4 Trabajo Practico

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Materia: ANÁLISIS MATEMÁTICO II (Código: 284) 
Cátedra: MARÍA JOSE BIANCO 
1 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO IV 
 
 
 
 
1) Calcular los extremos relativos de las siguientes funciones. 
a) 4711522  yxyxyxz 
b) 1321292 2323  yyxxxz 
c) yyxx
yx
z 325
34
223
34
 
d) yxyxez  2
2
 
e) 44 )1()(  yyxz 
f) 
yx
xyz
11
 
g) xyyxz 222  
h) 
y
x
x
yz 
8
 
i) )2( 22 yxez yx   
 
 
2) Dadas la función 3
1
22 )(1),( yxyxf  , se pide: 
a) Demostrar que no es derivable en )0,0(),( 00 yx . 
b) Analizar la existencia de extremo en )0,0(),( 00 yx . ¿Qué puede concluir? 
 
 
3) Dada la función )(),( yxeyxyxf  ( 0, yx ), se pide: 
a) Hallar el valor ),( yx que maximiza a f. 
b) Considere ahora el problema de maximizar la función  ),(ln),( yxfyxg  . ¿Qué 
puede observar? Saque conclusiones y justifique. 
 
 
 
4) Hallar, si existen, los extremos condicionados de las siguientes funciones. 
a) xyyxf ),( sujeto a 4 yx 
b) 
22),( yxyxf  sujeto a yx  
c) yxyxf 2),(
2  sujeto a yx 2 
d) yxyxf 346),(  sujeto a 122  yx 
e) 13),(
22  xyxyxf sujeto a 1
4
2
2 
y
x 
 
5) Dada la función 5
4
5
1
10),( yxyxf  sujeta a 7047  yx , se pide: 
Trabajo Práctico IV 
2 
 
a) Hallar el valor ),( yx que maximiza el problema. 
b) Considere ahora el problema de maximizar la función  ),(ln),( yxfyxg  sujeta a 
la misma restricción. ¿Qué puede observar? Saque conclusiones y justifique. 
 
 
6) Calcular los extremos absolutos de 22 2),( yxyxf  sobre la región 
 1/),( 222  yxyxC . ¿Se puede asegurar la existencia de extremos absolutos? 
 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
7) Una empresa productora de aluminio separa a sus compradores incomunicados entre sí 
de modo tal que 
1x es la cantidad de aluminio demandada por el primer mercado y 2x 
es la cantidad de aluminio demandada por el segundo mercado, siendo el precio de 
venta de la tonelada de aluminio 
1p para el primer mercado y 2p para el segundo 
mercado. Las leyes de demanda para la empresa están dadas por 
11 220 px  y 
22 428 px  . Su plan de costos es )(65.2 21 xxC  . Hallar precios y cantidades 
para obtener el beneficio máximo. 
 
 
8) Consideremos una empresa productora de dos bienes A y B en circunstancias de 
competencia perfecta. Sean 
1p y 2p los precios unitarios de cada bien respectivamente 
y sean 
1q y 2q el nivel de producción. Si la función de costo de la empresa está dada 
por 2221
2
1 22 qqqqC  , maximizar el beneficio total para 121 p y 182 p . 
 
 
9) Un investigador de la agricultura estimó que el beneficio anual de una granja del sur es 
xyyxyxyxB 44224001600),( 22  donde x es la cantidad de hectáreas 
plantadas con soja e y la cantidad de hectáreas plantadas con maíz. Hallar cuántas 
hectáreas conviene plantar con cada cultivo para maximizar el beneficio. 
 
 
10) Un producto se vende en dos mercados diferentes donde las leyes de salida- precio son 
respectivamente 
11 26 qp  y 22 440 qp  . La función de costo es 
2
221
2
1 2 qqqqC  . Calcular: 
a) Nivel de producción que debe destinarse a cada mercado y precios a los que debe 
venderse para obtener el mayor beneficio. 
b) Relación entre el precio de venta y la elasticidad de la demanda. 
c) Clasificar el bien según las leyes de demanda de cada mercado. 
 
