Funciones

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Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Funciones: Elementos y Clases
Docente: Rafael Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Trujillo
29 de agosto de 2023
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Resultados de Aprendizaje
Presentación
Elementos de una Función
Funciones por Tramos
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Identificar una función y sus elementos: Dominio y rango.
Clasificar las funciones lineales, cuadráticas y ráız cuadrada aśı
como sus respectivas gráficas.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
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Elementos de una Función
Funciones Especiales
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Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Identificar una función y sus elementos: Dominio y rango.
Clasificar las funciones lineales, cuadráticas y ráız cuadrada aśı
como sus respectivas gráficas.
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Elementos de una Función
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Funciones por Tramos
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Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Identificar una función y sus elementos: Dominio y rango.
Clasificar las funciones lineales, cuadráticas y ráız cuadrada aśı
como sus respectivas gráficas.
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Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Resultados de Aprendizaje
Presentación
Elementos de una Función
Funciones por Tramos
El concepto de función fue formulado en el siglo XVIII por
Gottfried Wilhelm Leibniz. Es uno de los conceptos más básicos en
matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo.
En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede
depender del valor de una o más cantidades, como por ejemplo:
La reacción de un organismo frente a un fármaco depende de
la dosis del medicamento;
el crecimiento de una población depende del número de
individuos y depredadores.
La utilidad de la venta de un producto depende del precio de
compra o de venta.
Con frecuencia estas relaciones pueden representarse mediante
funciones. En términos generales, una función relaciona los
elementos de dos conjuntos mediante una determinada regla de
asociación.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Resultados de Aprendizaje
Presentación
Elementos de una Función
Funciones por Tramos
El concepto de función fue formulado en el siglo XVIII por
Gottfried Wilhelm Leibniz. Es uno de los conceptos más básicos en
matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo.
En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede
depender del valor de una o más cantidades, como por ejemplo:
La reacción de un organismo frente a un fármaco depende de
la dosis del medicamento;
el crecimiento de una población depende del número de
individuos y depredadores.
La utilidad de la venta de un producto depende del precio de
compra o de venta.
Con frecuencia estas relaciones pueden representarse mediante
funciones. En términos generales, una función relaciona los
elementos de dos conjuntos mediante una determinada regla de
asociación.
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Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
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Elementos de una Función
Funciones por Tramos
El concepto de función fue formulado en el siglo XVIII por
Gottfried Wilhelm Leibniz. Es uno de los conceptos más básicos en
matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo.
En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede
depender del valor de una o más cantidades, como por ejemplo:
La reacción de un organismo frente a un fármaco depende de
la dosis del medicamento;
el crecimiento de una población depende del número de
individuos y depredadores.
La utilidad de la venta de un producto depende del precio de
compra o de venta.
Con frecuencia estas relaciones pueden representarse mediante
funciones. En términos generales, una función relaciona los
elementos de dos conjuntos mediante una determinada regla de
asociación.
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El concepto de función fue formulado en el siglo XVIII por
Gottfried Wilhelm Leibniz. Es uno de los conceptos más básicos en
matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo.
En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede
depender del valor de una o más cantidades, como por ejemplo:
La reacción de un organismo frente a un fármaco depende de
la dosis del medicamento;
el crecimiento de una población depende del número de
individuos y depredadores.
La utilidad de la venta de un producto depende del precio de
compra o de venta.
Con frecuencia estas relaciones pueden representarse mediante
funciones. En términos generales, una función relaciona los
elementos de dos conjuntos mediante una determinada regla de
asociación.
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El concepto de función fue formulado en el siglo XVIII por
Gottfried Wilhelm Leibniz. Es uno de los conceptos más básicos en
matemáticas y es esencial para el estudio del cálculo.
En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede
depender del valor de una o más cantidades, como por ejemplo:
La reacción de un organismo frente a un fármaco depende de
la dosis del medicamento;
el crecimiento de una población depende del número de
individuos y depredadores.
La utilidad de la venta de un producto depende del precio de
compra o de venta.
Con frecuencia estas relaciones pueden representarse mediante
funciones. En términos generales, una función relaciona los
elementos de dos conjuntos mediante una determinada regla de
asociación.
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Funciones por Tramos
Funciones
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento
o mecanismo) que nos permite asociar a cada elemento de A un único
elemento en B.
Definición
Dados dos conjuntos A y B, la relación f , de A en B, denotada por
f : A→ B es llamada una función de A en B si y sólo si verifica:
1 f ⊆ A× B
2 (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c.
Esto quiere decir que dos pares ordenados distintos no pueden
tener la misma primera componente.
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Funciones
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento
o mecanismo) que nos permite asociar a cada elemento de A un único
elemento en B.
Definición
Dados dos conjuntos A y B, la relación f , de A en B, denotada por
f : A→ B es llamada una función de A en B si y sólo si verifica:
1 f ⊆ A× B
2 (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c.
Esto quiere decir que dos pares ordenados distintos no pueden
tener la misma primera componente.
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Elementos de una Función
Funciones EspecialesResultados de Aprendizaje
Presentación
Elementos de una Función
Funciones por Tramos
Funciones
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento
o mecanismo) que nos permite asociar a cada elemento de A un único
elemento en B.
Definición
Dados dos conjuntos A y B, la relación f , de A en B, denotada por
f : A→ B es llamada una función de A en B si y sólo si verifica:
1 f ⊆ A× B
2 (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c.
Esto quiere decir que dos pares ordenados distintos no pueden
tener la misma primera componente.
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Funciones
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla (procedimiento
o mecanismo) que nos permite asociar a cada elemento de A un único
elemento en B.
Definición
Dados dos conjuntos A y B, la relación f , de A en B, denotada por
f : A→ B es llamada una función de A en B si y sólo si verifica:
1 f ⊆ A× B
2 (a, b) ∈ f ∧ (a, c) ∈ f ⇒ b = c.
Esto quiere decir que dos pares ordenados distintos no pueden
tener la misma primera componente.
