Gráficas y Límites

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Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Gráficas y Ĺımites de Funciones
Docente: Rafael Asmat Uceda
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Trujillo
26 de abril de 2023
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Trazar las gráficas de funciones obtenidas a partir de
funciones conocidas.
Interpretar el ĺımite de una función real de variable real y
realizar su cálculo respectivo.
Identificar y eliminar las indeterminaciones que aparecen en el
cálculo de ĺımites,
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Trazar las gráficas de funciones obtenidas a partir de
funciones conocidas.
Interpretar el ĺımite de una función real de variable real y
realizar su cálculo respectivo.
Identificar y eliminar las indeterminaciones que aparecen en el
cálculo de ĺımites,
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Trazar las gráficas de funciones obtenidas a partir de
funciones conocidas.
Interpretar el ĺımite de una función real de variable real y
realizar su cálculo respectivo.
Identificar y eliminar las indeterminaciones que aparecen en el
cálculo de ĺımites,
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
Resultados de Aprendizaje
Al término de la sesión de aprendizaje, el estudiante será capaz de:
Trazar las gráficas de funciones obtenidas a partir de
funciones conocidas.
Interpretar el ĺımite de una función real de variable real y
realizar su cálculo respectivo.
Identificar y eliminar las indeterminaciones que aparecen en el
cálculo de ĺımites,
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Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
Trazado de Gráficos Especiales
Cuando se conoce una función y = f (x), en base a ella, se puede
construir otra función en una forma rápida mediante el siguiente
criterio:
1º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (x) + c
se obtiene desplazando verticalmente la gráfica de y = f (x) en c
unidades, siendo hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
Trazado de Gráficos Especiales
Cuando se conoce una función y = f (x), en base a ella, se puede
construir otra función en una forma rápida mediante el siguiente
criterio:
1º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (x) + c
se obtiene desplazando verticalmente la gráfica de y = f (x) en c
unidades, siendo hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0.
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Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
2º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (x − c)
se obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de y = f (x) en
c unidades, siendo hacia la derecha si c > 0 y hacia la izquierda si
c < 0.
3º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (x − h) + k
se obtiene desplazando horizontal y verticalmente la gráfica de
y = f (x) en h y k unidades, respectivamente.
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2º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (x − c)
se obtiene desplazando horizontalmente la gráfica de y = f (x) en
c unidades, siendo hacia la derecha si c > 0 y hacia la izquierda si
c < 0.
3º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (x − h) + k
se obtiene desplazando horizontal y verticalmente la gráfica de
y = f (x) en h y k unidades, respectivamente.
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4º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = af (x), a > 0
se obtiene de la siguiente manera:
1 Si a > 1, la gráfica está estirándose verticalmente en un factor
a en base al eje X .
2 Si 0 < a < 1, la gráfica está encogiéndose verticalmente en su
factor a.
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4º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = af (x), a > 0
se obtiene de la siguiente manera:
1 Si a > 1, la gráfica está estirándose verticalmente en un factor
a en base al eje X .
2 Si 0 < a < 1, la gráfica está encogiéndose verticalmente en su
factor a.
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4º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = af (x), a > 0
se obtiene de la siguiente manera:
1 Si a > 1, la gráfica está estirándose verticalmente en un factor
a en base al eje X .
2 Si 0 < a < 1, la gráfica está encogiéndose verticalmente en su
factor a.
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5º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (ax), a > 0
se obtiene de la siguiente manera:
1 Si a > 1, la gráfica se encoge horizontalmente en un factor a
en base al eje Y .
2 Si 0 < a < 1, la gráfica se estira horizontalmente en un factor
a en base al eje Y .
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5º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (ax), a > 0
se obtiene de la siguiente manera:
1 Si a > 1, la gráfica se encoge horizontalmente en un factor a
en base al eje Y .
2 Si 0 < a < 1, la gráfica se estira horizontalmente en un factor
a en base al eje Y .
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5º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (ax), a > 0
se obtiene de la siguiente manera:
1 Si a > 1, la gráfica se encoge horizontalmente en un factor a
en base al eje Y .
2 Si 0 < a < 1, la gráfica se estira horizontalmente en un factor
a en base al eje Y .
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Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
6º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = −f (x)
se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f (x) alrededor del eje X .
7º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (−x)
se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f (x) alrededor del eje Y .
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6º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = −f (x)
se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f (x) alrededor del eje X .
7º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = f (−x)
se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f (x) alrededor del eje Y .
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8º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = −f (−x)
se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f (x) alrededor del eje X y
el Y .
Ejemplo
Graficar la función: F (x) =
√
x − 2 + 2.
Solución:
La gráfica de F (x) =
√
x − 2 + 2 se construye a partir de la
función f (x) =
√
x , trasladando su gráfica dos unidades a la
derecha y dos unidades hacia arriba.
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8º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = −f (−x)
se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f (x) alrededor del eje X y
el Y .
Ejemplo
Graficar la función: F (x) =
√
x − 2 + 2.
Solución:
La gráfica de F (x) =
√
x − 2 + 2 se construye a partir de la
función f (x) =
√
x , trasladando su gráfica dos unidades a la
derecha y dos unidades hacia arriba.
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8º Caso: Si se tiene la gráfica de y = f (x), entonces la gráfica de
la función:
F (x) = −f (−x)
se obtiene haciendo rotar la gráfica y = f (x) alrededor del eje X y
el Y .
Ejemplo
Graficar la función: F (x) =
√
x − 2 + 2.
Solución:
La gráfica de F (x) =
√
x − 2 + 2 se construye a partir de la
función f (x) =
√
x , trasladando su gráfica dos unidades a la
derecha y dos unidades hacia arriba.
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Ejemplo
Graficar la función: F (x) = |x − 3|+ 3.
Solución:
La gráfica de F (x) = |x − 3|+ 3 se construye a partir de la función
f (x) = |x |, trasladando su gráfica tres unidades a la derecha y tres
unidades hacia arriba.
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Ĺımites de Funciones Reales Trazado de Gráficos Especiales
Ejemplo
Graficar la función: F (x) = |x − 3|+ 3.