 
11) Dada la función de utilidad de un consumidor 21qqU  , los precios de los bienes 
11 p y 32 p y el ingreso 15I , encontrar las cantidades 1q y 2q que hacen 
máxima la utilidad y a cuánto asciende esta. Dar interpretación económica de  . 
Trabajo Práctico IV 
3 
 
12) Una fábrica produce artículos 
1X y 2X . La función de costo es 1
2
2
2
1 2 qqqC  y se 
quiere minimizar el costo. Determinar el costo mínimo y las cantidades a producir si el 
total de artículos debe ser 8. 
 
 
13) La función de utilidad es 
2121 42010 qqqqU  . Si la restricción presupuestal es 
1832 21  qq , hallar las cantidades que maximizan la utilidad. 
 
 
14) La producción P en función de las cantidades x e y de dos insumos X e Y está dada por 
22 45),( yxyxyxP  . Hallar las cantidades que maximizan la producción y el 
valor de ésta si 7432  yx . Dar interpretación económica de  . 
 
 
15) Si la función de producción conjunta es 22
2
1 qqx  y los precios de venta son 201 p 
y 102 p , se pide: 
a) Hallar el máximo ingreso si la cantidad de insumos debe ser 500x . 
b) Hallar la cantidad mínima de insumo X que proporciona un ingreso de 1500 
unidades monetarias. 
 
16) La función de utilidad de un consumidor está dada por 2
1
2
3
1
121 ),( xxxxU  donde 1x y 
2x representan las cantidades de los bienes 1 y 2 consumidos en un período de tiempo 
dado. Sean 
1p y 2p los precios unitarios de cada uno de los bienes y M la cantidad de 
dinero que el individuo va a gastar en la adquisición de ambos bienes. 
a) Calcular la cantidad a consumir de cada uno de los bienes en función de los 
parámetros 
1p , 2p y M si se quiere maximizar la utilidad. 
b) Obtener la función objetivo indirecta y calcular las derivadas parciales. Probar que 
un incremento en M produce un incremento en la utilidad máxima y un aumento de 
1p (o 2p ) una disminución en la utilidad máxima. 
c) Resuelva el punto a) tomando como función objetivo  ),(ln),( 2121 xxUxxu  . 
¿Qué observa? 
 
 
17) Una empresa desea minimizar sus costos totales, con la condición de que los ingresos 
obtenidos por la venta de las cantidades 
21, xx de los productos que fabrica superen 
cierto umbral mínimo. Si los costos unitarios de fabricación de cada bien son funciones 
lineales de los output producidos de la forma 11 xC  y 22 2xC  y los precios de 
venta de los productos son 11 p y 32 p respectivamente, se pide: 
a) Resolver el problema planteado suponiendo que deben ingresar como mínimo 3 
unidades monetarias. 
b) Estudiar cuánto va a variar el costo mínimo si ingresan 2,8 unidades monetarias. ¿Y 
si ingresan 3,1? 
 
 
 
 
Trabajo Práctico IV 
4 
 
18) La función de producción de una empresa es de tipo Cobb – Douglas  LKLKf ),( 
donde 0 y 10   , K es el capital y L trabajo ( 0K , 0L ). Supongamos que 
los precios del capital y el trabajo están dados por 0KP y 0LP respectivamente. 
Encontrar la combinación de capital y trabajo que minimiza el costo cuando la 
producción debe ser 0Q unidades de producto ( 00 Q ). 
 