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Graficamente:
Figura: f es función si b = c
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Notaciones:
1 Una función f de A en B se denota por f : A→ B o A f−→B y
se lee “f es una función de A en B”. El conjunto A es llamado
el conjunto de partida y el conjunto B, de llegada.
2 Si el par (a, b) ∈ f , escribimos b = f (a) y decimos que b es la
imagen de “a” por f o b = f (a) es el valor de f en el punto a.
3 Si A = B = R, la función f : R→ R es denominada una
función real de variable real.
4 Por la parte 2), tenemos: y = f (x)⇔ (x , y) ∈ f , donde
y = f (x) se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x
por f ”.
5 Por la parte 4), la función f puede escribirse:
f = {(x , y) ∈ R× R / y = f (x)},
donde la ecuación y = f (x) es llamada regla de
correspondencia.
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Notaciones:
1 Una función f de A en B se denota por f : A→ B o A f−→B y
se lee “f es una función de A en B”. El conjunto A es llamado
el conjunto de partida y el conjunto B, de llegada.
2 Si el par (a, b) ∈ f , escribimos b = f (a) y decimos que b es la
imagen de “a” por f o b = f (a) es el valor de f en el punto a.
3 Si A = B = R, la función f : R→ R es denominada una
función real de variable real.
4 Por la parte 2), tenemos: y = f (x)⇔ (x , y) ∈ f , donde
y = f (x) se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x
por f ”.
5 Por la parte 4), la función f puede escribirse:
f = {(x , y) ∈ R× R / y = f (x)},
donde la ecuación y = f (x) es llamada regla de
correspondencia.
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Notaciones:
1 Una función f de A en B se denota por f : A→ B o A f−→B y
se lee “f es una función de A en B”. El conjunto A es llamado
el conjunto de partida y el conjunto B, de llegada.
2 Si el par (a, b) ∈ f , escribimos b = f (a) y decimos que b es la
imagen de “a” por f o b = f (a) es el valor de f en el punto a.
3 Si A = B = R, la función f : R→ R es denominada una
función real de variable real.
4 Por la parte 2), tenemos: y = f (x)⇔ (x , y) ∈ f , donde
y = f (x) se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x
por f ”.
5 Por la parte 4), la función f puede escribirse:
f = {(x , y) ∈ R× R / y = f (x)},
donde la ecuación y = f (x) es llamada regla de
correspondencia.
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Notaciones:
1 Una función f de A en B se denota por f : A→ B o A f−→B y
se lee “f es una función de A en B”. El conjunto A es llamado
el conjunto de partida y el conjunto B, de llegada.
2 Si el par (a, b) ∈ f , escribimos b = f (a) y decimos que b es la
imagen de “a” por f o b = f (a) es el valor de f en el punto a.
3 Si A = B = R, la función f : R→ R es denominada una
función real de variable real.
4 Por la parte 2), tenemos: y = f (x)⇔ (x , y) ∈ f , donde
y = f (x) se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x
por f ”.
5 Por la parte 4), la función f puede escribirse:
f = {(x , y) ∈ R× R / y = f (x)},
donde la ecuación y = f (x) es llamada regla de
correspondencia.
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Notaciones:
1 Una función f de A en B se denota por f : A→ B o A f−→B y
se lee “f es una función de A en B”. El conjunto A es llamado
el conjunto de partida y el conjunto B, de llegada.
2 Si el par (a, b) ∈ f , escribimos b = f (a) y decimos que b es la
imagen de “a” por f o b = f (a) es el valor de f en el punto a.
3 Si A = B = R, la función f : R→ R es denominada una
función real de variable real.
4 Por la parte 2), tenemos: y = f (x)⇔ (x , y) ∈ f , donde
y = f (x) se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x
por f ”.
5 Por la parte 4), la función f puede escribirse:
f = {(x , y) ∈ R× R / y = f (x)},
donde la ecuación y = f (x) es llamada regla de
correspondencia.
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Notaciones:
1 Una función f de A en B se denota por f : A→ B o A f−→B y
se lee “f es una función de A en B”. El conjunto A es llamado
el conjunto de partida y el conjunto B, de llegada.
2 Si el par (a, b) ∈ f , escribimos b = f (a) y decimos que b es la
imagen de “a” por f o b = f (a) es el valor de f en el punto a.
3 Si A = B = R, la función f : R→ R es denominada una
función real de variable real.
4 Por la parte 2), tenemos: y = f (x)⇔ (x , y) ∈ f , donde
y = f (x) se lee: “y es función de x” o “y es la imagen de x
por f ”.
5 Por la parte 4), la función f puede escribirse:
f = {(x , y) ∈ R× R / y = f (x)},
donde la ecuación y = f (x) es llamada regla de
correspondencia.
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Ejemplo
El conjunto f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5)} no es una función,
pues el elemento 2 tiene dos imágenes, es decir, (2, 3) y (2, 5) ∈ f .
Esto contradice la definición de función.
Ejemplo
Dadas las igualdades:
1 y = 2x + 1
2 y2 = x2 + 2
Ambas se pueden escribir también por:
1 f (x) = 2x + 1 y g2(x) = x2 + 2
2 f es una función, pues ∀ x ∈ R, ∃! y ∈ R : y = 2x + 1.
3 g no es una función, pues por ejemplo, para x =
√
2, existen
y1 = 2 y y2 = −2 con y1 6= y2.
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Ejemplo
El conjunto f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5)} no es una función,
pues el elemento 2 tiene dos imágenes, es decir, (2, 3) y (2, 5) ∈ f .
Esto contradice la definiciónde función.
Ejemplo
Dadas las igualdades:
1 y = 2x + 1
2 y2 = x2 + 2
Ambas se pueden escribir también por:
1 f (x) = 2x + 1 y g2(x) = x2 + 2
2 f es una función, pues ∀ x ∈ R, ∃! y ∈ R : y = 2x + 1.
3 g no es una función, pues por ejemplo, para x =
√
2, existen
y1 = 2 y y2 = −2 con y1 6= y2.