Solución:
La gráfica de F (x) = |x − 3|+ 3 se construye a partir de la función
f (x) = |x |, trasladando su gráfica tres unidades a la derecha y tres
unidades hacia arriba.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Puntos de Acumulación
Antes de definir el concepto de ĺımite de una función real de
variable real, es necesario conocer el concepto de punto de
acumulación.
Dado un conjunto A no vaćıo de números reales y x0 un número
real (no necesariamente en el conjunto A), si alrededor de x0 se
‘amontonan’ (acumulan) infinidad de elementos de A, diremos que
x0 es un punto de acumulación.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A = {x ∈ R / 2 < x < 5}. Entonces se
tiene:
2 6∈ A, pero 2 es punto de acumulación de A.
5 6∈ A, pero 5 es punto de acumulación de A.
Todos los puntos de A, son puntos de acumulación.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Puntos de Acumulación
Antes de definir el concepto de ĺımite de una función real de
variable real, es necesario conocer el concepto de punto de
acumulación.
Dado un conjunto A no vaćıo de números reales y x0 un número
real (no necesariamente en el conjunto A), si alrededor de x0 se
‘amontonan’ (acumulan) infinidad de elementos de A, diremos que
x0 es un punto de acumulación.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A = {x ∈ R / 2 < x < 5}.
Entonces se
tiene:
2 6∈ A, pero 2 es punto de acumulación de A.
5 6∈ A, pero 5 es punto de acumulación de A.
Todos los puntos de A, son puntos de acumulación.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Puntos de Acumulación
Antes de definir el concepto de ĺımite de una función real de
variable real, es necesario conocer el concepto de punto de
acumulación.
Dado un conjunto A no vaćıo de números reales y x0 un número
real (no necesariamente en el conjunto A), si alrededor de x0 se
‘amontonan’ (acumulan) infinidad de elementos de A, diremos que
x0 es un punto de acumulación.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A = {x ∈ R / 2 < x < 5}. Entonces se
tiene:
2 6∈ A, pero 2 es punto de acumulación de A.
5 6∈ A, pero 5 es punto de acumulación de A.
Todos los puntos de A, son puntos de acumulación.
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Preliminares
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Puntos de Acumulación
Antes de definir el concepto de ĺımite de una función real de
variable real, es necesario conocer el concepto de punto de
acumulación.
Dado un conjunto A no vaćıo de números reales y x0 un número
real (no necesariamente en el conjunto A), si alrededor de x0 se
‘amontonan’ (acumulan) infinidad de elementos de A, diremos que
x0 es un punto de acumulación.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A = {x ∈ R / 2 < x < 5}. Entonces se
tiene:
2 6∈ A, pero 2 es punto de acumulación de A.
5 6∈ A, pero 5 es punto de acumulación de A.
Todos los puntos de A, son puntos de acumulación.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Puntos de Acumulación
Antes de definir el concepto de ĺımite de una función real de
variable real, es necesario conocer el concepto de punto de
acumulación.
Dado un conjunto A no vaćıo de números reales y x0 un número
real (no necesariamente en el conjunto A), si alrededor de x0 se
‘amontonan’ (acumulan) infinidad de elementos de A, diremos que
x0 es un punto de acumulación.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A = {x ∈ R / 2 < x < 5}. Entonces se
tiene:
2 6∈ A, pero 2 es punto de acumulación de A.
5 6∈ A, pero 5 es punto de acumulación de A.
Todos los puntos de A, son puntos de acumulación.
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Preliminares
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Puntos de Acumulación
Antes de definir el concepto de ĺımite de una función real de
variable real, es necesario conocer el concepto de punto de
acumulación.Dado un conjunto A no vaćıo de números reales y x0 un número
real (no necesariamente en el conjunto A), si alrededor de x0 se
‘amontonan’ (acumulan) infinidad de elementos de A, diremos que
x0 es un punto de acumulación.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A = {x ∈ R / 2 < x < 5}. Entonces se
tiene:
2 6∈ A, pero 2 es punto de acumulación de A.
5 6∈ A, pero 5 es punto de acumulación de A.
Todos los puntos de A, son puntos de acumulación.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
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Puntos de Acumulación
Antes de definir el concepto de ĺımite de una función real de
variable real, es necesario conocer el concepto de punto de
acumulación.
Dado un conjunto A no vaćıo de números reales y x0 un número
real (no necesariamente en el conjunto A), si alrededor de x0 se
‘amontonan’ (acumulan) infinidad de elementos de A, diremos que
x0 es un punto de acumulación.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A = {x ∈ R / 2 < x < 5}. Entonces se
tiene:
2 6∈ A, pero 2 es punto de acumulación de A.
5 6∈ A, pero 5 es punto de acumulación de A.
Todos los puntos de A, son puntos de acumulación.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
En efecto, observando la siguiente gráfica tenemos que:
Alrededor de 2 existen infinidad de puntos que pertenecen al
conjunto A.
Alrededor de 5 existen infinidad de puntos que pertenecen al
conjunto A
Ejemplo
Dado el conjunto B =
(
1
2 , 3
)
∪ {3.2} Entonces:
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
En efecto, observando la siguiente gráfica tenemos que:
Alrededor de 2 existen infinidad de puntos que pertenecen al
conjunto A.
Alrededor de 5 existen infinidad de puntos que pertenecen al
conjunto A
Ejemplo
Dado el conjunto B =
(
1
2 , 3
)
∪ {3.2} Entonces:
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
En efecto, observando la siguiente gráfica tenemos que:
Alrededor de 2 existen infinidad de puntos que pertenecen al
conjunto A.
Alrededor de 5 existen infinidad de puntos que pertenecen al
conjunto A
Ejemplo
Dado el conjunto B =
(
1
2 , 3
)
∪ {3.2} Entonces:
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Preliminares
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En efecto, observando la siguiente gráfica tenemos que:
Alrededor de 2 existen infinidad de puntos que pertenecen al
conjunto A.
