Unidad 2_ Funciones

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Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad II
UNIDAD II: FUNCIONES
Temas: concepto de función. Dominio; codominio; conjunto imagen. Diferentes representaciones de una función:
sistema sagital; tabla; gráfica (prueba de la recta vertical vertical); ley, fórmula o ecuación. Análisis de
funciones: intersección con los ejes coordenados; raíces o ceros; ordenada al origen; máximos y mínimos
relativos; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; conjuntos de positividad y negatividad. Función par.
Función impar. Composición de funciones. Traslaciones y desplazamientos de las funciones en general.
¿Qué es un modelo?
Es una representación gráfica, esquemática o analítica de una realidad, que sirve para organizar y comunicar de
forma clara los elementos que la conforman y sus relaciones.
La matemática, que muchos describen como "el lenguaje del universo", nos otorga la posibilidad de describir,
calcular y predecir el comportamiento del mundo que nos rodea, y desde luego dar respuesta a miles de
preguntas.
Aquellas representaciones en las que se explicitan las relaciones entre las variables mediante fórmulas,
ecuaciones y uso de números en general se denominan modelos matemáticos.
El proceso de construcción de un modelo matemático podría describirse en cuatro etapas:
Etapa 1. Observar el mundo real
En un primer momento debemos observar y analizar los componentes de la situación-problema real, lo que
permitirá seleccionar aquellas características relevantes de los aspectos a analizar, seleccionar el conjunto de
variables que sintetizan el comportamiento del problema, identificando las variables externas al mismo.
Por ejemplo: cuando se va a realizar un primer modelo para describir la trayectoria de un objeto que es arrojado
desde cierta altura, obviamente debemos tener en cuenta la acción de la gravedad, pero se podría obviar en el
comienzo, los efectos de la resistencia del aire. En cambio, si realizamos un modelo del ascenso de un avión, la
acción del aire no se puede dejar de considerar.
Etapa 2. Descripción coloquial del modelo preliminar
Una vez cumplida la observación se elabora el modelo preliminar en el que debemos explicitar, de manera clara y
simplificada, la relación matemática que vincula a las variables presentes en la situación-problema. A partir de
esta formulación preliminar procedemos a relevar la información que permita analizar la viabilidad de las
decisiones a implementar: uso de fórmulas conocidas, realización de nuevas ecuaciones o funciones que describan
el problema, etc.
Por ejemplo: en el caso del modelo para describir la trayectoria de un objeto que es arrojado desde cierta altura,
debemos describir la situación considerando valores de la variable tiempo, partiendo de cero para el momento en
que se arroja. Si modelizamos los gastos de producción de una empresa deberemos determinar todos los costos
iniciales fijos.
Etapa 3. Modelo matemático
Utilizando las herramientas matemáticas: definiciones, algoritmos, propiedades y teoremas debemos construir las
expresiones matemáticas: funciones, ecuaciones, inecuaciones, etc. que relacionan las variables que describen la
situación-problema, esto es: realizar el modelo.
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Por ejemplo: un modelo matemático para describir la distancia recorrida (d) por un objeto pesado que es
arrojado en caída libre desde cierta altura en cada tiempo (t) está representado por la función cuya fórmula es:
𝑑(𝑡) = 12 𝑔 𝑡
2
donde g es la aceleración constante determinada por la gravedad en la superficie terrestre (aproximadamente g
= 9,8 m/s2), y el objeto carece de velocidad inicial.
Etapa 4. Resultados
A partir de los valores medidos para las variables que están presentes en el modelo debemos realizar el cálculo
con el modelo construido. Estos resultados deben contrastarse, evaluarse e interpretarse considerando los valores
estimados u observados en la realidad. Esta etapa brinda la posibilidad de decidir la bondad del modelo
desarrollado y permite un nuevo ajuste para mejor representación de la realidad.
Muchas situaciones necesitan, para su resolución, la formulación de modelos que las representen. A partir de ellos
se pueden obtener las mejores respuestas.
En esta unidad vamos a estudiar las funciones matemáticas elementales, que se utilizan muchas veces para
resolver problemas reales.
Realizaremos el recorrido que se muestra en el siguiente gráfico:
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Función
Dados dos conjuntos no vacios A y B, una función “ ” de A en B es una relación que asocia a cada elemento𝑓 𝑥
del conjunto A un único elemento del conjunto B𝑦
En símbolos: 𝑓: 𝐴 → 𝐵
𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)
En este curso vamos a estudiar funciones para las cuales los conjuntos A y B son conjuntos de números reales.
● El símbolo se lee “f de x” o “f en x” y se denomina valor de en o la imagen de a través de .𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑓
● Al conjunto A se lo denomina dominio de y se nota:𝑓 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 𝑜 𝐷
𝑓
● Al conjunto B se lo denomina codominio de y se nota:𝑓 𝐶
𝑓
● El rango o conjunto imagen de es el conjunto de todos los valores posibles de cuando varía en𝑓 𝑓(𝑥) 𝑥
todo el dominio. En símbolos: 𝐼𝑚(𝑔) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑓 = 𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐴{ }
● El símbolo que representa un número arbitrario del dominio de una función se llama variable𝑥 𝑓
independiente.
