Algebra hispanoamericana

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Álgebra
Álgebra
Michael Sullivan
Chicago State University
ISBN: 968-880-964-0
Agradecimiento especial por su colaboración en la adaptación de esta obra a:
Karim Martínez Cerrato
Coordinadora del Departamento Físico-Matemático
Universidad Tecnológica Centroamericana
Authorized adaptation from the English language edition, entitled Precalculus, 4th. edition by Michael Sullivan, published by
Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright © 1996. ISBN: 0-13-228594-0. All rights reserved.
Adaptación Autorizada de la obra titulada Precálculo, 4a. edición, por Michael Sullivan, publicada por Pearson Education, Inc., pu-
blicada como Prentice Hall, Copyright © 1996. ISBN: 0-13-228594-0. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Editora: María Elena Zahar Arellano 
e-mail: maria.zahar@pearson.com 
Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño 
PRIMERA EDICIÓN, 2008
D.R. @ 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5° Piso
Col. Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031
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o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus
representantes.
ISBN 10: 970-26-1526-7
ISBN 13: 978-970-26-1526-2
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08 
Datos de catalogación bibliográfica
SULLIVAN, MICHAEL 
Álgebra
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008
ISBN: 978-970-26-1526-2
Área: Matemáticas
Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 536
Estimados estudiantes y docentes de UNITEC:
Me da mucho gusto saludarles y poner en sus manos este libro de texto que es parte
de un innovador proyecto dirigido a Ustedes. 
La Universidad Tecnológica Centroamericana está comprometida desde 1987, año de
su fundación, con la calidad y la excelencia académica al punto de ser un estilo de vi-
da en permanente mejora, que les involucra a Ustedes y también a los recursos y
metodologías de enseñanza y aprendizaje propios de las diversas carreras profe-
sionales que ofrecemos. 
A inicios de los 90’s UNITEC incorporó el modelo educativo centrado en el estudian-
te y apoyado en tecnologías de vanguardia para dar respuesta a los retos que el
mundo global plantea, a tal punto que actualmente esta Universidad forma profesio-
nales y ciudadanos en Honduras que sean capaces de desenvolverse competitiva y
exitosamente en los escenarios del mundo globalizado. 
La alianza estratégica que hemos emprendido con el Grupo Editorial Pearson es
garante de la calidad que encontrarán, no sólo en los contenidos temáticos de los
libros de texto con estándares internacionales, sino también en su diseño didáctic o
y a la incorporación de los recursos que permitirán el trabajo autónomo y perso-
nalizado vía web, tan característico del estilo de aprendizaje en la sociedad del si-
glo XXI. 
Este esfuerzo complementa la sistemática profesionalización de los docentes
mediante el Sistema de Excelencia en la Enseñanza, conocido como Programa
SENECA, que les posibilita el perfeccionamiento de su práctica, convirtiéndose en
el sello de la docencia en UNITEC.
Auguro condiciones muy favorables donde el aprendizaje será inevitable, no solo
durante sus años de formación profesional sino durante toda su existencia: Que les
persiga el deseo por avanzar, por descubrir nuevas cosas, por ampliar el conocimiento
acerca de lo que somos y a dónde vamos, pero sobre todo ayudando a construir el
camino que elegimos ¡Que cosechen muchos éxitos y satisfacciones! 
Fraternalmente
Román Valladares
Rector de UNITEC
TEMA 1 C A P Í T U L O 2 Funciones y sus gráficas 1
2.1 Funciones 2
2.2 Más acerca de funciones 17
2.3 Técnicas de graficación 34
2.4 Operaciones con funciones; composición de funciones 46
2.5 Funciones uno a uno; funciones inversas 54
2.6 Modelos matemáticos: construcción de funciones 65
Repaso del capítulo 76
TEMA 2 C A P Í T U L O 3 Funciones racionales y polinomiales 81
3.1 Funciones cuadráticas 82
3.2 Funciones polinomiales 99
3.3 Funciones racionales 113
3.4 Teoremas del residuo y del factor; división sintética 132
3.5 Los ceros de una función polinomial 141
3.6 Aproximación a los ceros reales de una función polinomial 151
3.7 Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra 155
Repaso del capítulo 160
3.8 Funciones con radicales 166
3.9 Funciones seccionadas 176
Autoevaluación del capítulo 3 190
TEMA 3 C A P Í T U L O 4 Funciones exponenciales y logarítmicas 191
4.1 Funciones exponenciales 192
4.2 Funciones logarítmicas 204
4.3 Propiedades de los logaritmos 214
4.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 222
4.5 Interés compuesto 227
4.6 Crecimiento y decaimiento 236
4.7 Escalas logarítmicas 241
Repaso del capítulo 245
C O N T E N I D O
vii
TEMA 4 C A P Í T U L O 9 Geometría analítica 291
9.1 Preliminares 252
1.6 Coordenadas rectangulares y gráficas 253
9.2 La parábola 271
9.3 La elipse 282
9.4 La hipérbola 295
9.5 Rotación de ejes; forma general de una cónica 310
9.6 Ecuaciones polares de las cónicas 318
9.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 323
Repaso del capítulo 331
TEMA 5 C A P Í T U L O 1 0 Sistemas de ecuaciones y desigualdades 337
10.1 Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 338
10.2 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 351
10.3 Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 367
10.4 Sistemas de ecuaciones no lineales 378
10.5 Sistemas de desigualdades 389
10.6 Programación lineal 398
Repaso del capítulo 405
TEMA 6 C A P Í T U L O 1 1 Sucesiones; inducción; métodos de conteo;
probabilidad 411
11.1 Sucesiones 412
11.2 Sucesiones aritméticas 421
11.3 Sucesiones geométricas; series geométricas 426
11.4 Inducción matemática 434
11.5 Teorema del binomio 438
11.6 Conjuntos y métodos de conteo 447
11.7 Permutaciones y combinaciones 452
11.8 Probabilidad 462
Repaso del capítulo 472
Respuestas 479
viii Contenido
1
CAPÍTULO 2
FUNCIONES Y
SUS GRÁFICAS
2.1 Funciones
2.2 Más acerca de funciones
2.3 Técnicas de graficación
2.4 Operaciones con 
funciones; composición 
de funciones
2.5 Funciones uno a uno;
funciones inversas
2.6 Modelos matemáticos:
construcción de 
funciones
Repaso del capítuloPanorama Para ir de una isla a un poblado
Una isla se encuentra a 2 millas del punto más cercano P de una costa 
recta. Un poblado está a 12 millas de dicha costa desde el punto P.
(a) Si una persona puede remar en un bote a una velocidad promedio de 
5 millas por hora, y luego caminar a 2 millas por hora, exprese el 
tiempo T que tarda en ir de la isla al poblado como una función de la
distancia x de P hasta donde la persona deja anclado el bote.
(b) ¿Cuánto tiempo tardará dicha persona en ir de la isla al poblado si 
deja anclado el bote a 4 millas de P?
(c) ¿Y si deja anclado el bote a 8 millas de P? [Ejemplo 9 de la 
sección 2.1.]
(d) ¿Existe un lugar para dejar el bote de modo que el tiempo de 
recorrido sea mínimo? ¿Piensa usted que este lugar es más cercano 
al poblado o a P? Analice las posibilidades y justifique su respuesta.
[Problemas 63 y 64 en el ejercicio 2.1.]
T E M A 1
2 Funciones y sus gráficas
Funciones 3
4 Funciones y sus gráficas
Funciones 5
6 Funciones y sus gráficas
Funciones 7
8 Funciones y sus gráficas
Funciones 9
10 Funciones y sus gráficas
Funciones 11
12 Funciones y sus gráficas
Funciones 13
14 Funciones y sus gráficas
Funciones 15
16 Funciones y sus gráficasMás acerca de funciones 17
18 Funciones y sus gráficas
Más acerca de funciones 19
20 Funciones y sus gráficas
Los siguientes resultados se hacen entonces evidentes:
Más acerca de funciones 21
22 Funciones y sus gráficas
Más acerca de funciones 23
24 Funciones y sus gráficas
Para un análisis de la ecuación y � 1/x. Véase la figura 16.