Alrededor de 5 existen infinidad de puntos que pertenecen al
conjunto A
Ejemplo
Dado el conjunto B =
(
1
2 , 3
)
∪ {3.2} Entonces:
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
1
2 6∈ B, pero es punto de acumulación de B.
3 6∈ A, pero es punto de acumulación de B.
3.2 ∈ B, pero no es punto de acumulación de B.
¿Por qué 3.2 no es punto de acumulación de B?
Porque alrededor de 3.2 no posible encontrar puntos de B que
estén amontonados alrededor de 3.2, como se observa en la
siguiente gráfica.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
1
2 6∈ B, pero es punto de acumulación de B.
3 6∈ A, pero es punto de acumulación de B.
3.2 ∈ B, pero no es punto de acumulación de B.
¿Por qué 3.2 no es punto de acumulación de B?
Porque alrededor de 3.2 no posible encontrar puntos de B que
estén amontonados alrededor de 3.2, como se observa en la
siguiente gráfica.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
1
2 6∈ B, pero es punto de acumulación de B.
3 6∈ A, pero es punto de acumulación de B.
3.2 ∈ B, pero no es punto de acumulación de B.
¿Por qué 3.2 no es punto de acumulación de B?
Porque alrededor de 3.2 no posible encontrar puntos de B que
estén amontonados alrededor de 3.2, como se observa en la
siguiente gráfica.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
1
2 6∈ B, pero es punto de acumulación de B.
3 6∈ A, pero es punto de acumulación de B.
3.2 ∈ B, pero no es punto de acumulación de B.
¿Por qué 3.2 no es punto de acumulación de B?
Porque alrededor de 3.2 no posible encontrar puntos de B que
estén amontonados alrededor de 3.2, como se observa en la
siguiente gráfica.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
1
2 6∈ B, pero es punto de acumulación de B.
3 6∈ A, pero es punto de acumulación de B.
3.2 ∈ B, pero no es punto de acumulación de B.
¿Por qué 3.2 no es punto de acumulación de B?
Porque alrededor de 3.2 no posible encontrar puntos de B que
estén amontonados alrededor de 3.2, como se observa en la
siguiente gráfica.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Definición
Dado un número real x0, una vecindad de x0 es un intervalo abierto
que tiene como centro a x0 y como radio un número real positivo ε.
Notación:
Vε(x0) = {x ∈ R / |x − x0| < ε}
Se lee: “vecindad de x0 de radio ε > 0.
Gráficamente:
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Definición
Dado un número real x0, una vecindad de x0 es un intervalo abierto
que tiene como centro a x0 y como radio un número real positivo ε.
Notación:
Vε(x0) = {x ∈ R / |x − x0| < ε}
Se lee: “vecindad de x0 de radio ε > 0.
Gráficamente:
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Preliminares
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Definición
Dado un número real x0, una vecindad de x0 es un intervalo abierto
que tiene como centro a x0 y como radio un número real positivo ε.
Notación:
Vε(x0) = {x ∈ R / |x − x0| < ε}
Se lee: “vecindad de x0 de radio ε > 0.
Gráficamente:
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Preliminares
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Definición
Dado un número real x0, una vecindad de x0 es un intervalo abierto
que tiene como centro a x0 y como radio un número real positivo ε.
Notación:
Vε(x0) = {x ∈ R / |x − x0| < ε}
Se lee: “vecindad de x0 de radio ε > 0.
Gráficamente:
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Dado el punto x0 = 2, una vecindad de 2 es:
Vε(2) = {x ∈ R / |x − 2| < ε,∀ε > 0}
En realidad, todo intervalo abierto que contiene al punto x0 = 2 es
una vecindad de 2, por ejemplo:
(1.5, 2.5), (1.9, 2.1), (1, 3)
También el intervalo:(
2− 1n , 2 +
1
n
)
,∀n ∈ N
es también una vecindad de 2.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Dado el punto x0 = 2, una vecindad de 2 es:
Vε(2) = {x ∈ R / |x − 2| < ε,∀ε > 0}
En realidad, todo intervalo abierto que contiene al punto x0 = 2 es
una vecindad de 2, por ejemplo:
(1.5, 2.5), (1.9, 2.1), (1, 3)
También el intervalo:(
2− 1n , 2 +
1
n
)
,∀n ∈ N
es también una vecindad de 2.
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Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Dado el punto x0 = 2, una vecindad de 2 es:
Vε(2) ={x ∈ R / |x − 2| < ε,∀ε > 0}
En realidad, todo intervalo abierto que contiene al punto x0 = 2 es
una vecindad de 2, por ejemplo:
(1.5, 2.5), (1.9, 2.1), (1, 3)
También el intervalo:(
2− 1n , 2 +
1
n
)
,∀n ∈ N
es también una vecindad de 2.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Dado el punto x0 = 2, una vecindad de 2 es:
Vε(2) = {x ∈ R / |x − 2| < ε,∀ε > 0}
En realidad, todo intervalo abierto que contiene al punto x0 = 2 es
una vecindad de 2, por ejemplo:
(1.5, 2.5), (1.9, 2.1), (1, 3)
También el intervalo:
(
2− 1n , 2 +
1
n
)
,∀n ∈ N
es también una vecindad de 2.
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Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Dado el punto x0 = 2, una vecindad de 2 es:
Vε(2) = {x ∈ R / |x − 2| < ε,∀ε > 0}
En realidad, todo intervalo abierto que contiene al punto x0 = 2 es
una vecindad de 2, por ejemplo:
(1.5, 2.5), (1.9, 2.1), (1, 3)
También el intervalo:(
2− 1n , 2 +
1
n
)
,∀n ∈ N
es también una vecindad de 2.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Dado el punto x0 = 2, una vecindad de 2 es:
Vε(2) = {x ∈ R / |x − 2| < ε,∀ε > 0}
En realidad, todo intervalo abierto que contiene al punto x0 = 2 es
una vecindad de 2, por ejemplo:
(1.5, 2.5), (1.9, 2.1), (1, 3)
También el intervalo:(
2− 1n , 2 +
1
n
)
,∀n ∈ N
es también una vecindad de 2.