● El símbolo que representa un número en el rango de se llama variable dependiente.𝑦 𝑓
Observaciones:
➔ Podemos utilizar cualquier letra para el nombre de la función: 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑟, 𝑠, 𝑒𝑡𝑐
También podemos utilizar cualquier letra para denotar la variable independiente, generalmente usamos:
𝑥, 𝑡 
➔ Todos los elementos del conjunto A (dominio de una función) deben estar relacionados con un elemento
del conjunto B
➔ Convención: en los casos en los cuales no tenemos explicitado el dominio y el codominio vamos a
considerar como dominio el mayor subconjunto de los números reales en el cual la función esté bien
definida, y como codominio al conjunto de los números reales.
➔ Es útil considerar una función como una máquina.
Si está en el dominio de la función , entonces cuando entra a la𝑥 𝑓 𝑥
máquina, es aceptada como entrada y la máquina produce una salida de𝑓(𝑥)
acuerdo con la regla de la función.
Así, podemos considerar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas y el rango como el conjunto
de todas las posibles salidas
Ejemplos de relaciones funcionales:
- El precio del combustible está relacionado con el precio del petróleo
variable independiente: precio del petróleo
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variable dependiente: precio del combustible
Dominio de la función: 𝑅+
0
- El costo de enviar un paquete por correo depende de su peso.
variable independiente: peso del paquete a enviar
variable dependiente: costo del envío del paquete
Dominio de la función: 𝑅+
0
- El área de un círculo es una función de su radio.
variable independiente: longitud del radio de un círculo
variable dependiente: área del círculo
Dominio de la función: 𝑅+
-La temperatura promedio de cada día del mes de marzo de 2021 depende de cada día
variable independiente: cada día del mes de marzo de 2021
variable dependiente: temperatura promedio de cada día
Dominio de la función: A este tipo de dominios se los llama dominio discreto{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;........; 31}
-El número de bacterias en un cultivo es función del tiempo.
- El peso de un/a astronauta es una función de su elevación.
- El precio de una determinada mercadería es una función de la demanda de esa mercancía.
Algunas formas de representar una función
Diagrama Sagital
Se construye para representar las funciones utilizando dos conjuntos (línea curva cerrada que contiene sus
elementos, y que se conocen con el nombre de diagramas de Venn) para indicar el conjunto dominio A y el
codominio B. Los elementos que se relacionanpor la función se unen con una flecha.
Ejemplo.
En el diagrama de Venn que representa a la función f se puede observar:
*Dom f = {1, 2, 3, 4} (dominio discreto)
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*Im f = {a, b, d};
*El valor de f (3) = b
*El elemento del dominio cuya imagen es la letra d: x = 4, que escribimos f (4) = d;
*La imagen del número 4: y = d que escribimos f (4) = d .
Ventajas: el diagrama sagital permite observar rápidamente la imagen de cada elemento.
Desventajas: no es adecuado para representar funciones cuando el dominio o la imagen de la misma son conjuntos
con infinitos elementos.
Observación:
Con este tipo de diagrama se puede observar rápidamente cuando la relación no es funcional, por ejemplo:
Tabla
Cuando se representa una función mediante una tabla, se puede observar en la primera columna los elementos
del dominio y, en la segunda columna, los elementos de la imagen.
En esta forma de representación, la correspondencia de cada elemento con su imagen se observa en cada fila de
la tabla.
Ejemplo
La siguiente tabla es una representación de una función f.
A partir de la tabla podemos obtener:
*La definición en palabras de la función y = f (x), esto es: "la función f
asigna a cada año, entre 2001 y 2005, la cantidad de estudiantes
matriculados en el nivel polimodal en la República Argentina";
*Las variables que se relacionan por la función: variable independiente x:
año; variable dependiente y: cantidad de estudiantes matriculados en el
nivel polimodal;
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*El conjunto Dom f = {2001, 2002, 2003, 2004, 2005};
*El el conjunto Img f = {1.640.278, 1.649.332, 1.644.694, 1.575.653, 1.545.992};
*La cantidad de estudiantes que se matricularon en el polimodal en 2003, que es 1.644.694 representa la imagen
por la función de x = 2003;
*En el año 2005 se registró el menor número de matrícula en este nivel de enseñanza;
*La imagen del número 2001 es f (2001) = 1.640.278;
*La matrícula en el nivel polimodal en Argentina fue decreciente en el primer quinquenio de este siglo.
Ventajas: las tablas permiten observar rápidamente la imagen de cada elemento.
Desventajas: no son adecuadas para observar tendencias o evolución del fenómeno si hay muchos elementos en el
dominio.
Gráficos
Una función se representa en un gráfico en el sistema de coordenadas cartesianas: en el eje horizontal (llamado
eje de las abscisas o eje x) se representa la variable independiente, y en el eje vertical (llamado eje de
ordenadas o eje y) la variable dependiente.
De esta manera, cada elemento del dominio y su correspondiente imagen se pueden expresar mediante un punto
que se denomina par ordenado en el plano coordenado.(𝑥 ; 𝑓(𝑥))
En el punto que se marca en el plano para obtener el gráfico de una función importa el orden, de allí el(𝑥 ; 𝑦)
nombre de par ordenado, es decir la primer coordenada x es el valor de la variable independiente y la segunda
coordenada y verifica .𝑦 = 𝑓(𝑥)
¡Importante!
El gráfico de una función f está formado por todos los puntos , donde perteneciente al dominio de se(𝑥; 𝑦) 𝑥 𝑓
visualiza en el eje de las abscisas (eje x), su respectiva imagen se visualiza en el eje de las ordenadas𝑦 = 𝑓(𝑥)
(eje y).
