Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 
Análisis Matemático I. Facultad de Ciencias Exactas. Departamento de Matemática 1 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 
 
El estudio de las ecuaciones diferenciales es una parte de la Matemática que, quizá más que 
cualquier otra, ha sido directamente inspirada por la Mecánica, la Astronomía y la Física 
matemática. Su historia empezó en el siglo XVII cuando Newton, Leibniz y los Bernoulli 
resolvieron algunas ecuaciones diferenciales sencillas que se presentaron en problemas de 
Geometría y Mecánica. Esos primeros descubrimientos, que comenzaron alrededor de 
1690, llevaron gradualmente al desarrollo de una especie de “bolsa de trucos” para resolver 
ciertos tipos particulares de ecuaciones diferenciales. Si bien esos trucos son aplicables 
relativamente en pocos casos, nos permiten resolver muchas ecuaciones diferenciales 
que se presentan en Mecánica y Geometría, de modo que su estudio es de importancia 
práctica. 
En 1671 Newton (1643-1729) trabajó sobre la teoría de “Fluxiones” (Una fluxión viene a 
ser la derivada de una “fluyente”, el cual es el nombre que Newton daba a un variable 
dependiente). Su investigación se relacionó con “Ecuaciones Fluxionales” que ahora 
llamaríamos ecuaciones diferenciales. Él dividió a las ecuaciones diferenciales en tres 
categorías. 
En la primera, estas tendrían a forma 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) o 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 (𝑦). 
En la segunda, tendrían la forma 𝑑𝑦/𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
Y en la tercera categoría están las ecuaciones diferenciales parciales. El método de solución 
desarrollado por él fue el de series de potencias el cual consideró un método 
“universalmente válido”. 
El matemático y filósofo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) también trabajó en 
ecuaciones diferenciales; encontró el método para las ecuaciones diferenciales lineales de 
primer orden. 
En 1690, Jakob Bernoulli (1654-1705) mostró que el problema de determinar la isócrona 
(curva vertical plana en la cual una partícula que se deslice sobre ella hasta el fondo tardará 
un tiempo fijo que no depende del punto inicial) es equivalente a resolver una ecuación 
diferencial de primer orden no lineal; él la resolvió por el método de variables separables 
(el método general sería enunciado por Leibniz). El artículo de Bernoulli se convirtió en 
una “milestone” en la historia del Cálculo. 
La segunda etapa (siglo XVIII) de la historia de las EDO estuvo dominada por Leonard 
Euler: Él introdujo varios métodos para ecuaciones de orden inferior, el concepto de factor 
integrante, la teoría de las ecuaciones lineales de orden arbitrario, el desarrollo del uso del 
método de series de potencias entre otras cosas. 
La etapa siguiente (siglo XIX ) fue una etapa de formalización y en ella hay dos personajes 
importantes Niels Henrik Abel (1802-1829) y Augustin-Louis Cauchy (1789-1857); los 
problemas de existencia y unicidad de la solución cobraron importancia. 
 
 
 
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La experiencia ha demostrado que es difícil obtener teorías matemáticas de gran 
generalidad acerca de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, salvo para unos pocos 
tipos. Entre éstas podemos citar las llamadas ecuaciones diferenciales lineales que se 
presentan en una gran variedad de problemas científicos. 
En los últimos 50 años, hemos presenciado un notable desarrollo de un campo de la Física-
Matemática, designado con el nombre de Mecánica No Lineal. 
Este término, probablemente, no es del todo correcto; los cambios no han ocurrido en la 
propia Mecánica sino, en su mayoría, en las técnicas de resolución de sus problemas, sobre 
todo las que requieren ecuaciones diferenciales, que ahora utilizan ecuaciones diferenciales 
no lineales. Esta no es una idea nueva en la Mecánica. 
En efecto, estos problemas no lineales son conocidos desde los estudios de Euler, Lagrange 
y otros geómetras, suficientes para ilustrar la antigüedad de las temáticas no-lineales. 
La principal dificultad de estos estudios, hoy clásicos, radica en la ausencia de un método 
general para tratar estos problemas, los cuales eran tratados, sobre todo, con Artificios 
especiales para obtener su solución. 
 
Esp. María de las Mercedes Moya 
 
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Introducción 
 
Aunque los matemáticos puros generalmente se interesan en la matemática por sí misma, 
como sistema o estructura, los ingenieros, científicos y matemáticos prácticos en general se 
interesan por la matemática aplicada para explicar, describir o ayudar a la comprensión de 
los fenómenos físicos. 
Gran parte del desarrollo del cálculo fue un resultado del esfuerzo del hombre para 
formular los problemas físicos en forma matemática, de manera que los fenómenos 
pudieran describirse o comprenderse mejor. 
Se presenta una gran cantidad de problemas en los cuales se desea determinar un elemento 
variable a partir de su coeficiente de variación. Por ejemplo, se quiere determinar la 
posición de una partícula móvil conociendo su velocidad, o se trata de encontrar una 
función desconocida mediante datos que se relacionan por una ecuación que contiene por lo 
menos una de las derivadas de dicha función incógnita. 
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones diferenciales y su estudio constituye una de las 
ramas de la matemática que tiene mayor aplicación. 
 
1. Ecuaciones Diferenciales 
 
Definición: 
Las ecuaciones diferenciales son relaciones entre una o más variables independientes, una 
función incógnita y un número finito de sus derivadas o diferenciales. 
 
Ejemplo 1: 
 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 7
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑦 = 0 
 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
= 0. 1 
 
 
1 Esta ecuación, llamada ecuación de Laplace, se presenta en la Teoría de Electricidad y Magnetismo, en la 
Mecánica de fluidos. así como en otros capítulos de la Física matemática. 
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1.1. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales 
 
Las Ecuaciones Diferenciales se clasifican en 
 
 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Son aquellas cuya incógnita es una función 
de una sola variable independiente. Generalmente se representan de la forma: 
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′𝑦′′, … 𝑦(𝑛)) = 0 
donde la incógnita es 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
 
 Ecuaciones Diferenciales a Derivadas Parciales: Son aquellas cuya incógnita es 
una función que depende de dos o más variables independientes. Generalmente se 
representan de la forma: 
𝜑 (𝑥, 𝑦, 𝑧,
𝜕𝑧
𝜕𝑥
,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
,
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
,
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
, … ,
𝜕𝑛𝑧
𝜕𝑥𝑛
,
𝜕𝑛𝑧
𝜕𝑦𝑛
) 
donde 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦). 
 
Es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones 
Diferenciales 
Ecuaciones 
Diferenciales 
Ordinarias 
Una sola 
variable 
Independiente 
Ecuaciones 
Diferenciales a 
Derivadas 
Parciales 
Más de una 
variable 
Independiente 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 + 𝑦 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 0 
(𝑦′′)2 + (𝑦′)3 + 𝑦2 = 4𝑥 
Ejemplos: 
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑧
𝜕𝑦2
= 4𝑥 
 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 
3
+
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑧 
Ejemplos: 
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En este curso solo vamos a estudiar las Ecuaciones DiferencialesOrdinarias (EDO), y en 
particular, algunas de ellas. 
 
2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 
 
Veamos ahora algunas definiciones generales: 
 
2.1. Orden de una Ecuación Diferencial Ordinaria 
 
Definición: 
Llamamos orden de una ecuación diferencial ordinaria al orden de la mayor derivada en la 
ecuación diferencial. 
 
Ejemplo 2: 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0 → Orden 3 
6𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 7𝑥 → Orden 2 
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
= 0 → Orden 𝑛 
 
2.2. Grado de una Ecuación Diferencial Ordinaria 
 
Definición: 
En una ecuación diferencial ordinaria escrita como polinomio o que puede escribirse como 
tal, el grado es el exponente que tiene la derivada de mayor orden. 
 
Ejemplo 3: 
(𝑦′′′)2 + (𝑦′′)4 + (𝑦′)5 = 7𝑥 → Orden 3 y grado 2 
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
4
+ (
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
)
3
= 0 → Orden 2 y grado 3 
 
 
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3. Origen de las Ecuaciones Diferenciales 
 
El origen de las Ecuaciones Diferenciales está en problemas geométricos, físicos o en 
primitivas. 
 