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Ejemplo
El conjunto f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5)} no es una función,
pues el elemento 2 tiene dos imágenes, es decir, (2, 3) y (2, 5) ∈ f .
Esto contradice la definición de función.
Ejemplo
Dadas las igualdades:
1 y = 2x + 1
2 y2 = x2 + 2
Ambas se pueden escribir también por:
1 f (x) = 2x + 1 y g2(x) = x2 + 2
2 f es una función, pues ∀ x ∈ R, ∃! y ∈ R : y = 2x + 1.
3 g no es una función, pues por ejemplo, para x =
√
2, existen
y1 = 2 y y2 = −2 con y1 6= y2.
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Ejemplo
El conjunto f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5)} no es una función,
pues el elemento 2 tiene dos imágenes, es decir, (2, 3) y (2, 5) ∈ f .
Esto contradice la definición de función.
Ejemplo
Dadas las igualdades:
1 y = 2x + 1
2 y2 = x2 + 2
Ambas se pueden escribir también por:
1 f (x) = 2x + 1 y g2(x) = x2 + 2
2 f es una función, pues ∀ x ∈ R, ∃! y ∈ R : y = 2x + 1.
3 g no es una función, pues por ejemplo, para x =
√
2, existen
y1 = 2 y y2 = −2 con y1 6= y2.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
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Ejemplo
El conjunto f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (2, 5)} no es una función,
pues el elemento 2 tiene dos imágenes, es decir, (2, 3) y (2, 5) ∈ f .
Esto contradice la definición de función.
Ejemplo
Dadas las igualdades:
1 y = 2x + 1
2 y2 = x2 + 2
Ambas se pueden escribir también por:
1 f (x) = 2x + 1 y g2(x) = x2 + 2
2 f es una función, pues ∀ x ∈ R, ∃! y ∈ R : y = 2x + 1.
3 g no es una función, pues por ejemplo, para x =
√
2, existen
y1 = 2 y y2 = −2 con y1 6= y2.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
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Presentación
Elementos de una Función
Funciones por Tramos
Definición Geométrica
f es una función ⇔ cualquier recta perpendicular al eje X corta a
la gráfica de f en un sólo punto, es decir, G(f ) ∩ L = {P}:
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Funciones por Tramos
Definición
Definimos una función por tramos f : A→ B como una función
donde A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An tal que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j y tal
que fi : Ai → Bi es una función, ∀ i = 1, 2, . . . , n y Bi ⊆ B.
Ejemplo
Sea f : R→ R definida por:
f (x) =

2 si x ≤ −1
−x + 3 si −1 < x < 2
−x2 + 5 si x ≥ 2
En este caso, A1 = (−∞,−1] y f (x) = 2, es decir, los valores
de f siempre son constantes.
A2 = (−1, 2) y f (x) = −x + 3. En este caso, los valores de f
se encuentra en una recta.
A3 = [2, +∞) y f (x) = −x2 + 5. En este caso, los valores de
f se encuentra en una parábola con eje vertical.
Funciones por Tramos
Definición
Definimos una función por tramos f : A→ B como una función
donde A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An tal que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j y tal
que fi : Ai → Bi es una función, ∀ i = 1, 2, . . . , n y Bi ⊆ B.
Ejemplo
Sea f : R→ R definida por:
f (x) =

2 si x ≤ −1
−x + 3 si −1 < x < 2
−x2 + 5 si x ≥ 2
En este caso, A1 = (−∞,−1] y f (x) = 2, es decir, los valores
de f siempre son constantes.
A2 = (−1, 2) y f (x) = −x + 3. En este caso, los valores de f
se encuentra en una recta.
A3 = [2, +∞) y f (x) = −x2 + 5. En este caso, los valores de
f se encuentra en una parábola con eje vertical.
Funciones por Tramos
Definición
Definimos una función por tramos f : A→ B como una función
donde A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An tal que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j y tal
que fi : Ai → Bi es una función, ∀ i = 1, 2, . . . , n y Bi ⊆ B.
Ejemplo
Sea f : R→ R definida por:
f (x) =

2 si x ≤ −1
−x + 3 si −1 < x < 2
−x2 + 5 si x ≥ 2
En este caso, A1 = (−∞,−1] y f (x) = 2, es decir, los valores
de f siempre son constantes.
A2 = (−1, 2) y f (x) = −x + 3. En este caso, los valores de f
se encuentra en una recta.
A3 = [2, +∞) y f (x) = −x2 + 5. En este caso, los valores de
f se encuentra en una parábola con eje vertical.
Funciones por Tramos
Definición
Definimos una función por tramos f : A→ B como una función
donde A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An tal que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j y tal
que fi : Ai → Bi es una función, ∀ i = 1, 2, . . . , n y Bi ⊆ B.
Ejemplo
Sea f : R→ R definida por:
f (x) =

2 si x ≤ −1
−x + 3 si −1 < x < 2
−x2 + 5 si x ≥ 2
En este caso, A1 = (−∞,−1] y f (x) = 2, es decir, los valores
de f siempre son constantes.
A2 = (−1, 2) y f (x) = −x + 3. En este caso, los valores de f
se encuentra en una recta.
A3 = [2, +∞) y f (x) = −x2 + 5. En este caso, los valores de
f se encuentra en una parábola con eje vertical.
Funciones por Tramos
Definición
Definimos una función por tramos f : A→ B como una función
donde A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An tal que Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6= j y tal
que fi : Ai → Bi es una función, ∀ i = 1, 2, . . . , n y Bi ⊆ B.
Ejemplo
Sea f : R→ R definida por:
f (x) =

2 si x ≤ −1
−x + 3 si −1 < x < 2
−x2 + 5 si x ≥ 2
En este caso, A1 = (−∞,−1] y f (x) = 2, es decir, los valores
de f siempre son constantes.
A2 = (−1, 2) y f (x) = −x + 3. En este caso, los valores de f
se encuentra en una recta.
