Funciones Especiales

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Funciones Especiales
Funciones Especiales
Docente: Rafael Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Trujillo
17 de abril de 2023
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Identificar la función valor absoluto y su gráfica.
Identificar las funciones exponenciales y logaŕıtmicas, graficar
ambas funciones y hallar su dominio y rango usando las
herramientas del análisis.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Identificar la función valor absoluto y su gráfica.
Identificar las funciones exponenciales y logaŕıtmicas, graficar
ambas funciones y hallar su dominio y rango usando las
herramientas del análisis.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Identificar la función valor absoluto y su gráfica.
Identificar las funciones exponenciales y logaŕıtmicas, graficar
ambas funciones y hallar su dominio y rango usando las
herramientas del análisis.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Función Valor Absoluto
Definición
La función valor absoluto f es aquella función cuya regla de
correspondencia es:
f (x) = |x |, donde |x | =
{
x , x ≥ 0
−x , x < 0
Esta función también puede definirse mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = |x |}
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = R+.
Su gráfica es la siguiente:
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Función Valor Absoluto
Definición
La función valor absoluto f es aquella función cuya regla de
correspondencia es:
f (x) = |x |, donde |x | =
{
x , x ≥ 0
−x , x < 0
Esta función también puede definirse mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = |x |}
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = R+.
Su gráfica es la siguiente:
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Función Valor Absoluto
Definición
La función valor absoluto f es aquella función cuya regla de
correspondencia es:
f (x) = |x |, donde |x | =
{
x , x ≥ 0
−x , x < 0
Esta función también puede definirse mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = |x |}
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = R+.
Su gráfica es la siguiente:
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Función Valor Absoluto
Definición
La función valor absoluto f es aquella función cuya regla de
correspondencia es:
f (x) = |x |, donde |x | =
{
x , x ≥ 0
−x , x < 0
Esta función también puede definirse mediante:
f = {(x , y) ∈ R2 / y = |x |}
Su dominio es Df = R y su rango, Rf = R+.
Su gráfica es la siguiente:
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Figura: La Función Valor Absoluto
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Recordemos que ll definición de valor absoluto es la siguiente:
|x | =
{
x , si x ≥ 0
−x , si x < 0
El valor absoluto de una función siempre es positivo, es por ello
que la función valor absoluto se puede transformar en una función
definida por tramos, es decir, siy = f (x), entonces:
h = |f (x)| =
{
f (x), si f (x) ≥ 0
−f (x), si f (x) < 0
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Recordemos que ll definición de valor absoluto es la siguiente:
|x | =
{
x , si x ≥ 0
−x , si x < 0
El valor absoluto de una función siempre es positivo, es por ello
que la función valor absoluto se puede transformar en una función
definida por tramos, es decir, siy = f (x), entonces:
h = |f (x)| =
{
f (x), si f (x) ≥ 0
−f (x), si f (x) < 0
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Recordemos que ll definición de valor absoluto es la siguiente:
|x | =
{
x , si x ≥ 0
−x , si x < 0
El valor absoluto de una función siempre es positivo, es por ello
que la función valor absoluto se puede transformar en una función
definida por tramos, es decir, siy = f (x), entonces:
h = |f (x)| =
{
f (x), si f (x) ≥ 0
−f (x), si f (x) < 0
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Recordemos que ll definición de valor absoluto es la siguiente:
|x | =
{
x , si x ≥ 0
−x , si x < 0
El valor absoluto de una función siempre es positivo, es por ello
que la función valor absoluto se puede transformar en una función
definida por tramos, es decir, siy = f (x), entonces:
h = |f (x)| =
{
f (x), si f (x) ≥ 0
−f (x), si f (x) < 0
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Expresar la función con valor absoluto, f (x) = |x + 1|, como y una
función definida por tramos. Hallar su dominio y su gráfica.
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos:
|x + 1| =
{
x + 1, si x + 1 ≥ 0
−(x + 1), si x + 1 < 0
Efectuando las operaciones en las desigualdades:
|x + 1| =
{
x + 1, si x ≥ −1
−x − 1, si x < −1
El dominio de la función es el conjunto de los números reales,
Df = R.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Expresar la función con valor absoluto, f (x) = |x + 1|, como y una
función definida por tramos. Hallar su dominio y su gráfica.