Más acerca de funciones 25
26 Funciones y sus gráficas
Más acerca de funciones 27
28 Funciones y sus gráficas
Más acerca de funciones 29
30 Funciones y sus gráficas
Más acerca de funciones 31
32 Funciones y sus gráficas
Más acerca de funciones 33
34 Funciones y sus gráficas
Técnicas de graficación 35
36 Funciones y sus gráficas
Técnicas de graficación 37
38 Funciones y sus gráficas
Técnicas de graficación 39
40 Funciones y sus gráficas
Técnicas de graficación 41
42 Funciones y sus gráficas
Técnicas de graficación 43
44 Funciones y sus gráficas
Técnicas de graficación 45
46 Funciones y sus gráficas
Operaciones con funciones; composición de funciones 47
48 Funciones y sus gráficas
Operaciones con funciones; composición de funciones 49
50 Funciones y sus gráficas
Operaciones con funciones; composición de funciones 51
52 Funciones y sus gráficas
Operaciones con funciones; composición de funciones 53
54 Funciones y sus gráficas
Funciones uno a uno; funciones inversas 55
56 Funciones y sus gráficas
Funciones uno a uno; funciones inversas 57
58 Funciones y sus gráficas
Funciones uno a uno; funciones inversas 59
60 Funciones y sus gráficas
Funciones uno a uno; funciones inversas 61
62 Funciones y sus gráficas
Funciones uno a uno; funciones inversas 63
64 Funciones y sus gráficas
Modelos matemáticos: construcción de funciones 65
66 Funciones y sus gráficas
Modelos matemáticos: construcción de funciones 67
68 Funciones y sus gráficas
Modelos matemáticos: construcción de funciones 69
70 Funciones y sus gráficas
Modelos matemáticos: construcción de funciones 71
72 Funciones y sus gráficas
Modelos matemáticos: construcción de funciones 73
74 Funciones y sus gráficas
Modelos matemáticos: construcción de funciones 75
76 Funciones y sus gráficas
Repaso del capítulo 77
60).
78 Funciones y sus gráficas
Repaso del capítulo 79
80 Funciones y sus gráficas
81
CAPÍTULO 3
FUNCIONES
RACIONALES Y
POLINOMIALES
3.1 Funciones cuadráticas
3.2 Funciones polinomiales
3.3 Funciones racionales
3.4 Teoremas del residuo y del
factor; división sintética
3.5 Los ceros de una función
polinomial
3.6 Aproximación a los ceros
reales de una función
polinomial
3.7 Polinomios complejos;
teorema fundamental del
álgebra
Repaso del capítulo
3.8 Funciones con radicales
3.9 Funciones seccionadas
Panorama El puente Golden Gate
El puente Golden Gate, un puente colgante, enmarca la entrada a la bahía de
San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una
distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables de 3
pies de diámetro; el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra a 220
pies aproximadamente sobre el nivel del agua. Los cables tienen forma
parabólica y tocan a la calzada en el centro del puente.
Encuentre la altura del cable a una distancia de 1000 pies desde el centro del
puente.
[Ejemplo 9 en la sección 3.1]
T E M A 2
Agradecemos al profesor Carlos Alberto Mejía Colindres por la elaboración
de las secciones Funciones con radicales y Funciones seccionadas.
82 Funciones racionales y polinomiales
el capítulon el capítulo 2 hicimos las gráficas de
funciones lineales f(x) = ax + b, a ≠ 0; la fun-
ción cuadrática f(x) = x2; y la función cúbi-
ca f(x) = x3. Cada una de estas funciones pertenece
a la clase de las funciones polinomiales, las que es-
tudiaremos un poco más en este capítulo. También
estudiaremos las funciones racionales, que son co-
cientes de funciones polinomiales. En este capítulo
ponemos especial énfasis e n las gráficas de fun-
ciones polinomiales y racionales. Dicho énfasis
demostrará la importancia de la evaluación de poli-
nomios (sección 3.5 y 3.6). La sección 3.7 trata
acerca de los polinomios que tienen coeficientes
que son números complejos. 
E
Funciones cuadráticas 83
84 Funciones racionales y polinomiales
Funciones cuadráticas 85
86 Funciones racionales y polinomiales
Funciones cuadráticas 87
88 Funciones racionales y polinomiales
Funciones cuadráticas 89
90,
90 Funciones racionales y polinomiales
Funciones cuadráticas 91
92 Funciones racionales y polinomiales
Funciones cuadráticas 93
94 Funciones racionales y polinomiales
Funciones cuadráticas 95
96 Funciones racionales y polinomiales
Funciones cuadráticas 97
98 Funciones racionales y polinomiales
Funciones polinomiales 99
Así, una función polinomial es una cuya regla está dada por un polinomio en
una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una
variable.
100 Funciones racionales y polinomiales
Funciones polinomiales 101
102 Funciones racionales y polinomiales
Funciones polinomiales 103
104 Funciones racionales y polinomiales
Funciones polinomiales 105
y construimos la figura 24(a). Por tanto, la gráfica de f está por arriba del eje x para
2 � x � � y por debajo del eje x para � � � x � 0 y 0 � x � 2.
106 Funciones racionales y polinomiales
Funciones polinomiales 107
108 Funciones racionales y polinomiales
Funciones polinomiales 109
110 Funciones racionales y polinomiales
Funciones polinomiales 111
112 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 113
114 Funciones racionales y polinomiales
Ya hemos estudiado las características de la función racional f (x) � 1/x. La
siguiente función racional que nos ocupa es H(x) � 1/x2.
Funciones racionales 115
116 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 117
118 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 119
120 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 121
122 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 123
124 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 125
126 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 127
128 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 129
121
130 Funciones racionales y polinomiales
Funciones racionales 131
132 Funciones racionales y polinomiales
Teoremas del residuo y del factor; división sintética 133
134 Funciones racionales y polinomiales
Teoremas del residuo y del factor; división sintética 135
136 Funciones racionales y polinomiales
Teoremas del residuo y del factor; división sintética 137
138 Funciones racionales y polinomiales
Teoremas del residuo y del factor; división sintética 139
140 Funciones racionales y polinomiales
Los ceros de una función polinomial 141
142 Funciones racionales y polinomiales
Los ceros de una función polinomial 143
144 Funciones racionales y polinomiales
Los ceros de una función polinomial 145
146 Funciones racionales y polinomiales
Los ceros de una función polinomial 147
148 Funciones racionales y polinomiales
Los ceros de una función polinomial 149
150 Funciones racionales y polinomiales
Aproximación a los ceros reales de una función polinomial 151
152 Funciones racionales y polinomiales
Aproximación a los ceros reales de una función polinomial 153
154 Funciones racionales y polinomiales
Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra 155
156 Funciones racionales y polinomiales
Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra 157
158 Funciones racionales y polinomiales
Polinomios complejos; teorema fundamental del álgebra 159
160 Funciones racionales y polinomiales
Repaso del capítulo 161
121
121).
162 Funciones racionales y polinomiales
Repaso del capítulo 163
164 Funciones racionalesy polinomiales
Repaso del capítulo 165
166 Funciones racionales y polinomiales
Funciones
con Radicales
3.8
Se considerarán ahora funciones de la forma
Donde n es un entero positivo y g(x) es una función polinómica no constante.
Sabemos que una raíz de índice impar n siempre está definida en R, independien-
temente del valor del radicando; si el índice n es impar, entonces la raíz estará
definida en R únicamente si el radicando es positivo o cero. Estos conceptos se
extienden también a las funciones con radicales, permitiendo la definición de su do-
minio.