A3 = [2, +∞) y f (x) = −x2 + 5. En este caso, los valores de
f se encuentra en una parábola con eje vertical.
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
Dominio y Rango de una Función
Sea f : A→ B una función de A en B. El dominio de una función
f es el conjunto Df formado por todas sus primeras componentes,
es decir,
Df = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x , y) ∈ f } ⊆ A
El rango de f es el conjunto Rf de las imágenes de todos los
elementos de A mediante f , es decir,
Rf = {y ∈ B / ∃x ∈ A ∧ (x , y) ∈ f } ⊆ B
Ejemplo
Sea f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)}. Entonces, su dominio y su
rango son: Df = {1, 3, 5, 7} y Rf = {2, 4, 6, 8}, respectivamente.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
Dominio y Rango de una Función
Sea f : A→ B una función de A en B. El dominio de una función
f es el conjunto Df formado por todas sus primeras componentes,
es decir,
Df = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x , y) ∈ f } ⊆ A
El rango de f es el conjunto Rf de las imágenes de todos los
elementos de A mediante f , es decir,
Rf = {y ∈ B / ∃x ∈ A ∧ (x , y) ∈ f } ⊆ B
Ejemplo
Sea f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)}. Entonces, su dominio y su
rango son: Df = {1, 3, 5, 7} y Rf = {2, 4, 6, 8}, respectivamente.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
Dominio y Rango de una Función
Sea f : A→ B una función de A en B. El dominio de una función
f es el conjunto Df formado por todas sus primeras componentes,
es decir,
Df = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x , y) ∈ f } ⊆ A
El rango de f es el conjunto Rf de las imágenes de todos los
elementos de A mediante f , es decir,
Rf = {y ∈ B / ∃x ∈ A ∧ (x , y) ∈ f } ⊆ B
Ejemplo
Sea f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8)}. Entonces, su dominio y su
rango son: Df = {1, 3, 5, 7} y Rf = {2, 4, 6, 8}, respectivamente.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
Observaciones
1 El dominio de una función f se determina analizando todoslos valores posibles que pueda tomar x , de tal manera que
f (x) sea real, a menos que dicho dominio sea especificado.
2 El rango de una función f se determina despejando la variable
x en función de y , luego se analizan todos los valores posibles
que pueda tomar y , de tal manera que x sea real.
Ejemplo
Hallar el dominio y rango de la función f (x) =
√
2 + x − x2.
Solución:
Tenemos y = f (x) =
√
2 + x − x2. Luego, y es real si
2 + x − x2 ≥ 0, de donde:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
Observaciones
1 El dominio de una función f se determina analizando todos
los valores posibles que pueda tomar x , de tal manera que
f (x) sea real, a menos que dicho dominio sea especificado.
2 El rango de una función f se determina despejando la variable
x en función de y , luego se analizan todos los valores posibles
que pueda tomar y , de tal manera que x sea real.
Ejemplo
Hallar el dominio y rango de la función f (x) =
√
2 + x − x2.
Solución:
Tenemos y = f (x) =
√
2 + x − x2. Luego, y es real si
2 + x − x2 ≥ 0, de donde:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
Observaciones
1 El dominio de una función f se determina analizando todos
los valores posibles que pueda tomar x , de tal manera que
f (x) sea real, a menos que dicho dominio sea especificado.
2 El rango de una función f se determina despejando la variable
x en función de y , luego se analizan todos los valores posibles
que pueda tomar y , de tal manera que x sea real.
Ejemplo
Hallar el dominio y rango de la función f (x) =
√
2 + x − x2.
Solución:
Tenemos y = f (x) =
√
2 + x − x2. Luego, y es real si
2 + x − x2 ≥ 0, de donde:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
Observaciones
1 El dominio de una función f se determina analizando todos
los valores posibles que pueda tomar x , de tal manera que
f (x) sea real, a menos que dicho dominio sea especificado.
2 El rango de una función f se determina despejando la variable
x en función de y , luego se analizan todos los valores posibles
que pueda tomar y , de tal manera que x sea real.
Ejemplo
Hallar el dominio y rango de la función f (x) =
√
2 + x − x2.
Solución:
Tenemos y = f (x) =
√
2 + x − x2. Luego, y es real si
2 + x − x2 ≥ 0, de donde:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
x2 − x − 2 ≤ 0⇔ (x − 2)(x + 1) ≤ 0
Luego, el dominio es: Df = [−1, 2].
Ahora calculamos el rango: Como y =
√
2 + x − x2, y ≥ 0,
entonces y2 = 2 + x − x2. Despejando x tenemos:
x = 1±
√
9− 4y2
2
Luego, x es real si 9− 4y2 ≥ 0, es decir, y2 ≤ 94 ⇒
−3
2 ≤ y ≤
3
2.
Por lo tanto, Rf = [0, +∞) ∩
[−3
2 ,
3
2
]
=
[
0, 32
]
.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
x2 − x − 2 ≤ 0⇔ (x − 2)(x + 1) ≤ 0
Luego, el dominio es: Df = [−1, 2].
Ahora calculamos el rango: Como y =
√
2 + x − x2, y ≥ 0,
entonces y2 = 2 + x − x2. Despejando x tenemos:
x = 1±
√
9− 4y2
2
Luego, x es real si 9− 4y2 ≥ 0, es decir, y2 ≤ 94 ⇒
−3
2 ≤ y ≤
3
2.
Por lo tanto, Rf = [0, +∞) ∩
[−3
2 ,
3
2
]
=
[
0, 32
]
.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
x2 − x − 2 ≤ 0⇔ (x − 2)(x + 1) ≤ 0
Luego, el dominio es: Df = [−1, 2].
Ahora calculamos el rango: Como y =
√
2 + x − x2, y ≥ 0,
entonces y2 = 2 + x − x2. Despejando x tenemos:
x = 1±
√
9− 4y2
2
Luego, x es real si 9− 4y2 ≥ 0, es decir, y2 ≤ 94 ⇒
−3
2 ≤ y ≤
3
2.