Ejemplo 4: Problemas Geométricos 
Hay una curva que en cada punto tiene una tangente que vale el doble de la suma de sus 
coordenadas. Expresar dicha condición 
Solución: 
tg 𝛼 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2(𝑥 + 𝑦) 
 
∴ 𝑦′ − 2𝑦 = 2𝑥⏟ 
Ecuación Diferencial 
 
 
Ejemplo 5: Problemas Físicos 
La velocidad con que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperaturas 
del medio ambiente y el cuerpo. Expresar dicha condición 
Solución: 
𝑇: temperatura del cuerpo 
𝑇𝐴: temperatura del medio ambiente 
𝑡: tiempo 
𝑘: constante de proporcionalidad 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇𝐴 − 𝑇) ⇒ 𝑇
′ = 𝑘𝑇𝐴 − 𝑘𝑇 
∴ 𝑇′ + 𝑘𝑇 = 𝑘𝑇𝐴⏟ 
Ecuación Diferencial 
 
 
Ejemplo 6: Problemas de Primitivas 
Supongamos una función que tenga 𝑛 constantes arbitrarias, por ejemplo: 
𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 
la cual tiene 3 constantes arbitrarias, a la cual llamaremos primitiva. Podemos eliminar las 
𝑛 constantes con 𝑛 + 1 ecuaciones. En nuestro ejemplo, las eliminamos con 4 ecuaciones: 
𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 
𝑦′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵 
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𝑦′′ = 2𝐴 
𝑦′′′ = 0 
∴
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
= 0
⏟ 
Ecuación Diferencial
libre de constantes arbitrarias 
 
 
Veamos ahora como por integración obtenemos la primitiva a partir de la ecuación 
diferencial: 
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
= 0 ⇒
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
) = 0 
Integrando 
∫
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
) = 𝐶1 ∴
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 𝐶1 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑑
𝑑𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 𝐶1 
Integrando nuevamente 
 
∫
𝑑
𝑑𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2 ∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
 
Integrando una vez más 
 
∫
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝐶1
2
𝑥2 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3 ∴ 𝑦 =
𝐶1
2
𝑥2 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3 
Llamando 
𝐴 =
𝐶1
2
 , 𝐵 = 𝐶2 , 𝐶 = 𝐶3 
 
Tenemos que: 
𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 
 
que es la ecuación o primitiva que dio origen a la ecuación diferencial. 
 
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4. Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 
 
Resolver una ecuación diferencial es encontrar la primitiva que le dio origen. Esto es: 
“Resolver una EDO de orden 𝒏, es hallar una relación de variables que tengan 𝒏 
constantes arbitrarias independientes de modo que las derivadas obtenidas satisfagan la 
ecuación diferencial”. 
 
En el caso de una ecuación diferencial de primer orden: 
 
Resolver una ecuación diferencial de primer orden, significa hallar todas las funciones 
explícitas 𝑦 = 𝑓(𝑥) o implícitas 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0, tales que al reemplazar en 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 la 
verifique. En este tipo de ecuaciones, el conjunto de soluciones depende de una constante 
arbitraria. 
 
4.1. Solución General 
 
Definición: 
Se llama solución general de una ecuación diferencial ordinaria a una expresión (o 
primitiva) que contiene tantas constantes arbitrarias como orden tenga la ecuación 
diferencial. 
 
Según esta definición, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden es de 
la forma 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) y representa una familia de funciones cuyas gráficas determinan una 
familia de curvas. Este tipo de soluciones se llama “integral general”, de la ecuación 
diferencial. 
 
Ejemplo 1: 
La función 𝑦 =
1
𝑥
 es solución de la ecuación diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
, pues 
𝑦′ = −
1
𝑥2
⇒ −
𝑦
𝑥
= −
1
𝑥
𝑥
= −
1
𝑥2
 
de modo que se cumple la igualdad. 
Pero también 𝑦 =
𝐶
𝑥
, con 𝐶 = 𝑐𝑡𝑒 es solución de esa ecuación diferencial, pues 
𝑦′ = −
𝐶
𝑥2
 
 
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⇒ −
𝑦
𝑥
= −
𝐶
𝑥
𝑥
= −
𝐶
𝑥2
 
que también verifica la igualdad. 
Por tanto, en la ecuación 
diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
, la solución 
general será 
𝑦 =
𝐶
𝑥
 
 
Puede darse el problema contrario. Esto es: Dada la familia de curvas 𝒚 = 𝝋(𝒙, 𝑪), 
encontrar la ecuación diferencial que la tiene por solución. 
 
Ejemplo 2: 
Dada la familia de curvas 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥, encontrar la ecuación diferencial que la tiene por 
solución. 
Solución: 
𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 
𝑦′ = 𝐶𝑒𝑥 ⇒ 𝐶 =
𝑦′
𝑒𝑥
 
⇒ 𝑦′ = 𝑦 
∴ 𝑦′ − 𝑦⏟ 
Ecuación Diferencial
libre de constantes arbitrarias
= 0 
La Ecuación diferencial obtenida tiene por solución general a la familia 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥. 
 
4.2. Solución Particular 
Definición: 
Toda solución que se pueda obtener a partir de la solución general sustituyendo las 
constantes por valores determinados se llama solución particular de la ecuación 
diferencial. 
 
Este tipo de soluciones se obtienen a partir de considerar que las soluciones deben 
satisfacer ciertas condiciones que se denominan condiciones iniciales. 
 
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Ejemplo 1: Retomemos el ejemplo 1 de la solución general. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
 tiene por solución general 𝑦 =
𝐶
𝑥
. 
Si le imponemos las condiciones iniciales: 𝒚 = 𝟐 si 𝒙 = 𝟏 
Tenemos: 
2 =
𝐶
1
⇒ 𝐶 = 2 
Así, la solución particular en este caso será: 
 
𝑦 =
2
𝑥
 
 
Esta curva se llama curva integral. 
Este problema puede escribirse de 
la forma: 
 
{
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
𝑦(1) = 2
 
 
Un problema con valores o condiciones iniciales también se llama problema de Cauchy. 
 
Ejemplo 2: 
Si un móvil va a una velocidad constante de 50 𝑘𝑚/ℎ durante 30 minutos, ¿qué espacio 
habrá recorrido? 
Solución: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐶 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝐶𝑑𝑡 ⇒ ∫𝑑𝑥 = ∫𝐶𝑑𝑡 
∴ 𝑥 = 𝐶𝑡 + 𝐶1⏟ 
Solución General
 
Bajo las condiciones iniciales 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 50 ⇒ 𝑑𝑥 = 50𝑑𝑡 
1ℎ − 60 𝑘𝑚/ℎ
1
2
ℎ − 30 𝑘𝑚/ℎ
 
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⇒ ∫ 𝑑𝑥
𝑡
0
= ∫ 50𝑑𝑡
1
2
0
 
∴ 𝑙 = 50𝑡|0
1
2 = 50 ∙
1
2
= 25 
 
Así, recorrió el espacio de 𝑙 = 25 𝑘𝑚. 
 
Ejemplo 3: 
Resuelve el problema de valor inicial 
{
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒−𝑥
2
𝑦(3) = 5
 
Solución: 
La función 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
2
 es continua en (−∞,∞), pero su antiderivada no es una función 
elemental. Utilizando a 𝑡 como una variable muda de integración, podemos escribir 
∫ 𝑑𝑦
𝑥
3
= ∫ 𝑒−𝑡
2
𝑑𝑡
𝑥
3
 
𝑦(𝑡)|3
𝑥 = ∫ 𝑒−𝑡
2
𝑑𝑡
𝑥
3𝑦(𝑥) − 𝑦(3) = ∫ 𝑒−𝑡
2
𝑑𝑡
𝑥
3
 
𝑦(𝑥) = 𝑦(3) + ∫ 𝑒−𝑡
2
𝑑𝑡
𝑥
3
 
Utilizando la condición inicial 𝑦(3) = 5, obtenemos la solución 
𝑦(𝑥) = 5 +∫ 𝑒−𝑡
2
𝑑𝑡
𝑥
3
 
 
4.3. Solución Singular 
 
Definición: 
Si existe alguna solución de la Ecuación Diferencial que no es miembro de una familia de 
soluciones de la ecuación, esto es, una solución que no se puede obtener usando un 
parámetro específico de la familia de soluciones, se dice que dicha solución es una solución 
singular. 
 