La función tiene como dominio:
i) A todos los números reales, si n es impar
ii) A todas las x tales que g(x) > 0, si n es par.
Para familiarizarnos con las gráficas de las funciones con radicales, comenzaremos
por considerar las funciones De lo expuesto anteriormente,
se deduce que Dom f = [0, + [y que Dom h = R.
A continuación se dan las gráficas de f y h, junto con sus respectivas tablas de
valores
f x xyh x x( ) ( ) .= = 3
f x g xn( ( )=
f x g xn( ( )=
Y
X
3
2
1
1 4 9
f(x) = √x
h(x) = √x
–8 –1
Y
X
1 8
3
FIGURA 45 (a)
FIGURA 45 (b)
x 0 1 4 9
f (x) 0 1 2 3
TABLA DE LA FIGURA 45 (a)
x –8 –1 0 1 8
f (x) –2 –1 0 1 2
TABLA DE LA FIGURA 45 (b)
a)
b)
Funciones con radicales 167
Observando las gráficas, puede determinarse que Rg f = [0, + ]y que Rg H = R;
además, ambas curvas son crecientes en todo su dominio. Note también que h es
impar, ya que 
Las funciones son las reflexiones de f y h, respec-
tivamente; el rango F es [– , 0], mientras que el rango de H es siempre R (vea las
figuras 46 (a) y (b).
f x x H x x( ) y ( ) 3= =
h x x x h x( ) ( )= =3 3
Y
X
F(x) = – √x
FIGURAS 46 (a) y (b) 
Y
X
h(x) = –√h
3
Otras funciones de la forma tendrán una gráfica similar a la de f o a la
de g dependiendo de si el índice del radical es par o impar, respectivamente.
Las traslaciones de las curvas f y h deben efectuarse tomando como punto de
referencia el inicio de la gráfica en el caso de f, y el punto de inflexión en el caso
de h. Dichas traslaciones se dan por medio de las ecuaciones:
donde a estrecha o expande las curvas, y también puede causar reflexiones, depen-
diendo de su valor; el punto (h, k) es el inicio de la gráfica de f, y el nuevo punto de
inflexión en el caso de h.
E J E M P L O 1 Grafique las funciones;
a)
b) h x x( ) = +
1
2
2 13
f x x( ) = 2 1 3
f x a x h k( ) = +3
f x a x h k( ) = +
g x xn( ) =
a)
b)
168 Funciones racionales y polinomiales
Solución: a) El punto de inicio de f es (1, 3). Como a = 2, no hay reflexión en la curva, por
lo que es creciente. No existe intercepto en y (¿por qué?), pero si hacemos y = 0,
se tiene que:
El intercepto en x es entonces ( , 0). La figura 47 (a) muestra la función de h,
donde puede observarse que Dom f = [1, + ] y Rg f = [–3, + ]. El dominio
pudo determinarse al notar que f sólo está definida si x – 1 1.
b) El punto de inflexión de h es (–2,–1). Como a = – , h sufre una inflexión
con respecto a la curva básica , por lo que siempre es decreciente.
Si x = 0, entonces Luego ly:(0, –16).
Si y = 0, entonces
De lo anterior se tiene que lx(0, –10). El dominio y el rango de h son todos los
números reales, tal y como se aprecia en la figura 47 (b).
=10 x
= +8 2x
= +2 23 x
0
1
2
2 13= +x
y = 1
2
2 1 1 63 . .
y x= 3
1
2
13
4
13
4
= x
9
4
1= x
3
2
1= x
0 2 1 3= x
(2, 1)
f(x) = 2√x – 1 –3
(1, –3)
Y
X
–1
–3
FIGURAS 47 (a) y (b)
–10 –2
Y
X
–1
–2
a)
b)
Funciones con radicales 169
Consideremos ahora la función . f está definida siempre que –x 0,
o sea si x 0; el dominio de f es [– , 0]. El efecto del cociente –1 de la x bajo
el radical es el de cambiar el dominio de la función, de forma que el punto que
antes era el inicio de la gráfica se convierte ahora en su punto terminal (vea la
figura 48).
f x x( ) =
f(x) = √–x
Y
X
FIGURA 48
E J E M P L O 2 : Trace la gráfica de las siguientes funciones:
a)
b)
Solución: a) Cuando el cociente de la x es negativo, es necesario encontrar primero el domi-
nio de la función. g está definida en R siempre que 4 – x 0, o sea si x 4; lue-
go, Dom g = [– , 4].
El punto terminal de la gráfica tiene coordenadas (4, –12). Si x = 0, enton-
ces y = –6, por lo que ly: (0, –6). Si y = 0, se tiene que
Por lo que lx: (–12, 0). El rango de g es [–12, + ]; además, g es decreciente
(veáse la figura 49 (a).
b) j está definida en R siempre que 9 –3 0, lo que implica que x 3; de esto se
deduce que Dom j = [– , 3]. El punto Terminal de la gráfica es (3, 2); además,
como a = – , j es una reflexión. Esto queda claro al trazar la curva con la ayu-
da de los interceptores (0, 1) y (–9, 0), como se ve en la figura 49 (b). j es cre-
ciente con Rg j = [– , 2].
1
3
=12 x
16 4= x
4 4= x
0 3 4 12= x
j x x( ) = +1
3
9 3 2
g x x( ) = 3 4 12
170 Funciones racionales y polinomiales
Hasta el momento sólo se han considerado funciones con radicandos lineales; si la
raíz es par, estas funciones tienen como gráfica una de las cuatro curvas que se ven
en la figura 50, según sea el valor de a y el signo de la x dentro del radical.
g(x) = 3√4 – x –12
–12
–6
–12 4
FIGURAS 49 (a) y (b)
j(x) = – √9 – 3x + 2
Y
X
–9
2
1
3
1–3
FIGURA 50
Si el radicando es cuadrático y la raíz es de índice par, debe factorizarse el radi-
cando y luego, por medio de una tabla de variación de signo, establecer para qué
valores de la variable la raíz está definida en R. Encontrando después los inter-
ceptos y algunos puntos adicionales, es posible trazar una gráfica muy aproxima-
da de la función.
a) b) c) d)
a)
b)
Funciones con radicales 171
E J E M P L O 3 : Trace la gráfica de las funciones:
a)
b)
c)
Solución: a) Si se factoriza el radicando, f se puede escribir como:
f está definida en R siempre que
Para resolver esta desigualdad, se elabora la siguiente tabla de variación de signo:
( )( )3 3 0+ x x
f x x x( ) ( )( )= +3 3
j x x x( ) = + +2 2 2
g x x x( ) = + +2 4 3
f x x( ) = 9 2
– –3 3 +
3 + x – + +
3 – x + + –
Producto – + –
– –3 –1 +
x + 3 – + +
x + 1 – – +
Producto + – +
El producto (3 + x)(3 – x) es positivo o cero si x [–3,3], por lo que Dom
f = [–3, 3].
Se puede comprobar fácilmente que los interceptos de f son (–3, 0), (3, 0)
y (0, 3). La gráfica de la función es una semicircunferencia, con rango [0, 3] y
que crece en [–3, 0] y decrece en [0, 3]. Vea la figura 51 (a).
b) Reescribiendo a g, se tiene que
Para establecer el dominio de g, se elabora la siguiente tabla de variación de signo:
g x x x( ) ( )( )= + +3 1
Se tiene que Dom g = [– , –3] U [–1,+ ]. Además, los interceptos de g son (3, 0),
(–1, 0) y (0, ). La gráfica de la función está formada por dos curvas; g decre-
ce en [– , –3] y crece en [–1, + ]. Su rango es [0, + ]. Vea la figura 51 (b).
c) No es posible factorizar el radicando x2 + 2x + 2, ya que su discriminante es ne-
gativo. Esta parábola es siempre positiva, por lo que Dom h = R.