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos:
|x + 1| =
{
x + 1, si x + 1 ≥ 0
−(x + 1), si x + 1 < 0
Efectuando las operaciones en las desigualdades:
|x + 1| =
{
x + 1, si x ≥ −1
−x − 1, si x < −1
El dominio de la función es el conjunto de los números reales,
Df = R.
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Expresar la función con valor absoluto, f (x) = |x + 1|, como y una
función definida por tramos. Hallar su dominio y su gráfica.
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos:
|x + 1| =
{
x + 1, si x + 1 ≥ 0
−(x + 1), si x + 1 < 0
Efectuando las operaciones en las desigualdades:
|x + 1| =
{
x + 1, si x ≥ −1
−x − 1, si x < −1
El dominio de la función es el conjunto de los números reales,
Df = R.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Expresar la función con valor absoluto, f (x) = |x + 1|, como y una
función definida por tramos. Hallar su dominio y su gráfica.
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos:
|x + 1| =
{
x + 1, si x + 1 ≥ 0
−(x + 1), si x + 1 < 0
Efectuando las operaciones en las desigualdades:
|x + 1| =
{
x + 1, si x ≥ −1
−x − 1, si x < −1
El dominio de la función es el conjunto de los números reales,
Df = R.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Expresar la función con valor absoluto, f (x) = |x + 1|, como y una
función definida por tramos. Hallar su dominio y su gráfica.
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos:
|x + 1| =
{
x + 1, si x + 1 ≥ 0
−(x + 1), six + 1 < 0
Efectuando las operaciones en las desigualdades:
|x + 1| =
{
x + 1, si x ≥ −1
−x − 1, si x < −1
El dominio de la función es el conjunto de los números reales,
Df = R.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Expresar la función con valor absoluto, f (x) = |x + 1|, como y una
función definida por tramos. Hallar su dominio y su gráfica.
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto, tenemos:
|x + 1| =
{
x + 1, si x + 1 ≥ 0
−(x + 1), si x + 1 < 0
Efectuando las operaciones en las desigualdades:
|x + 1| =
{
x + 1, si x ≥ −1
−x − 1, si x < −1
El dominio de la función es el conjunto de los números reales,
Df = R.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Su gráfica es la siguiente:
A partir de la gráfica, podemos observar que Ranf = R.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Su gráfica es la siguiente:
A partir de la gráfica, podemos observar que Ranf = R.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La Función Exponencial
Definición
La función exponencial f es aquella función cuya regla de
correspondencia es la siguiente: f (x) = ax donde a > 0 a 6= 1. Su
dominio es Df = R y su rango, Rf = R+. La función f es llama
función exponencial de base a. La gráfica de la función
exponencial depende de la base a.
Figura: Gráfica de la Función ExponencialUceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La Función Exponencial
Definición
La función exponencial f es aquella función cuya regla de
correspondencia es la siguiente: f (x) = ax donde a > 0 a 6= 1. Su
dominio es Df = R y su rango, Rf = R+. La función f es llama
función exponencial de base a. La gráfica de la función
exponencial depende de la base a.
Figura: Gráfica de la Función ExponencialUceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
De la definición obtenemos las siguientes propiedades:
f (0) = 1
f (x1 + x2) = f (x1)f (x2), es decir ax1+x2 = ax1ax2
f (x1 − x2) = f (x1)f (x2) , es decir a
x1−x2 = ax1ax2
Uno de los números más importantes para base de una función
exponencial, es el número irracional e = 2,71828 . . ., denotado aśı
en honor del matemático suizo Leonardo Euler.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
De la definición obtenemos las siguientes propiedades:
f (0) = 1
f (x1 + x2) = f (x1)f (x2), es decir ax1+x2 = ax1ax2
f (x1 − x2) = f (x1)f (x2) , es decir a
x1−x2 = ax1ax2
Uno de los números más importantes para base de una función
exponencial, es el número irracional e = 2,71828 . . ., denotado aśı
en honor del matemático suizo Leonardo Euler.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
De la definición obtenemos las siguientes propiedades:
f (0) = 1
f (x1 + x2) = f (x1)f (x2), es decir ax1+x2 = ax1ax2
f (x1 − x2) = f (x1)f (x2) , es decir a
x1−x2 = ax1ax2
Uno de los números más importantes para base de una función
exponencial, es el número irracional e = 2,71828 . . ., denotado aśı
en honor del matemático suizo Leonardo Euler.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
De la definición obtenemos las siguientes propiedades:
f (0) = 1
f (x1 + x2) = f (x1)f (x2), es decir ax1+x2 = ax1ax2
f (x1 − x2) = f (x1)f (x2) , es decir a
x1−x2 = ax1ax2
Uno de los números más importantes para base de una función
exponencial, es el número irracional e = 2,71828 . . ., denotado aśı
en honor del matemático suizo Leonardo Euler.