Ejemplo: 
Resolver la ecuación diferencial: 𝑦′ = √1 − 𝑦2 
Solución: 
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i) Si 1 − 𝑦2 ≠ 0 podemos escribir a la ecuación anterior como: 
𝑑𝑦
√1 − 𝑦2
= 𝑑𝑥 
Integrando ambos miembros: arcsen 𝑦 = 𝑥 + 𝐶 ⇒ 𝑦 = sen(𝑥 + 𝐶). 
Esta solución contiene una constante arbitraria, por lo que es la solución general de la 
ecuación diferencial dada. 
ii) Sea ahora 1 − 𝑦2 = 0 ⇒ 𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = −1. Se puede verificar que ambas son 
también soluciones de la ecuación diferencial que se está considerando, aunque 
no contiene constantes 
arbitrarias, ni se pueden 
obtener a partir de la 
solución general bajo ningún 
valor de la constante 𝐶. Estas 
dos soluciones son 
soluciones singulares de la 
Ecuación diferencial. 
 
Podemos ver en la gráfica las 
soluciones encontradas. 
 
Observación: 
La envolvente del haz de curvas integrales determinado por las gráficas de las soluciones 
particulares es una solución singular. 
 
5. Significado geométrico de una Ecuación Diferencial de Primer 
Orden 
 
Sea la ecuación diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦), donde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ y 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función definida 
en un conjunto abierto 𝑆 ⊆ ℝ2. Geométricamente, significa que para cada punto (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑆, 
tiene definida una recta con pendiente 𝑓(𝑥, 𝑦) de manera tal que las soluciones 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) 
deberán ser tangentes en cada uno de los puntos a las rectas correspondientes. 
Entonces se dice que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) determina un campo de direcciones o de pendientes que 
puede ser visualizado diluyendo para cada punto 𝑃(𝑥, 𝑦) un trozo de tangente que 
corresponde a la solución. 
Así, el campo de direcciones correspondientes a, por ejemplo, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
 se visualiza en el 
gráfico siguiente: 
 
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Cada curva es de la forma 
𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) 
 
Las curvas 𝑦 =
𝐶
𝑥
 satisfacen las 
condiciones de tangencia 
𝑦′ = −
𝑦
𝑥
 
 
 
6. Clasificación de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 
 
A continuación clasificaremos algunas ecuaciones diferenciales de primer orden: 
1. A variables separables 
2. Homogéneas 
3. Lineales 
Una ecuación diferencial se puede escribir: 
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) → Se ve fácilmente el orden 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 → Se ve fácilmente de que grupo es 
 
6.1. Ecuaciones Diferenciales a Variables Separables 
 
Si en la ecuación: 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
Se verifica que: 
Si 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥) es sólo función de 𝑥 y 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑦) es sólo función de 𝑦, la 
ecuación diferencial queda de la forma: 
𝑀(𝑥)𝑑𝑥⏟ 
variable 𝑥
+𝑁(𝑦)𝑑𝑦⏟ 
variable 𝑦
= 0 (1) 
O bien: 
Si 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑦) es sólo función de 𝑦 y 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥) es sólo función de 𝑥, la 
ecuación diferencial queda de la forma: 
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𝑀(𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥)𝑑𝑦 = 0 
Si consideramos 𝑀(𝑦) ≠ 0 y 𝑁(𝑥) ≠ 0, al dividir miembro a miembro por 𝑀(𝑦) ∙ 𝑁(𝑥): 
𝑀(𝑦)
𝑀(𝑦) ∙ 𝑁(𝑥)
𝑑𝑥 +
𝑁(𝑥)
𝑀(𝑦) ∙ 𝑁(𝑥)
𝑑𝑦 = 0 
⇒
1
𝑁(𝑥)
𝑑𝑥
⏟ 
variable 𝑥
+
1
𝑀(𝑦)
𝑑𝑦
⏟ 
variable 𝑦
= 0 (2) 
 
Definición: 
Si la Ecuación Diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 puede llevarse a alguna de las 
formas: 
𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0 (1) ó 
1
𝑁(𝑥)
𝑑𝑥 +
1
𝑀(𝑦)
𝑑𝑦 = 0 (2) 
se dice que es una ecuación diferencial de primer orden a variables separables. 
 
Para resolver la ecuación diferencial, tenemos que buscar su integral general. Sin pérdida 
de generalidad, trabajemos con (1) 
𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑦)𝑑𝑦 = 0 
Esta ecuación diferencial está planteada en forma implícita, de modo que su solución es una 
función del tipo 𝑦 = 𝜑(𝑥), tal que 𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥 = 𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 , la cual verifica (1). Por lo tanto 
𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑁(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 = 0 
Notemos que estamos sumando expresiones diferenciales de la misma variable. Dicho de 
otro modo, tenemos el diferencial de una función desconocida, definida mediante una 
suma, la cual está igualada a cero. 
Como consecuencia del Corolario del Teorema del Valor Medio para derivadas, Si la 
derivada (o bien diferencial) de una función está igualada a 0, la misma es constante. Por lo 
tanto, podemos integrar respecto a 𝑥, y así tenemos que 
∫𝑀(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑁(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶, 𝐶 = 𝑐𝑡𝑒 
⇒ ∫𝑀(𝑥)𝑑𝑥 = −∫𝑁(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 
Finalmente, teniendo en cuenta que 𝑦 = 𝜑(𝑥), y que la constante puede incorporarse a la 
familia de funciones obtenidas con la integral, tenemos que 
∫𝑀(𝑥)𝑑𝑥 = −∫𝑁(𝑦)𝑑𝑦 
Análogamente, para (2), se obtiene que 
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∫
𝑑𝑥
𝑁(𝑥)
= −∫
𝑑𝑦
𝑀(𝑦)
 
Con ambos resultados, podemos encontrar la solución general de la ecuación diferencial. 
 
Sin embargo, no es la única forma. Si consideramos la ecuación diferencial 
𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
de modo tal que podemos escribir 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑦), es decir, como producto de dos 
funciones, una dependiente de 𝑥 y la otra de 𝑦. De esta manera, estamos en condiciones en 
dar una segunda definición para la ecuación diferencial a variables separables: 
 
Definición: 
Si la Ecuación Diferencial 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) puede llevarse a la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑦), se 
dice que es una ecuación diferencial de primer orden a variables separables. 
 
En notación de Leibniz, la EDO puede escribirse como 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) 
De este modo, usando diferenciales, queda en la forma: 
𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 
Como la ecuación es a variables separables: 
𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑦)𝑑𝑥 
1
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
Podemos proceder a integrar miembro a miembro, pero ambas expresiones tienen variables 
distintas. Para ello, debemos tener en cuenta que, como estamos buscando la solución de la 
ecuación diferencial, dada por 𝑦 = 𝜑(𝑥), tenemos que, siendo 𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥 = 𝜑′(𝑥)𝑑𝑥: 
𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜑(𝑥))𝑑𝑥 
Así, integrando el primer miembro: 
∫
1
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦 = ∫
1
ℎ(𝜑(𝑥))
𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 
Como 𝑑𝑦 = 𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 entonces 𝜑′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 pero 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑦) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝜑(𝑥)) ⇒ 𝜑′(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝜑(𝑥)) 
Así 
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∫
1
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦 = ∫
1
ℎ(𝜑(𝑥))
𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
1
ℎ(𝜑(𝑥))
 𝑔(𝑥)ℎ(𝜑(𝑥))𝑑𝑥 = ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
Luego 
∫
1
ℎ(𝑦)
𝑑𝑦 = ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
que es solución de la Ecuación diferencial a variables separables. 
 
Ejemplo 1: 
Resolver la ecuación diferencial 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0. 
Solución: 
𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0 ⇒ 𝑥𝑦′ = 2𝑦 ⇒ 𝑥 ∙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑦 
∴
𝑑𝑦
𝑦
=
2
𝑥
𝑑𝑥 
Integrando: 
∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫
2
𝑥
𝑑𝑥 ⇒ ln|𝑦| = 2 ln|𝑥|+ 𝐶 = 2 ln|𝑥| + ln|𝐶| 
⇒ ln|𝑦| = ln|𝑥|2 + ln|𝐶| = ln 𝑥2 + ln|𝐶| = ln(|𝐶| ∙ 𝑥2) 
⇒ |𝑦| = |𝐶| ∙ 𝑥2 
 
 
Si 𝑦 > 0, entonces 𝑦 = |𝐶| ∙ 𝑥2. 
 