Por lo tanto, Rf = [0, +∞) ∩
[−3
2 ,
3
2
]
=
[
0, 32
]
.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Dominio y Rango
x2 − x − 2 ≤ 0⇔ (x − 2)(x + 1) ≤ 0
Luego, el dominio es: Df = [−1, 2].
Ahora calculamos el rango: Como y =
√
2 + x − x2, y ≥ 0,
entonces y2 = 2 + x − x2. Despejando x tenemos:
x = 1±
√
9− 4y2
2
Luego, x es real si 9− 4y2 ≥ 0, es decir, y2 ≤ 94 ⇒
−3
2 ≤ y ≤
3
2.
Por lo tanto, Rf = [0, +∞) ∩
[−3
2 ,
3
2
]
=
[
0, 32
]
.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejercicio (Para el foro)
Hallar dominio y rango de la función cuya regla de correspondencia
es f (x) =
√
x2 − 8x + 7
x + 1 .
Función Lineal
La función lineal f es aquella función cuya regla de
correspondencia es la siguiente: f (x) = ax + b, donde a y b son
constantes y a 6= 0. También se puede definir mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = ax + b}
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = R. Su gráfica se muestra a
continuación:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejercicio (Para el foro)
Hallar dominio y rango de la función cuya regla de correspondencia
es f (x) =
√
x2 − 8x + 7
x + 1 .
Función Lineal
La función lineal f es aquella función cuya regla de
correspondencia es la siguiente: f (x) = ax + b, donde a y b son
constantes y a 6= 0. También se puede definir mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = ax + b}
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = R. Su gráfica se muestra a
continuación:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Figura: La Función Lineal
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Observaciones
Si en la definición de la función lineal se tuviera que a = 0.
Entonces la función resultante se llama ‘función constante’ y
su regla de correspondencia es
f (x) = b,
siendo b una constante. Esta función también puede definirse
mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = b, b constante}.
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = {c}.
Su gráfica es la siguiente:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Observaciones
Si en la definición de la función lineal se tuviera que a = 0.
Entonces la función resultante se llama ‘función constante’ y
su regla de correspondencia es
f (x) = b,
siendo b una constante. Esta función también puede definirse
mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = b, b constante}.
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = {c}.
Su gráfica es la siguiente:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Figura: La Función Constante
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Si en la definición de la función lineal se tuviera que a = 1 y
b = 0, entonces la función resultante se llama ‘función
identidad’ y su regla de correspondencia es
f (x) = x .
Esta función también puede definirse mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = x}
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = R.
Su gráfica es la siguiente:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Figura: La Función Identidad
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Función Ráız Cuadrada
Lafunción ráız cuadrada f es aquella función cuya regla de
correspondencia es la siguiente: f (x) = √x . También se puede
definir mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y =
√
x}
Su dominio es Df = R+ y su rango, Rf = R+.
Su gráfica es la siguiente:
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Figura: La Función Ráız Cuadrada
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Recordemos que, dados dos puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) del
plano cartesiano, por estos punto pasa una única recta. Es decir,
los puntos determinan únicamente a la recta y decimos que los
puntos A y B pertenecen a la recta y satisfacen su ecuación.
Figura: Dos puntos determinan una recta
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
En los modelos funcionales, es común, escribir la función lineal
mediante: f (x) = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b
es ordenada donde la recta corta al eye Y .
Recordemos que la pendiente de una recta es la tangente del
ángulo que forma la recta con el eje x . Para determinar la tangente
de una recta, necesitamos las coordenadas de los dos puntos que
determinan la recta.
Por ejemplo, si tenemos los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2),
entonces la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es:
m = y2 − y1x2 − x1
Para hallar el valor de b simplemente tomamos cualquiera de los
puntos A o B y sustituimos su coordenadas en la ecuación
f (x) = mx + b
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
En los modelos funcionales, es común, escribir la función lineal
mediante: f (x) = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b
es ordenada donde la recta corta al eye Y .
Recordemos que la pendiente de una recta es la tangente del
ángulo que forma la recta con el eje x . Para determinar la tangente
de una recta, necesitamos las coordenadas de los dos puntos que
determinan la recta.
Por ejemplo, si tenemos los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2),
entonces la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es:
m = y2 − y1x2 − x1
Para hallar el valor de b simplemente tomamos cualquiera de los
puntos A o B y sustituimos su coordenadas en la ecuación
f (x) = mx + b
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
En los modelos funcionales, es común, escribir la función lineal
mediante: f (x) = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b
es ordenada donde la recta corta al eye Y .
Recordemos que la pendiente de una recta es la tangente del
ángulo que forma la recta con el eje x . Para determinar la tangente
de una recta, necesitamos las coordenadas de los dos puntos que
determinan la recta.
Por ejemplo, si tenemos los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2),
entonces la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es:
m = y2 − y1x2 − x1
Para hallar el valor de b simplemente tomamos cualquiera de los
puntos A o B y sustituimos su coordenadas en la ecuación
f (x) = mx + b
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
En los modelos funcionales, es común, escribir la función lineal
mediante: f (x) = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b
es ordenada donde la recta corta al eye Y .
Recordemos que la pendiente de una recta es la tangente del
ángulo que forma la recta con el eje x . Para determinar la tangente
de una recta, necesitamos las coordenadas de los dos puntos que
determinan la recta.
Por ejemplo, si tenemos los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2),
entonces la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es:
m = y2 − y1x2 − x1
Para hallar el valor de b simplemente tomamos cualquiera de los
puntos A o B y sustituimos su coordenadas en la ecuación
f (x) = mx + b
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se
enfŕıa. Si la temperatura del suelo es 20ºC y la temperatura a la
altura de 1Km. es de 10ºC, exprese la temperatura T (en ºC)
como una función de la altura h (en Km.) suponiendo que es un
modelo lineal adecuado. Además, trace la gráfica de la función y
determine la temperatura a una altura de 2Km.