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La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
De la definición obtenemos las siguientes propiedades:
f (0) = 1
f (x1 + x2) = f (x1)f (x2), es decir ax1+x2 = ax1ax2
f (x1 − x2) = f (x1)f (x2) , es decir a
x1−x2 = ax1ax2
Uno de los números más importantes para base de una función
exponencial, es el número irracional e = 2,71828 . . ., denotado aśı
en honor del matemático suizo Leonardo Euler.
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La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
De la definición obtenemos las siguientes propiedades:
f (0) = 1
f (x1 + x2) = f (x1)f (x2), es decir ax1+x2 = ax1ax2
f (x1 − x2) = f (x1)f (x2) , es decir a
x1−x2 = ax1ax2
Uno de los números más importantes para base de una función
exponencial, es el número irracional e = 2,71828 . . ., denotado aśı
en honor del matemático suizo Leonardo Euler.
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La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
De la definición obtenemos las siguientes propiedades:
f (0) = 1
f (x1 + x2) = f (x1)f (x2), es decir ax1+x2 = ax1ax2
f (x1 − x2) = f (x1)f (x2) , es decir a
x1−x2 = ax1ax2
Uno de los números más importantes para base de una función
exponencial, es el número irracional e = 2,71828 . . ., denotado aśı
en honor del matemático suizo Leonardo Euler.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R.
De la definición obtenemos las siguientes propiedades:
f (0) = 1
f (x1 + x2) = f (x1)f (x2), es decir ax1+x2 = ax1ax2
f (x1 − x2) = f (x1)f (x2) , es decir a
x1−x2 = ax1ax2
Uno de los números más importantes para base de una función
exponencial, es el número irracional e = 2,71828 . . ., denotado aśı
en honor del matemático suizo Leonardo Euler.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La función exponencial de base e surge naturalmente en el estudio
de crecimiento y decrecimiento de poblaciones. Supongamos que
N0 es el número de individuos presentes en una población en un
tiempo t = 0 y λ es un número real fijo, el modelo
N(t) = N0eλt
nos indica el número de individuos que tiene la población en un
tiempo t.
Observaciones
Si λ > 0, la función N es creciente y por lo tanto estamos
frente a un modelo de crecimiento poblacional.
Si λ < 0, la situación se invierte y tenemos un modelo de
decrecimiento de población.
Uceda, R.A. Funciones EspecialesFunciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La función exponencial de base e surge naturalmente en el estudio
de crecimiento y decrecimiento de poblaciones. Supongamos que
N0 es el número de individuos presentes en una población en un
tiempo t = 0 y λ es un número real fijo, el modelo
N(t) = N0eλt
nos indica el número de individuos que tiene la población en un
tiempo t.
Observaciones
Si λ > 0, la función N es creciente y por lo tanto estamos
frente a un modelo de crecimiento poblacional.
Si λ < 0, la situación se invierte y tenemos un modelo de
decrecimiento de población.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La función exponencial de base e surge naturalmente en el estudio
de crecimiento y decrecimiento de poblaciones. Supongamos que
N0 es el número de individuos presentes en una población en un
tiempo t = 0 y λ es un número real fijo, el modelo
N(t) = N0eλt
nos indica el número de individuos que tiene la población en un
tiempo t.
Observaciones
Si λ > 0, la función N es creciente y por lo tanto estamos
frente a un modelo de crecimiento poblacional.
Si λ < 0, la situación se invierte y tenemos un modelo de
decrecimiento de población.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Una bacteria en el óıdo medio se incrementa a razón del 2 % cada
hora. Supongamos que al inicio de una infección bacteriana
estaban presentes 120 bacterias. Determine el número de bacterias
N(t) presentes después de t horas. ¿Cuántas bacterias están
presentes en el organismo después de 2 horas?.
