑒 
(77) �̂�e(𝑥, 𝑦) = 𝑁i(𝑥𝑖
𝑒 , 𝑦𝑖
𝑒)𝑢i + 𝑁j(𝑥𝑗
𝑒 , 𝑦𝑗
𝑒)𝑢j +𝑁k(𝑥𝑘
𝑒 , 𝑦𝑘
𝑒)𝑢k 
Considerando la aproximación �̂�e(𝑥, 𝑦) = 𝛼0 + 𝛼1𝑥+𝛼2𝑦 , la cual debe ser reescrita, 
tal que satisfaga la condición �̂�e(𝑥𝑖
𝑒 , 𝑦𝑖
𝑒) = 𝑢𝑖
𝑒, donde (𝑥𝑖
𝑒 , 𝑦𝑖
𝑒), 𝑖 = 1,2,3 son las 
y 
 
x 
i=1 (x1,y1) 
j=2 (x2,y2) 
k=3 (x3,y3) 
57 
 
coordenadas locales de los vértices del elemento triangular. Es necesario determinar las 
constantes 𝛼𝑖 en función de los valores nodales 𝑢𝑖
𝑒: 
(78) 𝑢1 = �̂�
e(𝑥1, 𝑦1) = 𝛼0 + 𝛼1𝑥1 + 𝛼2𝑦1 
(79) 𝑢2 = �̂�
e(𝑥2, 𝑦2) = 𝛼0 + 𝛼1𝑥2 + 𝛼2𝑦2 
(80) 𝑢3 = �̂�
e(𝑥3, 𝑦3) = 𝛼0 + 𝛼1𝑥3 + 𝛼2𝑦3 
En forma matricial queda: 
(81) [
𝑢1
𝑢2
𝑢3
] = [
1 𝑥1 𝑦1
1 𝑥2 𝑦2
1 𝑥3 𝑦3
] [
𝛼0
𝛼1
𝛼2
] 
Por la regla de Cramer, las variables 𝛼0, 𝛼1 y 𝛼2, pueden ser expresadas como sigue: 
(82) 𝛼0 = |
𝑢1 𝑥1 𝑦1
𝑢2 𝑥2 𝑦2
𝑢3 𝑥3 𝑦3
|
1
𝐷
 
(83) 
 
 𝛼 1 = |
1 𝑢1 𝑦1
1 𝑢2 𝑦2
1 𝑢3 𝑦3
|
1
𝐷
 
(84) 𝛼2 = |
1 𝑥1 𝑢1
1 𝑥2 𝑢2
1 𝑥3 𝑢3
|
1
𝐷
 
(85) 𝐷 = |
1 𝑥1 𝑦1
1 𝑥2 𝑦2
1 𝑥3 𝑦3
| 
Sustituyendo los valores de (82), (83), y (84), en �̂�e(𝑥, 𝑦) = 𝛼0 + 𝛼1𝑥+𝛼2𝑦 queda 
lo siguiente: 
(86) �̂�e(𝑥, 𝑦) = [1 𝑥 𝑦]
1
𝐷
[
𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1
𝑦2 − 𝑦3 𝑦3 − 𝑦1 𝑦1 − 𝑦2
𝑥3 − 𝑥2 𝑥1 − 𝑥3 𝑥2 − 𝑥1
] [
𝑢1
𝑢2
𝑢3
] 
Lo cual equivale a: 
(87) �̂�e(𝑥, 𝑦) = [1 𝑥 𝑦]
1
𝐷
[
𝑝1 𝑝2 𝑝3
𝑞1 𝑞2 𝑞3
𝑟1 𝑟2 𝑟3
] [
𝑢1
𝑢2
𝑢3
] 
 
58 
 
Donde: 
 
(88) 𝑝1 = 𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2 
(89) 𝑝2 = 𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3 
(90) 𝑝3 = 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 
(91) 𝑞1 = 𝑦2 − 𝑦3 
(92) 𝑞2 = 𝑦3 − 𝑦1 
(93) 𝑞3= 𝑦1 − 𝑦2 
(94) 𝑟1 = 𝑥3 − 𝑥2 
(95) 𝑟2 = 𝑥1 − 𝑥3 
(96) 𝑟3 = 𝑥2 − 𝑥1 
 
 
 
(97) �̂�e(𝑥, 𝑦) = ∑
1
𝐷
(3𝑗=1 𝑝𝑗 + 𝑞𝑗𝑥 + 𝑟𝑗𝑦)�̂�𝑗
e
 
(98) �̂�e(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑁𝑗
𝑒(𝑥, 𝑦)3𝑗=1 �̂�𝑗
e
 
