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Lic. en Criminalística Matemática I Unidad 2:Guía de Actividades
Universidad Autónoma de Entre Ríos
Facultad de Ciencia y Tecnología
Control de resultados de la Guía Práctica N°3
Función lineal
1) La función es una función lineal pues es de la forma con𝑓
1
(𝑥) = − 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
.𝑚 =− 1 𝑦 𝑏 = 0
La función es una función lineal pues es de la forma𝑓
2
𝑥( ) = 4 + 𝑥 = 𝑥 + 4
con .𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑚 = 1 𝑦 𝑏 = 4
La función no es una función lineal ya que la variable independiente se encuentra𝑓
3
(𝑥) = 1𝑥
en el denominador. Se trata de una función homográfica.
La función no es una función lineal pues el grado de la variable es 4 y no 1.𝑓
4
(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥4
La función es una función lineal pues es de la forma𝑓
5
𝑥( ) = 3 𝑥 + 72( ) = 3𝑥 + 212
con .𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑚 = 3 𝑦 𝑏 = 212
La función es una función lineal pues es de la forma .𝑥 − 𝑦 = 1 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Podemos darnos cuenta de esto despejando “y”:
− 𝑦 = 1 − 𝑥
𝑦 = 1 − 𝑥( ): (− 1)
𝑦 = 𝑥 − 1
Con 𝑚 = 1 𝑦 𝑏 =− 1.
2) a) ℎ(𝑥) = 13 𝑥 − 1
1. El punto no pertenece a la recta que representa la función pues𝑃
1
0; 0( ) ℎ(𝑥) = 13 𝑥 − 1
.ℎ 0( ) = 13 − 0 − 1 =− 1 ≠ 0
2. El punto pertenece a la recta que representa la función pues𝑃
2
(3; 0) ℎ(𝑥) = 13 𝑥 − 1
ℎ 3( ) = 13 · 3 − 1 = 1 − 1 = 0
3. El punto no pertenece a la recta que representa la función𝑃
3
− 12 ; −
1
6( ) 
puesℎ(𝑥) = 13 𝑥 − 1 ℎ −
1
2( ) = 13 · − 12( ) − 1 =− 16 − 1 = −1−66 =− 76 ≠− 16
4. El punto no pertenece a la recta que representa la función𝑃
4
3
2 ; 2( ) ℎ(𝑥) = 13 𝑥 − 1
pues .ℎ 32( ) = 13 · 32 − 1 = 12 − 1 =− 12 ≠ 2
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b) Para esta consigna no hay tres únicos puntos que pertenezcan a la recta de ecuación
, de hecho, hay infinitos puntos. A continuación, se proponen algunos:𝑦 = 3𝑥 − 14
● . Por lo tanto, el punto pertenece a la recta de𝑔 0( ) = 3. 0 − 14 =−
1
4 𝑃 0, −
1
4( )
ecuación Este mismo punto nos sirve para proponer uno que no𝑦 = 3𝑥 − 14 .
pertenece a la recta, simplemente cambiamos la coordenada en y del punto. Por
ejemplo, el punto no pertenece a la recta.𝑄 0, 3( )
● . Por lo tanto, el punto pertenece a la𝑔 13( ) = 3⋅ 13 − 14 = 1 − 14 = 34 𝑃 13 , 34( )
recta de ecuación Este mismo punto nos sirve para proponer uno𝑦 = 3𝑥 − 14 .
que no pertenece a la recta, simplemente cambiamos la coordenada en y del punto.