Si 𝑦 > 0, entonces 𝑦 = −|𝐶| ∙ 𝑥2. 
 
Definiendo 𝐾 = ±|𝐶|, tenemos 
que la solución general de la 
Ecuación diferencial es: 
 
𝑦𝐺 = 𝐾𝑥
2 
 
Ejemplo 2: 
De la familia de curvas obtenidas anteriormente, hallar la curva que pase por el punto 
𝑃(1,2). 
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Solución: 
 
𝑦𝐺 = 𝐾𝑥
2 
 
Así, para 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2 se tiene: 
 
2 = 𝐾 ∙ 1 ∴ 𝐾 = 2 
 
Entonces, una solución particular es 
 
𝑦𝑃 = 2𝑥
2 
 
6.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 
 
Definición: 
Una función 𝑓(𝑥, 𝑦) se dice homogénea de grado 𝑛 en las variables 𝑥 e 𝑦, si para cada 
parámetro 𝑘, se verifica 
𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = 𝑘𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) 
 
Ejemplo 3: 
Decidir si las siguientes funciones son homogéneas. En caso de serlas, determinar su grado. 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 
𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = (𝑘𝑥)2 + (𝑘𝑥)(𝑘𝑦) + (𝑘𝑦)2 
= 𝑘2𝑥2 + 𝑘2𝑥𝑦 + 𝑘2𝑦2 
= 𝑘2(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
= 𝑘2𝑓(𝑥, 𝑦) 
∴ 𝑓 es homogénea de grado 2. 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑦3 
𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = (𝑘𝑥)3 − (𝑘𝑥)2 + (𝑘𝑦)3 
= 𝑘3𝑥3 − 𝑘2𝑥2 + 𝑘3𝑦3 
= 𝑘2(𝑘𝑥3 − 𝑥2 + 𝑘𝑦3) 
∴ 𝑓 No es homogénea. 
 
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Observación: 
Debe notarse que cualquier polinomio en 𝑥 e 𝑦 en donde todos los términos son del mismo 
grado en 𝑥 e 𝑦 es homogéneo. 
 
Sea 𝑓(𝑥, 𝑦) homogénea de grado 𝑛, entonces 
𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = 𝑘𝑛𝑓(𝑥, 𝑦) ⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑘𝑛
∙ 𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) 
Si en ella hacemos la sustitución 𝑘 =
1
𝑥
, tenemos: 
𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) = 𝑓 
1
𝑥
∙ 𝑥,
1
𝑥
∙ 𝑦 = 𝑓 (1,
𝑦
𝑥
) 
Así: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑓 (1,
𝑦
𝑥
) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑓(𝑣) 
Con 𝑣 =
𝑦
𝑥
. O sea 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑓(𝑣), 𝑣 =
𝑦
𝑥
 
𝑓 es homogénea de grado 𝑛. 
Procedamos ahora a definir una ecuación diferencial homogénea. 
 
Definición 1: 
Consideremos la ecuación diferencial 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, se dice que la misma 
es homogénea en las variables 𝑥 e 𝑦, si 𝑀 y 𝑁 son funciones homogéneas del mismo grado 
en las variables 𝑥 e 𝑦. 
 
Como alternativa, tenemos la siguiente: 
Definición 2: 
Consideremos la ecuación diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦), se dice que la misma es homogénea en 
las variables 𝑥 e 𝑦, si 𝑓 es una función homogénea de grado cero en las variables 𝑥 e 𝑦. 
 
La técnica para resolver una ecuación diferencial homogénea se presenta a continuación: 
 
6.2.1 Solución de una Ecuación Diferencial Homogénea 
Cualquier ecuación diferencial homogénea de primer orden y primer grado puede reducirse 
al tipo de variables separables por medio de la sustitución 𝑦 = 𝑣𝑥 o 𝑥 = 𝑢𝑦. 
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Demostración: 
Consideremos la ecuación diferencial 
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
con 𝑀 y 𝑁 funciones homogéneas de grado 𝑛 en las variables 𝑥 e 𝑦. Sin pérdida de 
generalidad, planteamos la sustitución 𝑦 = 𝑣𝑥 ⇒ 𝑣 =
𝑦
𝑥
, 𝑥 ≠ 0. Como Entonces, por 
propiedad de las funciones homogéneas: 
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑀 (1,
𝑦
𝑥
) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑀(1, 𝑣) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑓(𝑣) 
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑁 (1,
𝑦
𝑥
) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑁(1, 𝑣) = 𝑥𝑛 ∙ 𝑔(𝑣) 
Así: 
𝑑𝑦 = 𝑣 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑑𝑣 
Por lo tanto, en la ecuación diferencial tenemos: 
𝑥𝑛 ∙ 𝑓(𝑣) ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥𝑛 ∙ 𝑔(𝑣) ∙ (𝑣 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑑𝑣) = 0 
Dividiendo por 𝑥𝑛, ya que 𝑥 ≠ 0 
𝑓(𝑣) ∙ 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑣) ∙ (𝑣 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑑𝑣) = 0 
⇒ 𝑓(𝑣) ∙ 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑣) ∙ 𝑣 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑔(𝑣) ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑣 = 0 
⇒ [𝑓(𝑣) + 𝑔(𝑣) ∙ 𝑣]𝑑𝑥 + 𝑔(𝑣) ∙ 𝑥 ∙ 𝑑𝑣 = 0 
Dividiendo por [𝑓(𝑣) + 𝑔(𝑣) ∙ 𝑣] ∙ 𝑥, obtenemos 
𝑑𝑥
𝑥⏟
variable 𝑥
+
𝑔(𝑣)𝑑𝑣
𝑓(𝑣) + 𝑔(𝑣) ∙ 𝑣⏟ 
variable 𝑣
= 0 
Y convertimos la ecuación homogénea en una a variables separables. 
 
Ejemplo 4: 
Resolver 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥𝑦
𝑥2 − 𝑦2
 
Solución: 
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝑦
𝑥2 − 𝑦2
 
𝑓(𝑘𝑥, 𝑘𝑦) =
𝑘𝑥 ∙ 𝑘𝑦
(𝑘𝑥)2 − (𝑘𝑦)2
=
𝑘2𝑥𝑦
𝑘2𝑥2 − 𝑘2𝑦2
=
𝑘2𝑥𝑦
𝑘2(𝑥2 − 𝑦2)
=
𝑥𝑦
𝑥2 − 𝑦2
= 𝑓(𝑥, 𝑦) 
Por lo tanto, la ecuación diferencial es homogénea. Planteamos la sustitución 𝑦 = 𝑣𝑥, 
𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣. 
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𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
(𝑣𝑥) = 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣 ∙ 1 = 𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
Consecuentemente: 
𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑥(𝑣𝑥)
𝑥2 − 𝑣2𝑥2
 
𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑥2𝑣
𝑥2(1 − 𝑣2)
 
𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑣
1 − 𝑣2
− 𝑣 =
𝑣 − 𝑣(1 − 𝑣2)
1 − 𝑣2
=
𝑣 − 𝑣 + 𝑣3
1 − 𝑣2
 
𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑣3
1 − 𝑣2
⇒
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝑥
∙
𝑣3
1 − 𝑣2
 
⇒ 𝑑𝑣 =
1
𝑥
∙
𝑣3
1 − 𝑣2
𝑑𝑥 
∴
1 − 𝑣2
𝑣3
𝑑𝑣 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
Busquemos la integral general: 
∫
1 − 𝑣2
𝑣3
𝑑𝑣 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
 
∫
1
𝑣3
𝑑𝑣 − ∫
1
𝑣
𝑑𝑣 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
 
−
1
2𝑣2
− ln|𝑣| = ln|𝑥| + ln𝐶 , 𝐶 > 0 
−
1
2𝑣2
= ln|𝑣| + ln|𝑥| + ln 𝐶 ⇒ −
1
2𝑣2
= ln(𝐶|𝑣𝑥|) 
Como 𝑣 =
𝑦
𝑥
, 𝑥 ≠ 0 
−
𝑥2
2𝑦2
= ln (𝐶 |
𝑦
𝑥
𝑥|) = ln(𝐶|𝑦|) 
 
⇒
𝑥2
𝑦2
= −2 ln(𝐶|𝑦|) ⇒
𝑥2
𝑦2
= ln(𝐶𝑦)−2 ⇒ 𝑥2 = 𝑦2 ln(𝐶𝑦)−2 
∴ 𝑥2 = 𝑦2 ln 
1
𝐶𝑦
 
2
 
 
que es la solución general de la ecuación diferencial. 
 