Solución:
En el problema, T es una función lineal que depende de la altura
h, es decir
T = mh + b, m, b ctes, m 6= 0
Según los datos del problema, si h = 0, T = 20ºC. Entonces:
20 = m(0) + b ⇒ b = 20
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se
enfŕıa. Si la temperatura del suelo es 20ºC y la temperatura a la
altura de 1Km. es de 10ºC, exprese la temperatura T (en ºC)
como una función de la altura h (en Km.) suponiendo que es un
modelo lineal adecuado. Además, trace la gráfica de la función y
determine la temperatura a una altura de 2Km.
Solución:
En el problema, T es una función lineal que depende de la altura
h, es decir
T = mh + b, m, b ctes, m 6= 0
Según los datos del problema, si h = 0, T = 20ºC. Entonces:
20 = m(0) + b ⇒ b = 20
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se
enfŕıa. Si la temperatura del suelo es 20ºC y la temperatura a la
altura de 1Km. es de 10ºC, exprese la temperatura T (en ºC)
como una función de la altura h (en Km.) suponiendo que es un
modelo lineal adecuado. Además, trace la gráfica de la función y
determine la temperatura a una altura de 2Km.
Solución:
En el problema, T es una función lineal que depende de la altura
h, es decir
T = mh + b, m, b ctes, m 6= 0
Según los datos del problema, si h = 0, T = 20ºC. Entonces:
20 = m(0) + b ⇒ b = 20
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se
enfŕıa. Si la temperatura del suelo es 20ºC y la temperatura a la
altura de 1Km. es de 10ºC, exprese la temperatura T (en ºC)
como una función de la altura h (en Km.) suponiendo que es un
modelo lineal adecuado. Además, trace la gráfica de la función y
determine la temperatura a una altura de 2Km.
Solución:
En el problema, T es una función lineal que depende de la altura
h, es decir
T = mh + b, m, b ctes, m 6= 0
Según los datos del problema, si h = 0, T = 20ºC. Entonces:
20 = m(0) + b ⇒ b = 20
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Por otro lado, si h = 1, T = 10ºC, es decir,
10 = m(1) + 20⇒ m = −10
De este modo, la función requerida es:
T = −10h + 20
La gráfica de la función es
Por otro lado, si h = 1, T = 10ºC, es decir,
10 = m(1) + 20⇒ m = −10
De este modo, la función requerida es:
T = −10h + 20
La gráfica de la función es
Por otro lado, si h = 1, T = 10ºC, es decir,
10 = m(1) + 20⇒ m = −10
De este modo, la función requerida es:
T = −10h + 20
La gráfica de la función es
Por otro lado, si h = 1, T = 10ºC, es decir,
10 = m(1) + 20⇒ m = −10
De este modo, la función requerida es:
T = −10h + 20
La gráfica de la función es
Por otro lado,si h = 1, T = 10ºC, es decir,
10 = m(1) + 20⇒ m = −10
De este modo, la función requerida es:
T = −10h + 20
La gráfica de la función es
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
La Función Cuadrática
La función cuadrática
Es aquella función cuya regla de correspondencia es:
f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje
perpendicular al eje X en el cual se presentan dos casos:
Si a > 0, la gráfica se abre hacia arriba.
Si a < 0, la gráfica se abre hacia abajo.
Su dominio es Df = R y su rango se determina completando
cuadrados. Como f (x) = ax2 + bx + c, entonces,
f (x) = a
(
x2 + ba x +
b2
4a2
)
+ c − b
2
4a
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
La Función Cuadrática
La función cuadrática
Es aquella función cuya regla de correspondencia es:
f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje
perpendicular al eje X en el cual se presentan dos casos:
Si a > 0, la gráfica se abre hacia arriba.
Si a < 0, la gráfica se abre hacia abajo.
Su dominio es Df = R y su rango se determina completando
cuadrados. Como f (x) = ax2 + bx + c, entonces,
f (x) = a
(
x2 + ba x +
b2
4a2
)
+ c − b
2
4a
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
La Función Cuadrática
La función cuadrática
Es aquella función cuya regla de correspondencia es:
f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje
perpendicular al eje X en el cual se presentan dos casos:
Si a > 0, la gráfica se abre hacia arriba.
Si a < 0, la gráfica se abre hacia abajo.
Su dominio es Df = R y su rango se determina completando
cuadrados. Como f (x) = ax2 + bx + c, entonces,
f (x) = a
(
x2 + ba x +
b2
4a2
)
+ c − b
2
4a
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
La Función Cuadrática
La función cuadrática
Es aquella función cuya regla de correspondencia es:
f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje
perpendicular al eje X en el cual se presentan dos casos:
Si a > 0, la gráfica se abre hacia arriba.
Si a < 0, la gráfica se abre hacia abajo.
Su dominio es Df = R y su rango se determina completando
cuadrados. Como f (x) = ax2 + bx + c, entonces,
f (x) = a
(
x2 + ba x +
b2
4a2
)
+ c − b
2
4a
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
La Función Cuadrática
La función cuadrática
Es aquella función cuya regla de correspondencia es:
f (x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje
perpendicular al eje X en el cual se presentan dos casos:
Si a > 0, la gráfica se abre hacia arriba.
Si a < 0, la gráfica se abre hacia abajo.
Su dominio es Df = R y su rango se determina completando
cuadrados. Como f (x) = ax2 + bx + c, entonces,
f (x) = a
(
x2 + ba x +
b2
4a2
)
+ c − b
2
4a
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
f (x) = a
(
x + b2a
)2
+ 4ac − b
2
4a .
Luego, el vértice de la parábola es
V
(
− b2a ,
4ac − b2
4a
)
.
Df = R, Rf =
[
4ac − b2
4a , +∞
]
, a > 0
Df = R, Rf =
[
−∞, 4ac − b
2
4a
]
, a < 0
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
f (x) = a
(
x + b2a
)2
+ 4ac − b
2
4a .
Luego, el vértice de la parábola es
V
(
− b2a ,
4ac − b2
4a
)
.