3
172 Funciones racionales y polinomiales
La función no tiene interceptos en x, por la misma razón
ya expuesta; para poder trazar su gráfica, es necesario entonces conocer si j es
mínimo. Los valores que toma j dependen de los valores que toma el radican-
do x2 + 2x + 2, que es una parábola que se abre hacia arriba; ésta curva toma su
valor mínimo en la abscisa del vértice, o sea en h = = –1.
Lo anterior quiere decir que j también toma su valor mínimo en x = h = –1.
Evaluando, se tiene que
(–1, 1) es el punto mínimo de j. Considerando este hecho, junto a que ly:(0, ),
y tomando además algunos puntos adicionales, se obtiene la gráfica de la figu-
ra 51 (c). El rango de j es [1, + ]; la función decrece en [– , –1] y crece en [–1,
+ ].
2
j( ) ( ) ( )= + + =1 1 2 1 2 12
2
2
j x x x( ) = + +2 2 2
Y
X
–3 3
3 f(x) = √9 – x2
FIGURAS 51 (a), (b) y (c)
Y
X
g(x) = √x2 + 4x + 3
(– 4, √3 )
√3
–4 –3 –2 –1
2
1
j(x) = √x + 2x + 22
(–2, √2 )
√2
–2 –1
2
1
Y
X
a)
b)
c)
Funciones con radicales 173
Cualquier función con un radicando cuadrático y de índicepar tendrá una grá-
fica parecida a una de las tres vistas en el ejemplo anterior, por lo que es conve-
niente tener presente su forma.
Considérese ahora la función 
Su dominio es el intervalo [0, + ], puesto que el cero es ahora un valor
prohibido. Tal y como ocurre con todas las funciones racionales, el valor prohi-
bido de f determina una asíntota vertical; la curva se acercará a dicha asíntota
en dirección a + en y puesto que f no puede tomar valores negativos. A medida
que x tiende a + , el cociente tenderá a cero, por lo que la recta y = 0 (que
coincide con el eje x) es la asíntota horizontal de f. En la figura 52 se ve la grá-
fica de la función, junto con algunos puntos tomados como referencia.
1
x
f x
x
( ) = 1
(1/4, 2)
(1, 1)
f(x) =
√X
1
(4, 1/2)
1 2 3 4
Y
X
2
1
FIGURA 52
f es decreciente en todo su dominio, y su rango es [0,+ ].
E J E M P L O 4 : trace la gráfica de la función
Solución: h es una traslación y reflexión de . Note que la nueva asíntota vertical es
x = 2, y la asíntota horizontal es y = 1. No existe intercepto en y (¿por qué?). Si ha-
cemos y = 0, se tiene que
x = 3
x =2 1
x =2 1
1
1
2
=
x
0
1
2
1= +
x
f x
x
( )
.
= 1
h x
x
( ) = +1
2
1
174 Funciones racionales y polinomiales
El intercepto en x es (3, 0). La figura 53 ilustra la gráfica de h, pudiendo observar-
se que Dom h = [2, + ] y que Rg h = [ – , 1]; además, h es creciente en todo su
dominio.
Y
X
2
1
–1
1 2 3 4 5 6
FIGURA 53
Las siguientes curvas son translaciones y/o reflexiones de . Determine sus ecuaciones.f x x( ) =
Ejercicio 3.8
3.8
–3
–2
Y
X
–5
Y
X
Y
X
2
1. 2. 3.
Funciones con radicales 175
Trace la gráfica de las siguientes funciones, indicando: el dominio, rango, interceptos, intervalos de crecimien-
to y de decrecimiento.
Y
X10 –7
5
Y
X
Y
X
–16
Y
X
–11
Y
X
12
–8
Y
X
6
Y
X
16
Y
X
–3
2
Y
X
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13.
16. j x x( ) = +1 2 83
f x x( ) = 4 14.
17. k x x( ) = 3
g x x( ) = 5 15.
18. f x x( ) 1 32
3 +
h x x( ) = +1 23
176 Funciones racionales y polinomiales
19.
22.
25.
28.
31.
34.
37.
40.
43.
46.
49. j x x( ) = 1 3
f x
x
( ) = 3 6
1
4
m x
x
( ) =
+
1
4
h x
x
( ) = 1
y x x= +2 8 2 12
h x x( ) = 4 4 2
k x x x( ) = 2 8
h x x( ) = 4 2
n x x( ) = 4 8 1
4
y x= +2 3 3
g x
x
( ) = 2
2
20.
23.
26.
29.
32.
35.
38.
41.
44.
47.
50. k x x( ) =
2
3
g x
x
( ) = 1
1 2
n x
x
( ) = 1
9
j x
x
( ) = 1
f x x x( ) = +2 4 5
j x x x( ) = +2 9 14
f x x x( ) = + +2 12 11
j x x( ) = 2 4
f x x( ) = 2 1
j x x( ) = +1 2
h x x( ) = +3 4 6 21.
24.
27.
30.
33.
36.
39.
42.
45.
48. h x
x
( ) = 1
12
y
x
= +2
3 2
1
k x
x
( ) = 1
g x x x( ) = + +4 24 382
k x x x( ) = + +12 8 4 12
g x x x( ) = +2 8 7
y x= +4 9 12
g x x( ) = 1 2
k x x( ) = 3 4
m x x( ) = +8 4 9
51. Determine el dominio e interceptos de la función f x x x x x( ) = + +2 5 23 38 244 3 2
Funciones
Seccionadas
Las funciones seccionadas tienen la particularidad de definirse por intervalos; es-
to quiere decir que su dominio se considera como la unión de intervalos separados,
y en cada uno la función tomará una forma específica.
Considérese como primer ejemplo la función mayor entero, denotada por
f (x) = [x]
Esta función asigna sus imágenes de la siguiente forma: Si x es un entero, enton-
ces [x] = x; si x está entre dos enteros consecutivos n y n + 1, entonces [x] = n.
A continuación se dan algunos ejemplos:
=3 25 6 6.[ ] =3 4 3.[ ] =
2 1=32 1=100 100[ ] =
[ ] =200 1 201.12 0=[ ] =2 2
3.9
Funciones seccionadas 177
Se ha podido observar que es posible encontrar el mayor entero de cualquier núme-
ro real, por lo que el dominio de f es R. Esta función recibe el nombre de mayor en-
tero ya que asigna a todo número x el entero más grande que es menor o igual a x;
de esta forma, para 4.2, se escoge a 4 como su mayor entero, y no a 3 ni a 2, etcé-
tera.
Para trazar una parte de la gráfica de f(x) = [x], es necesario observar que si,
por ejemplo, –4 x < –3, entonces [x] = –4; esto significa que el intervalo [–4, –3]
tiene como imagen a –4. De igual forma,
La gráfica de f (x) = [x] consiste de infinitos escalones ascendentes, que en realidad
son pequeñas funciones constantes, definidas por intervalos.
3 4 3< [ ] =x x
2 3 2< [ ] =x x
1 2 1< [ ] =x x
0 1 0< [ ] =x x
< [ ] =1 0 1x x
< [ ] =2 1 2x x
< [ ] =3 2 3x x
Y
X
–4 –3 –2 –1
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
1 2 3 4
FIGURA 54
= + = 
178 Funciones racionales y polinomiales
El rango de f es Z; f es constante en los intervalos [n, n + 1], donde n Z.
Las traslaciones de la función mayor entero están dadas por:
.
E J E M P L O 1 : Trace la gráfica de en el intervalo [–3, 3].
Solución: La gráfica de f es una traslación horizontal (de una unidad hacia la derecha) y ver-
tical (de una unidad hacia arriba) de la gráfica base y = [x]; además, f es una refle-
xión de dicha gráfica.