Por ejemplo, el punto no pertenece a la recta.𝑄 13 , 5( )
● . Por lo tanto, el punto𝑔 2( ) = 3. 2 − 14 = 6 −
1
4 =
24−1
4 =
23
4 𝑃 2,
23
4( )
pertenece a la recta de ecuación Este mismo punto nos sirve para𝑦 = 3𝑥 − 14 .
proponer uno que no pertenece a la recta, simplemente cambiamos la coordenada
en y del punto. Por ejemplo, el punto no pertenece a la recta.𝑄 2, 23( )
3)a) 𝑃(− 1; 2) ; 𝑦 =− 𝑥 + 3
El punto no pertenece a la recta de ecuación , pues𝑃 (− 1; 2) 𝑦 =− 𝑥 + 3
− − 1( ) + 3 = 1 + 3 = 4 ≠ 2.
b) 𝑃 0; − 2( ); 𝑦 = − 𝑥 + 2
El punto no pertenece a la recta de ecuación , pues𝑃 (0; − 2) 𝑦 =− 𝑥 + 2
− 0 + 2 = 0 + 2 = 2 ≠− 2.
c) 𝑃 − 12 ; − 2( ); 𝑦 =− 𝑥 − 52
El punto pertenece a la recta , pues𝑃 − 12 ; − 2( ) 𝑦 =− 𝑥 − 52
.− − 12( ) − 52 = 12 − 52 =− 42 =− 2
d) 𝑃(− 2; 1) ; 𝑦 = 3𝑥 + 7
El punto pertenece a la recta , pues .𝑃 − 2; 1( ) 𝑦 = 3𝑥 + 7 3. − 2( ) + 7 =− 6 + 7 = 1
4)
𝑥 − 2 − 1 0 12 1
5
4 2
𝑓(𝑥) 0 12 1
5
4
3
2
13
8
2
Ordenada al origen: 𝑏 = 1
Pendiente: 𝑚 = 1−00− −2( ) =
1
2
Fórmula de la función: 𝑓 𝑥( ) = 12 ⋅𝑥 + 1
Calculamos los valores faltantes:
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● 𝑓 − 1( ) = 12 · − 1( ) + 1 =−
1
2 + 1 =
1
2
● 𝑓 12( ) = 12 · 12 + 1 = 14 + 1 = 54
● 12 ⋅𝑥 + 1 =
3
2
1
2 𝑥 =
3
2 − 1
𝑥 = 12 :
1
2
𝑥 = 1
● 𝑓 54( ) = 12 · 54 + 1 = 58 + 1 = 138
● 𝑓 2( ) = 12 ⋅2 + 1 = 1 + 1 = 2
5)
Función
Ordenada
al origen
Pendiente Gráfica
𝑓
1
(𝑥) = 12 𝑥 + 3 𝑏 = 3 𝑚 =
1
2
𝑓
2
(𝑥) =− 12 𝑥 + 3 𝑏 = 3 𝑚 =−
1
2
𝑓
3
(𝑥) =− 𝑥 − 52 𝑏 =−
5
2 𝑚 =− 1
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𝑓
4
(𝑥) = 𝑥 + 4 𝑏 = 4 𝑚 = 1
𝑓
5
𝑥( ) =− 23 + 𝑥 𝑏 =−
2
3 𝑚 = 1
𝑓
6
(𝑥) =− 4 − 53 𝑥 𝑏 =− 4 𝑚 =−
5
3
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𝑓
7
(𝑥) =− 72 𝑥 +
4
3 𝑏 =
4
3 𝑚 =−
7
2
𝑓
8
(𝑥) =− 1 − 𝑥 𝑏 =− 1 𝑚 =− 1
𝑓
9
(𝑥) =− 2𝑥 + 92 𝑏 =
9
2 𝑚 =− 2 
6)
La recta pasa por los puntos 𝑃(0, 1) 𝑦 𝑄(2, 4)
Pendiente: 𝑚 = 4−12−0 =
3
2
Ecuación punto-pendiente: 𝑦 − 1 = 32 · 𝑥 − 0( )
𝑦 = 32 𝑥 + 1
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La recta pasa por los puntos y𝑃 − 2, 5( ) 𝑄 1, − 2( ).