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Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Punto de Acumulación
Definición
Dado un subconjunto A de los números reales (A ⊂ R), diremos
que un punto x0 ∈ R es un punto de acumulación de A, si
cualquier vecindad Vε(x0) contiene por lo menos un punto x de A
distinto de x0. En otras palabras, V ′ε(x0) ∩ A 6= ∅. En śımbolos:
x0 ∈ R es p.a. de A⇔ ∀ ε > 0,∃ x ∈ A; 0 < |x − x0| < ε
Ejemplo
Probar que b es punto de acumulación de A = (a, b), a < 0
Solución.
El objetivo consiste en encontrar el valor de ε. Podemos considerar
ε = |b−a|2 con lo cual la vecindad será:
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Punto de Acumulación
Definición
Dado un subconjunto A de los números reales (A ⊂ R), diremos
que un punto x0 ∈ R es un punto de acumulación de A, si
cualquier vecindad Vε(x0) contiene por lo menos un punto x de A
distinto de x0. En otras palabras, V ′ε(x0) ∩ A 6= ∅. En śımbolos:
x0 ∈ R es p.a. de A⇔ ∀ ε > 0,∃ x ∈ A; 0 < |x − x0| < ε
Ejemplo
Probar que b es punto de acumulación de A = (a, b), a < 0
Solución.
El objetivo consiste en encontrar el valor de ε. Podemos considerar
ε = |b−a|2 con lo cual la vecindad será:
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Punto de Acumulación
Definición
Dado un subconjunto A de los números reales (A ⊂ R), diremos
que un punto x0 ∈ R es un punto de acumulación de A, si
cualquier vecindad Vε(x0) contiene por lo menos un punto x de A
distinto de x0. En otras palabras, V ′ε(x0) ∩ A 6= ∅. En śımbolos:
x0 ∈ R es p.a. de A⇔ ∀ ε > 0,∃ x ∈ A; 0 < |x − x0| < ε
Ejemplo
Probar que b es punto de acumulación de A = (a, b), a < 0
Solución.
El objetivo consiste en encontrar el valor de ε. Podemos considerar
ε = |b−a|2 con lo cual la vecindad será:
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Punto de Acumulación
Definición
Dado un subconjunto A de los números reales (A ⊂ R), diremos
que un punto x0 ∈ R es un punto de acumulación de A, si
cualquier vecindad Vε(x0) contiene por lo menos un punto x de A
distinto de x0. En otras palabras, V ′ε(x0) ∩ A 6= ∅. En śımbolos:
x0 ∈ R es p.a. de A⇔ ∀ ε > 0,∃ x ∈ A; 0 < |x − x0| < ε
Ejemplo
Probar que b es punto de acumulación de A = (a, b), a < 0
Solución.
El objetivo consiste en encontrar el valor de ε.
Podemos considerar
ε = |b−a|2 con lo cual la vecindad será:
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Punto de Acumulación
Definición
Dado un subconjunto A de los números reales (A ⊂ R), diremos
que un punto x0 ∈ R es un punto de acumulación de A, si
cualquier vecindad Vε(x0) contiene por lo menos un punto x de A
distinto de x0. En otras palabras, V ′ε(x0) ∩ A 6= ∅. En śımbolos:
x0 ∈ R es p.a. de A⇔ ∀ ε > 0,∃ x ∈ A; 0 < |x − x0| < ε
Ejemplo
Probar que b es punto de acumulación de A = (a, b), a < 0
Solución.
El objetivo consiste en encontrar el valor de ε. Podemos considerar
ε = |b−a|2 con lo cual la vecindad será:
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Punto de Acumulación
Definición
Dado un subconjunto A de los números reales (A ⊂ R), diremos
que un punto x0 ∈ R es un punto de acumulación de A, si
cualquier vecindad Vε(x0) contiene por lo menos un punto x de A
distinto de x0. En otras palabras, V ′ε(x0) ∩ A 6= ∅. En śımbolos:
x0 ∈ R es p.a. de A⇔ ∀ ε > 0,∃ x ∈ A; 0 < |x − x0| < ε
Ejemplo
Probar que b es punto de acumulación de A = (a, b), a < 0
Solución.
El objetivo consiste en encontrar el valor de ε. Podemos considerar
ε = |b−a|2 con lo cual la vecindad será:
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
V ′ε(b) = {x ∈ R / |x − b| < ε} = (b − ε, b + ε)− {b}
Falta probar que V ′ε(b) ∩ A es no vaćıo.
Sea x ∈ V ′ε(b), entonces |x − b| < ε. Luego:
|x − b| < |b − a|2
−|b − a|2 < x − b <
|b − a|
2
b − |b − a|2 < x < b +
|b − a|
2
b − b − a2 < x < b +
b − a
2
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
V ′ε(b) = {x ∈ R / |x − b| < ε} = (b − ε, b + ε)− {b}
Falta probar que V ′ε(b) ∩ A es no vaćıo.
Sea x ∈ V ′ε(b), entonces |x − b| < ε. Luego:
|x − b| < |b − a|2
−|b − a|2 < x − b <
|b − a|
2
b − |b − a|2 < x < b +
|b − a|
2
b − b − a2 < x < b +
b − a
2
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Preliminares
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V ′ε(b) = {x ∈ R / |x − b| < ε} = (b − ε, b + ε)− {b}
Falta probar que V ′ε(b) ∩ A es no vaćıo.
Sea x ∈ V ′ε(b), entonces |x − b| < ε. Luego:
|x − b| < |b − a|2
−|b − a|2 < x − b <
|b − a|
2
b − |b − a|2 < x < b +
|b − a|
2
b − b − a2 < x < b +
b − a
2
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V ′ε(b) = {x ∈ R / |x − b| < ε} = (b − ε, b + ε)− {b}
Falta probar que V ′ε(b) ∩ A es no vaćıo.