Solución:
Del planteamiento del problema, la función exponencial resultante
debe ser creciente. Utilizando el modelo N(t) = N0eλt .
Según los datos aportados, al inicio de la infección (t = 0) estaban
presentes 120 bacterias (N = 120). Reemplazando en la ecuación,
tenemos 120 = N0e0. Entonces N0 = 120 y la función resultante
es:
N(t) = 120eλt
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Una bacteria en el óıdo medio se incrementa a razón del 2 % cada
hora. Supongamos que al inicio de una infección bacteriana
estaban presentes 120 bacterias. Determine el número de bacterias
N(t) presentes después de t horas. ¿Cuántas bacterias están
presentes en el organismo después de 2 horas?.
Solución:
Del planteamiento del problema, la función exponencial resultante
debe ser creciente. Utilizando el modelo N(t) = N0eλt .
Según los datos aportados, al inicio de la infección (t = 0) estaban
presentes 120 bacterias (N = 120). Reemplazando en la ecuación,
tenemos 120 = N0e0. Entonces N0 = 120 y la función resultante
es:
N(t) = 120eλt
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Una bacteria en el óıdo medio se incrementa a razón del 2 % cada
hora. Supongamos que al inicio de una infección bacteriana
estaban presentes 120 bacterias. Determine el número de bacterias
N(t) presentes después de t horas. ¿Cuántas bacterias están
presentes en el organismo después de 2 horas?.
Solución:
Del planteamiento del problema, la función exponencial resultante
debe ser creciente. Utilizando el modelo N(t) = N0eλt .
Según los datos aportados, al inicio de la infección (t = 0) estaban
presentes 120 bacterias (N = 120). Reemplazando en la ecuación,
tenemos 120 = N0e0. Entonces N0 = 120 y la función resultante
es:
N(t) = 120eλt
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Por otro lado, el valor de λ nos proporciona la razón del
incremento, el cual es 2 %, es decir, λ = 0,02. Aśı, el modelo
resultante es:
N(t) = 120e0,02t
Finalmente, para determinar el número de bacterias presente en el
organismo después de 2 horas simplemente evaluamos la función
para t = 2:
N(2) = 120e(0,02)(2) = 120e0,04 ≈ 125
Por lo tanto, el número de bacterias presentes en el organismo
luego de dos horas es, aproximadamente, 125.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Por otro lado, el valor de λ nos proporciona la razón del
incremento, el cual es 2 %, es decir, λ = 0,02. Aśı, el modelo
resultante es:
N(t) = 120e0,02t
Finalmente, para determinar el número de bacterias presente en el
organismo después de 2 horas simplemente evaluamos la función
para t = 2:
N(2) = 120e(0,02)(2) = 120e0,04 ≈ 125
Por lo tanto, el número de bacterias presentes en el organismo
luego de dos horas es, aproximadamente, 125.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Por otro lado, el valor de λ nos proporciona la razón del
incremento, el cual es 2 %, es decir, λ = 0,02. Aśı, el modelo
resultante es:
N(t) = 120e0,02t
Finalmente, para determinar el número de bacterias presente en el
organismo después de 2 horas simplemente evaluamos la función
para t = 2:
N(2) = 120e(0,02)(2) = 120e0,04 ≈ 125
Por lo tanto, el número de bacterias presentes en el organismo
luego de dos horas es, aproximadamente, 125.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Por otro lado, el valor de λ nos proporciona la razón del
incremento, el cual es 2 %, es decir, λ = 0,02. Aśı, el modelo
resultante es:
N(t) = 120e0,02t
Finalmente, para determinar el número de bacterias presente en el
organismo después de 2 horas simplemente evaluamos la función
para t = 2:
N(2) = 120e(0,02)(2) = 120e0,04 ≈ 125
Por lo tanto, el número de bacterias presentes en el organismo
luego de dos horas es, aproximadamente, 125.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Un hemocitómetro es una cámara de conteo dividida en cuadrados
que se utiliza para el estudio del número de estructuras
microscópicas en un ĺıquido. En un experimento muy conocido, las
células de levadura se diluyeron y mezclaron perfectamente en un
ĺıquido, y la mezcla se colocó en un hemocitómetro. Con un
microscopio se contaron las células de levadura existentes en cada
cuadrado. La probabilidad de que hubiera x células en cada
cuadrado del hemocitómetro se encontró que se ajustaba a una
distribución de Poisson con µ = 1,8. Determinar la probabilidad de
hallar exactamente cuatro células en un cuadrado rectangular.