Para trazar la gráfica de f, se subdivide el intervalo [–3, 3] en intervalos con
extremos enteros consecutivos; luego, se sustituye un número cualquiera de cada
subintervalo (de preferencia el extremo izquierdo) en la función f para determinar
la imagen de todo el subintervalo. A continuación se detalla el proceso.
La gráfica se ve en la figura 55.
2 3 1 1 1 1 0< [ ]+ = [ ]+ =x x
1 2 1 1 0 1 1< [ ]+ = [ ]+ =x x
0 1 1 1 1 1 2< [ ]+ = [ ]+ =x x
< [ ]+ = [ ]+ =1 0 1 1 2 1 3x x
< [ ]+ = [ ]+ =2 1 1 1 3 1 4x x
< [ ]+ = [ ]+ =3 2 1 1 4 1 5x x
f x a x( ) [ ]= +1 1
f x a x h k( ) [ ]= +
Y
X
1 2 3
4
5
–3 –2 –1
1
2
3
FIGURA 55
Funciones seccionadas 179
E J E M P L O 2 : Trace la gráfica de la función f (x) = [2x] en [–2, 2].
Solución: El coeficiente 2 de la variable x afecta la forma en que se toman los subintervalos
de [–2, 2]; en esta ocasión, la función asignará un nuevo entero cada media uni-
dad de x. Note, por ejemplo, que f (–2) = [2(–2)] = –4 y f(–1) = [2(–1)] = –2, por lo
que la imagen –3 debe pertenecer a x = –3/2. La partición adecuada de [–2, 2], así
como la asignación de las imágenes por subintervalos, se da a continuación.
La gráfica de f puede verse en la figura 56, donde se aprecia que el dominio y ran-
go de f no cambian con respecto a los de la gráfica base y = [x]; sin embargo, pue-
den darse casos donde estos conjuntos varían, e incluso la forma típica escalonada de
las funciones cambia.
3
2 2 2 2
3
2 3< [ ] = ( ) =x x
1 32 2 2 1 2< [ ] = ( ) =x x
1
2 1 2 2
1
2 1< [ ] = ( ) =x x
0 12 2 2 0 0< [ ] = ( ) =x x
< [ ] = ( ) =12 0 2 2 12 1x x
< [ ] = ( ) =1 12 2 2 1 2x x
< [ ] = ( ) =32 1 2 2 32 3x x
< [ ] = ( ) =2 32 2 2 2 4x x
Y
X
–4 –3 –2 –1
1
2
3
–4
–3
–2
–1
1 2 3 4
FIGURA 56
180 Funciones racionales y polinomiales
E J E M P L O 3 : Trace la gráfica de f (x) = [x] + x es el intervalo[–3,2].
Solución: Ya que la función mayor entero es constante por intevalos, f se compone de seg-
mentos de recta de la forma y = n + x para cada intervalo [n, n + 1]. Dividiendo
el intervalo [–3, 2] en forma apropiada, tenemos que:
Cada segmento de recta se traza tomando como referencia los extremos del interva-
lo correspondiente, cuidando de dejar abierto siempre el punto del extremo derecho
(vea la figura 57). El dominio de f es Z, mientras que su rango consta de todos los
intervalos de la forma [2n, 2n + 1], donde n es un entero cualquiera.
x f= = + =2 2 2 2 4( )
1 2 1< = +x f x x( )
0 1< =x f x x( )
< = +1 0 1x f x x( )
< = +2 1 2x f x x( )
< = +3 2 3x f x x( )
Y
X
–1
–2
–3
–4
–5
–6
1
2
3
4
–1–2–3 1 2
FIGURA 57
Funciones seccionadas 181
La función escalón, denotada por U(x), y la función signo, denotada por sgn(x)
son otros dos ejemplos de funciones seccionadas muy útiles, definidas como sigue:
U(x) = {0, si x < 01, si x 0
sgn(x) = { –1, si x < 00, si x = 01, si x > 0
Estas funciones asignan sus imágenes por categorías. U(x) tiene dos categorías para
los valores de x y sng(x) tiene tres. Si x = 0, entonces U(0) = 1, ya que 0 0; en
cambio, por definición, sng(0) = 0.
También:
U(3) = 1, yaque 3 0
sgn(3) = 1, ya que 3 > 0
U( ) = 0, ya que – < 0
sgn( ) = –1, ya que – < 0
Las gráficas de U(x) se ven a continuación.
22
22
Y
X
–1
1
Y
X
FIGURAS 58 (a) y (b) a) b)
El dominio de ambas funciones es R; el rango de sgn(x) es {– 1,0,1}, y el de U(x)
es {0, 1}. Note además que sgn(x) es impar.
E J E M P L O 4 : Tace la gráfica de las siguientes funciones:
a) U(x/2)
b) sgn(x) – 3
Solución: a) Siguiendo la definición de la función escalón, se tiene que:
U(x – 2) = {0, si x – 2 < 0 = {0, si x < 21, si x – 2 0 1, si x 2
La gráfica de U(x – 2) se ve en la figura 59 (a); esta función es una traslación
horizontal de U(x).
182 Funciones racionales y polinomiales
b) La función sgn(x) – 3 es una traslación vertical de sgn(x), puesto que se ob-
tiene al mover 3 unidades hacia abajo la gráfica ya conocida. La definición de
sgn(x) – 3 es la siguiente:
sgn(x) – 3 = {–1 –3, si x ‹ 0 –4, si x < 00 – 3, si x = 0 = {–3, si x = 0
1 – 3, si x > 0 –2, si x > 0
Puede apreciarse en la figura 59 (b) que el rango de sgn(x) – 3 es {– 4, – 3, – 2}.
Y
X
1
1 2
Y
X
–1
–2
–3
–4
FIGURAS 59 (a) y (b) a) b)
Se considerará ahora la función valor absoluto, definida por
f (x) = |x|
Sabemos que, por definición,
|x| = {– x, si x < 0x, si x 0
Podemos entonces considerar a la función valor absoluto como una función
seccionada en dos categorías. Si x <0, entonces las imágenes se dan en la recta
y = – x; si x 0, entonces la recta y = x (perpendicular a la anterior) dará las imá-
genes. la unión de ambas rectas forma una gráfica en forma de V (véase la figu-
ra 60) que es típica de las funciones con valor absoluto de argumento lineal.
Y
X
y = –x
(–1, 1)
2
1 (1, 1)
y = x
f(x)=/x/ 
21–2 –1
FIGURA 60
Funciones seccionadas 183
El dominio de la función f (x) = |x| es R y su rango es [0, + ]; además, f es par.
Las traslaciones de la función valor absoluto están dadas por:
f(x) = a|x – h| + k
donde el punto (h, k) corresponde al vértice de la gráfica, y a determina la aper-
tura de la V, así como dirección hacia dónde ésta se abre.
E J E M P L O 5 : Trace la gráfica de f (x) = – 1/2|x + 2| + 1
Solución: El vértice de f se encuentra en el punto (– 2, 1); además, la gráfica de f se abre hacia
abajo, por lo que ésta corta el eje x en dos puntos, que serán los interceptos en x.
Si x = 0 entonces y = – 1/2|2| + 1 = 0, por lo que ly:(0, 0); este punto es tam-
bién uno de los interceptos en x que ya se anticiparon.
Si y = 0, se tiene que:
0 = – 1/2|x + 2| + 1
2 = |x + 2|
Esta ecuación plantea dos posibilidades: o bien x + 2 = 2 o x + 2 = – 2, de lo que
resultan las soluciones x = 0 y x = – 4. Se forman entonces los interceptos en x de
coordenadas (0,09), que ya fue determinado, y(– 4, 0).