Pendiente: 𝑚 = −2−51− −2( ) =
−7
3 =−
7
3
Ecuación punto-pendiente:
𝑦 − 5 =− 73 · 𝑥 − − 2( )[ ]
𝑦 − 5 =− 73 · 𝑥 + 2( )
 𝑦 =− 73 𝑥 −
14
3 + 5
 𝑦 =− 73 𝑥 +
1
3
La recta es constante, esto significa que su pendiente es . Además, su ordenada al𝑚 = 0
origen es 𝑏 =− 1.
Ecuación de la recta dada su pendiente y su
ordenada al origen:
 𝑦 =− 1 + 0⋅𝑥 𝑦 =− 1 
7)
a) (0; 2) 𝑦 (3; 5)
Pendiente: 𝑚 = 5−23−0 =
3
3 = 1
Ecuación punto pendiente:
𝑦 − 2 = 1⋅ 𝑥 − 0( ) 
𝑦 = 𝑥 + 2
b) y12 ; − 2( ) (3; 0)
Pendiente:𝑚 = 0− −2( )
3− 12
= 25
2
= 45
Ecuación punto-pendiente:
𝑦 − 0 = 45 · 𝑥 − 3( )
𝑦 = 45 𝑥 −
12
5
c) (2; − 1) 𝑦 32 ; 1( )
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Pendiente: 𝑚 = 1− −1( )3
2 −2
= 2
− 12
=− 4
Ecuación punto-pendiente:
𝑦 − − 1( ) =− 4⋅ 𝑥 − 2( )
 𝑦 + 1 =− 4𝑥 + 8
𝑦 =− 4𝑥 + 7
d) y(5; − 1) (− 4; 2)
Pendiente: 𝑚 = 2− −1( )−4−5 =
3
−9 =−
1
3
Ecuación punto-pendiente
𝑦 − − 1( ) =− 13 · 𝑥 − 5( )
 𝑦 + 1 =− 13 𝑥 +
5
3
𝑦 =− 13 𝑥 +
2
3
8) a) b) c)𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 𝑔(𝑥) =− 𝑥 + 3 ℎ(𝑥) =− 13 𝑥 −
4
15
d) e) f)𝑖(𝑥) = 67 𝑥 −
8
7 𝑗(𝑥) =− 2𝑥 − 4 𝑘(𝑥) =− 4𝑥 − 2
9) La recta pasa por los puntos (− 2; 1) 𝑦 (10; 9):
a) Pendiente: 𝑚 = 9−110− −2( ) =
8
12 =
2
3
Ecuación punto-pendiente:
𝑦 − 1 = 23 · 𝑥 − − 2( )[ ]
𝑦 − 1 = 23 𝑥 +
4
3
 𝑦 = 23 𝑥 +
7
3
b) Raíz: 23 𝑥 +
7
3 = 0
2
3 𝑥 =−
7
3
𝑥 =− 73 :
2
3
𝑥 =− 72
Ordenada al origen: y= 73
c) Punto (3; 2): 23 . 3 +
7
3 = 2 +
7
3 =
13
3 ≠2
Por lo tanto, el punto (3; 2) no pertenece a la recta.
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El punto (3; 3) tampoco pertenece a la recta pues 23 . 3 +
7
3 = 2 +
7
3 =
13
3 ≠3
d)Dos puntos que pertenecen a la recta:
El punto pues y el punto pues3; 133( ) 23 . 3 + 73 = 2 + 73 = 133 0; 73( )
2
3 . 0 +
7
3 = 2 +
7
3 =
7
3
e)
10) La recta interseca al eje en 2, por lo tanto, pasa por el punto (2; 0). Además, interseca al𝑥
eje en 4, por lo tanto, pasa por el punto (0; 4).𝑦
a) Pendiente: 𝑚 = 4−00−2 =
4
−2 =− 2
Ecuación dada su pendiente y su ordenada al origen :𝑚 =− 2 𝑏 = 4 𝑦 =− 2𝑥 + 4
b) Raíz: 𝑥 = 2
c) Gráfica:
11) Aclaración: para esta actividad hay infinitas posibilidades de construir rectas paralelas y
perpendiculares a la dada. Aquí solo se muestran algunos ejemplos:
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a) una recta paralela a es pues tienen la misma𝑓 𝑥( ) =− 𝑥 + 13 𝑦 =− 𝑥 +
1
3 𝑦1 =− 𝑥 +
5
2
pendiente. Una recta perpendicular a es pues sus pendientes son𝑦 =− 𝑥 + 13 𝑦2 = 𝑥 − 1
recíprocas y opuestas.