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6.3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden 
 
Una ecuación diferencial de orden 𝑛, del tipo 
𝑎𝑛(𝑥)𝑦
𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1(𝑥)𝑦
′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) 
donde 𝑎0, 𝑎1, …, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 y 𝑏 son funciones continuas, y 𝑎𝑛(𝑥) ≠ 0, se dice que es una 
Ecuación Diferencial Lineal de Orden 𝑛. 
Notemos que esta ecuación diferencial no es otra cosa que una Combinación Lineal de 
Derivadas hasta el 𝑛-ésimo orden de la función incógnita, con coeficientes variables (es 
decir, también son funciones). 
 
De este modo, damos la siguiente definición 
Definición: 
Una ecuación diferencial se llama lineal si es de primer grado respecto a la función 
incógnita o sus derivadas. 
 
Si en particular, consideramos solamente hasta la primera derivada y 𝑎1(𝑥) ≠ 0, la 
ecuación será lineal de primer orden y tendrá la forma: 
𝑎1(𝑥)𝑦
′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) 
 
Si dividimos miembro a miembro por 𝑎1(𝑥), tenemos: 
𝑦′ +
𝑎0(𝑥)
𝑎1(𝑥)
𝑦 =
𝑏(𝑥)
𝑎1(𝑥)
 
Llamando 𝑃(𝑥) =
𝑎0(𝑥)
𝑎1(𝑥)
 y 𝑄(𝑥) =
𝑏(𝑥)
𝑎1(𝑥)
, vemos que 𝑃 y 𝑄 son funciones continuas. 
 
Así, la ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) 
donde 𝑃 y 𝑄 se consideran funciones continuas en 𝑥 en la región que se desea integrar la 
ecuación diferencial. Se dice en este caso, que la ecuación diferencial está en forma 
Canónica o Estándar. 
 
6.3.1 Solución de una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden 
Dada le ecuación diferencial lineal de primer orden 
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𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) 
 
Si 𝑄(𝑥) = 0 la ecuación se llama “lineal homogénea” o “incompleta” y las variables se 
separan, ya que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 0 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑃(𝑥)𝑦 ⇒ 𝑑𝑦 = −𝑃(𝑥)𝑦𝑑𝑥 
⇒
1
𝑦
𝑑𝑦 = −𝑃(𝑥)𝑑𝑥Así: 
 
∫
𝑑𝑦
𝑦
= −∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ ln|𝑦| = −∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 − ln 𝐶 ⇒ ln|𝑦| + ln 𝐶 = −∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
 
⇒ ln𝐶|𝑦| = −∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝐶𝑦 = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝑦 =
1
𝐶
𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
∴ 𝑦 = 𝐾𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥⏟ 
Solución de la ec. dif. lineal
homogénea o incompleta
 
 
Si 𝑄(𝑥) ≠ 0 la ecuación se llama no homogénea o “completa”. 
 
A continuación, presentaremos dos formas de encontrar la solución de la ecuación lineal 
completa. 
 
6.3.1.1 Solución mediante la búsqueda de un Factor Integrante 
Debemos buscar entonces un factor de integración o factor integrante para la ecuación. 
Supongamos que 𝜌 es el factor integrante, entonces debe verificar: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝜌𝑦) = 𝜌 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 (𝟏) 
Dada la ecuación diferencial: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) 
Multiplicando miembro a miembro por ρ, tenemos: 
𝜌 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝜌𝑄(𝑥) (𝟐) 
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Operando el segundo miembro de (1) resulta: 
𝜌 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝜌
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝜌𝑃(𝑥)𝑦 
Operando el primer miembro de (1) resulta: 
𝑑(𝜌𝑦)
𝑑𝑥
=
𝑑𝜌
𝑑𝑥
𝑦 + 𝜌
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
Por lo tanto, de (𝟏) quedaría: 
𝜌
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑑𝜌
𝑑𝑥
𝑦 = 𝜌
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝜌𝑃(𝑥)𝑦 
⇒
𝑑𝜌
𝑑𝑥
𝑦 = 𝜌𝑃(𝑥)𝑦, 𝑦 ≠ 0 
⇒
𝑑𝜌
𝑑𝑥
= 𝜌𝑃(𝑥) 
⇒ 𝑑𝜌 = 𝜌𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
⇒
1
𝜌
𝑑𝜌 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
Integrando: 
∫
𝑑𝜌
𝜌
= ∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ ln|𝜌| + 𝐶 = ∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
ln|𝜌| = −𝐶 +∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ |𝜌| = 𝑒−𝐶+∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒−𝐶 ∙ 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝜌 = ±𝑒−𝐶 ∙ 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
∴ 𝜌(𝑥) = 𝐴𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 con 𝐴 = ±𝑒−𝐶 
 
Dado que se busca sólo un factor integrante particular, no el más general, se 
toma 𝐴 = 1 y se usa: 
𝜌(𝑥) = 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
 
Volviendo a la expresión general, de (𝟏) y (𝟐), también sabemos que 
𝑑
𝑑𝑥
(𝜌𝑦) = 𝜌𝑄(𝑥) ⇒ 𝑑(𝜌𝑦) = 𝜌𝑄(𝑥)𝑑𝑥 
Integrando: 
∫𝑑(𝜌𝑦) = ∫𝜌𝑄(𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝜌𝑦 = ∫𝜌𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 
⇒ 𝑦 = 𝜌−1∫𝜌𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 
Reemplazando la expresión del factor integrante, queda 
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∴ 𝑦 = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 [∫𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶] 
que es la solución general de la ecuación diferencial. 
 
6.3.1.2 Solución por el Método de Variación de Parámetros 
Dada la ecuación diferencial lineal de primer orden 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) (1) 
donde 𝑃 y 𝑄 son funciones continuas en un cierto intervalo 𝐼. 
Busquemos la solución de esta ecuación diferencial como producto de dos funciones de 𝑥, 
es decir: 
𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) (2) 
Se puede tomar arbitrariamente una de estas funciones, la otra se elegirá entonces según la 
ecuación (1). 
Haciendo 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥) y derivando a ambos miembros de la igualdad, tenemos que: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 (3) 
Reemplazando (2) y (3) en (1), tenemos que 
𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑃𝑢𝑣 = 𝑄 
∴ 𝑢 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑃𝑣 + 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑄 (4) 
Elijamos la función 𝑣, de forma tal que 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑃𝑣 = 0 
En otras palabras, se elige 𝑣 de manera que sea solución de la ecuación diferencial lineal 
homogénea. Separando variables, tenemos que 
𝑣(𝑥) = 𝐴𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
Tal como se trabajó en la solución mediante la búsqueda de un factor integrante, nos es 
suficiente obtener una solución cualquiera distinta de cero, de modo que podemos tomar a 
la función 𝑣 como 
𝑣(𝑥) = 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
donde 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 es una función primitiva cualquiera. Es claro que 𝑣(𝑥) ≠ 0. Sustituyendo 
nuestra función 𝑣 en (4), tenemos: 
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𝑢 (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)𝑣(𝑥)
⏟ 
=0
) + 𝑣(𝑥)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑄(𝑥) 
⇒ 𝑣(𝑥)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑄(𝑥) 
⇒
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑄(𝑥)
𝑣(𝑥)
 
⇒ 𝑢(𝑥) = ∫
𝑄(𝑥)
𝑣(𝑥)
𝑑𝑥 + 𝐶 
⇒ 𝑢(𝑥) = ∫[𝑣(𝑥)]−1 ∙ 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 
Reemplazando 𝑢 y 𝑣 en (2), tenemos que 
𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) = 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 [∫𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶] 
 
Notemos que 𝑦 = 𝑣(𝑥) es solución de la ecuación homogénea, y como puede demostrarse 
sin ninguna dificultad que 𝑦 = 𝑐 ∙ 𝑣(𝑥) con 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒 también es solución de la ecuación 
homogénea, en nuestro trabajo hemos reemplazado el parámetro 𝑐 por la función 𝑢. Este 
método recibe el nombre de Método de Variación de Parámetros, y consiste en encontrar 
una solución particular de la ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea (en 
este caso) de la forma 𝑦 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥), donde 𝑦 = 𝑣(𝑥) es solución de la ecuación 
homogénea. 
 