Solución:
Utilizamos la función de distribución de Poisson con µ = 1,8 y
x = 4:
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Un hemocitómetro es una cámara de conteo dividida en cuadrados
que se utiliza para el estudio del número de estructuras
microscópicas en un ĺıquido. En un experimento muy conocido, las
células de levadura se diluyeron y mezclaron perfectamente en un
ĺıquido, y la mezcla se colocó en un hemocitómetro. Con un
microscopio se contaron las células de levadura existentes en cada
cuadrado. La probabilidad de que hubiera x células en cada
cuadrado del hemocitómetro se encontró que se ajustaba a una
distribución de Poisson con µ = 1,8. Determinar la probabilidad de
hallar exactamente cuatro células en un cuadrado rectangular.
Solución:
Utilizamos la función de distribución de Poisson con µ = 1,8 y
x = 4:
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
f (x) = e
−µµx
x !
f (4) = e
−1,8(1,8)4
4! ≈ 0,072
Esto quiere decir, por ejemplo, que en 400 cuadrados esperaŕıamos
que 400(0,072) ≈ 29 cuadradoscontuvieran exactamente 4 células
(en el experimento, en 400 cuadrados el número real observado fue
de 30).
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
f (x) = e
−µµx
x !
f (4) = e
−1,8(1,8)4
4! ≈ 0,072
Esto quiere decir, por ejemplo, que en 400 cuadrados esperaŕıamos
que 400(0,072) ≈ 29 cuadrados contuvieran exactamente 4 células
(en el experimento, en 400 cuadrados el número real observado fue
de 30).
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
f (x) = e
−µµx
x !
f (4) = e
−1,8(1,8)4
4! ≈ 0,072
Esto quiere decir, por ejemplo, que en 400 cuadrados esperaŕıamos
que 400(0,072) ≈ 29 cuadrados contuvieran exactamente 4 células
(en el experimento, en 400 cuadrados el número real observado fue
de 30).
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La Función Logaŕıtmica
La función Logaŕıtmica
Sea a > 0, a 6= 1. La función logaŕıtmica es aquella cuya regla de
correspondencia es: f (x) = loga(x) si y sólo si ay = x . Su dominio,
Df es el conjunto de los números reales positivos y su rango, Rf es
el conjunto de los números reales.
Como las funciones exponencial y logaŕıtmica son inversas una de
la otra se verifican las siguientes propiedades:
loga(ax ) = x y aloga(x) = x
A partir de la gráfica de la función exponencial, por reflexión sobre
la diagonal obtenemos la gráfica de la función logaŕıtmica.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La Función Logaŕıtmica
La función Logaŕıtmica
Sea a > 0, a 6= 1. La función logaŕıtmica es aquella cuya regla de
correspondencia es: f (x) = loga(x) si y sólo si ay = x . Su dominio,
Df es el conjunto de los números reales positivos y su rango, Rf es
el conjunto de los números reales.
Como las funciones exponencial y logaŕıtmica son inversas una de
la otra se verifican las siguientes propiedades:
loga(ax ) = x y aloga(x) = x
A partir de la gráfica de la función exponencial, por reflexión sobre
la diagonal obtenemos la gráfica de la función logaŕıtmica.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La Función Logaŕıtmica
La función Logaŕıtmica
Sea a > 0, a 6= 1. La función logaŕıtmica es aquella cuya regla de
correspondencia es: f (x) = loga(x) si y sólo si ay = x . Su dominio,
Df es el conjunto de los números reales positivos y su rango, Rf es
el conjunto de los números reales.
Como las funciones exponencial y logaŕıtmica son inversas una de
la otra se verifican las siguientes propiedades:
loga(ax ) = x y aloga(x) = x
A partir de la gráfica de la función exponencial, por reflexión sobre
la diagonal obtenemos la gráfica de la función logaŕıtmica.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
La Función Logaŕıtmica
La función Logaŕıtmica
Sea a > 0, a 6= 1. La función logaŕıtmica es aquella cuya regla de
correspondencia es: f (x) = loga(x) si y sólo si ay = x . Su dominio,
Df es el conjunto de los números reales positivos y su rango, Rf es
el conjunto de los números reales.