De esta manera que (77) queda: 
(99) �̂�e(𝑥, 𝑦) = 𝑁1(𝑥1, 𝑦1)𝑢1 + 𝑁2(𝑥2, 𝑦2)𝑢2 +𝑁3(𝑥3, 𝑦3)𝑢3 
 
Con lo cual quedan definidas las funciones de forma local (Funciones de Interpolacion 
Lineal para un triangulo), de la siguiente manera: 
(100) 𝑁i(𝑥, 𝑦) = 𝑁1(𝑥, 𝑦) =
1
𝐷
(𝑝1 + 𝑞1𝑥 + 𝑟1𝑦) 
(101) 𝑁j(𝑥, 𝑦) = 𝑁2(𝑥, 𝑦) =
1
𝐷
(𝑝2 + 𝑞2𝑥 + 𝑟2𝑦) 
(102) 𝑁k(𝑥, 𝑦) = 𝑁3(𝑥, 𝑦) =
1
𝐷
(𝑝3 + 𝑞3𝑥 + 𝑟3𝑦) 
Es decir: 
(103) 𝑁𝑗
𝑒(𝑥, 𝑦) = ∑
1
𝐷
(3𝑗=1 𝑝𝑗 + 𝑞𝑗𝑥 + 𝑟𝑗𝑦) 
59 
 
Error y Convergencia de la Solución. 
El error de la solución se refiere a la diferencia entre la solución aproximada y la 
solución real. El autor Zarate (2005) menciona tres tipos de error: El error de discretizacion, 
asociado al tamaño de los elementos, el error de aproximación relacionado con la 
aproximación geométrica y finalmente el error de convergencia, el cual depende de las 
condiciones que garanticen que a medida que se utilizan más elementos la solución se 
aproxima más a la exacta. Estas condiciones son continuidad, derivabilidad e integrabilidad. 
Los métodos adaptativos, buscan equilibrar el error en todo el dominio, refinando los 
triángulos que no cumplan los criterios de error. 
La diferencia entre la solución real y la aproximada también se suele medir mediante 
la integral entre ambas funciones (Método de Energía). El valor de la energía depende la 
característica de la longitud de un elemento y de la rata de convergencia (grado de la derivada 
o tipo de elemento). 
De allí que los métodos de convergencia se basan en el refinamiento de la malla usando 
más elementos del mismo tipo, el incremento del grado del polinomio o una mezcla de ambos 
criterios. 
 
 
Teorema de Unicidad 
Cuando una situación física se modela matemáticamente, se busca encontrar una 
solución que sea única. Esta solución es una aproximación de la solución real, y debe reflejar 
de manera única los cambios y variaciones del sistema. 
60 
 
Es posible demostrar que una solución es única si esta satisface las condiciones de 
frontera o ciertas condiciones iníciales. 
Estas condiciones adicionales, representan parte de las características del sistema, 
generalmente representado mediante ecuaciones diferenciales. 
Las condiciones de frontera indican los valores que la solución o sus posibles derivadas 
a una ecuación diferencial, deben tomar en los bordes. Las condiciones iníciales se refieren 
a valores en un instante inicial y se asocia a sistemas variables en el tiempo. 
 
2.2.2 MODELO ELECTROMAGNÉTICO DEL MOTOR DE INDUCCION 
En este apartado, se muestra el modelo electromagnético del motor de inducción, el cual 
se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell. El modelo permite describir el fenómeno 
electromagnético que rige el comportamiento del motor de inducción. 
La ecuación que define los fenómenos electromagnéticos del motor, se plantea de forma 
tal que podrá ser resuelta utilizando el Método de Elementos Finitos, cuyo enfoque contrasta 
en precisión con el enfoque analítico tradicional, también basado en las ecuaciones de 
Maxwell y caracterizado por realizar asunciones relacionadas con las condiciones magnéticas 
de los materiales, el enfoque vectorial y las limitaciones en el dominio. 
Finalmente la aplicación del Método de Elementos Finitos, llevara a determinar la 
densidad de campo magnético en el entrehierro, con el objeto de establecer un patrón de 
comportamiento en condiciones normales. 
Ecuaciones Iníciales 
61 
 
En el motor de inducción, están presentes campos electromagnéticos de origen 
variable. La primera ecuación de Maxwell será el punto de partida para estudiar tales 
fenómenos. 
(104) 𝑟𝑜𝑡 𝑯 = 𝐉 
En la ecuación anterior, se relaciona la intensidad de campo magnético H con la 
densidad de corriente J. 
Empleando la siguiente relación constitutiva, es posible relacionar la intensidad de 
campo magnético 𝑯 con la densidad 𝑩 de campo magnético, mediante la permeabilidad 
magnética 𝜇. 
(105) 𝑩 = 𝜇𝑯 
Dado que en el dominio de estudio están presentes fuentes de corriente, es factible 
definir el vector de potencial magnético 𝑨 como: 
(106) 𝑩 = 𝑟𝑜𝑡𝑨 
De manera tal que sustituyendo (105) y (106) en (104) queda: 
(107) 𝑟𝑜𝑡 
1
𝜇
(𝑟𝑜𝑡𝑨) = 𝐉 
Reducción del Problema tridimensional a un problema de dos dimensiones. 
El análisis campo magnético en el motor de inducción, es sin duda un problema 
tridimensional, cuya aplicación del Método de Elementos Finitos, implica la discretizacion 
del dominio a partir de elementos tridimensionales (Figura N. 14). La implementación del 
estudio en tres dimensiones, requiere elevados recursos computacionales (tiempo y 
62 
 