b) una recta paralela a es pues tienen la mismaℎ 𝑥( ) = 12 𝑥 − 4 𝑦 =
1
2 𝑥 − 4 𝑦1 =
1
2 𝑥 − 1
pendiente. Una recta perpendicular a es pues sus pendientes son𝑦 = 12 𝑥 − 4 𝑦2 =− 2𝑥 − 3
recíprocas y opuestas.
c) una recta paralela a es la recta de ecuación𝑔 𝑥( ) = 34 𝑥 + 1 𝑦 =
3
4 𝑥 + 1 𝑦1 =
3
4 𝑥 − 1
pues tienen la misma pendiente. Una recta perpendicular a es la recta de𝑦
1
= 34 𝑥 + 1
ecuación pues tienen pendientes recíprocas y opuestas.𝑦
2
=− 43 𝑥 + 1
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Lic. en Criminalística Matemática I Unidad 2:Guía de Actividades12) Las recta es paralela a la recta y a la recta pues las𝑦
1
= 2𝑥 + 1 𝑦
10
= 2𝑥 𝑦
12
= 2𝑥 + 72
tres tienen la misma pendiente . Simbólicamente: .𝑚
1
= 𝑚
10
= 𝑚
12
 = 2 𝑦
1
∥ 𝑦
10
 ∥ 𝑦
12
Las rectas y son perpendiculares entre sí pues sus pendientes son𝑦
2
= 12 𝑥 + 1 𝑦8 =− 2𝑥
recíprocas y opuestas . Simbólicamente: .𝑚
2
=− 1𝑚
8
=− 1−2 =
1
2 𝑦2⊥ 𝑦8 
Las rectas y son paralelas entre sí pues ambas tienen la𝑦
3
=− 27 𝑥 + 6 𝑦7 =−
2
7 𝑥 + 1
misma pendiente . Simbólicamente: .𝑚
3
= 𝑚
7
 =− 27 𝑦3∥ 𝑦7
La recta es perpendicular a las rectas e pues𝑦
4
= 72 𝑥 + 6 𝑦3 =−
2
7 𝑥 + 6 𝑦7 =−
2
7 𝑥 + 1
sus pendientes son recíprocas y opuestas: .𝑚
4
=− 1𝑚
3
=− 1𝑚
7
=− 1
− 27
=− 1. − 72( ) = 72
Simbólicamente: e .𝑦
3
⊥ 𝑦
4
𝑦
3
⊥ 𝑦
7
La recta es paralela a pues ambas tienen la misma pendiente𝑦
5
= 5𝑥 − 3 𝑦
6
= 5𝑥
Simbólicamente: .𝑚
5
= 𝑚
6
= 5. 𝑦
5
∥ 𝑦
6
La recta es perpendicular a la recta y a la recta pues sus𝑦
9
=− 15 𝑥 + 1 𝑦5 = 5𝑥 − 3 𝑦6 = 5𝑥
pendientes son opuestas y recíprocas: . Simbólicamente: e𝑚
4
=− 1𝑚
5
=− 1𝑚
6
=− 15 𝑦4⊥ 𝑦5
.𝑦
4
⊥ 𝑦
6
13) a) Sea paralela a que pasa por el punto𝑦
1
=− 3𝑥 + 1 𝑃(− 1; 2).