Como las funciones exponencial y logaŕıtmica son inversas una de
la otra se verifican las siguientes propiedades:
loga(ax ) = x y aloga(x) = x
A partir de la gráfica de la función exponencial, por reflexión sobre
la diagonal obtenemos la gráfica de la función logaŕıtmica.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R+.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R+.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R+.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R+.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
A partir de la gráfica, podemos observar que:
Si a > 1 la función es creciente para todo x ∈ R+.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente para todo x ∈ R+.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Además, a partir de la gráfica, podemos verificar que:
loga 1 = 0.
loga a = 1.
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2).
loga
(
x1
x2
)
= loga(x1)− loga(x2).
loga(xy ) = y loga(x).
Observación
Si la función logaŕıtmica tiene como base al número irracional e, se
denomina función logaritmo natural y escribimos ln(x) := loge(x).
Si la base es el número 10, escribimos log(x) := log10(x).
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Además, a partir de la gráfica, podemos verificar que:
loga 1 = 0.
loga a = 1.
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2).
loga
(
x1
x2
)
= loga(x1)− loga(x2).
loga(xy ) = y loga(x).
Observación
Si la función logaŕıtmica tiene como base al número irracional e, se
denomina función logaritmo natural y escribimos ln(x) := loge(x).
Si la base es el número 10, escribimos log(x) := log10(x).
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La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Además, a partir de la gráfica, podemos verificar que:
loga 1 = 0.
loga a = 1.
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2).
loga
(
x1
x2
)
= loga(x1)− loga(x2).
loga(xy ) = y loga(x).
Observación
Si la función logaŕıtmica tiene como base al número irracional e, se
denomina función logaritmo natural y escribimos ln(x) := loge(x).
Si la base es el número 10, escribimos log(x) := log10(x).
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La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Además, a partir de la gráfica, podemos verificar que:
loga 1 = 0.
loga a = 1.
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2).
loga
(
x1
x2
)
= loga(x1)− loga(x2).
loga(xy ) = y loga(x).
Observación
Si la función logaŕıtmica tiene como base al número irracional e, se
denomina función logaritmo natural y escribimos ln(x) := loge(x).
Si la base es el número 10, escribimos log(x) := log10(x).
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La Función Logaŕıtmica
Además, a partir de la gráfica, podemos verificar que:
loga 1 = 0.
loga a = 1.
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2).
loga
(
x1
x2
)
= loga(x1)− loga(x2).
loga(xy ) = y loga(x).
Observación
Si la función logaŕıtmica tiene como base al número irracional e, se
denomina función logaritmo natural y escribimos ln(x) := loge(x).
Si la base es el número 10, escribimos log(x) := log10(x).
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La Función Logaŕıtmica
Además, a partir de la gráfica, podemos verificar que:
loga 1 = 0.
loga a = 1.
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2).
loga
(
x1
x2
)
= loga(x1)− loga(x2).
loga(xy ) = y loga(x).
Observación
Si la función logaŕıtmica tiene como base al número irracional e, se
denomina función logaritmo natural y escribimos ln(x) := loge(x).
Si la base es el número 10, escribimos log(x) := log10(x).
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La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Además, a partir de la gráfica, podemos verificar que:
loga 1 = 0.
loga a = 1.
loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2).
loga
(
x1
x2
)
= loga(x1)− loga(x2).
loga(xy) = y loga(x).
Observación
Si la función logaŕıtmica tiene como base al número irracional e, se
denomina función logaritmo natural y escribimos ln(x) := loge(x).
Si la base es el número 10, escribimos log(x) := log10(x).
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Una bacteria estomacal debe ser tratada con un determinado
tratamiento antibiótico antes que estén presentes 10 000 de ellas
en el organismo, de lo contrario el tratamiento sugerido es otro. Si
se sabe que su número se incrementa a razón del 5 % cada hora y
que al inicio estaban presentes 400 bacterias, determinar el número
de bacterias N(t) presentes después de t horas. ¿De cuánto tiempo
se dispone antes de cambiar el tratamiento?
Solución:
Utilizando el modelo N(t) = N0eλt y reemplazando los datos
entregados, obtenemos N(t) = 400e0,05t .