Sea x ∈ V ′ε(b), entonces |x − b| < ε. Luego:
|x − b| < |b − a|2
−|b − a|2 < x − b <
|b − a|
2
b − |b − a|2 < x < b +
|b − a|
2
b − b − a2 < x < b +
b − a
2
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Preliminares
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V ′ε(b) = {x ∈ R / |x − b| < ε} = (b − ε, b + ε)− {b}
Falta probar que V ′ε(b) ∩ A es no vaćıo.
Sea x ∈ V ′ε(b), entonces |x − b| < ε. Luego:
|x − b| < |b − a|2
−|b − a|2 < x − b <
|b − a|
2
b − |b − a|2 < x < b +
|b − a|
2
b − b − a2 < x < b +
b − a
2
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
V ′ε(b) = {x ∈ R / |x − b| < ε} = (b − ε, b + ε)− {b}Falta probar que V ′ε(b) ∩ A es no vaćıo.
Sea x ∈ V ′ε(b), entonces |x − b| < ε. Luego:
|x − b| < |b − a|2
−|b − a|2 < x − b <
|b − a|
2
b − |b − a|2 < x < b +
|b − a|
2
b − b − a2 < x < b +
b − a
2
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
V ′ε(b) = {x ∈ R / |x − b| < ε} = (b − ε, b + ε)− {b}
Falta probar que V ′ε(b) ∩ A es no vaćıo.
Sea x ∈ V ′ε(b), entonces |x − b| < ε. Luego:
|x − b| < |b − a|2
−|b − a|2 < x − b <
|b − a|
2
b − |b − a|2 < x < b +
|b − a|
2
b − b − a2 < x < b +
b − a
2
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
b + a
2 < x <
3b − a
2
a < b + a2 < x < b <
3b − a
2
a < x < b
Aśı, x ∈ (a, b) y por tanto, V ′ε(b) ∩ A 6= ∅ para ε =
|b−a|
2 .
Por lo tanto, b es punto de acumulación de A.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
b + a
2 < x <
3b − a
2
a < b + a2 < x < b <
3b − a
2
a < x < b
Aśı, x ∈ (a, b) y por tanto, V ′ε(b) ∩ A 6= ∅ para ε =
|b−a|
2 .
Por lo tanto, b es punto de acumulación de A.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
b + a
2 < x <
3b − a
2
a < b + a2 < x < b <
3b − a
2
a < x < b
Aśı, x ∈ (a, b) y por tanto, V ′ε(b) ∩ A 6= ∅ para ε =
|b−a|
2 .
Por lo tanto, b es punto de acumulación de A.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
b + a
2 < x <
3b − a
2
a < b + a2 < x < b <
3b − a
2
a < x < b
Aśı, x ∈ (a, b) y por tanto, V ′ε(b) ∩ A 6= ∅ para ε =
|b−a|
2 .
Por lo tanto, b es punto de acumulación de A.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
b + a
2 < x <
3b − a
2
a < b + a2 < x < b <
3b − a
2
a < x < b
Aśı, x ∈ (a, b) y por tanto, V ′ε(b) ∩ A 6= ∅ para ε =
|b−a|
2 .
Por lo tanto, b es punto de acumulación de A.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ĺımites de Funciones Reales
El concepto de ĺımite en matemáticas tiene el sentido de “lugar”
hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el
infinito. Considere la función dada por la gráfica de la figura y
fijémonos en el punto x = 2 situado en el eje de abscisas:
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
A partir de la gráfica observamos que al acercarnos al punto 2
moviéndonos sobre el eje X tomamos algunos valores a la derecha
o a la izquierda de 2, como 2.1, 2.1, 2,001, 1.9, 1.99, 1.999, las
imágenes de dichos puntos sobre la curva,
f (2,1), f (2,01), f (2.001), f (1.9), f (1.99), f (1.999) se acercan a su
vez a un valor situado en el eje Y . Este valor es y = 3.
De este modo, podemos concluir que el ĺımite de la función f (x)
cuando nos acercamos a x = 2 es 3. Esto lo expresamos de la
siguiente manera:
ĺım
x→2
f (x) = 3.
Por tanto, podemos decir intuitivamente que el ĺımite de una
función en un punto es el valor en el eje Y al que se acerca la
función, f (x), cuando la variable x se acerca, en el eje X a dicho
punto.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
A partir de la gráfica observamos que al acercarnos al punto 2
moviéndonos sobre el eje X tomamos algunos valores a la derecha
o a la izquierda de 2, como 2.1, 2.1, 2,001, 1.9, 1.99, 1.999, las
imágenes de dichos puntos sobre la curva,
f (2,1), f (2,01), f (2.001), f (1.9), f (1.99), f (1.999) se acercan a su
vez a un valor situado en el eje Y . Este valor es y = 3.
De este modo, podemos concluir que el ĺımite de la función f (x)
cuando nos acercamos a x = 2 es 3. Esto lo expresamos de la
siguiente manera:
ĺım
x→2
f (x) = 3.
Por tanto, podemos decir intuitivamente que el ĺımite de una
función en un punto es el valor en el eje Y al que se acerca la
función, f (x), cuando la variable x se acerca, en el eje X a dicho
punto.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
A partir de la gráfica observamos que al acercarnos al punto 2
moviéndonos sobre el eje X tomamos algunos valores a la derecha
o a la izquierda de 2, como 2.1, 2.1, 2,001, 1.9, 1.99, 1.999, las
imágenes de dichos puntos sobre la curva,
f (2,1), f (2,01), f (2.001), f (1.9), f (1.99), f (1.999) se acercan a su
vez a un valor situado en el eje Y . Este valor es y = 3.
De este modo, podemos concluir que el ĺımite de la función f (x)
cuando nos acercamos a x = 2 es 3. Esto lo expresamos de la
siguiente manera:
ĺım
x→2
f (x) = 3.
Por tanto, podemos decir intuitivamente que el ĺımite de una
función en un punto es el valor en el eje Y al que se acerca la
función, f (x), cuando la variable x se acerca, en el eje X a dicho
punto.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Definición
Dada una función f : R→ R y un punto de acumulación de su
dominio, x = a, decimos que el el ĺımite de f (x) cuando x se
aproxima al punto a es L, y se denota por:
ĺım
x→a
f (x) = L
cuando:
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces
|f (x)− L| < ε.