Si la recta es paralela a , entonces tienen la misma pendiente, por lo que . Luego,𝑦
1
𝑚 =− 3
planteamos la ecuación dado un punto perteneciente a la recta y su pendiente:
𝑦 − 2 =− 3 · 𝑥 − − 1( )[ ]
 𝑦 =− 3𝑥 − 3 + 2
 𝑦 =− 3𝑥 − 1
b) Sea paralela a cuya raíz sea -1.𝑦
2
=− 𝑥 + 3
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Si la recta es paralela a , entonces tienen la misma pendiente, por lo que . Además,𝑦
2
𝑚 =− 1
conocemos que la recta tiene raíz en 1, por lo que pasa por el punto de coordenadas (1, 0).
Luego planteamos la ecuación dado un punto perteneciente a la recta y su pendiente:
𝑦 − 0 =− 1⋅(𝑥 − 1)
 𝑦 =− 𝑥 + 1
c) Sea perpendicular a que pase por el punto2𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0 − 23 ; − 1( ).
Primero reescribimos la ecuación de la recta que está dada de forma implícita:
2𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0
4𝑦 = 2 − 2𝑥
𝑦 = 24 −
2𝑥
4
𝑦 = 12 −
1
2 𝑥
Luego, la recta buscada es perpendicular a y, por lo que su pendiente es opuesta y recíproca a la
de y. Es decir, .𝑚 = 2
Planteamos la ecuación dado un punto perteneciente a la recta y su pendiente:
𝑦 − − 1( ) = 2 · 𝑥 − − 23( )⎡⎣ ⎤⎦
 𝑦 = 2𝑥 + 43 − 1
𝑦 = 2𝑥 + 13
e) Tiene pendiente −2 y pasa por el punto (−1; 8).
Planteamos la ecuación de la recta dada su pendiente y un punto perteneciente a la misma:
𝑦 − 8 =− 2 · 𝑥 − − 1( )[ ]
𝑦 =− 2𝑥 − 2 + 8
 𝑦 =− 2𝑥 + 6
f) Tiene pendiente 4 e interseca al eje en el punto de abscisa 3.𝑥
Sabemos que la pendiente es y pasa por el punto (3, 0).𝑚 = 4
Planteamos la ecuación de la recta dada su pendiente y un punto perteneciente a la misma:
𝑦 − 0 = 4⋅(𝑥 − 3)
 𝑦 = 4𝑥 − 12
g) Pasa por el punto y es paralela a la recta determinada por (−2;4) y (4; 6).− 12 ;
1
2( )
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Primero hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−2;4) y (4; 6).
𝑦 − 4 = 6−44− −2( ) · 𝑥 − − 2( )[ ]
𝑦 − 4 = 26 𝑥 + 2( )
𝑦 = 13 𝑥 +
2
3 + 4
𝑦 = 13 𝑥 +
14
3
Luego, hallamos la recta que es paralela a y pasa por el punto .𝑦 = 13 𝑥 +
14
3 −
1
2 ;
1
2( )
𝑦 − 12 =
1
3 · 𝑥 − −
1
2( )⎡⎣ ⎤⎦
𝑦 − 12 =
1
3 𝑥 +
1
6
 𝑦 = 13 𝑥 +
1
6 +
1
2
 𝑦 = 13 𝑥 +
2
3
h) La ordenada al origen es −3 y es perpendicular a la recta que une los puntos (− 2; − 1)
y 23 ; 0( ).
Calculamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos y(− 2; − 1) 23 ; 0( ):
𝑚 = 0− −1( )2
3 − −2( )
= 18
3
= 38
Como la recta buscada es perpendicular a la que pasa por los puntos y y− 2; − 1( ) 23 ; 0( ) 
tiene pendiente , debe tener pendiente opuesta y recíproca, es decir,𝑚 = 38
. Luego, hallamos la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, -3)𝑚
2
=− 1𝑚 =−
1
3
8
=− 83
y tiene pendiente 𝑚
2
=− 83 :
𝑦 − − 3( ) =− 83 𝑥 − 0( )
𝑦 =− 83 𝑥 − 3 
i) Pasa por (−2; 5) y es paralela a la recta − 𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0.