Por otro lado, para estimar el tiempo del cual se dispone antes de
cambiar el tratamiento, resolvemos
10000 = 400e0,05t de donde e0,05t = 25
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Una bacteria estomacal debe ser tratada con un determinado
tratamiento antibiótico antes que estén presentes 10 000 de ellas
en el organismo, de lo contrario el tratamiento sugerido es otro. Si
se sabe que su número se incrementa a razón del 5 % cada hora y
que al inicio estaban presentes 400 bacterias, determinar el número
de bacterias N(t) presentes después de t horas. ¿De cuánto tiempo
se dispone antes de cambiar el tratamiento?
Solución:
Utilizando el modelo N(t) = N0eλt y reemplazando los datos
entregados, obtenemos N(t) = 400e0,05t .
Por otro lado, para estimar el tiempo del cual se dispone antes de
cambiar el tratamiento, resolvemos
10000 = 400e0,05t de donde e0,05t = 25
Uceda, R.A. Funciones Especiales
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La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Ejemplo
Una bacteria estomacal debe ser tratada con un determinado
tratamiento antibiótico antes que estén presentes 10 000 de ellas
en el organismo, de lo contrario el tratamiento sugerido es otro. Si
se sabe que su número se incrementa a razón del 5 % cada hora y
que al inicio estaban presentes 400 bacterias, determinar el número
de bacterias N(t) presentes después de t horas. ¿De cuánto tiempo
se dispone antes de cambiar el tratamiento?
Solución:
Utilizando el modelo N(t) = N0eλt y reemplazando los datos
entregados, obtenemos N(t) = 400e0,05t .
Por otro lado, para estimar el tiempo del cual se dispone antes de
cambiar el tratamiento, resolvemos
10000 = 400e0,05t de donde e0,05t = 25
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Aplicando logaritmo ln, se tiene 0,05t = ln(25), de donde t ≈ 64.
Por lo tanto, se disponen de aproximadamente 64 horas para
comenzar con el primer tratamiento.
Desintegración Radioactiva
Se ha determinado experimentalmente que la mayoŕıa de las
sustancias radioactivas se desintegran exponencialmente, de
manera que la cantidad de una muestra de tamaño inicial N0 que
permanece después de t años está dado por la función
N(t) = N0e−kt .
La constante positiva k mide la tasa de desintegración, pero esta
tasa generalmente está dada al especificar la cantidad de tiempo t
necesario para que se desintegre la mitad de una muestra. Este
tiempo se denomina peŕıodo radiactivo o vida media de la
sustancia.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Aplicando logaritmo ln, se tiene 0,05t = ln(25), de donde t ≈ 64.
Por lo tanto, se disponen de aproximadamente 64 horas para
comenzar con el primer tratamiento.
Desintegración Radioactiva
Se ha determinado experimentalmente que la mayoŕıa de las
sustancias radioactivas se desintegran exponencialmente, de
manera que la cantidad de una muestra de tamaño inicial N0 que
permanece después de t años está dado por la función
N(t) = N0e−kt .
La constante positiva k mide la tasa de desintegración, pero esta
tasa generalmente está dada al especificar la cantidad de tiempo t
necesario para que se desintegre la mitad de una muestra. Este
tiempo se denomina peŕıodo radiactivo o vida media de la
sustancia.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Aplicando logaritmo ln, se tiene 0,05t = ln(25), de donde t ≈ 64.
Por lo tanto, se disponen de aproximadamente 64 horas para
comenzar con el primer tratamiento.
Desintegración Radioactiva
Se ha determinado experimentalmente que la mayoŕıa de las
sustancias radioactivas se desintegran exponencialmente, de
manera que la cantidad de una muestra de tamaño inicial N0 que
permanece después de t años está dado por la función
N(t) = N0e−kt .
La constante positiva k mide la tasa de desintegración, pero esta
tasa generalmente está dada al especificar la cantidad de tiempo t
necesario para que se desintegre la mitad de una muestra. Este
tiempo se denomina peŕıodo radiactivo o vida media de la
sustancia.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Aplicando logaritmo ln, se tiene 0,05t = ln(25), de donde t ≈ 64.
Por lo tanto, se disponen de aproximadamente 64 horas para
comenzar con el primer tratamiento.
Desintegración Radioactiva
Se ha determinado experimentalmente que la mayoŕıa de las
sustancias radioactivas se desintegran exponencialmente, de
manera que la cantidad de una muestra de tamaño inicial N0 que
permanece después de t años está dado por la función
N(t) = N0e−kt .