Ejemplo 1
El gráfico muestra la función que para cada ºC de temperatura
indica cuál es la presión de vapor de agua, medida en kPa
(kilopascal).
En este caso definimos
𝑓: 𝑅+
0
→ 𝑅+
0
presión del vapor (en kPa) para x ºC de𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑦 =
temperatura.
A partir del gráfico podemos obtener:
*Las variables que se relacionan por esta función: variable independiente x: temperatura; variable dependiente y:
presión del vapor;
*El conjunto cuyos elementos se miden utilizando como unidad de medida ºC (grados centígrados);𝐷
𝑓
= [0, 100]
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*El conjunto cuyos elementos se miden utilizando como unidad de medida el kPa;𝐼𝑚
𝑓
= [0, 100]
*La presión de vapor para 0ºC que es la imagen por la función del elemento 0 del dominio, esto es kPa;𝑓(0) = 0
*La presión de vapor para 100ºC que es la imagen por la función del elemento 100 del dominio, esto es
𝑓(100) = 100 𝑘𝑃𝑎
*La presión de vapor, a medida que aumenta la temperatura, toma valores cada vez mayores, es decir la presión
crece con la temperatura;
*una presión de vapor medida es de 40 kPa, corresponde a una temperatura de 82ºC aproximadamente;
*El punto A indica el valor que corresponde a la temperatura 37ºC, que es la temperatura corporal y, a veces, la
de la piel es unos grados menor. La transpiración (básicamente agua) se evapora a la temperatura de la piel,
entonces se produce aproximadamente a 4 kPa.
Ejemplo 2: Gráfica de puntos aislados
El gráfico muestra la cantidad de especies melíferas en
floración en cada mes del año para la localidad de Ojo de
Agua en Santiago del Estero.
A partir del gráfico podemos deducir que:
*La función describe el número de especies𝑦 = 𝑓(𝑥)
melíferas en floración en cada mes x del año, para la
localidad de Ojo de Agua en Santiago del Estero;
*Las variables que se relacionan son: variable
independiente: mes del año; variable dependiente:
número de especies;
*El conjunto Dom f = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} y se visualiza en el eje de las abscisas (eje x) (dominio discreto)
*En el eje de las ordenadas (eje y) se visualiza el conjunto Img f ;
*Se verifica que f (8) = 22 lo cual indica que el número de plantas que florecieron en agosto fue de 22;
*En el mes de octubre (mes 10) se registró el menor número de plantas melíferas florecidas, que fue de 12
plantas. En cambio en el mayor número de plantas florecidas se produjo en los meses de abril y mayo;
*Notar que en este caso no tiene sentido unir con una curva los puntos del gráfico ya que la variable
independiente es un número natural.
Ejemplo 3: Funciones definidas por tramos
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (− 2; 2]
En este gráfico podemos observar que para los valores de − 2 < 𝑥 ≤ 1
las variables se relacionan de una manera diferente que para los
valores de 1 < 𝑥 ≤ 2
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La prueba de la recta vertical para determinar si una gráfica representa o no una función
La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿Cuáles curvas del plano xy son
gráficas de funciones? Esto se contesta por medio de la prueba de la recta vertical.
Una curva en el plano de coordenadas es la gráfica de una función si y sólo si
ninguna recta vertical cruza la curva más de una vez.
Podemos ver de la figura por qué la Prueba de la
Recta Vertical es verdadera.
Si cada recta vertical cruza la curva sólo𝑥 = 𝑎
una vez en el punto (a, b), entonces exactamente
un valor funcional está definido por .𝑓(𝑎) = 𝑏
Pero si una recta cruza la curva dos veces,𝑥 = 𝑎
en (a, b) y en (a, c), entonces la curva no puede
representar una función porque una función no
puede asignar dos valores diferentes a a.
Ejemplos:
Dadas las gráficas:
Usando la Prueba de la Recta Vertical, vemos que las curvas de las gráficas (b) y (c) representan funciones,
mientras que las de (a) y (d) no representan una relación funcional.
Ley o fórmula
Todo fenómeno que se pretenda modelizar necesita ser cuantificado, así las variables relacionadas pueden
considerarse como pertenecientes a conjuntos de números, en este caso hablamos de funciones numéricas.