Primero escribimos la ecuación de la recta dada en forma implícita en su forma explícita para
poder determinar su pendiente: − 𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0
4𝑦 = 𝑥 + 3
 𝑦 = 14 𝑥 +
3
4
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Luego planteamos la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2; 5) y tiene pendiente 𝑚 = 14
(esto es porque son paralelas entre sí):
𝑦 − 5 = 14 · 𝑥 − − 2( )[ ]
𝑦 = 14 𝑥 +
1
2 + 5
𝑦 = 14 𝑥 +
11
2
j) Es perpendicular a la recta , por el punto (−2; 5).4𝑥 − 𝑦 = 0
Escribimos en forma explícita la ecuación de la recta dada en su forma implícita:
− 𝑦 =− 4𝑥
𝑦 = 4𝑥
Como las rectas deben ser perpendiculares entre sí, la pendiente de la nueva recta debe ser
. Planteamos la ecuación de la recta dada su pendiente y un punto perteneciente a la𝑚 =− 14
misma:
𝑦 − 5 =− 14 · 𝑥 − − 2( )[ ]
𝑦 =− 14 𝑥 −
1
2 + 5
𝑦 =− 14 𝑥 +
9
2
k) Pasa por el punto (−5; −3) y es paralela al eje .𝑥
Si la recta es paralela al eje , significa que es constante y su pendiente es Planteamos𝑥 𝑚 = 0.
la ecuación de la recta dada su pendiente y un punto perteneciente a la misma:
𝑦 − − 3( ) = 0⋅ 𝑥 − − 5( )[ ]
𝑦 =− 3
l) Su raíz es y la ordenada al origen 2.− 52 
Planteamos la ecuación de la recta dada su pendiente y la ordenada al origen:
𝑦 =− 52 𝑥 + 2
m) La raíz es y pasa por el punto (−1;1).− 13
Conocemos dos puntos pertenecientes a la recta y :(− 13 , 0) (− 1, 1)
𝑦 − 1 = 1−0
−1− − 13( ) · 𝑥 − − 1( )[ ]
𝑦 − 1 =− 32 · 𝑥 + 1( )
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𝑦 =− 32 𝑥 −
3
2 + 1
𝑦 =− 32 𝑥 −
1
2
14) a) Sabemos que la recta pasa por el punto y− 52 ; 3( )
tiene ordenada al origen negativa, esto significa que para
la función toma un valor negativo. Con esta𝑥 = 0
información podemos afirmar que, a medida que los valores de
aumentan (miramos de a 0 por ejemplo), los valores de𝑥 − 52
la variable dependiente son cada vez menores (del valor 3
disminuye a una ordenada al origen negativa). Por lo que la
función es decreciente.
b) Si la ordenada al origen de la función lineal g es significa− 23
que pasa por el punto . Como además es creciente, a0, − 23( )
medida que disminuyen los valores de también deben disminuir𝑥
los valores de y (o a medida que aumentan los de x también
aumentan los de y), por lo tanto, no puede ocurrir que al disminuir
(de 0 a -1 por ejemplo) la variable dependiente aumente (de𝑥 − 23
al 3 por ejemplo). Por lo tanto, no es posible que pase por el𝑔
punto . (− 1; 3)
c) Es posible que h sea creciente pues pasa por el punto
y tiene ordenada al origen positiva, esto significa que(− 4, 0) 
a medida que aumentan los valores de , también aumentan los𝑥
valores de .𝑦
d) Sabemos que la función pasa por el punto y posee una raíz negativa. Por lo tanto, es− 12 , 4( )
posible que la función r sea creciente o decreciente.
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Por ejemplo:
15)
a) Sistema compatible indeterminado (infinitas
soluciones). Gráficamente las rectas son coincidentes.
b) Sistema compatible determinado (solución única): 𝑥 =− 1 , 𝑦 = 1
c) Sistema incompatible (no tiene solución):
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d) Sistema compatible determinado (solución única): 𝑥 =− 12 , 𝑦 =−
7
2
e) Sistema compatible determinado (solución única): 𝑥 = 1, 𝑦 = 0
f) Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones).