La constante positiva k mide la tasa de desintegración, pero esta
tasa generalmente está dada al especificar la cantidad de tiempo t
necesario para que se desintegre la mitad de una muestra. Este
tiempo se denomina peŕıodo radiactivo o vida media de la
sustancia.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Podemos calcular expĺıcitamente el peŕıodo radiactivo, tenemos:
1
2N0 = N0e
−kt de donde t = ln 2k
Ejemplo
El yodo radioactivo tiene un peŕıodo radioactivo de 20.9 horas. Si
se inyecta en el torrente sangúıneo, el yodo se acumula en la
glándula tiroides.
a) Después de 24 horas un médico examina la glándula tiroides
de un paciente para determinar si su funcionamiento es
normal. Si la glándula tiroides ha absorbido todo el yodo, ¿qué
porcentaje de la cantidad original debeŕıa detectarse?
b) Un paciente regresa a la cĺınica 25 horas después de haber
recibido una inyección de yodo radiactivo. El médico examina
la glándula tiroides del paciente y detecta la presencia de
41.3 % del yodo original. ¿Cuánto yodo radiactivo permanece
en el resto del cuerpo del paciente?
Podemos calcular expĺıcitamente el peŕıodo radiactivo, tenemos:
1
2N0 = N0e
−kt de donde t = ln 2k
Ejemplo
El yodo radioactivo tiene un peŕıodo radioactivo de 20.9 horas. Si
se inyecta en el torrente sangúıneo, el yodo se acumula en la
glándula tiroides.
a) Después de 24 horas un médico examina la glándula tiroides
de un paciente para determinar si su funcionamiento es
normal. Si la glándula tiroides ha absorbido todo el yodo, ¿qué
porcentaje de la cantidad original debeŕıa detectarse?
b) Un paciente regresa a la cĺınica 25 horas después de haber
recibido una inyección de yodo radiactivo. El médico examina
la glándula tiroides del paciente y detecta la presencia de
41.3 % del yodo original. ¿Cuánto yodo radiactivo permanece
en el resto del cuerpo del paciente?
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Solución
Como el yodo tiene un peŕıodo radioactivo de 20.9 horas, se sigue
que 20,9 = ln(2)k y de esto k = 0,03316. El modelo de
desintegración radioactiva nos queda
N(t) = N0e−0,03316t
a)Evaluamos N(24) ≈ 0,45N0. Como la glándula tiroides
absorbió todo el yodo, conclúımos que la cantidad presente es
el 45 % de la cantidad inicial
b) Evaluamos N(25) ≈ 0,4364N0. Como la glándula tiroides
absorbe el 41.3 % del yodo original, en el resto del cuerpo hay
un 2,34 % de la cantidad de yodo inicial N0.
Uceda, R.A. Funciones Especiales
Funciones Especiales
Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Solución
Como el yodo tiene un peŕıodo radioactivo de 20.9 horas, se sigue
que 20,9 = ln(2)k y de esto k = 0,03316. El modelo de
desintegración radioactiva nos queda
N(t) = N0e−0,03316t
a) Evaluamos N(24) ≈ 0,45N0. Como la glándula tiroides
absorbió todo el yodo, conclúımos que la cantidad presente es
el 45 % de la cantidad inicial
b) Evaluamos N(25) ≈ 0,4364N0. Como la glándula tiroides
absorbe el 41.3 % del yodo original, en el resto del cuerpo hay
un 2,34 % de la cantidad de yodo inicial N0.
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Función Valor Absoluto
La Función Exponencial
La Función Logaŕıtmica
Solución
Como el yodo tiene un peŕıodo radioactivo de 20.9 horas, se sigue
que 20,9 = ln(2)k y de esto k = 0,03316. El modelo de
desintegración radioactiva nos queda
N(t) = N0e−0,03316t
a) Evaluamos N(24) ≈ 0,45N0. Como la glándula tiroides
absorbió todo el yodo, conclúımos que la cantidad presente es
el 45 % de la cantidad inicial
b) Evaluamos N(25) ≈ 0,4364N0. Como la glándula tiroides
absorbe el 41.3 % del yodo original, en el resto del cuerpo hay
un 2,34 % de la cantidad de yodo inicial N0.
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