Esta formulación matemática quiere decir que si x está
“suficientemente” cerca de a, entonces su imagen f (x) también
está muy próxima a L.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Definición
Dada una función f : R→ R y un punto de acumulación de su
dominio, x = a, decimos que el el ĺımite de f (x) cuando x se
aproxima al punto a es L, y se denota por:
ĺım
x→a
f (x) = L
cuando:
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces
|f (x)− L| < ε.
Esta formulación matemática quiere decir que si x está
“suficientemente” cerca de a, entonces su imagen f (x) también
está muy próxima a L.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Teorema (Unicidad del Ĺımite)
Sea f una función de una variable real. Si f tiene ĺımite en x = a,
entonces este es único, es decir,
si ĺımx→a f (x) = L y ĺımx→a f (x) = M, entonces L = M.
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Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Calcular el siguiente ĺımite: ĺımx→2
√
x2 − 2
Solución.
Como x se aproxima hacia 2 entonces reemplazamos el valor de
x = 2 en la función:
ĺım
x→2
√
x2 − 2 =
√
(2)2 − 2 =
√
2,
es decir, cuando x se aproxima al valor 2, su imagen f (2) se
aproxima a
√
2.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Calcular el siguiente ĺımite: ĺımx→2
√
x2 − 2
Solución.
Como x se aproxima hacia 2 entonces reemplazamos el valor de
x = 2 en la función:
ĺım
x→2
√
x2 − 2 =
√
(2)2 − 2 =
√
2,
es decir, cuando x se aproxima al valor 2, su imagen f (2) se
aproxima a
√
2.
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Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Ejemplo
Calcular el siguiente ĺımite: ĺımx→2
√
x2 − 2Solución.
Como x se aproxima hacia 2 entonces reemplazamos el valor de
x = 2 en la función:
ĺım
x→2
√
x2 − 2 =
√
(2)2 − 2 =
√
2,
es decir, cuando x se aproxima al valor 2, su imagen f (2) se
aproxima a
√
2.
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Gráficas Funciones Especiales
Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Propiedades de los Ĺımites
Teorema
1. Si k es una constante y a ∈ R, entonces ĺımx→a k = k.
2. Para todo a ∈ R arbitrario se verifica: ĺımx→a x = a.
3. Si m y b son dos constantes positivas cualesquiera, entonces,
ĺımx→a mx + b = ma + b
4. Si ĺımx→a f (x) = L y ĺımx→a g(x) = M, entonces:
i) ĺımx→a[f (x)± g(x)] = L±M
ii) ĺımx→a[f (x) · g(x)] = L ·M
iii) ĺımx→a
[
f (x)
g(x)
]
= LM
iv) ĺımx→a[kf (x)] = kL, k constante.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Propiedades de los Ĺımites
Teorema
1. Si k es una constante y a ∈ R, entonces ĺımx→a k = k.
2. Para todo a ∈ R arbitrario se verifica: ĺımx→a x = a.
3. Si m y b son dos constantes positivas cualesquiera, entonces,
ĺımx→a mx + b = ma + b
4. Si ĺımx→a f (x) = L y ĺımx→a g(x) = M, entonces:
i) ĺımx→a[f (x)± g(x)] = L±M
ii) ĺımx→a[f (x) · g(x)] = L ·M
iii) ĺımx→a
[
f (x)
g(x)
]
= LM
iv) ĺımx→a[kf (x)] = kL, k constante.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Propiedades de los Ĺımites
Teorema
1. Si k es una constante y a ∈ R, entonces ĺımx→a k = k.
2. Para todo a ∈ R arbitrario se verifica: ĺımx→a x = a.
3. Si m y b son dos constantes positivas cualesquiera, entonces,
ĺımx→a mx + b = ma + b
4. Si ĺımx→a f (x) = L y ĺımx→a g(x) = M, entonces:
i) ĺımx→a[f (x)± g(x)] = L±M
ii) ĺımx→a[f (x) · g(x)] = L ·M
iii) ĺımx→a
[
f (x)
g(x)
]
= LM
iv) ĺımx→a[kf (x)] = kL, k constante.
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Propiedades de los Ĺımites
Teorema
1. Si k es una constante y a ∈ R, entonces ĺımx→a k = k.
2. Para todo a ∈ R arbitrario se verifica: ĺımx→a x = a.
3. Si m y b son dos constantes positivas cualesquiera, entonces,
ĺımx→a mx + b = ma + b
4. Si ĺımx→a f (x) = L y ĺımx→a g(x) = M, entonces:
i) ĺımx→a[f (x)± g(x)] = L±M
ii) ĺımx→a[f (x) · g(x)] = L ·M
iii) ĺımx→a
[
f (x)
g(x)
]
= LM
iv) ĺımx→a[kf (x)] = kL, k constante.
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Ĺımites de Funciones Reales
Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
Propiedades de los Ĺımites
Teorema
1. Si k es una constante y a ∈ R, entonces ĺımx→a k = k.
2. Para todo a ∈ R arbitrario se verifica: ĺımx→a x = a.
3. Si m y b son dos constantes positivas cualesquiera, entonces,
ĺımx→a mx + b = ma + b
4. Si ĺımx→a f (x) = L y ĺımx→a g(x) = M, entonces:
i) ĺımx→a[f (x)± g(x)] = L±M
ii) ĺımx→a[f (x) · g(x)] = L ·M
iii) ĺımx→a
[
f (x)
g(x)
]
= LM
iv) ĺımx→a[kf (x)] = kL, k constante.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
Gráficas Funciones Especiales
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Propiedades de los Ĺımites
Teorema
1. Si k es una constante y a ∈ R, entonces ĺımx→a k = k.
2. Para todo a ∈ R arbitrario se verifica: ĺımx→a x = a.
3. Si m y b son dos constantes positivas cualesquiera, entonces,
ĺımx→a mx + b = ma + b
4. Si ĺımx→a f (x) = L y ĺımx→a g(x) = M, entonces:
i) ĺımx→a[f (x)± g(x)] = L±M
ii) ĺımx→a[f (x) · g(x)] = L ·M
iii) ĺımx→a
[
f (x)
g(x)
]
= LM
iv) ĺımx→a[kf (x)] = kL, k constante.