Df = R, Rf =
[
4ac − b2
4a , +∞
]
, a > 0
Df = R, Rf =
[
−∞, 4ac − b
2
4a
]
, a < 0
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
f (x) = a
(
x + b2a
)2
+ 4ac − b
2
4a .
Luego, el vértice de la parábola es
V
(
− b2a ,
4ac − b2
4a
)
.
Df = R, Rf =
[
4ac − b2
4a , +∞
]
, a > 0
Df = R, Rf =
[
−∞, 4ac − b
2
4a
]
, a < 0
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
f (x) = a
(
x + b2a
)2
+ 4ac − b
2
4a .
Luego, el vértice de la parábola es
V
(
− b2a ,
4ac − b2
4a
)
.
Df = R, Rf =
[
4ac − b2
4a , +∞
]
, a > 0
Df = R, Rf =
[
−∞, 4ac − b
2
4a
]
, a < 0
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Figura: La Función Cuadrática
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
De acuerdo a un estudios, el número de hojas de la planta de
frambuesa (Rubus ideaus) según la cantidad de nutriente que se le
agrega a cada planta, está dada por la función:
N = c + bx + ax2,
donde:
N : número de hojas por planta
X : nutriente, en gramos, por planta
a, b y c : constantes conocidas
Un trabajo experimental determinó los siguientes valores para N y
X :
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
De acuerdo a un estudios, el número de hojas de la planta de
frambuesa (Rubus ideaus) según la cantidad de nutriente que se le
agrega a cada planta, está dada por la función:
N = c + bx + ax2,
donde:
N : número de hojas por planta
X : nutriente, en gramos, por planta
a, b y c : constantes conocidas
Un trabajo experimental determinó los siguientes valores para N y
X :
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
De acuerdo a un estudios, el número de hojas de la planta de
frambuesa (Rubus ideaus) según la cantidad de nutriente que se le
agrega a cada planta, está dada por la función:
N = c + bx + ax2,
donde:
N : número de hojas por planta
X : nutriente, en gramos, por planta
a, b y c : constantes conocidas
Un trabajo experimental determinó los siguientes valores para N y
X :
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
De acuerdo a un estudios, el número de hojas de la planta de
frambuesa (Rubus ideaus) según la cantidad de nutriente que se le
agrega a cada planta, está dada por la función:
N = c + bx + ax2,
donde:
N : número de hojas por planta
X : nutriente, en gramos, por planta
a, b y c : constantes conocidas
Un trabajo experimental determinó los siguientes valores para N y
X :
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
De acuerdo a un estudios, el número de hojas de la planta de
frambuesa (Rubus ideaus) según la cantidad de nutriente que se le
agrega a cada planta, está dada por la función:
N = c + bx + ax2,
donde:
N : número de hojas por planta
X : nutriente, en gramos, por planta
a, b y c : constantes conocidas
Un trabajo experimental determinó los siguientes valores para N y
X :
Uceda, R.A. Funciones: Elementosy Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Ejemplo
De acuerdo a un estudios, el número de hojas de la planta de
frambuesa (Rubus ideaus) según la cantidad de nutriente que se le
agrega a cada planta, está dada por la función:
N = c + bx + ax2,
donde:
N : número de hojas por planta
X : nutriente, en gramos, por planta
a, b y c : constantes conocidas
Un trabajo experimental determinó los siguientes valores para N y
X :
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Nutriente Nº Hojas
0 25
50 35
100 40
a) Calcule los parámetros a, b y c, indicando cuál es el modelo
resultante.
b) De acuerdo al modelo resultante, ¿cuántas hojas desarrolla
una planta a la cual se le agregan 85 gramos de nutriente?
c) Según el modelo resultante, ¿cuál es la cantidad de nutriente
necesario de agregar para que las plantas desarrollen 36 hojas?
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Nutriente Nº Hojas
0 25
50 35
100 40
a) Calcule los parámetros a, b y c, indicando cuál es el modelo
resultante.
b) De acuerdo al modelo resultante, ¿cuántas hojas desarrolla
una planta a la cual se le agregan 85 gramos de nutriente?
c) Según el modelo resultante, ¿cuál es la cantidad de nutriente
necesario de agregar para que las plantas desarrollen 36 hojas?
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
a) Con los valores de X y N dados en la tabla anterior, se puede
plantear el siguiente sistema:
(1) 25 = c + b(0) + a(0)2
(2) 35 = c + b(50) + a(50)2
(3) 40 = c + b(100) + a(100)2
Resolviendo este sistema obtenemos: a = −0,001, b = 0,25 y
c = 25.
Aśı, el modelo funcional resultante es:
N = 25 + 0,25x − 0,001x2
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
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Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
a) Con los valores de X y N dados en la tabla anterior, se puede
plantear el siguiente sistema:
(1) 25 = c + b(0) + a(0)2
(2) 35 = c + b(50) + a(50)2
(3) 40 = c + b(100) + a(100)2
Resolviendo este sistema obtenemos: a = −0,001, b = 0,25 y
c = 25.
Aśı, el modelo funcional resultante es:
N = 25 + 0,25x − 0,001x2
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Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
a) Con los valores de X y N dados en la tabla anterior, se puede
plantear el siguiente sistema:
(1) 25 = c + b(0) + a(0)2
(2) 35 = c + b(50) + a(50)2
(3) 40 = c + b(100) + a(100)2
Resolviendo este sistema obtenemos: a = −0,001, b = 0,25 y
c = 25.
Aśı, el modelo funcional resultante es:
N = 25 + 0,25x − 0,001x2
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Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
a) Con los valores de X y N dados en la tabla anterior, se puede
plantear el siguiente sistema:
(1) 25 = c + b(0) + a(0)2
(2) 35 = c + b(50) + a(50)2
(3) 40 = c + b(100) + a(100)2
Resolviendo este sistema obtenemos: a = −0,001, b = 0,25 y
c = 25.