memoria). Por esta razón investigadores han buscado reducir el dominio de estudio a dos 
dimensiones, con resultados satisfactorios. 
 
 
 
 
Figura N.14 Dominio Tridimensional para Motor de Inducción (a). Dominio Bidimensional para Motor de 
Inducción (b). Fuente: elaboración propia. 
El enfoque bidimensional se alcanza, al visualizar individualmente la simetría de la 
maquina. En el planteamiento teórico de la presente investigación, se ha utilizado la simetría 
del plano xy (Planar Symmetry), en el cual el fenómeno magnético se asume de manera igual 
en el plano x y en el plano y, los cuales son normales al eje z. En coordenadas cilíndricas 
equivaldría a visualizar un campo magnético invariable en el eje z. 
En este sentido, el vector de Densidad de Corriente J y el vector de Potencial Magnético 
A, los cuales son paralelos, presentan componentes únicamente en el eje z. 
y 
z 
x 
http://images.google.co.ve/imgres?imgurl=http://dept-te.tu-sofia.bg/Brandisky/images/induction_motor - geometry.jpg&imgrefurl=http://dept-te.tu-sofia.bg/Brandisky/research.html&usg=__RNZvgLuEONh84kKtzubTBdDFDA8=&h=699&w=851&sz=307&hl=es&start=10&tbnid=B2HG3MsTRn1N0M:&tbnh=119&tbnw=145&prev=/images?q=MOTOR+INDUCTION+FEM+2D&gbv=2&hl=es&sa=G
63 
 
(108) 𝑱 = 𝐽𝑧𝐤 
(109) 𝑨 = 𝐴𝑧𝐤 
Dado que el vector densidad de flujo magnético es 𝑩 = 𝑟𝑜𝑡𝑨, B presenta componentes 
en x,y: 
𝑩 = 𝑟𝑜𝑡𝑨 = 𝑑𝑒𝑡
[
 
 
 
𝐢 𝐣 𝐤
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
0 0 𝐴𝑧]
 
 
 
= 𝐢 (
∂Az
∂y
−
∂0
∂z
) + 𝐣 (
∂0
∂z
−
∂Az
∂x
) + 𝐤 (
∂0
∂x
−
∂0
∂y
)
= 𝐢
∂Az
∂y
− 𝐣
∂Az
∂x
= 𝐢Bx + 𝐣By 
(110) 𝑟𝑜𝑡𝑨 == 𝐢
∂Az
∂y
− 𝐣
∂Az
∂x
 
(111) 𝑩 = 𝐢Bx + 𝐣By 
Al considerar una aproximación bidimensional para el motor de inducción, se están 
despreciando efectos de naturaleza tridimensional que en algunos casos son importantes para 
evaluar el desempeño del motor. Estos efectos según Bianchi, N., (2005), se deben a la 
longitud finita del eje, es decir bordes de las bobinas del estator y anillos del rotor, y su 
aporte al campo magnético. Y a la inclinación de las barras del rotor. 
Modelo Electromagnético General. 
Para estudiar el comportamiento electromagnético del motor de inducción, es necesario 
visualizar el problema de campo magnético, como un problema no lineal y variable en el 
tiempo. Además hay que considerar la presencia de corrientes inducidas debido a los efectos 
del movimiento. 
64 
 
En este sentido, existe una interacción mutua entre el campo magnético del motor de 
inducción y la densidad de corriente, tal como se expresa en la ecuación siguiente: 
(107) 𝑟𝑜𝑡 
1
𝜇
(𝑟𝑜𝑡𝑨) = 𝐉 
La densidad de corriente se relaciona con el campo eléctrico 𝐄𝐓, mediante la relación 
constitutiva indicada a continuación: 
(112) 𝐉 = σ𝐄𝐓 
Esta ecuación se cumple en todo medio conductivo, caracterizado por una 
conductividad σ. Donde 𝐄𝐓 es el campo eléctrico total asociado a la suma de los siguientes 
campos: 
(113) 𝐄𝐓 = 𝐄+ 𝐄𝐦 
Donde 𝐄 es el