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Propiedades de los Ĺımites
Teorema
1. Si k es una constante y a ∈ R, entonces ĺımx→a k = k.
2. Para todo a ∈ R arbitrario se verifica: ĺımx→a x = a.
3. Si m y b son dos constantes positivas cualesquiera, entonces,
ĺımx→a mx + b = ma + b
4. Si ĺımx→a f (x) = L y ĺımx→a g(x) = M, entonces:
i) ĺımx→a[f (x)± g(x)] = L±M
ii) ĺımx→a[f (x) · g(x)] = L ·M
iii) ĺımx→a
[
f (x)
g(x)
]
= LM
iv) ĺımx→a[kf (x)] = kL, k constante.
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5. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces,
ĺımx→a[f (x)]n = Ln
6. Si f es un polinomio y a es un número real, entonces,
ĺımx→a f (x) = f (a)
7. Si q es una función racional y a ∈ Df , entonces,
ĺımx→a q(x) = q(a).
8. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces:
ĺımx→a n
√
f (x) =
[
n
√
ĺımx→ f (x)
]
= n
√
L
Ejemplo
Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺımx→2(x2 + 2x − 1)
b) ĺımx→−3/2
4x2 − 9
2x + 3
c) ĺımx→1
√
8x + 1
x + 3
5. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces,
ĺımx→a[f (x)]n = Ln
6. Si f es un polinomio y a es un número real, entonces,
ĺımx→a f (x) = f (a)
7. Si q es una función racional y a ∈ Df , entonces,
ĺımx→a q(x) = q(a).
8. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces:
ĺımx→a n
√
f (x) =
[
n
√
ĺımx→ f (x)
]
= n
√
L
Ejemplo
Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺımx→2(x2 + 2x − 1)
b) ĺımx→−3/2
4x2 − 9
2x + 3
c) ĺımx→1
√
8x + 1
x + 3
5. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces,
ĺımx→a[f (x)]n = Ln
6. Si f es un polinomio y a es un número real, entonces,
ĺımx→a f (x) = f (a)
7. Si q es una función racional y a ∈ Df , entonces,
ĺımx→a q(x) = q(a).
8. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces:
ĺımx→a n
√
f (x) =
[
n
√
ĺımx→ f (x)
]
= n
√
L
Ejemplo
Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺımx→2(x2 + 2x − 1)
b) ĺımx→−3/2
4x2 − 9
2x + 3
c) ĺımx→1
√
8x + 1
x + 3
5. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces,
ĺımx→a[f (x)]n = Ln
6. Si f es un polinomio y a es un número real, entonces,
ĺımx→a f (x) = f (a)
7. Si q es una función racional y a ∈ Df , entonces,
ĺımx→a q(x) = q(a).
8. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces:
ĺımx→a n
√
f (x) =
[
n
√
ĺımx→ f (x)
]
= n
√
L
Ejemplo
Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺımx→2(x2 + 2x − 1)
b) ĺımx→−3/2
4x2 − 9
2x + 3
c) ĺımx→1
√
8x + 1
x + 3
5. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces,
ĺımx→a[f (x)]n = Ln
6. Si f es un polinomio y a es un número real, entonces,
ĺımx→a f (x) = f (a)
7. Si q es una función racional y a ∈ Df , entonces,
ĺımx→a q(x) = q(a).
8. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces:
ĺımx→a n
√
f (x) =
[
n
√
ĺımx→ f (x)
]
= n
√
L
Ejemplo
Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺımx→2(x2 + 2x − 1)
b) ĺımx→−3/2
4x2 − 9
2x + 3
c) ĺımx→1
√
8x + 1
x + 3
5. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces,
ĺımx→a[f (x)]n = Ln
6. Si f es un polinomio y a es un número real, entonces,
ĺımx→a f (x) = f (a)
7. Si q es una función racional y a ∈ Df , entonces,
ĺımx→a q(x) = q(a).
8. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces:
ĺımx→a n
√
f (x) =
[
n
√
ĺımx→ f (x)
]
= n
√
L
Ejemplo
Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺımx→2(x2 + 2x − 1)
b) ĺımx→−3/2
4x2 − 9
2x + 3
c) ĺımx→1
√
8x + 1
x + 3
5. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces,
ĺımx→a[f (x)]n = Ln
6. Si f es un polinomio y a es un número real, entonces,
ĺımx→a f (x) = f (a)
7. Si q es una función racional y a ∈ Df , entonces,
ĺımx→a q(x) = q(a).
8. Si ĺımx→a f (x) = L y n es un entero positivo, entonces:
ĺımx→a n
√
f (x) =
[
n
√
ĺımx→ f (x)
]
= n
√
L
Ejemplo
Calcular los siguientes ĺımites:
a) ĺımx→2(x2 + 2x − 1)
b) ĺımx→−3/2
4x2 − 9
2x + 3
c) ĺımx→1
√
8x + 1
x + 3
Gráficas Funciones Especiales
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Preliminares
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Solución
a) f (x) = x2 + 2x − 1 es una función polinómica. Aplicamos el
Teorema 6:
ĺım
x→2
(x2 + 2x − 1) = (2)2 + 2(2)− 1 = 7
Por lo tanto,ĺımx→2(x2 + 2x − 1) = 7.
b) No es posible aplicar directamente los Teoremas, pues se
obtendŕıa un valor indeterminado 00 . Sin embargo, primero
factorizaremos y simplificaremos la expresión:
ĺım
x→−3/2
4x2 − 9
2x + 3 = ĺımx→−3/2
(2x − 3)(2x + 3)
(2x + 3)
= ĺım
x→−3/2
2x − 3 = 2
(
−32
)
− 3 = −6
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Solución
a) f (x) = x2 + 2x − 1 es una función polinómica. Aplicamos el
Teorema 6:
ĺım
x→2
(x2 + 2x − 1) = (2)2 + 2(2)− 1 = 7
Por lo tanto, ĺımx→2(x2 + 2x − 1) = 7.
