NM1_Proporcionalidad_directa_inversa

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Proporcionalidad directa y Proporcionalidad inversa
Resumen:
Dos variables y y x son proporcionales si se cumplen una y sólo una de las siguientes relaciones:
 Su razón y/x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son directamente proporcionales.
 Su producto y·x es constante. En este caso se dice que las variables x e y son inversamente proporcionales.
Ejemplos:
Una lata de bebida cuesta 350 pesos. Tienes que comprar 10; por lo tanto, necesitas 3500 pesos. Con estos datos 
tenemos siguiente tabla:
Cantidad
de latas
(X)
Costo
en
dinero
(Y)
1 350
2 700
3 1050
4 1400
5 1750
6 2100
7 2450
8 2800
9 3150
10 3500
Como se aprecia, tenemos dos variables la cantidad de latas y el costo en dinero, en ambas los valores aumentan y 
a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.
El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:
Con la tabla anterior divide cada par de valores (x e y)
1
Cantidad de
latas (x)
Costo en
dinero
(y)
Cuociente
y/x= c
Constante de
proporcionalidad
c
1 350 350/1 = 350
2 700 700/2 = 350
3 1050 1050/3 = 350
4 1400 1400/4 = 350
5 1750 1750/5 = 350
6 2100 2100/6 = 350
7 2450 2450/7 = 350
8 2800 2800/8 = 350
9 3150 3150/9 = 350
10 3500 3500/10 = 350
Notamos que cuando se divide el costo y por la cantidad de latas x se obtiene un valor constante c en cada cuociente.
En resumen observamos que:
 Tenemos dos variables una de las cuales (y), cambia en términos de los valores que toma la otra (x), además
 A partir de la tabla de valores podemos verificar que la constante de proporcionalidad es c = 350 para cada par 
de valores (x, y) y
 El gráfico que muestra la variación de x e y es una recta. Como c > 0, la recta es ascendente.
Revisemos otro caso
Consideremos un auto que parte con una velocidad inicial de Vo de 25 m/s y desacelera de manera que baja su
velocidad en 3 m/s en cada segundo, entonces si graficamos la velocidad del auto por segundo transcurrido
obtenemos:
 Tiempo 
Velocidad V- Vo (V-Vo)/T
 Transcurrido 
del auto
1 22 3
3
2 19 6
3
3 16 9
3
4 13 12
3
5 10 15
5
Entonces observamos que la disminución de velocidad (V-Vo) es proporcional al tiempo transcurrido T y en este caso
la constante de proporcionalidad tiene un valor negativo – 3.
En resumen tenemos:
 Dos variables una disminuye mientras la otra aumenta, además
 A partir de la tabla verificamos que la constante de proporcionalidad es negativa y
 El gráfico de la velocidad del auto versus el tiempo transcurrido es una recta descendente
Revisemos otro caso:
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6
Serie1
2
Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 
10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, 
es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.
Veámoslo ilustrado:
Ahora, en caso de 10 invitados sabemos cuanta torta te correspondería. Si antes de partir la torta se retiraron 2 
invitados, ¿el trozo que te tocaría sería más grande o más pequeño? Si llegan 5 invitados más antes de repartir la torta
el pedazo que te correspondería ¿es más grande o más pequeño?
Las ilustraciones correspondientes son: 
15 invitados 8 invitados
La tabla siguiente describe la distribución de torta por cantidad de invitados, los trozos de torta lo expresaremos en
porcentajes, los invitados en número de personas.
Invitados
(personas)
Trozos
de torta
(%)
1 100,00
2 50,00
3 33,33
4 25,00
5 20,00
6 16,66
7 14,28
8 12,50
9 11,11
10 10,00
11 9,09
12 8,33
Veamos el gráfico que describe la tabla anterior:
3
Igual que en el caso anterior, calcula la constante de proporcionalidad
Invitados (x) Porción de torta
(y)
Producto
x x y =c
1 100,00 100
2 50,00 100
3 33,33 100
4 25,00 100
5 20,00 100
6 16,66 100
7 14,28 100
8 12,50 100
9 11,11 100
10 10,00 100
11 9,09 100
12 8,33 100
El producto de la cantidad de invitados x por la porción de torta y es constante e igual a 100.
En resumen:
 Hay dos variables que se relacionan. La relación se establece en condiciones que al aumentar los valores de
una variable disminuye los valores de la otra, y además
 El gráfico de y versus x es una curva, llamada rama de hipérbola y.
 El producto entre cada uno de los pares de valores (x , y) es constante. 
Por lo tanto la porción de torta es inversamente proporcional al número de invitados.
Otros ejemplos
 Si me sirvo un café muy caliente, él estará a unos 90ºC y supongamos, haciendo una simplificación de la
realidad, que perderá (digamos) 12ºC por minuto en las condiciones ambientales. El enfriamiento observado
(temperatura final - temperatura inicial) será directamente proporcional al tiempo transcurrido. 