Aśı, el modelo funcional resultante es:
N = 25 + 0,25x − 0,001x2
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
a) Con los valores de X y N dados en la tabla anterior, se puede
plantear el siguiente sistema:
(1) 25 = c + b(0) + a(0)2
(2) 35 = c + b(50) + a(50)2
(3) 40 = c + b(100) + a(100)2
Resolviendo este sistema obtenemos: a = −0,001, b = 0,25 y
c = 25.
Aśı, el modelo funcional resultante es:
N = 25 + 0,25x − 0,001x2
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
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Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
b) En este caso reemplazamos x = 85 en la función:
N(85) = 25 + 0,25(85)− 0,001(85)2 = 39
Por lo tanto, de acuerdo al modelo resultante, una planta con 85
gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.
c) En este caso se sabe que N = 36. Vamos a hallar x :
25 + 0,25x − 0,001x2 = 36
Ordenando la ecuación de segundo grado:
x2 − 250x + 11,000 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se obtiene x1 = 193
gr. y x2 = 57 gr.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
b) En este caso reemplazamos x = 85 en la función:
N(85) = 25 + 0,25(85)− 0,001(85)2 = 39
Por lo tanto, de acuerdo al modelo resultante, una planta con 85
gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.
c) En este caso se sabe que N = 36. Vamos a hallar x :
25 + 0,25x − 0,001x2 = 36
Ordenando la ecuación de segundo grado:
x2 − 250x + 11,000 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se obtiene x1 = 193
gr. y x2 = 57 gr.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
b) En este caso reemplazamos x = 85 en la función:
N(85) = 25 + 0,25(85)− 0,001(85)2 = 39
Por lo tanto, de acuerdo al modelo resultante, una planta con 85
gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.
c) En este caso se sabe que N = 36. Vamos a hallar x :
25 + 0,25x − 0,001x2 = 36
Ordenando la ecuación de segundo grado:
x2 − 250x + 11,000 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se obtiene x1 = 193
gr. y x2 = 57 gr.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
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Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
b) En este caso reemplazamos x = 85 en la función:
N(85) = 25 + 0,25(85)− 0,001(85)2 = 39
Por lo tanto, de acuerdo al modelo resultante, una planta con 85
gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.
c) En este caso se sabe que N = 36. Vamos a hallar x :
25 + 0,25x − 0,001x2 = 36
Ordenando la ecuación de segundo grado:
x2 − 250x + 11,000 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se obtiene x1 = 193
gr. y x2 = 57 gr.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
b) En este caso reemplazamos x = 85 en la función:
N(85) = 25 + 0,25(85)− 0,001(85)2 = 39
Por lo tanto, de acuerdo al modelo resultante, una planta con 85
gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.
c) En este caso se sabe que N = 36. Vamos a hallar x :
25 + 0,25x − 0,001x2 = 36
Ordenando la ecuación de segundo grado:
x2 − 250x + 11,000 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se obtiene x1 = 193
gr. y x2 = 57 gr.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
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Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
b) En este caso reemplazamos x = 85 en la función:
N(85) = 25 + 0,25(85)− 0,001(85)2 = 39
Por lo tanto, de acuerdo al modelo resultante, una planta con 85
gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.
c) En este caso se sabe que N = 36. Vamos a hallar x :
25 + 0,25x − 0,001x2 = 36
Ordenando la ecuación de segundo grado:
x2 − 250x + 11,000 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se obtiene x1 = 193
gr. y x2 = 57 gr.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
b) En este caso reemplazamos x = 85 en la función:
N(85) = 25 + 0,25(85)− 0,001(85)2 = 39Por lo tanto, de acuerdo al modelo resultante, una planta con 85
gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.
c) En este caso se sabe que N = 36. Vamos a hallar x :
25 + 0,25x − 0,001x2 = 36
Ordenando la ecuación de segundo grado:
x2 − 250x + 11,000 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se obtiene x1 = 193
gr. y x2 = 57 gr.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Funciones Reales de Variable Real
Elementos de una Función
Funciones Especiales
Modelos Lineales
La Función Cuadrática
Solución
b) En este caso reemplazamos x = 85 en la función:
N(85) = 25 + 0,25(85)− 0,001(85)2 = 39
Por lo tanto, de acuerdo al modelo resultante, una planta con 85
gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.
c) En este caso se sabe que N = 36. Vamos a hallar x :
25 + 0,25x − 0,001x2 = 36
Ordenando la ecuación de segundo grado:
x2 − 250x + 11,000 = 0
Resolviendo mediante la fórmula cuadrática se obtiene x1 = 193
gr. y x2 = 57 gr.
Uceda, R.A. Funciones: Elementos y Clases
Solución
Por lo tanto, la planta dará 36 hojas con el agregado de 57 gramos
y con 193 gramos de nutriente. Sin embargo, la solución
económica es 57 gramos.
Ejercicio (Para el foro)
En la siguiente tabla se enumera el nivel promedio de dióxido de
carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el
observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002. Use la información que
en ella aparece para encontrar un modelo para el nivel de dióxido
de carbono.
Año Nivel de CO2 Año Nivel de CO2
(en ppm) (en ppm)
1980 338.7 1992 356.4
1982 341.1 1994 358.9
1984 344.4 1996 362.6
1986 347.2 1998 366.6
1988 351.5 2000 369.4
1990 354.2 2002 372.9
Solución
Por lo tanto, la planta dará 36 hojas con el agregado de 57 gramos
y con 193 gramos de nutriente. Sin embargo, la solución
económica es 57 gramos.
Ejercicio (Para el foro)
En la siguiente tabla se enumera el nivel promedio de dióxido de
carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el
observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002. Use la información que
en ella aparece para encontrar un modelo para el nivel de dióxido
de carbono.
Año Nivel de CO2 Año Nivel de CO2
(en ppm) (en ppm)
1980 338.7 1992 356.4
1982 341.1 1994 358.9
1984 344.4 1996 362.6
1986 347.2 1998 366.6
1988 351.5 2000 369.4
1990 354.2 2002 372.9
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