Al ver la figura 61, se determina que el rango de f es [– , – 2] y decrece en
[– 2 + [–
Y
X
f(x) = – 1/2 x + 2 + 1
–4 –3 –2 –1
1
2
Y
X
y = f(x)
FIGURA 61
FIGURA 62
Puede comprobarse que las dos rectas que componen la gráfica de f tienen ecuacio-
nes y = x/2 y y = x/2 + 2. 
Considérese la siguiente gráfica de una función f.
184 Funciones racionales y polinomiales
Suponga que se define la función h como h(x) = |f(x)| h convierte en positivas todas
las ordenadas negativas de f; esto significa que h refleja la parte negativa de f sobre
el eje de x. La gráfica de h puede verse a continuación.
Y
X
h(x) = f(x)
FIGURA 63
E J E M P L O 5 : Trace la gráfica de las siguientes funciones:
a) f (x) = |x2 – 4|
b) f (x) = |x3|
c) f x =
Solución: a) La curva y = x2 – 4 es una parábola de vértice en el punto (0, –4) y de inter-
ceptos en x de coordenadas (– 2, 0), (2, 0); la figura 64 (a) muestra esta curva,
mientras que en la 64 (b) se ve la gráfica de f (x) = |x2 – 4|, en donde la parte
de la parábola que originalmente se encontraba bajo el eje x se ha doblado ha-
cia arriba.
x
Y
X
–2 2
4
–4
Y
X
4
–4
–2 2
FIGURAS 64 (a) y (b) a) b)
Funciones seccionadas 185
b) La figura 65 muestra la gráfica de f (x) = |x3|; la parte punteada donde se encon-
traba originalmente la curva y = x3
Y
X
FIGURA 65
c) La función f(x) = está definida siempre y cuando |x| 0, como esto es cier-
to para cualquier valor de x, concluimos que Dom f = R.
Sabemos que
x = {– x, si x < 0x, si x 0
por lo que podemos escribir a f como
f (x) = { , si x < 0
, si x 0
Las curvas que conforman a f ya fueron vistas en la sección 3.8 (véanse las fi-
guras 45 (a) y 48. La reunión de ambas en un mismo plano es la gráfica de f (vea
la figura 66).
x
x
x
Y
X
1 2 3 4–1–2–3–4
1
2
FIGURA 66
Es necesario resaltar la diferencia en resolución del inciso c) con respecto a los
incisos a) y b); en estos últimos se tomaba el valor absoluto de una función,
mientras que en el inciso c) se toma el valor absoluto del argumento de una fun-
ción. Mientras que a) y b) pudieron resolverse directamente en forma de gráfi-
ca, la función del inciso c) necesitó ser redefinida para luego graficarse. 
Ahora se considerarán funciones que se conforman de diferentes partes de
funciones conocidas.
186 Funciones racionales y polinomiales
E J E M P L O 6 : Trace la gráfica de 
f(x) = {x + 3, si x < – 13, si x = – 13 – x, si – 1 < x < 1
4x – x2, si x 1
SOLUCIÓN: f se compone de dos secciones de recta, una sección de parábola y del punto (–1, 3).
La primera recta, y = x + 3, se define para las x < – 1; el punto (– 1, 2) perte-
nece a la recta pero no así a la sección que se tomará de ella; se dejará abierto este pun-
to en la gráfica para que sirva únicamente como referencia. El intercepto (– 3, 0),
cuya abscisa se encuentra en [– , – 1], ayuda a trazar la primera parte de la gráfi-
ca de f.
Y
X
–3 –2 –1
1
2
3
4
FIGURA 67 (a)
El punto (– 1, 3) también se dibujo en esta fase. La recta y = 3 – x se define en el
intervalo [– 1,1]; en este caso, deben tomarse los valores extremos del intervalo que,
aunque abiertos, servirán como referencia. Es así como los puntos (– 1, 4) y (1, 2)
son los extremos (abiertos) del segmento de recta que se traza a continuación.
Y
X
4
3
2
1
–3 –2 –1 1
FIGURA 67 (b)
La parábola y = 4x – x2 se define en el intervalo [1, + ]. El punto (1, 3), el vértice
(2, 4) y el intercepto (4, 0) ayudan a trazar esta última parte de f.
Funciones seccionadas 187
El dominio de f es [ , – 1]U{– 1}U]– 1,1[U]1, + [= R
El rango de f es [– , 4]. 
E J E M P L O 7 : Trace la gráfica de: 
g(x) = { si |x| 3
si |x| 5
S O L U C I Ó N : Usando las propiedades del valor absoluto
|x | a, si y sólo si – a x a
|x | a, si y sólo si x a ó x – a
podemos deducir que g toma la forma de la curva y = siempre que – 3
x 3; para x 5 o x –5, g asumirá la forma de las curvas descritas por la ecua-
ción y = .
La gráfica de g se ve en la figura 3.3.15, donde además se puede comprobar
que Dom f = [– , – 5]U[– 3, 3]U[5, + ], y que Rg g = [0, + ].
x2 25
9 2x ,
x2 25,
9 2x ,
Y
X
4
3
2
1
–3 –2 –1 1 32 4
FIGURA 67 (c)
Y
X
–3 3
3
FIGURA 68
188 Funciones racionales y polinomiales
Trace la gráfica de las siguientes funciones y establezca su dominio, rango e intervalos de crecimiento y decre-
cimiento.
Ejercicio 3.9
3.9
1. f(x) = [x]– 2, en [– 3,2]
3. h(x) = – 2[– 2,2]
5. f(x) = 3 – [– 2,3]
7. h(x) = [x + ]en[– , ]
9. f(x) = [x/2], en [– 4,4]
11. g(x) = [x/3], en [– 5,4]
13. k(x) = [x2], en [0,3]
15. g(x) = x – [x], en [– 2,3]
17. j(x) = [x]/x, en [– 2,2] – {0}
19. –sgn(x)
21. sgn(– x)
23. U(x + 3)
25. U(x + 1) – 2
27. 2sgn(x – 1) –1
29. f(x) – |x|
31. h(x) = |3x + 1|
33. k(x) = 3|x|
35. g(x) = |x – 3| – 2
37. j(x) = – 1 – |x – 5|
39. f(x) = 3 – 2|x – 2|
41. h(x) = |x2 – 16x + 60|
43. k(x) = |– 1 + 1/(x + 1)|
45. y = |x3 – 1|
47. f(x) = ||6–2|1 – x||
49. h(x) = –
51. k(x) = 1 – 1
53. f(x) = {x + 2, si x < – 1
3 – x, si x – 1
| |x 4
| |3 x
5
3
7
3
1
2
2. g(x) = [x– 2] en [– 3, 2]
4. k(x) = 2[x + 1]–1, en [– 3, 3]
6. g(x) = [x + ], en [– 2, ]
8. k(x) = [3x], en [– 1, 1]
10. h(x) = [4x], en [– 1, 1]
12. j(x) = [–x], en [– 3, 3]
14. f(x) = [x] – x, en [– 3, 2]16. h(x) = x/[x], en [– 3, 0] U [1, 3]
18. k(x) = |[x]|, en [– 3,3]
20. –U(x)
22. U(– x)
24. sgn(2 – x)
26. sng(2x + 1) + 4
28. 1/2U(3 – x) + 2 
30. g(x) = |– x|
32. j(x) = |x| – 4
34. f(x) = 1/2 |x|
36. h(x) = 2|4 – x| + 3
38. k(x) = 2 – 1/4 |x + 8|
40. g(x) = |9 – x2|
42. y = |1/x|
44. f(x) = |2 – |
46. f(x) = |U(x)|
48. g(x) =
50. j(x) = 1/|x|
52. y = [– 3,3]
54. f(x) = {– x
2 – 4, si x < 0
x2 – 4x, si x 0
| |x 1
4 x
1
2
5
2
Funciones seccionadas 189
55.