Ejemplos:
● es una función que asigna a cada valor de la variable independiente un único valor de la𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑥
variable dependiente que se obtiene al dividir en dos el valor de correspondiente𝑦 𝑥
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A partir de la ley podemos deducir:
- 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
- Podemos obtener el valor de la función para cada valor de del𝑥 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Ejemplo: lo que significa que el punto está en la gráfica de𝑓(1) = 12 (1;
1
2 ) 𝑓
De esa forma podemos hallar cualquier punto de la gráfica de .𝑓
●es una función que asigna a cada valor de la variable independiente un único valor de la𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1 𝑥
variable dependiente que se obtiene al calcular el siguiente del cuadrado del valor de correspondiente𝑦 𝑥
A partir de la ley podemos deducir:
- 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = 𝑅
- Podemos obtener el valor de la función para cada valor de del𝑡 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
Ejemplo lo que significa que el punto está en la gráfica de𝑔(1) = 12 + 1 = 1 + 1 = 2 (1; 2) 𝑔
Así, podemos hallar cualquier punto de la gráfica de 𝑔
●
A partir de la ley podemos deducir:
- 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (− 2; 2]
- Podemos obtener el valor de la función para cada valor de del𝑥 𝐷𝑜𝑚(ℎ)
Ejemplos:
(porque ) lo que significa que el punto está en la gráfica deℎ(0) = 0 + 32 =
3
2 0 ∈ (− 2; 1] (0;
3
2 ) ℎ
(porque )lo que significa que el punto está en la gráfica deℎ( 32 ) = (
3
2 )
2 = 94
3
2 ∈ (1; 2] (
3
2 ;
9
4 ) ℎ
- De la misma manera que en el ítem anterior, podemos hallar cualquier punto de la gráfica de ℎ
● 𝑠(𝑥) = 𝑥 + 5 
A partir de la ley podemos deducir:
- 𝐷𝑜𝑚(𝑠) = 𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 + 5 ≥ 0{ } = 𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≥− 5{ } = [− 5; + ∞)
- Podemos obtener el valor de la función para cada valor de del𝑥 𝐷𝑜𝑚(𝑠)
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Ejemplos:
lo que significa que el punto está en la gráfica de𝑠(− 5) = − 5 + 5 = 0 = 0 (− 5; 0) 𝑠
lo que significa que el punto está en la gráfica de𝑠(4) = 4 + 5 = 9 = 3 (4; 3) 𝑠
- De la misma manera que en los ítems anteriores podemos hallar cualquier punto de la gráfica de 𝑠
Observación:
Las distintas formas de representar una función están relacionadas. En esta materia vamos a trabajar más con la
representación gráfica y con la ley o fórmula.
Estudio de funciones:
Muchas veces es de utilidad conocer algunos aspectos específicos de la función que se está trabajando como por
ejemplo: la intersección de la gráfica con los ejes coordenados; si posee o no máximo o mínimo; los intervalos
donde la función crece o decrece; entre otros.
Numerosas propiedades de una función se obtienen más fácilmente de una gráfi ca que de la ley que describe la
función.
Actividad resuelta:
La función T graficada representa la temperatura entre el mediodía y las 6pm de
un día de otoño en Tucumán.
a) Determinar cuál fue la temperatura a la 1 pm; a las 3pm y a las 5pm
b) ¿La temperatura fue mayor a las 2 o a las 4 pm? Justificar
c) Hallar los horarios en los que ese día, en ese rango de tiempo, la
temperatura fue de 25°C
d) Hallar los horarios en los que ese día, en ese rango de tiempo, la temperatura fue mayor o igual a 25°C
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e) ¿Qué significa que el punto (0;15) está en la gráfica?
f) ¿En qué intervalo de tiempo la temperatura aumentó?
g) ¿Cuál fue la temperatura máxima que se registró ese día en ese rango horario? ¿y la mínima?
Resolvemos:
a) Para determinar la temperatura a la 1pm debemos calcular que está representada por la altura de la𝑇(1)
gráfica arriba del eje x en . Entonces, .𝑥 = 1 𝑇(1) = 25°
De la misma manera calculamos: 𝑇(3) = 30° 𝑇(5) = 20°
b) Para comparar las temperaturas registradas a las 2pm y 4pm debemos observar que gráfica es más alta en
que en .𝑥 = 2 𝑥 = 4
También podemos calcular y comparar los resultados:𝑇(2) 𝑦 𝑇(4)
y por lo tanto a las 2 pm la temperatura fue mayor que a las 4 pm.𝑇(2) = 34 𝑇(4) = 25
c) Para calcular los horarios en los que la temperatura fue de 25° debemos hallar los valores de x tales que:
.𝑇(𝑥) = 25°
Observamos para qué valores de x la altura de la gráfica es 25: cuando y cuando .𝑥 = 1 𝑥 = 4
Es decir, la temperatura es de 25°C a la 1:00 p.m. y a las 4:00 p.m
d) Hallamos los valores de x tales que: :La gráfica es más alta de 25 para x entre 1 y 4. Es decir, la𝑇(𝑥) ≥ 25°
temperatura era 25°C o mayor entre la 1:00 p.m. y las 4:00 p.m.
En símbolos: 𝑇(𝑥) ≥ 25° ∀ 𝑥 ∈ [1; 4]
e) Que el punto (0;15) esté en la gráfica significa que en el “momento cero”, es decir, a las 12 del mediodía
la temperatura fue de 15°C
f) La temperatura aumentó en el intervalo [0;2] ya que a medida que los valores de x aumentan, los valores
de T también aumentan.
g) La temperatura máxima que se registró fue de 34°C
La temperatura mínima que se registró fue de 15°C
Veremos a continuación cómo obtener características específicas de una función dada la gráfica o la ley.
❖ Intersección de la gráfica de una función con los ejes coordenados
➢ Intersección con el eje de abscisas:
La intersección entre la gráfica de una función y el eje de abscisas son puntos cuyas ordenadas𝑓
valen cero
Es decir: ⋂ 𝑒𝑗𝑒 𝑥 : (𝑥
𝑖
; 0)
Cada abscisa se calcula resolviendo la ecuación𝑥
𝑖
 𝑓(𝑥) = 0
En la actividad anterior podemos observar que no hay ningún valor de x tal que ; es decir, la𝑇(𝑥) = 0
gráfica no corta al eje x en ningún punto.