Problemas de aplicación
1) La cantidad de agua inicial representa la ordenada al origen: 𝑏 = 1150
La pérdida diaria representa la pendiente: (negativa porque representa pérdida)𝑚 =− 12
Planteamos la fórmula: donde representa la cantidad de agua luego𝑓 𝑥( ) = 1150 − 12𝑥 𝑓(𝑥)
de días.𝑥
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Lic. en Criminalística Matemática I Unidad 2:Guía de Actividadesa) Debemos plantear 𝑓 𝑥( ) = 70
1150 − 12𝑥 = 70
𝑥 = 70−1150−12
𝑥 = 90
Respuesta: La represa tendrá 70 millones de litros de agua luego de transcurridos 90 días.
b) Debemos plantear 𝑓 𝑥( ) = 0
1150 − 12𝑥 = 0
𝑥 = −1150−12
𝑥≅96
Respuesta: La represa quedará vacía luego de 96 días aproximadamente.
2) Una compañía de teléfonos celulares está equipada para realizar servicios a 100 millones de
usuarios. En el año 2000 tenía 70 millones, y su número crece alrededor de 4 millones por año.
La cantidad de usuarios en al año 2000 representa la ordenada al origen: 𝑏 = 70
La cantidad que aumenta por año representa la pendiente: 𝑚 = 4
a) donde representa la cantidad de usuarios luego de años𝐶 𝑥( ) = 70 + 7𝑥 𝐶(𝑥) 𝑥
transcurridos.
b) Como la empresa tiene equipamiento para 100 millones de usuarios, si supera esta𝐶(𝑥)
cantidad, necesitará comprar más equipamiento. Por lo que:
70 + 7𝑥 > 100
𝑥 > 100−707 ≅4, 3
𝑥 > 5
Respuesta: Luego de transcurrido 5 años, la empresa deberá comprar más equipamiento.
3) Un técnico en equipos de música cobra una tarifa fija de $100 por revisar el equipo y realizar
un diagnóstico del problema que presenta. Luego, por cada hora de trabajo que le demanda su
arreglo tiene estipulado una tarifa de $180.
a) donde C representa el costo del arreglo y la cantidad de horas que le𝐶 𝑥( ) = 100 + 180𝑥 𝑥
demanda el mismo.
b) La tarifa fija representa la ordenada al origen: 𝑏 = 100
La tarifa por cada hora representa la pendiente: 𝑚 = 180
c) Dominio: y Conjunto imagen:𝐷𝑜𝑚 𝐶 = [0, + ∞) 𝐼𝑚 𝐶 = [100; + ∞)
d) 𝐶 7, 5( ) = 100 + 180. 7, 5 = 1450
Si el arreglo le llevó 7 horas y media deberá cobrar $1450.
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e) 920 = 100 + 180𝑥
𝑥 = 920−100180
𝑥≅4, 5
Para cobrar $920 el arreglo le llevará aproximadamente 4 horas y media.
f) Si el técnico no cobrara la tarifa fija la ordenada al origen debería ser y la fórmula de𝑏 = 0
la función cambiaría a . Gráficamente las rectas que representan a cada función𝐶 𝑥( ) = 180𝑥
son paralelas.
4) José, que vive en la zona rural de Belén (Catamarca) sale en su bicicleta a las 7.30 h para ir a
la escuela, que está a 2 km de su casa, y viaja a una velocidad constante de 100 metros por
minuto.
a) donde representa la distancia en metros recorrida en minutos.𝐷 𝑡( ) = 100. 𝑡 𝐷 𝑡
b) Dominio: y Conjunto imagen:𝐷𝑜𝑚 𝐷 = [0, 20] 𝐼𝑚 𝐷 = [0, 2]
c) La pendiente representa la cantidad de metros recorridos por cada minuto.𝑚 = 100 
La ordenada al origen representa el lugar de inicio del recorrido.𝑏 = 0
d) Sí, pues en 20 minutos recorrerá 2km. Es decir que a las 7:50 ya estará en la escuela.