Trabajo Práctico IV 
5 
 
RESPUESTAS 
 
 
1) 
a) )20,9,7(  mínimo relativo 
b) )6,0,1( máximo relativo; )4,1,2( mínimo relativo; )5,0,2( y )5,1,1( puntos de 
ensilladura 
c) 





3
4
,1,0 máximo relativo; (2;3;-8) mínimo relativo; 






4
375
,3,5 mínimo 
relativo; 
 )0,3,0( , 






3
20
,1,2 y 






12
1109
,1,5 puntos silla. 
d) 







4
1
,
2
1
,
2
1
e punto de ensilladura 
e) )0,1,1( mínimo relativo 
f) )3,1,1( mínimo relativo 
g) Todos los puntos de la forma ),( xx  con x son mínimos de la función. 
h) )6,2,4( mínimo relativo 
i) )8,2,4( 2 e máximo relativo (0,0,0) punto de ensilladura 
 
 
2) 
b) )1,0,0( mínimo absoluto. 
 
 
3) 
a) )1,1(),( 00 yx . El valor de la función es 
2
00 )1,1(),(
 efyxf . 
b) )1,1(),( 00 yx . El valor de la función es 2)1,1(),( 00  gyxg 
 
 
 
 
4) 
a) )4,2,2( máximo condicionado 
b) )0,0,0( mínimo condicionado 
c) 






4
1
;
4
1
;
2
1
 mínimo condicionado 
d) 





1;
5
3
;
5
4
 mínimo condicionado; 





 11;
5
3
;
5
4
 máximo condicionado 
e) )3,0,1( y )5,0,1( son mínimos condicionados; 






4
21
,3,
2
1
 y 






4
21
,3,
2
1
 
son máximos condicionados. 
 
 
Trabajo Práctico IV 
6 
 
 
5) 
a) )14,2(),( 00 yx . El valor de la función es 86,94)14,2(),( 00  fyxf .b) )14,2(),( 00 yx . El valor de la función es 55,4)14,2(),( 00  fyxf 
 
 
6) )2,1,0( y )2,1,0(  son máximos absolutos; )0,0,0( mínimo absoluto 
 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
7) 5.6,2,4,5.6,8 max2121  Bxxpp 
 
 
8) 48,4,2 max21  Bqq 
 
 
 
9) 200x , 200y , 400000max B 
 
 
10) 
a) 51 q , 32 q , 211 p , 282 p 
 b) 
5
21
1 n , 
3
7
2 n , se verifica: 1212 ppEE  
c) El bien es típico en ambos mercados ya que las elasticidades son ambas 
negativas. 
 
 
11) 5.71 q , 5.22 q 
 
 
12) 5.51 q , 5.22 q 
 
 
13) 
8
31
1 q , 
12
41
2 q , 
24
3841
max U 
 
 
14) 31x , 4y 
 
 
 
15) 
 a) 201 q , 102 q , 500max I 
Trabajo Práctico IV 
7 
 
 b) 4500x 
16) 
a) 
1
1
5
2
p
M
x  
2
2
5
3
p
M
x  
3
2
1
2
1
21 2
5
5
3
3
1













M
p
p
M
p
 
b) 0
5
2
2
5
5
3
3
1),,,,(
1
3
2
1
2
1
211
2121 













 
p
M
M
p
p
M
pp
MppxxU
 Ante un ligero aumento 
de 
1p disminuye la utilidad máxima. 
0
5
3
2
5
5
3
3
1),,,,(
2
3
2
1
2
1
212
2121 













 
p
M
M
p
p
M
pp
MppxxU
Ante un ligero aumento 
de 
2p disminuye la utilidad máxima. 
0
2
5
5
3
3
1),,,,( 3
2
1
2
1
21
2121 













 
M
p
p
M
pM
MppxxU
Ante un ligero aumento de M 
aumenta la utilidad máxima. 
c) )(ln
2
1
ln
3
1
221121 xpxpMxxL   . El punto crítico es el mismo. 
 
 
17) 
a) Punto crítico del problema 





11
9
,
11
6
 con 
11
12
 . 
b) 
55
12
)2,0(min  C 
55
6
)1,0(min  C 
 
 
18) Punto crítico del problema: 




















1
0
L
K
P
P
QL 




















1
0
K
L
P
P
QK 
con 





















L
KL
P
PP
Q
11
0