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➢ Intersección con el eje de ordenadas
La intersección entre la gráfica de una función y el eje de ordenadas es un punto cuya abscisa vale cero𝑓
Es decir: ⋂ 𝑒𝑗𝑒 𝑦 : (0; 𝑦)
La ordenada se calcula haciendo𝑦
1
𝑓(0) = 𝑦
1
En la actividad anterior podemos observar que el punto de intersección entre la gráfica de T y el eje y
es: (0;15).
❖ Raíces o ceros de una función
Son los valores de la variable independiente “ ” tales que𝑥 𝑓(𝑥) = 0
❖ Ordenada al origen de una función
Es el valor de cuando . Es decir:𝑓(𝑥) 𝑥 = 0 𝑓(0)
❖ Máximos y mínimos de una función
El valor de una función es un valor máximo local de si𝑓(𝑎) 𝑓
para valores de cercanos a𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑎
En este caso decimos que tiene un máximo local en .𝑓 𝑥 = 𝑎
El valor de una función es un valor mínimo local de si𝑓(𝑎) 𝑓
para valores de cercanos a𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑎
En este caso decimos que tiene un mínimo local en .𝑓 𝑥 = 𝑎
❖ Intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimientos de una función
➔ Una función es creciente en un intervalo I si siempre que en I.𝑓 𝑓(𝑥
1
) < 𝑓(𝑥
2
) 𝑥
1
< 𝑥
2
Es decir: es creciente en un intervalo I si a medida que los valores de aumentan, los valores de𝑓 𝑥 𝑓(𝑥)
también aumentan.
➔ Una función es decreciente en un intervalo I si siempre que en I.𝑓 𝑓(𝑥
1
) > 𝑓(𝑥
2
) 𝑥
1
< 𝑥
2
Es decir: es decreciente en un intervalo I si a medida que los valores de aumentan, los valores de𝑓 𝑥 𝑓(𝑥)
disminuyen.
❖ Conjuntos de positividad y conjunto de negatividad de una función 𝑓
Los conjuntos de positividad y negatividad están formados por los elementos del dominio para los
cuales la función toma valores positivos o negativos respectivamente.
En símbolos:
𝐶+ = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 / 𝑓(𝑥) > 0{ }
𝐶− = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 / 𝑓(𝑥) < 0{ }
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Ejemplos:
Para cada función hacer un análisis completo. Es decir, hallar dominio, conjunto imagen, intersección
con el eje x, intersección con el eje y, raíces o ceros, ordenada al origen, máximos, mínimos, intervalos
de crecimiento, intervalos de decrecimiento, conjunto de positividad y conjunto de negatividad.
a) .
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅
⋂ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: (− 4; 0) ; (− 2; 0) ; (5; 0)
⋂ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: (0; 5)
𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝑥
1
=− 4; 𝑥
2
=− 2; 𝑥
3
= 5
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛: 𝑦
1
= 5
𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙: − 1
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙: 6
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = (− 3; − 1)
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜.: (− ∞; − 3); (− 1; + ∞)
𝐶+ = (− ∞; − 4) ⋃(− 2; 5)
𝐶− = (− 4; − 2) ⋃(5; + ∞)
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 12
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𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅
𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅
⋂ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑦𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 (𝑥
𝑖
; 0)
Buscamos 𝑥
1
/ 𝑓(𝑥
1
) = 0
3𝑥 + 12 = 0
3𝑥 = − 12
 𝑥 =− 16
Entonces: ⋂ 𝑒𝑗𝑒 𝑥: (− 16 ; 0)
⋂ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛: (0; 𝑦
1
)
Buscamos 𝑦
1
/ 𝑓(0) = 𝑦
1
𝑓(0) = 3.0 + 12 =
1
2
Entonces ⋂ 𝑒𝑗𝑒 𝑦: (0; 12 )
𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠: 𝑥
1
=− 16
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛: 𝑦
1
= 12
𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙: 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑅
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒
𝐶+ = (− 16 ; + ∞)
𝐶− = (− ∞; − 16 )
Funciones pares e impares
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➔ Una función es par si:𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑓(− 𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Gráficamente, una función es par si su gráfica resulta simétrica con respecto al eje y
Es decir: si un punto está en la gráfica de , entonces el punto también está en𝑃(𝑥; 𝑦) 𝑓 𝑄(− 𝑥; 𝑦) 
la gráfica de 𝑓
Ejemplos:
● función constante,𝑓(𝑥) = 2 𝑓(𝑥) = 𝑓(− 𝑥) = 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅 
Observar que los puntos simétricos respecto al eje y están en la gráfica:
(1; 2) 𝑦 (− 1; 2)
(2; 2) 𝑦 (− 2; 2)
(3; 2) 𝑦 (− 3; 2)
● función valor absoluto,𝑓(𝑥) = 𝑥| | 𝑓(𝑥) = 𝑓(− 𝑥) = 𝑥| | 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ∈ 𝑅 
Observar que los puntos simétricos respecto al eje y están en la gráfica:
(1; 1) 𝑦 (− 1; 1)
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(2; 2) 𝑦 (− 2; 2)
(3; 3) 𝑦 (− 3; 3)
Observación:
El dominio de la función debe ser simétrico.
Ya que si por ejemplo definimos la función valor absoluto en el intervalo resulta que la[− 1; 2] 
gráfica no va a ser simétrica con respecto al eje y para los valores de x que se encuentran en el
intervalo (1; 2]
➔ Una función es impar si:𝑓 𝑓(𝑥) = − 𝑓(− 𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Gráficamente, una función es impar si su gráfica resulta simétrica con respecto al origen de
coordenadas.