Ejemplo 5: 
Resolver la ecuación diferencial 
𝑦2 ∙ 𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0 
Solución: 
𝑦2 ∙ 𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦 − 1)𝑑𝑦 = 0 ⇒ 𝑦2 ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ (3𝑥𝑦 − 1) = 0 
Dividiendo por 𝑦2 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
(3𝑥𝑦 − 1)
𝑦2
= 0 ⇒
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
3
𝑦
𝑥 =
1
𝑦2
 
Tenemos 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ 𝑃(𝑦)𝑥 = 𝑄(𝑦) 
donde 𝑃(𝑦) =
3
𝑦
 y 𝑄(𝑦) =
1
𝑦2
. 
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Entonces: 
𝑥 = 𝑒−∫𝑃(𝑦)𝑑𝑦 [∫𝑒∫𝑃(𝑦)𝑑𝑦𝑄(𝑦)𝑑𝑦 + 𝐶] 
Ahora: 
∫𝑃(𝑦)𝑑𝑦 = ∫
3
𝑦
𝑑𝑦 = 3 ln𝑦 + 𝐶1 = ln𝑦
3 + 𝐶1 
donde omitiremos la constante. Así 
∫𝑒∫𝑃(𝑦)𝑑𝑦𝑄(𝑦)𝑑𝑦 = ∫𝑒ln𝑦
3 1
𝑦2
𝑑𝑦 = ∫𝑦3
1
𝑦2
𝑑𝑦 = ∫𝑦𝑑𝑦 =
𝑦2
2
+ 𝐶 
Entonces 
𝑥 = 𝑒−ln𝑦
3
(
𝑦2
2
+ 𝐶) =
1
𝑦3
𝑦2
2
+
1
𝑦3
𝐶 
∴ 𝑥 =
1
2𝑦
+
𝐶
𝑦3
 
que es la solución general. 
 
Ejemplo 6: 
Resuelve la ecuación diferencial 
𝑦′ ln 𝑥 +
𝑦
𝑥
= 1 
¿Existe solución en (0,∞)? 
Solución: 
Vemos que 
𝑦′ ln 𝑥 +
𝑦
𝑥
= 1 ⇒
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦 ∙ ln 𝑥) = 1 ⇒ 𝑑(𝑦 ∙ ln 𝑥) = 𝑑𝑥 
Integrando 
∫𝑑(𝑦 ∙ ln 𝑥) = ∫𝑑𝑥 
𝑦 ∙ ln 𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
∴ 𝑦 =
𝑥 + 𝐶
ln 𝑥
, 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 
 
Otro método para encontrar la solución general es: 
𝑦′ ln 𝑥 +
𝑦
𝑥
= 1, 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 
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𝑑𝑦
𝑑𝑥
ln 𝑥 +
𝑦
𝑥
= 1 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑦
𝑥 ∙ ln 𝑥
=
1
ln 𝑥
 
Esta es una ecuación diferencial lineal 
𝑃(𝑥) =
1
𝑥 ∙ ln 𝑥
 , 𝑄(𝑥) =
1
ln 𝑥
 
∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑥 ∙ ln 𝑥
= ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln(ln 𝑥) 
 
Esto resulta de usar la sustitución: 
𝑢 = ln 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
 
Entonces 
𝑦 = 𝑒−ln(ln𝑥) [∫𝑒ln(ln𝑥)
1
ln 𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶] =
1
ln 𝑥
 ∫ ln 𝑥
1
ln 𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 =
1
ln 𝑥
 ∫𝑑𝑥 + 𝐶 
=
1
ln 𝑥
(𝑥 + 𝐶) 
 
∴ 𝑦 =
𝑥 + 𝐶
ln 𝑥
, 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 
 
Ya que ln 𝑥 se anula en el punto 𝑥 = 1, la solución escrita es válida en uno de los intervalos 
(0,1) ó (0,∞). 
Por tanto, si 𝑓 es una solución en (0,∞), debe cumplirse: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 𝐶1
ln 𝑥
en (0,1)
𝑥 + 𝐶2
ln 𝑥
en (1,∞)
 
donde 𝐶1 y 𝐶2 son constantes que, por el momento, no consideraremos iguales. 
 
Como 𝑓 debe estar definida en el punto 𝑥 = 1, el límite de las expresiones debe existir. Por 
tanto: 
lim
𝑥→1
𝑥 + 𝐶
ln 𝑥
= ∞ 
 
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Esto es siempre que 𝑥 + 𝐶 ≠ 0, cuando 𝑥 → 1, es decir, que 𝑥 → 𝐶, cuando 𝑥 → 1. Como 
el numerador es una función lineal, que es continua, concluimos que debe ser para 𝐶 ≠ −1. 
Pero si 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶 = −1, entonces: 
lim
𝑥→1
𝑥 − 1⏞ 
→0
ln 𝑥⏟
→0
 Indeterminación del tipo 
𝟎
𝟎
 
 
Aplicamos la Regla de L’Hôpital: 
lim
𝑥→1
𝑥 − 1
ln 𝑥
= lim
𝑥→1
1
1
𝑥
=lim
𝑥→1
𝑥 = 1 
Así: 
𝑓(𝑥) = 𝑦 = {
𝑥 + 𝐶
ln 𝑥
si 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
1 si 𝑥 = 1
 
De este modo, la ecuación tiene solución en (0,∞). 
 
Otro modo de encontrar la solución en 𝒙 = 𝟏 
 
Tomemos la ecuación diferencial original: 
𝑦′ ln 𝑥 +
𝑦
𝑥
= 1, 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 
Analicemos que ocurre en 𝑥 = 1. 
 
𝑦′ ln 1⏟
=0
+
𝑦
1⏟
=𝑦
= 1 ⇒ 𝑦 = 1 
Así, obtuvimos la solución singular 𝑦 = 1. De este modo: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑦 = {
𝑥 + 𝐶
ln 𝑥
si 𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≠ 1
1 si 𝑥 = 1
 
 
Así, la ecuación tiene solución en (0,∞). 
 
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7. Aplicaciones 
 
7.1. Trayectorias Ortogonales 
Definición: 
Se llama trayectoria ortogonal de una familia de curvas a las líneas que cortan en ángulo 
recto a las curvas de dicha familia. 
 
Si 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 es la ecuación diferencial que describe una familia de curvas, entonces 
𝐹 (𝑥, 𝑦,−
1
𝑦′
) = 0 es la ecuación diferencial que describe la familia de trayectorias 
ortogonales. 
 
Ejemplo: 
Sea la familia de curvas 𝑦 = 𝐶𝑥2. Determinar las trayectorias ortogonales. 
Solución: 
Queremos determinar las trayectorias ortogonales. Para ello, debemos determinar cuál es la 
ecuación diferencial que tiene a dicha familia por solución: 
Dicha ecuación diferencial es 
𝑦′𝑥 − 2𝑦 = 0⏟ 
Ecuación diferencial de la
 familia de curvas
 
O sea, tenemos 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 
Las trayectorias ortogonales, tienen como ecuación diferencial: 𝐹 (𝑥, 𝑦,−
1
𝑦′
) = 0. Por 
tanto reemplazamos 𝑦 = −
1
𝑦
 en la nueva ecuación diferencial. Así 
−
1
𝑦′
𝑥 − 2𝑦 = 0 ⇒ −
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑥 − 2𝑦 = 0
⇒
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −
2𝑦
𝑥
 
⇒ 𝑑𝑥 = −
2𝑦
𝑥
𝑑𝑦 
⇒ 2𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥 
Integrando: 
2∫𝑦𝑑𝑦 = −∫𝑥𝑑𝑥 
⇒
2𝑦2
2
= −
𝑥2
2
+ 𝐶 ⇒ 𝑦2 +
𝑥2
2
= 𝐶 
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∴
𝑦2
𝐶
+
𝑥2
2𝐶
= 1
⏟ 
Familia de 
Trayectorias Ortogonales
 
 
7.2. Problemas de Modelado 
Las matemáticas constituyen un lenguaje, así como una herramienta. Cuando se resuelve un 
problema de la “vida real”, el lenguaje coloquial se traduce a un lenguaje matemático. De la 
misma manera, es posible interpretar palabras, leyes empíricas, observaciones, o 
simplemente suposiciones, en términos matemáticos. Cuando intentamos describir algo, 
denominado sistema, en términos matemáticos se construye un modelo de ese sistema. Si 
algunas veces el sistema cambia con el tiempo, por ejemplo creciendo o decreciendo a 
cierta razón —y la razón de cambio es una derivada—, entonces un modelo matemático del 
sistema puede ser una ecuación diferencial. 
 