 En los bancos, supermercados, etc. se junta gran cantidad de monedas. Como las cajeras pierden mucho tiempo
contándolas, en general, se pesan bolsas de monedas. Supongamos que se tienen los siguientes datos.
Bolsas Peso de la bolsa (gr) Valor monetario
($)
4
1 550 11.000
2 850 17.000
3 1250 25.000
4 1300 26.000
5 1850 37.000
6 2000 40.000
7 2250 45.000
¿Existe proporcionalidad entre el peso de las bolsas y valor monetario de ellas?
Notas metodológicas:
i) Podríamos reformular la definición diciendo “y es proporcional a x si y es directamente proporcional a x o a
su recíproco 1/x ”.
ii) Si hay proporcionalidad directa entre x e y, entonces a cada par de valores x1 y x2 le corresponderán
dos valores 
y1 e y2 tales que, x1/y1 = x2/y2 expresión que usualmente se denomina "proporción"
leyéndose "
x1 es a y1 como x2 es a y2 " (regla de tres directa)
iii) En general, si la variable y es proporcional a x y se tiene un conjunto de pares de valores
{( x1 , y1 ) ,. . .( xn yn)} se cumple
y1
x1
=
y2
x2
=
y3
x3
=.
yn
xn
=..=c
iv) Cuando hablamos de proporcionalidad estamos refiriéndonos a dos variables, no a dos valores de una
variable (dos números).
v) Que y aumente al aumentar x, NO implica que tengamos proporcionalidad directa.
Por ejemplo:
vi) Que y disminuya al aumentar x NO implica que tengamos proporcionalidad inversa.
Por ejemplo:
Posibilidades didácticas:
 Visualizaciones
 Se relaciona con ...
5
Razón
Vemos que si las variables y y x son directamente proporcionales entonces 
y1
x2
=
y2
x2
=.. .
yn
xn
=c
, luego la razón
entre los valores que puede tomar y y los que toma x en la misma situación se mantiene constante y es igual a la
constante de proporcionalidad.
Variable 
Ecuación de primer grado
El saber que dos variables son proporcionales o inversamente proporcionales permite establecer una ecuación de
primer grado:
Si se sabe que y es directamente proporcional a x con constante de proporcionalidad igual a 5 y se sabe que y=3
entonces el valor correspondiente de x satisface:
3/x=5; luego x=3/5.
Representación gráfica de datos
Muchas veces se presentan situaciones donde se requiere estudiar la relación existente entre varias cantidades. Esto
se puede hacer representando cada cantidad por una variable y mostrando las variables tabular o gráficamente.
Pendiente de una recta.
 En contexto
En Física
Por ejemplo relacionando el estiramiento (d) de un resorte con el peso al que es sometido (p) para estirarse, se pudo
comprobar empíricamente que d = k p donde k es un valor constante e independiente de d o p.
Por ejemplo el tiempo de llenado de un estanque es inversamente proporcional al flujo de agua que usa para llenarlo. 
En Geometría
Si dos triángulos rectángulos son semejantes se sabe que la relación entre altura y base satisface una relación de
proporcionalidad directa.
La proporcionalidad también aparece en el Teorema de Thales.
Una maqueta un modelo a escala
Un auto de juguete tiene la siguiente inscripción: 1:20, señalando que la relación proporcional entre el juguete es una
(1) unidad en el modelo a escala por 20 en el auto real.
Estimaciónde medidas
La sombra de un objeto, a una hora determinada, es proporcional a su altura.
6
Desafíos
1. Valor de la UF
Considere el valor de la UF en algunos meses particulares. Grafíquelo en el tiempo y determine el tipo de relación
que tiene el valor de la UF y la fecha. ¿Es la misma para todos los meses?
¿Que pasa si se observa la UF a lo largo de todo un año?
 
2. Estiramiento de un resorte.
Los resortes se estiran según un comportamiento relacionado con la fuerza a la que están sometidos. Diseña un
experimento para determinar la relación entre “estiramiento” y “fuerza”. ¿Es siempre válida esta relación?
3. Temperatura del café.
Toma una taza de café caliente y mide su temperatura a intervalos regulares de tiempo.
Grafica tus datos ¿Qué observas?
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	Tiempo Velocidad V- Vo (V-Vo)/T
	Transcurrido del auto
	Otros ejemplos
	Bolsas
	Peso de la bolsa (gr)
	Valor monetario
	($)
	ii) Si hay proporcionalidad directa entre x e y, entonces a cada par de valores y le corresponderán dos valores e tales que, x1/y1 = x2/y2 expresión que usualmente se denomina "proporción" leyéndose " es a como es a " (regla de tres directa)
	Razón
	Ecuación de primer grado
	El saber que dos variables son proporcionales o inversamente proporcionales permite establecer una ecuación de primer grado:
	Representación gráfica de datos
	En Física
	En Geometría
	Una maqueta un modelo a escala
	Estimación de medidas