b) No es posible aplicar directamente los Teoremas, pues se
obtendŕıa un valor indeterminado 00 . Sin embargo, primero
factorizaremos y simplificaremos la expresión:
ĺım
x→−3/2
4x2 − 9
2x + 3 = ĺımx→−3/2
(2x − 3)(2x + 3)
(2x + 3)
= ĺım
x→−3/2
2x − 3 = 2
(
−32
)
− 3 = −6
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Solución
a) f (x) = x2 + 2x − 1 es una función polinómica. Aplicamos el
Teorema 6:
ĺım
x→2
(x2 + 2x − 1) = (2)2 + 2(2)− 1 = 7
Por lo tanto, ĺımx→2(x2 + 2x − 1) = 7.
b) No es posible aplicar directamente los Teoremas, pues se
obtendŕıa un valor indeterminado 00 . Sin embargo, primero
factorizaremos y simplificaremos la expresión:
ĺım
x→−3/2
4x2 − 9
2x + 3 = ĺımx→−3/2
(2x − 3)(2x + 3)
(2x + 3)
= ĺım
x→−3/2
2x − 3 = 2
(
−32
)
− 3 = −6
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
c) Aplicando consecutivamente los Teoremas 8, 7 y 3:
ĺım
x→1
√
8x + 1
x + 3 =
√
ĺım
x→1
[8x + 1
x + 3
]
=
√
ĺımx→1 8x + 1
ĺımx→1 x + 3
=
√
8(1) + 1
1 + 3 =
3
2
Teorema del Emparedado
Sean f , g y h funciones tales que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x
cercano a a con la posible excepción de a. Si ĺımx→a g(x) = L y
ĺımx→a h(x) = L, entonces ĺımx→a f (x) = L.
Ejemplo
Sea 1− x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 1 para todo x próximo de 0, excepto en
0. Hallar ĺımx→0 f (x).
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
c) Aplicando consecutivamente los Teoremas 8, 7 y 3:
ĺım
x→1
√
8x + 1
x + 3 =
√
ĺım
x→1
[8x + 1
x + 3
]
=
√
ĺımx→1 8x + 1
ĺımx→1 x + 3
=
√
8(1) + 1
1 + 3 =
3
2
Teorema del Emparedado
Sean f , g y h funciones tales que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x
cercano a a con la posible excepción de a. Si ĺımx→a g(x) = L y
ĺımx→a h(x) = L, entonces ĺımx→a f (x) = L.
Ejemplo
Sea 1− x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 1 para todo x próximo de 0, excepto en
0. Hallar ĺımx→0 f (x).
Uceda, R.A. Gráficas y Ĺımites de Funciones
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Preliminares
Ĺımites de Funciones Reales
c) Aplicando consecutivamente los Teoremas 8, 7 y 3:
ĺım
x→1
√
8x + 1
x + 3 =
√
ĺım
x→1
[8x + 1
x + 3
]
=
√
ĺımx→1 8x + 1
ĺımx→1 x + 3
=
√
8(1) + 1
1 + 3 =
3
2
Teorema del Emparedado
Sean f , g y h funciones tales que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x
cercano a a con la posible excepción de a. Si ĺımx→a g(x) = L y
ĺımx→a h(x) = L, entonces ĺımx→a f (x) = L.
Ejemplo
Sea 1− x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 1 para todo x próximo de 0, excepto en
0. Hallar ĺımx→0 f (x).
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c) Aplicando consecutivamente los Teoremas 8, 7 y 3:
ĺım
x→1
√
8x + 1
x + 3 =
√
ĺım
x→1
[8x + 1
x + 3
]
=
√
ĺımx→1 8x + 1
ĺımx→1 x + 3
=
√
8(1) + 1
1 + 3 =
3
2
Teorema del Emparedado
Sean f , g y h funciones tales que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para todo x
cercano a a con la posible excepción de a. Si ĺımx→a g(x) = L y
ĺımx→a h(x) = L, entonces ĺımx→a f (x) = L.
Ejemplo
Sea 1− x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 1 para todo x próximo de 0, excepto en
0. Hallar ĺımx→0 f (x).
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Solución
Llamemos g(x) = 1− x2 y h(x) = x2 + 1. Calculando ĺımites
tenemos:
ĺım
x→0
g(x) = limx→0(1− x2) = 1
y
ĺım
x→0
h(x) = limx→0(x2 + 1) = 1
Dado que, por hipótesis g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para valores cercanos
a x = 0, por el teorema del emparedado conclúımos que
ĺım
x→0
f (x) = 1.
Ejercicio
Si ĺım
x→2
2f (x)− 5
x + 3 = 4, hallar ĺımx→2 f (x).
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Solución
Llamemos g(x) = 1− x2 y h(x) = x2 + 1. Calculando ĺımites
tenemos:
ĺım
x→0
g(x) = limx→0(1− x2) = 1
y
ĺım
x→0
h(x) = limx→0(x2 + 1) = 1
Dado que, por hipótesis g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para valores cercanos
a x = 0, por el teorema del emparedado conclúımos que
ĺım
x→0
f (x) = 1.
Ejercicio
Si ĺım
x→2
2f (x)− 5
x + 3 = 4, hallar ĺımx→2 f (x).
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Solución
Llamemos g(x) = 1− x2 y h(x) = x2 + 1. Calculando ĺımites
tenemos:
ĺım
x→0
g(x) = limx→0(1− x2) = 1
y
ĺım
x→0
h(x) = limx→0(x2 + 1) = 1
Dado que, por hipótesis g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para valores cercanos
a x = 0, por el teorema del emparedado conclúımos que
ĺım
x→0
f (x) = 1.
Ejercicio
Si ĺım
x→2
2f (x)− 5
x + 3 = 4, hallar ĺımx→2 f (x).
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