5)
a) Incógnitas: : cantidad de naranjas de Juan𝑥
: cantidad de naranjas de Pedro𝑦
Solución: . Respuesta: Juan tiene 125 naranjas y Pedro 165.𝑥 = 125 , 𝑦 = 165
b) Incógnitas: : edad de María𝑥
: edad de Juana𝑦
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Solución: 𝑥 = 78 , 𝑦 = 26
c)
Solución: . Respuesta: María tiene 78 años y Juana 26.𝑥 = 25 , 𝑦 =− 81
d) : cantidad de cerdos : cantidad de pavos𝑥 𝑦
Solución: . Respuesta: hay 32 cerdos y 26 pavos.𝑥 = 32 , 𝑦 = 26
e) son las medidas de dos ángulos desconocidos.𝑎 
^
 𝑦 𝑏
^
{𝑎
^
+ 15 = 2𝑏
^
 𝑎 
^
+ 𝑏
^
+ 90 = 180 
Solución: 𝑎
^
= 55°, 𝑏
^
= 35°. 
f) e son los números desconocidos𝑥 𝑦
Solución: 𝑥 = 94 𝑦 = 48
g)
Ecuación de movimiento para el auto:
𝑦 = 25, 2 𝑡
Ecuación de movimiento para el camión:
𝑦 = 54 𝑡 − 1900( )
Recordar que 4 segundos equivalen a de1900
hora.
 25, 2 𝑡 = 54 𝑡 − 1900( )
25, 2 𝑡 = 54𝑡 − 54900
25, 2 𝑡 − 54 𝑡 =− 350
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− 1444 𝑡 =−
3
50
𝑡 =− 350 . −
4
144( )
𝑡 = 1600 ≅0, 002
Se encontrarán luego de 6 minutos.
Reemplazamos en una de las ecuaciones para hallar la distancia de encuentro:
km o bien 42 metros.𝑦 = 25, 2 1600 = 0, 042
h) 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜: 𝐼 𝑥( ) = 40𝑥
𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜: 𝐶 𝑥( ) = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 + 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒 = 20𝑥 + 5000
𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑖) 40𝑥 = 20𝑥 + 5000
40𝑥 − 20𝑥 = 5000
 20𝑥 = 5000
𝑥 = 5000: 20
𝑥 = 250
Respuesta: Para que el ingreso sea igual al costo se deben vender 250 unidades.
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La pendiente de la función ingreso indica el ingreso generado por cada unidad.𝑚 = 40
La pendiente de la función costo indica el costo generado por producir cada unidad.𝑚 = 20
Gráficamente el punto el punto de intersección entre las rectas de I y C, es decir(250; 10000)
es el valor de para los cuales las funciones son iguales.𝑥 𝑒 𝑦
i)
Velocidad del tren 1: 𝑣
1
= 75 𝑘𝑚/ℎ Velocidad del tren 2: 𝑣
2
= 125 𝑘𝑚/ℎ
Distancia recorrida por el tren 1: 𝑦 = 75𝑡 Distancia recorrida por el tren 2: 𝑦 = 125𝑡
Como el segundo tren sale dos horas más tardes su fórmula será 𝑦 = 125(𝑡 − 2)
Primero hallamos el momento de encuentro: 75𝑡 = 125(𝑡 − 2)
75𝑡 = 125𝑡 − 250
 75𝑡 − 125𝑡 =− 250
− 50𝑡 =− 250
𝑡 =− 250: (− 50)
𝑡 = 5
Se encontrarán luego de 5 horas.
Luego calculamos la distancia en la que se encuentran: 𝑦 = 125 5 − 2( ) = 125. 3 = 375
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