57.
59.
61.
63.
65.
67. f x
x
x x
( )
,
=
<3 2 si 
1– , si –2 < < –1
2, si –1 xx
x x
x
3
5 – , si 3 <4
1, si 4
f x
x x
x x
x
( )
( ) ,
=
+ + <1
8
3 8 13
, <1
–
4
3
+ 3 + 4 –
3
2 55
3
, >1x
h x
x
x x
x
( )
,
,
=
<0 0
1
 si 
 , si 0 <1 2
1–3(1 – ) si
2
2
22 1
1
<x
x1, si 
k x
x x si x
x x x
x
( )
,
=
<2 6 8 1
– –2 , si –2 < 0
–2
2
2 xx x
x x x
, si 0 < 2
–6 + 8, si 2 2
h x
x x
x
x
x
( ) ,=
+
+
2 2 8
4
4 si 
–2, si = 4
g x
x x
x x
x
( )
,
=
4 22 si 
–2 – , si < –2
– 2, si xx > 2
f x
x si x y x
x
x
( )
,
=
+ 3 1 3 
2, si =1
0, si =3
56.
58.
60.
62.
64.
66. f x
x x x
x x x
( )
,= + <2 4 0
2 –2 
–2 – -4 – , 0 < 22
f x
x
x x
x x( )
,
,
,=
<
<
<
0 0
1
4 0 1
1
2
1
4 1
2 si 
 si 
si
11
3
3
<1
4
+
3
2
–
5
4
, si 2
1, si 
2x x x
x
f x
x
x
x( )
,
,=
<
<
0 1
2 3
 si 
1
5, si 1 < 2
2
5 si 
4
5, si 3 < 5
1, si > 5
x
x
j x
x x
x x x
( )
,= 1 1 si 
8 – 7 – , si > 12
f x x
x
x
( ) ,=
1
2
2 si 
1, si = 2
f x
x x
x x
x x
( )
,
=
<
[ ]
 si 
, si –2 < 2
-1, si 2
2
190 Funciones racionales y polinomiales
Autoevaluación del capítulo 3
Trace la gráfica de las siguientes funciones y determine su dominio, rango e intervalos de crecimiento y de decre-
ciento.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25. f x
x x x
x x
x
( )
,
( ) ,
,
=
<
+ <
+[ ]
2
2
8 12 3
3 2 3 1
4 1 xx
x x
<
+
2
7 2,
h x x( ) = 3 1
f x x( ) = 5 2 7
j x x( ) sgn( )= 2 3
g x x( ) = – 2 + 1, en –3, 2[ ] [ ]
k x x( ) /= 1 1 2
h x x( ) = +2 1
f x x( ) /= 1 9 2
j x x( ) = +1 1
2
273
g x
x x
x
( ) = +
2 6
j x
x x
x x
( ) = +4 3 10
5 4
2
2
h x
x x
x x
( ) = +
+
12 12 7
4 4 1
2
2
g x
x x
( ) =
+ +
4
1
6 92
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26. f x
x x
x x
x
( )
,
,
,
= = =
< <
2 2
1 3 4
0 3 4
 o 
j x x( ) = +1 1
g x x( ) = +2 3 9 6
k x U x( ) = +( )3 4 1
h x x x( ) – , – ,= [ ] [ ] en 3 3
f x x( ) – , – ,= [ ] [ ]4 1 en 1
j x x x( ) = +2 8 7
g x x x( ) = +8 2 32
k x x( ) = +2 5
h x
x
x
( ) =
+
3
2 2
f x
x
x x
( ) = 1
22
k x
x x x
x
( ) = + +
3 24 6
3
f x
x
x
( ) =
+
2 3
1
191
CAPÍTULO 4
FUNCIONES
EXPONEN-
CIALES Y
LOGARÍTMICAS
4.1 Funciones exponenciales
4.2 Funciones logarítmicas
4.3 Propiedades de los
logaritmos
4.4 Ecuaciones logarítmicas y
exponenciales
4.5 Interés compuesto 
4.6 Crecimiento y decaimiento 
4.7 Escalas logarítmicas 
Repaso del capítulo
Panorama Alcohol y manejo
Es posible medir la concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investi-
gaciones médicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como un porcentaje) de
tener un accidente automovilístico puede ser modelado mediante la ecuación
R = 6ekx
Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante.
(a) Suponga que una concentración de 0.04 de alcohol en la sangre produce un
riesgo del 10% (R = 10) de sufrir un accidente. Determine la constante k de
la ecuación.
(b) Utilice el valor de k e indique cuál es el riesgo si la concentración asciende 
a 0.17.
(c) Con el mismo valor de k indique la concentración de alcohol correspondiente
a un riesgo del 100%.
(d) Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir
un accidente no deben manejar, ¿con cuál concentración de alcohol en la
sangre debe un conductor ser arrestado y multado? [Véase el ejemplo 9 en la
sección 4.2]
T E M A 3
192 Funciones exponenciales y logarítmicas
Si a es un número real y n un entero positivo, entonces el símbolo an representa el
producto de n factores de a. Con base en este análisis, damos significado a expre-
siones de la forma
Funciones exponenciales 193
194 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales 195
196 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales 197
198 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales 199
200 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales 201
202 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones exponenciales 203
204 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones logarítmicas 205
206 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones logarítmicas 207
208 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones logarítmicas 209
210 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones logarítmicas 211
212 Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones logarítmicas 213
194.
214 Funciones exponenciales y logarítmicas
Propiedades de los logarítmos 215
y
216 Funciones exponenciales y logarítmicas
Propiedades de los logarítmos 217
218 Funciones exponenciales y logarítmicas
Propiedades de los logarítmos 219
220 Funciones exponenciales y logarítmicas
Propiedades de los logarítmos 221
222 Funciones exponenciales y logarítmicas
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 223
224 Funciones exponenciales y logarítmicas
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 225
153)
226 Funciones exponenciales y logarítmicas
Interés compuesto 227
228 Funciones exponenciales y logarítmicas
Interés compuesto 229
230 Funciones exponenciales y logarítmicas
Interés compuesto 231
232 Funciones exponenciales y logarítmicas
Interés compuesto 233
234 Funciones exponenciales y logarítmicas
Interés compuesto 235
236 Funciones exponenciales y logarítmicas
Crecimiento y decaimiento 237
238 Funciones exponenciales y logarítmicas
Crecimiento y decaimiento 239
240 Funciones exponenciales y logarítmicas
Escalas logarítmicas 241
242 Funciones exponenciales y logarítmicas
Escalas logarítmicas 243
244 Funciones exponenciales y logarítmicas
Repaso del capítulo 245
246 Funciones exponenciales y logarítmicas
Repaso del capítulo 247
248 Funciones exponenciales y logarítmicas
Coordenadas rectangulares y gráficas 249
251
CAPÍTULO 9
GEOMETRÍA
ANALÍTICA
9.1 Preliminares 
1.6 Coordenadas rectangulares 
y gráficas
9.2 La parábola 
9.3 La elipse
9.4 La hipérbola
9.5 Rotación de ejes; forma
general de una cónica
9.6 Ecuaciones polares de las
cónicas
9.7 Curvas planas y ecuaciones
paramétricas
Repaso del capítulo
Panorama Antenas parabólicas
Una antena parabólica tiene la figura de un paraboloide de revolución; una
superficie que se forma al hacer girar una parábola alrededor de su eje de
simetría. Las señales que provienen de un satélite chocan en la superficie de
una antena parabólica y son reflejadas hacia un solo punto, donde está
colocado el receptor. Si la antena mide 8 pies de diámetro en su abertura y
tiene 3 pies de profundidad en su centro, ¿en qué posición debe ser colocado el
receptor? [ejemplo 8 en la sección 9.2].