7.2.1. Problemas De Modelización Física 
 
Ejemplo 1: 
Una cierta población de hongos se reproduce a una velocidad proporcional a la cantidad de 
la misma. Si después de 2 días se duplicó el número de hongos, ¿cuántos hongos habrá 
después de 3 días? 
Solución: 
El problema dice que “Una cierta población de hongos se reproduce a una velocidad 
proporcional a la cantidad de la misma”, lo cual, traducido a lenguaje matemático, se 
expresa como: 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡) 
donde 𝑃 es la población de hongos. 
De aquí, tenemos que: 
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝑘𝑃(𝑡) ⇒ 𝑑𝑃 = 𝑘𝑃(𝑡)𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝑃
𝑃(𝑡)
= 𝑘𝑑𝑡 
Integrando 
∫
𝑑𝑃
𝑃(𝑡)
= ∫𝑘𝑑𝑡 ⇒ ln[𝑃(𝑡)] = 𝑘𝑡 + 𝐶 
⇒ 𝑃(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡+𝐶 = 𝑒𝐶𝑒𝑘𝑡 = 𝐴𝑒𝑘𝑡 
 
Esto nos dice la fórmula general de la población, es decir: 𝑃(𝑡) = 𝐴𝑒𝑘𝑡. 
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Se sabe que “después de 2 días se duplicó el número de hongos”. Si llamamos 𝑃0 = 𝑃(0), 
valor de la población inicial de hongos, entonces: 
𝑃(0) = 𝐴𝑒𝑘×0 = 𝐴𝑒0 ⇒ 𝑃0 = 𝐴 
Por lo que 𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒
𝑘𝑡. Ahora, para 𝑡 = 2, se sabe que 𝑃(2) = 2𝑃0, es decir: 
𝑃(2) = 𝑃0𝑒
𝑘×2 = 𝑃0𝑒
2𝑘 = 2𝑃0 ⇒ 𝑒
2𝑘 = 2 ⇒ 2𝑘 = ln 2 ⇒ 𝑘 =
ln2
2
≈ 0,34657 
 
De modo que 𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒
ln 2
2
𝑡 ≈ 𝑃0𝑒
0,34657×𝑡 
Para saber cuántos hongos habrá en tres días, debemos aplicar la función 𝑃 en 𝑡 = 3, es 
decir: 
𝑃(3) = 𝑃0𝑒
ln2
2
3 ≈ 𝑃0𝑒
0,34657×3 = 2,83 × 𝑃0 
Que nos indica que la población en el tiempo 𝑡 = 3 días creció en más de un 280% del 
valor inicial. 
 
Ejemplo 2: 
El carbono 14, un isótopo del carbono, es radiactivo y decae a una tasa proporcional a la 
cantidad presente. Su vida media
2
 es de 5730 años; es decir, tarda 5730 años para que una 
cantidad dada de carbono 14 decaiga a un medio de su cantidad original. Si originalmente 
estaban presentes 10 gramos, ¿cuánto quedará después de 2000 años? 
Solución: 
El problema planteado, nos dice que 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝑘𝐴(𝑡), 𝑘 < 0 
⇒ 𝑑𝐴 = 𝑘𝐴𝑑𝑡 ⇒
𝑑𝐴
𝐴
= 𝑘𝑑𝑡 
Integrando 
∫
𝑑𝐴
𝐴
= ∫𝑘𝑑𝑡 ⇒ ln|𝐴| = 𝑘𝑡 + 𝐶 
⇒ 𝐴 = 𝑒𝑘𝑡+𝐶 = 𝐶𝑒𝑘𝑡 
⇒ 𝐴(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡 
Además sabemos que 𝐴0 = 10 
⇒ 𝐴(0) = 𝐶𝑒𝑘×0 = 𝐶 = 𝐴0 = 10 ⇒ 𝐴(𝑡) = 10𝑒
𝑘𝑡 
 
 
2 Llamamos vida media al tiempo que debe transcurrir para que una cantidad se reduzca a la mitad. 
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La vida media de 5730 nos permite determinar 𝑘, ya que implica que 
𝐴(5730) =
1
2
10 ⇒ 10𝑒𝑘×5730 = 5 ⇒ 𝑒𝑘×5730 =
1
2
 
⇒ 𝑘 =
ln (
1
2)
5730
≈ −0,000121 
Así, 𝐴(𝑡) = 10𝑒−0,000121𝑡. 
En 𝑡 = 2000, esto da 𝐴(𝑡) = 10𝑒−0,000121×2000 ≈ 7,85 gramos. 
 
Ejemplo 3: 
Por una de las leyes de Kirchoff para circuitos 
eléctricos, para 𝑡 > 0, la corriente que circula por el 
mismo satisface la ecuación diferencial: 
 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼 = 𝐸 
Si se consideran 𝑅, 𝐿 y 𝐸 constantes, determina 𝐼 (intensidad de la corriente) en función de 
𝑡. 
Solución: 
La Ecuación Diferencial planteada es: 
𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+ 𝑅𝐼 = 𝐸 
Si 𝐿 ≠ 0, entonces podemos escribirla de la forma: 
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+
𝑅
𝐿
𝐼 =
𝐸
𝐿
 
Como se pide el valor de 𝐼 en función de 𝑡, la misma responde al modelo de una ecuación 
lineal de primer orden, donde 𝑃(𝑡) =
𝑅
𝐿
 y 𝑄(𝑡) =
𝐸
𝐿
. Entonces: 
 
𝐼 = 𝑒−∫
𝑅
𝐿
𝑑𝑡 [∫𝑒∫
𝑅
𝐿
𝑑𝑡 𝐸
𝐿
𝑑𝑡 + 𝐶] = 𝑒−
𝑅
𝐿
𝑡 ∫𝑒
𝑅
𝐿
𝑡 𝐸
𝐿
𝑑𝑡 + 𝐶 
= 𝑒−
𝑅
𝐿
𝑡 (
𝐸
𝐿
𝑒
𝑅
𝐿
𝑡
𝑅
𝐿
+ 𝐶) = 𝑒−
𝑅
𝐿
𝑡 
𝐸
𝑅
𝑒
𝑅
𝐿
𝑡 + 𝐶 =
𝐸
𝑅
+ 𝐶𝑒−
𝑅
𝐿
𝑡
 
De esta forma, obtenemos: 
𝐼 = 𝐼(𝑡) =
𝐸
𝑅
+ 𝐶𝑒−
𝑅
𝐿
𝑡
 
 
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Ejemplo 4: 
Se sabe que la formulación matemática de la ley empírica de Newton del 
enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de 
primer orden: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 
donde 𝑘 es una constante de proporcionalidad, 𝑇(𝑡) es la temperatura del objeto para 
𝑡 > 0, y 𝑇𝑚 es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al 
objeto. 
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300°F. Tres minutos después su 
temperatura es de 200°F. ¿Cuánto tiempo le tomará al pastel enfriarse hasta la temperatura 
ambiente de 70º F? 
Solución: 
Tenemos que 𝑇𝑚 = 70. Debemos resolver el problema con valores iniciales: 
 