Es decir: si un punto está en la gráfica de , entonces el punto también está𝑃(𝑥; 𝑦) 𝑓 𝑄(− 𝑥; − 𝑦) 
en la gráfica de 𝑓
Ejemplos:
● 𝑓(𝑥) = 𝑥
− 𝑓(− 𝑥) = − (− 𝑥) = 𝑥 = 𝑓(𝑥) 
por lo tanto: 𝑓(𝑥) = − 𝑓(− 𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Observar que los puntos simétricos respecto al origen de coordenadas están en la gráfica:
(1; 1) 𝑦 (− 1; − 1)
(2; 2) 𝑦 (− 2; − 2)
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( 12 ;
1
2 ) 𝑦 (−
1
2 ; −
1
2 )
● 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑓(− 𝑥) = − (− 𝑥)3 =− (− 𝑥3) = 𝑥3 = 𝑓(𝑥) 
por lo tanto: 𝑓(𝑥) = − 𝑓(− 𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Observar que los puntos simétricos respecto al origen de coordenadas están en la gráfica:
(azúl))(1; 1) 𝑦 (− 1; − 1)
(rojo)(2; 2) 𝑦 (− 2; − 2)
(verde)( 32 ;
27
8 ) 𝑦 (−
3
2 ; −
27
8 )
Composición de funciones
La composición de funciones es una forma de combinar dos funciones para obtener una nueva función.
Supongamos que y . Podemos definir una nueva función h como:𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 1
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La función está formada por las funciones f y g de la siguiente manera:ℎ
dado un número , primero le aplicamos la función (obtenemos ) y luego aplicamos al resultado.𝑥 𝑔 𝑔(𝑥) 𝑓
En este caso, indica “tome la raíz cuadrada”, indica “eleve al cuadrado, luego sume 1”, y es la𝑓 𝑔 ℎ
indica “eleve al cuadrado, luego sume 1, luego tome la raíz cuadrada”.
En otras palabras, obtenemos la regla al aplicar la ley de y luego la ley .ℎ 𝑔 𝑓
La Figura muestra un diagrama de máquina para h
En general, dadas dos funciones y cualesquiera, empezamos con un número en el dominio de g y𝑓 𝑔 𝑥
su imagen g(x). Si este número está en el dominio de , podemos entonces calcular el valor de𝑔(𝑥) 𝑓
f(g(x)). El resultado es una nueva función . Se denomina la composición (o compuesta) deℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
, y se denota con (“f compuesta con g”).𝑓 𝑦 𝑔 (𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥)
Composición de funciones
Dadas dos funciones , la función compuesta (también llamada composición de ) está𝑓 𝑦 𝑔 𝑓 ◦ 𝑔 𝑓 𝑦 𝑔
definida por:
(𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
El dominio de es el conjunto de todo en el dominio de tal que está en el dominio de(𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) 𝑥 𝑔 𝑔(𝑥)
. En otras palabras, está definida siempre que tanto como estén definidas.𝑓 (𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑔(𝑥))
Podemos describir usando un diagrama de flechas:(𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥)
Ejemplo 1:
Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3
a) Hallar la ley de y sus dominios.𝑓 ◦ 𝑔 𝑦 𝑔 ◦ 𝑓
b) Hallar y(𝑓 ◦ 𝑔)(5) (𝑔 ◦ 𝑓)(7)
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Solución:
a) (𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 
(usamos la definición de g)= 𝑓(𝑥 − 3)
(usamos la definición de f, evaluada en “x-3”)= (𝑥 − 3)2
(𝑔 ◦ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 
(usamos la definición de f)= 𝑔(𝑥2)
(usamos la definición de g, evaluada en “ ”)= 𝑥2 − 3 𝑥2
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ◦ 𝑔) = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)/ 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓){ }
= {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅} = 𝑅
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ◦ 𝑓) = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)/ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔){ }
= {𝑥 ∈ 𝑅 /𝑓(𝑥) ∈ 𝑅] = 𝑅
b)
Ejemplo 2
Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 𝑦 𝑔(𝑥) = 2𝑥
a) Hallar la ley de y sus dominios.𝑓 ◦ 𝑔 𝑦 𝑔 ◦ 𝑓
b) Hallar y(𝑓 ◦ 𝑔)() (𝑔 ◦ 𝑓)()
Solución:
c) (𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 
(usamos la definición de g)= 𝑓(2𝑥)
(usamos la definición de f, evaluada en “2x”)= 2𝑥 − 3
Antes de hallar el dominio de la composición veamos el dominio de 𝑓 𝑦 𝑔
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 − 3 ≥ 0}
= {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≥ 3}
= [3; + ∞)
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = 𝑅
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ◦ 𝑔) = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)/ 𝑔(𝑥) = 2𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓){ }
= {𝑥 ∈ 𝑅 / 2𝑥 ∈ [3; + ∞)}
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= {𝑥 ∈ 𝑅/ 2𝑥 ≥ 3}
= {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑥 ≥ 32 }
= [ 32 ; + ∞)
(𝑔 ◦ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 
(usamos la definición de f)= 𝑔( 𝑥 − 3)
(usamos la definición de g, evaluada en “ ”)= 2. 𝑥 − 3 𝑥 − 3
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ◦ 𝑓) = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)/ 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔){ }
= {𝑥 ∈ [3; + ∞) / 𝑥 − 3 ∈ 𝑅}
= [3; + ∞)
Transformaciones de funciones
Estudiaremos ahora la forma en que ciertas transformaciones de una función afectan su gráfica. Esto nos
dará una mejor idea de cómo graficar funciones. Las transformaciones que estudiamos son:
desplazamientos horizontales y verticales, reflexiones, contracciones y dilataciones.