T E M A 4
252 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 253
254 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 255
256 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 257
258 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 259
260 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 261
262 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 263
264 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 265
266 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 267
268 Geometría analítica
Coordenadas rectangulares y gráficas 269
270 Geometría analítica
La parábola 271
272 Geometría analítica
La parábola 273
274 Geometría analítica
Laparábola 275
276 Geometría analítica
La parábola 277
278 Geometría analítica
La parábola 279
280 Geometría analítica
La parábola 281
282 Geometría analítica
La elipse 283
284 Geometría analítica
La elipse 285
286 Geometría analítica
La elipse 287
288 Geometría analítica
La elipse 289
Análisis de la ecuación de una elipse
290 Geometría analítica
La elipse 291
292 Geometría analítica
La elipse 293
294 Geometría analítica
La hipérbola 295
296 Geometría analítica
La hipérbola 297
298 Geometría analítica
La hipérbola 299
300 Geometría analítica
La hipérbola 301
302 Geometría analítica
La hipérbola 303
304 Geometría analítica
La hipérbola 305
306 Geometría analítica
La hipérbola 307
308 Geometría analítica
La hipérbola 309
310 Geometría analítica
Rotación de ejes; forma general de una cónica 311
312 Geometría analítica
Rotación de ejes; forma general de una cónica 313
314 Geometría analítica
Rotación de ejes; forma general de una cónica 315
316 Geometría analítica
Rotación de ejes; forma general de una cónica 317
318 Geometría analítica
Ecuaciones polares de las cónicas 319
La ecuación dada no está completamente en la forma de la ecuación (4), ya que el
primer término en el denominador es 2 en lugar de 1. Así, dividimos el numerador
y el denominador entre 2 para obtener
320 Geometría analítica
Ecuaciones polares de las cónicas 321
322 Geometría analítica
Curvas planas y ecuaciones paramétricas 323
324 Geometría analítica
Curvas planas y ecuaciones paramétricas 325
326 Geometría analítica
Curvas planas y ecuaciones paramétricas 327
328 Geometría analítica
Curvas planas y ecuaciones paramétricas 329
330 Geometría analítica
Repaso del capítulo 331
332 Geometría analítica
Repaso del capítulo 333
334 Geometría analítica
Repaso del capítulo 335
337
CAPÍTULO 10
SISTEMAS DE
ECUACIONES Y
DESIGUALDADES
10.1 Sistemas de ecuaciones
lineales: sustitución;
eliminación
10.2 Sistemas de ecuaciones
lineales: matrices
10.3 Sistemas de ecuaciones
lineales: determinantes
10.4 Sistemas de ecuaciones no
lineales 
10.5 Sistemas de desigualdades
10.6 Programación lineal
Repaso del capítulo
Panorama Carreras
En una carrera de una milla, el ganador cruzó la meta 10 pies antes del
corredor de segundo lugar y 20 pies antes que el tercero. Si cada corredor
mantiene una velocidad constante en toda la carrera, ¿por cuántos pies gana
el corredor de segundo lugar al de tercero? 
[problema 80 en el ejercicio 10.4]
T E M A 5
338 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 339
340 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 341
342 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 343
344 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 345
346 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 347
348 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: sustitución; eliminación 349
350 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 351
352 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 353
354 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 355
356 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 357
358 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 359
360 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 361
362 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 363
364 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 365
366 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 367
368 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 369
370 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 371
372 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 373
374 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 375
376 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones lineales: determinantes 377
378 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones no lineales 379
380 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones no lineales 381
382 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones no lineales 383
384 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones no lineales 385
386 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de ecuaciones no lineales 387
388 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de desigualdades 389
390 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de desigualdades 391
392 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de desigualdades 393
394 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de desigualdades 395
396 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Sistemas de desigualdades 397
398 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Programación lineal 399
400 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Programación lineal 401
402 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Programación lineal 403
404 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Repaso del capítulo 405
406 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Repaso del capítulo 407
408 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Repaso del capítulo 409
411
CAPÍTULO 11
SUCESIONES;
INDUCCIÓN;
MÉTODOS DE
CONTEO;
PROBABILIDAD
11.1 Sucesiones
11.2 Sucesiones aritméticas
11.3 Sucesiones Geométricas;
series geométricas
11.4 Inducción matemática
11.5 Teorema del binomio
11.6 Conjuntos y métodos de
conteo
11.7 Permutaciones y
combinaciones
11.8 Probabilidad
Repaso del capítulo
Panorama Creación de un diseño para el piso 
Un piso de mosaico de cerámica está diseñado en forma de trapecio con 20 pies
de ancho en la base y 10 pies de ancho en la base superior. Los mosaicos, de 12
por 12 pulgadas, serán colocados de modo que cada fila sucesiva tenga un
mosaico menos que la anterior. ¿Cuántos mosaicos se necesitarán? [ejemplo 7
de la sección 11.2.]
T E M A 6
412 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones 413
414 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones 415
416 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones 417
418 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones 419
420 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones aritméticas 421
422 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones aritméticas 423
424 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones aritméticas 425
426 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones geométricas; series geométricas 427
428 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones geométricas; series geométricas 429
430 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones geométricas; series geométricas 431
432 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Sucesiones geométricas; series geométricas 433
434 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Inducción matemática 435
436 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Inducción matemática 437
438 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Teorema del binomio 439
440 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Teorema del binomio 441442 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Teorema del binomio 443
444 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Teorema del binomio 445
446 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Conjuntos y métodos de conteo 447
448 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Conjuntos y métodos de conteo 449
450 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Conjuntos y métodos de conteo 451
452 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Permutaciones y combinaciones 453
454 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Permutaciones y combinaciones 455
456 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Permutaciones y combinaciones 457
458 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Permutaciones y combinaciones 459
460 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Permutaciones y combinaciones 461
462 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Probabilidad 463
464 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Probabilidad 465
466 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Probabilidad 467
468 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Probabilidad 469
470 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Probabilidad 471
472 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Repaso del capítulo 473
474 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Repaso del capítulo 475
476 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
Repaso del capítulo 477
478 Sucesiones; inducción; métodos de conteo; probabilidad
479
480 Respuestas
Respuestas 481
482 Respuestas
Respuestas 483
484 Respuestas
Respuestas 485
486 Respuestas
Respuestas 487
488 Respuestas
Respuestas 489
490 Respuestas
Respuestas 491
492 Respuestas
Respuestas 493
494 Respuestas
Respuestas 495
496 Respuestas
Respuestas 497
498 Respuestas
Respuestas 499
500 Respuestas
Respuestas 501
502 Respuestas
Respuestas 503
504 Respuestas
Respuestas 505
506 Respuestas
Respuestas 507
508 Respuestas
Respuestas 509
510 Respuestas
Respuestas 511
512 Respuestas
Respuestas 513
514 Respuestas
Respuestas 515
516 Respuestas
Respuestas 517
518 Respuestas
Respuestas 519
520 Respuestas
Respuestas 521
522 Respuestas
Respuestas 523
524 Respuestas
Respuestas 525
526 Respuestas
Respuestas 527
528 Respuestas
	Álgebra 
	Contenido 
	Capítulo 2. FUNCIONES Y
SUS GRÁFICAS 
	Capítulo 3. FUNCIONES
RACIONALES Y
POLINOMIALES 
	Capítulo 4. FUNCIONES
EXPONENCIALES
Y
LOGARÍTMICAS 
	Capítulo 9. CAPÍTULO 9
GEOMETRÍA
ANALÍTICA 
	Capítulo 10. SISTEMAS DE
ECUACIONES Y
DESIGUALDADES 
	Capítulo 11. SUCESIONES;
INDUCCIÓN;
MÉTODOS DE
CONTEO;
PROBABILIDAD 
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