Desplazamiento vertical
Sumar una constante a una función, desplaza verticalmente su gráfica:
● hacia arriba si la constante es positiva
● hacia abajo si es negativa.
En general, supongamos que conocemos la gráfica de una función .𝑦 = 𝑓(𝑥)
¿Cómo obtenemos de ella las gráficas de de las funciones y ?𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 > 0
Observemos que la coordenada “ ” de cada punto en la gráfica de está c unidades arriba𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐
de la coordenada del punto correspondiente en la gráfica de ."𝑦" 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Por tanto, obtenemos la gráfica de
simplemente desplazando la𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐
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gráfica de c unidades hacia arriba𝑦 = 𝑓(𝑥)
Del mismo modo, obtenemos la gráfica de desplazando la gráfica de c unidades𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥)
hacia abajo.
Cómo obtenemos de ella las gráficas de de las funciones y ?𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 > 0
Desplazamiento vertical
Sea una constante𝑐 > 0 
Para graficar se desplaza la gráfica de c unidades hacia arriba𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Para graficar se desplaza la gráfica de c unidades hacia abajo.𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Ejemplo:
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Graficar y utilizando la gráfica de𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3 ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 3 𝑓
Observemos que:
𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3 = 𝑓(𝑥) + 3
ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 3 = 𝑓(𝑥) − 3
Entonces, para cada valor de , la coordenada de cada punto sobre la gráfica de está 3 unidades𝑥 𝑦 𝑔
arriba del punto correspondiente en la gráfica de .𝑓
Esto significa que para graficar desplazamos 3 unidades hacia arriba la gráfica de (ver la figura).𝑔 𝑓
Análogamente, para graficar , desplazamos 3 unidades hacia abajo la gráfica de (ver la figura).ℎ 𝑓
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Desplazamiento horizontal
Supongamos que conocemos la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥)
¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de y ?𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 𝑐) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐) 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 > 0
Desplazamiento horizontal
Sea una constante𝑐 > 0 
Para graficar se desplaza la gráfica de c unidades hacia la izquierda𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Para graficar se desplaza la gráfica de c unidades hacia la derecha.𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Ejemplo:
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Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Graficar y utilizando la gráfica de𝑔(𝑥) = (𝑥 + 3)2 ℎ(𝑥) = (𝑥 − 3)2 𝑓
Observemos que:
𝑔(𝑥) = (𝑥 + 3)2 = 𝑓(𝑥 + 3)
ℎ(𝑥) = (𝑥 − 3)2 = 𝑓(𝑥 − 3)
Entonces, para cada valor de , si la abscisa de es (es decir, ) , la abscisa de será: “𝑦 𝑓 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑦 𝑔
(para que den el mismo valor de y ).𝑥 − 3" 𝑔(𝑥 − 3) = 𝑓(𝑥 − 3 + 3) = 𝑓(𝑥)
Por lo tanto cada punto de la gráfica de está 3 unidades hacia la izquierda del punto correspondiente𝑔
en la gráfica de .𝑓
Esto significa que para graficar desplazamos 3 unidades hacia la izquierda la gráfica de (ver la𝑔 𝑓
figura).
Análogamente, para graficar , desplazamos 3 unidades hacia la derecha la gráfica de (ver la figura).ℎ 𝑓
Combinación de desplazamiento horizontal y vertical
Ejemplo1:
Trazar la gráfica de ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 4
Comenzamos trazando la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2
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Realizamos el desplazamiento horizontal: desplazamos 1 unidad hacia la derecha obteniendo la gráfica
de 𝑓
1
(𝑥) = (𝑥 − 1)2
y por último realizamos el desplazamiento vertical: desplazamos la gráfica de 4 unidades hacia𝑓
1
(𝑥)
arriba obteniendo así la gráfica de ℎ: ℎ(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 4
Ejemplo 2
Trazar la gráfica de ℎ(𝑥) = 𝑥 + 3 + 2
Comenzamos trazando la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥
Realizamos el desplazamiento horizontal: desplazamos 3 unidades hacia la izquierda obteniendo la
gráfica de 𝑓
1
(𝑥) = 𝑥 + 3
y por último realizamos el desplazamiento vertical: desplazamos la gráfica de 2 unidades hacia𝑓
1
(𝑥)
arriba obteniendo así la gráfica de ℎ: ℎ(𝑥) = 𝑥 + 3 + 2
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Gráficas que se reflejan
Supongamos que conocemos la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de y ?𝑔(𝑥) = − 𝑓(𝑥) ℎ(𝑥) = 𝑓(− 𝑥)
La coordenada de cada uno de los puntos en la gráfica de es el opuesto de la𝑦 𝑔(𝑥) = − 𝑓(𝑥)
coordenada del punto correspondiente en la gráfica de .𝑦 𝑓(𝑥)
Es decir: 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; − 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑔
Por lo tanto, la gráfica deseada es la reflexión de la gráfica de respecto al eje x.𝑦 = 𝑓(𝑥)
Por otro lado, el valor de en cierto valor de es igual al valor de evaluada en “ ” ya queℎ(𝑥) 𝑥 𝑓 − 𝑥
ℎ(𝑥) = 𝑓(− 𝑥)
Es decir: 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (− 𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 ℎ
Por lo tanto, la gráfica deseada es la reflexión de la gráfica de respecto al eje y.𝑦 = 𝑓(𝑥)
Gráficas que se reflejan:
● Para graficar , reflejar la gráfica de respecto al eje x𝑔(𝑥) = − 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
● Para graficar , reflejar la gráfica de respecto al eje yℎ(𝑥) = 𝑓(− 𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
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Ejemplo
Conociendo la gráfica de la función , graficar las funciones: y𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑔(𝑥) =− 𝑥 ℎ(𝑥) = − 𝑥
La gráfica de se obtiene al reflejar la gráfica de respecto al eje y𝑔 𝑓
Es decir: si el punto está en la gráfica de , entonces el punto está en la gráfica de .(𝑥; 𝑥) 𝑓 (𝑥; − 𝑥) 𝑔
La gráfica de se obtiene al reflejar la gráfica de respecto al eje xℎ 𝑓
Es decir: si el punto está en la gráfica de , entonces el punto está en la gráfica de .(𝑥; 𝑥) 𝑓 (𝑥; − 𝑥) 𝑔
Alargamientos y contracciones verticales
Supongamos que conocemos la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de ?𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥)
La coordenada de en es igual que la coordenada correspondiente de𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑐. 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)
multiplicada por c.
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Multiplicar las coordenadas por c tiene el efecto de alargar o contraer verticalmente la gráfica en un
factor de c.
Es decir: 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑐. 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑔
Alargamiento o contracción de gráficas:
Para graficar :𝑔(𝑥) = 𝑐. 𝑓(𝑥)
● Si alargar verticalmente la gráfica de en un factor de c𝑐 > 1 𝑦 = 𝑓(𝑥)
● Si contraer verticalmente la gráfica de en un factor de c0 < 𝑐 < 1 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Ejemplo
Graficar las funciones 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 𝑦 ℎ(𝑥) = 13 𝑥
2 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥2
La gráfica de de obtiene multiplicando a cada ordenada de por 3 (la gráfica se alarga)𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑦
Es decir: si el punto está en la gráfica de , entonces el punto está en la gráfica de .(𝑥; 𝑥2) 𝑓 (𝑥; 3. 𝑥2) 𝑔
La gráfica de de obtiene multiplicando a cada ordenada de por (la gráfica se contrae)𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑦 13
Es decir: si el punto está en la gráfica de , entonces el punto está en la gráfica de .(𝑥; 𝑥2) 𝑓 (𝑥; 13 . 𝑥
2) 𝑔
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Combinación desplazamiento, alargamiento y reflexión
Ejemplo
Trazar la gráfica de ℎ(𝑥) = 1 − 12 (𝑥 + 3)
2
Comenzamos trazando la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Realizamos el desplazamiento horizontal: desplazamos 3 unidades hacia la izquierda obteniendo la
gráfica de 𝑓
1
(𝑥) = (𝑥 + 3)2
Realizamos la contracción vertical a multiplicándola por y obteniendo la gráfica de𝑓
1
(𝑥) 12
𝑓
2
(𝑥) = 12 (𝑥 + 3)
2
Reflejamos respecto del eje x obteniendo la gráfica de la función:𝑓
2
(𝑥) 𝑓
3
(𝑥) =− 12 (𝑥 + 3)
2
Y por último realizamos el desplazamiento vertical: desplazamos la gráfica de 1 unidad hacia𝑓
3
(𝑥)
arriba obteniendo así la gráfica de ℎ(𝑥) = 1 − 12 (𝑥 + 3)
2
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Alargamiento y contracciones horizontales
Supongamos que conocemos la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
¿Cómo la usamos para obtener las gráficas de ?𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐. 𝑥)
La coordenada de en es igual que la coordenada correspondiente de𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐. 𝑥) 𝑥 𝑦 𝑦 = 𝑓(𝑥)
evaluada en .𝑐. 𝑥
Por lo tanto, las coordenadas de la gráfica de son las coordenadas de x de la gráfica de𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐. 𝑥)
f multiplicada por 1/c. En otras palabras, para obtener la gráfica de debemos contraer (o alargar)𝑔(𝑥)
la gráfica horizontalmente en un factor de 1/c.
Es decir: 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 ( 𝑥𝑐 ; 𝑦) 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑔
Alargamiento o contracción de gráficas:
Para graficar :𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑐. 𝑥)
Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad II
● Si contraer horizontalmente la gráfica de en un factor de 1/c𝑐 > 1 𝑦 = 𝑓(𝑥)
● Si alargar horizontalmente la gráfica de en un factor de 1/c0 < 𝑐 < 1 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Ejemplo
Graficar y a partir de la gráfica de𝑔(𝑥) = (3𝑥)2 ℎ(𝑥) = ( 13 𝑥)
2 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Para graficar pensamos:𝑔(𝑥) = (3𝑥)2 (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺
𝑓
 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ( 𝑥3 ; 𝑦) ∈ 𝐺𝑔
Para graficar pensamos:ℎ(𝑥) = ( 13 𝑥)
2 (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺
𝑓
 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (3𝑥; 𝑦) ∈ 𝐺
ℎ
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