{
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 70)
𝑇(0) = 300
 
 
y determinar el valor de 𝑘 tal que 𝑇(3) = 200. 
La ecuación planteada es tanto lineal como separable. Si separamos las variables: 
𝑑𝑇
𝑇 − 70
= 𝑘𝑑𝑡 ⇒ ∫
𝑑𝑇
𝑇 − 70
= ∫𝑘𝑑𝑡⇒ ln|𝑇 − 70| = 𝑘𝑡 + 𝐶 
∴ 𝑇(𝑡) = 70 + 𝐴𝑒𝑘𝑡 
Cuando 𝑡 = 0, 𝑇 = 300, por lo que 
𝑇(0) = 70 + 𝐴 = 300 ⇒ 𝐴 = 230 
∴ 𝑇(𝑡) = 70 + 230𝑒𝑘𝑡 
Por último, la medición de 𝑇(3) = 200 nos dice que 
𝑇(3) = 70 + 230𝑒3𝑘 = 200 ⇒ 𝑒3𝑘 =
13
23
⇒ 𝑘 =
1
3
ln 
13
23
 ≈ −0,19018 
Así 
𝑇(𝑡) = 70 + 230𝑒−0,19018𝑡 
 
Observamos que la expresión obtenida, no tiene una solución finita a 𝑇(𝑡) = 70, dado que 
lim
𝑡→∞
𝑇(𝑡) = 0. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfríe al 
transcurrir un intervalo razonablemente largo. ¿Qué tan largo es “largo”? Por supuesto, no 
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nos debe inquietar el hecho de que el modelo no se apegue mucho a nuestra intuición física. 
Mediante el uso de gráficos o tablas, puede verse que el pastel estará a temperatura 
ambiente en aproximadamente media hora. 
 
𝑇(𝑡) 𝑡 (min) 
75° 20.1 
74° 21.3 
73° 22.8 
72° 24.9 
71° 28.6 
70.5° 32.3 
 
Ejemplo 5: 
Un globo de aire caliente que asciende a una velocidad de 3 𝑚/𝑠 está a una altura de 24 𝑚 
por encima del suelo cuando se suelta un paquete. ¿Cuánto tarda el paquete en llegar al 
suelo?. 
Solución: 
Denotemos con 𝑣(𝑡) la velocidad del paquete en el instante 𝑡 y con 
𝑠(𝑡) su altura con respecto al suelo. La aceleración debida a la 
gravedad cerca de la superficie terrestre es de 9,8 𝑚/𝑠2, Suponiendo 
que no hay otras fuerzas que actúen sobre el paquete que se soltó, 
tenemos 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −9,8 
Resultado negativo, porque la gravedad actúa en la dirección que 
disminuye 𝑠. 
Lo anterior conduce al siguiente problema de valor inicial: 
{
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −9,8
𝑣(0) = 3⏟ 
el globo inicialmente en ascenso
 
Éste es nuestro modelo matemático para el movimiento del paquete. 
Resolvemos el problema de valor inicial para obtener la velocidad del 
paquete. 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −9,8 ⇒ 𝑑𝑣 = −9,8𝑑𝑡 ⇒ ∫𝑑𝑣 = ∫−9,8𝑑𝑡 ⇒ 𝑣(𝑡) = −9,8𝑡 + 𝐶 
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Al encontrar la solución general de la ecuación diferencial, utilizamos la condición inicial 
para determinar la solución particular que resuelve nuestro problema. 
𝑣(0) = 3 ⇒ 𝑣(0) = −9,8 ∙ 0 + 𝐶 ⇒ 3 = 0 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 3 
La solución del problema con valor inicial es 
𝑣(𝑡) = −9,8𝑡 + 3 
Como la velocidad es la derivada de la altura, y la altura del paquete es 24 𝑚 en el instante 
𝑡 = 0 cuando se suelta, ahora tenemos un segundo problema con valor inicial. 
{
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −9,8𝑡 + 3
𝑠(0) = 24
 
Resolvemos este problema con valor inicial para determinar la altura como una función de 
𝑡. 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −9,8𝑡 + 3 ⇒ 𝑑𝑠 = (−9,8𝑡 + 3)𝑑𝑡 ⇒ ∫𝑑𝑠 = ∫(−9,8𝑡 + 3)𝑑𝑡 
⇒ 𝑠(𝑡) = −9,8
𝑡2
2
+ 3𝑡 + 𝐶 
𝑠(0) = 24 ⇒ 𝑠(0) = −9,8 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 𝐶 = 24 ⇒ 𝐶 = 24 
La altura del paquete con respecto al suelo en el instante 𝑡 es 
𝑠(𝑡) = −9,8 ∙
𝑡2
2
+ 3𝑡 + 24 
Para determinar cuánto tarda el paquete en llegar al suelo, igualamos 𝑠(𝑡) a cero y 
despejamos 𝑡: 
−9,8 ∙
𝑡2
2
+ 3𝑡 + 24 = 0 ⇒ 𝑡 =
−3 ± √9 − 4(−9,8)24
2(−9,8)
⇒ 𝑡 = −1,41 ∨ 𝑡 = 1,72 
 
El paquete golpea el suelo alrededor de 1.72 segundos después de que se suelta desde el 
globo. (La raíz negativa no tiene significado físico). 
 
7.2.2. Problemas geométricos 
 
Ejemplo 1: 
Hallar la ecuación de una familia de curvas, si en el segmento [0, 𝑥] con 𝑥 > 0, la ordenada 
de un punto de la curva de la familia es proporcional al área determinada por la curva, los 
ejes coordenados, y dicha ordenada. 
Solución: 
El área de la región 𝑅 bajo la curva, en el segmento [0, 𝑥], está dada por 
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𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝑡
𝑥
0
 
Por hipótesis, la ordenada y, que delimita la región por la 
derecha, es proporcional a dicha área, por lo tanto: 
 
𝑦 = 𝑘∫ 𝑦𝑑𝑡
𝑥
0
 
 
Derivando miembro a miembro, por el teorema fundamental del Cálculo, tenemos la 
ecuación diferencial: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
[𝑘∫ 𝑦𝑑𝑡
𝑥
0
] = 𝑘𝑦 
 
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑘𝑦 
 
Ahora, separando variables: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑘𝑦 ⇒
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑘𝑑𝑥 
⇒ ln|𝑦| = 𝑘𝑥 + 𝐶 
⇒ 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥+𝐶 = 𝐶𝑒𝑘𝑥 
 
Así, la familia de curvas 
obtenida es: 
𝑦 = 𝐶𝑒𝑘𝑥, 𝑥 > 0. 
 
Ejemplo 2: 
La intersección de la tangente a un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) de una curva con el eje de abscisas es 
siempre igual a la ordenada de dicho punto. Encuentra la curva que pasa por el punto (0,1). 
Solución: 
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La ecuación de la recta tangente 
viene dada por 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑦0
′(𝑥 − 𝑥0) 
Si queremos intersectarla con el eje 
𝑥, hacemos 𝑦 = 0. Así 
−𝑦0 = 𝑦0
′(𝑥 − 𝑥0) ⇒ 𝑥 = 𝑥0 −
𝑦0
𝑦0
′ 
De modo que el punto de 
intersección, tiene coordenadas 
𝐴 (𝑥0 −
𝑦0
𝑦0
′ , 0). 
Ahora, planteamos que, para un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) arbitrario, tenemos que 
𝑥 −
𝑦
𝑦′
= 𝑦 
Reacomodando los términos, obtenemos la ecuación diferencial 
(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0 
Puede demostrarse que las funciones 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 y 𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑦, son ambas 
homogéneas de grado 1 (ejercicio para el lector), por lo que la ecuación diferencial es 
homogénea. 
A continuación, planteamos la sustitución 𝑦 = 𝑣𝑥, de modo que 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣, y el 
problema queda: 
(𝑥 − 𝑣𝑥)(𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣) − 𝑣𝑥𝑑𝑥 = 0 
𝑣𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑣 − 𝑣2𝑥𝑑𝑥 − 𝑣𝑥2𝑑𝑣 − 𝑣𝑥𝑑𝑥 = 0 
𝑥2𝑑𝑣 − 𝑣2𝑥𝑑𝑥 − 𝑣𝑥2𝑑𝑣 = 0 
𝑥2(1 − 𝑣)𝑑𝑣 − 𝑣2𝑥𝑑𝑥 = 0 
(1 − 𝑣)
𝑣2
𝑑𝑣 −
1
𝑥
𝑑𝑥 = 0 
(1 − 𝑣)
𝑣2
𝑑𝑣 =
1
𝑥
𝑑𝑥 
Integrando miembro a miembro, tenemos que 
∫
(1 − 𝑣)
𝑣2
𝑑𝑣 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 
∫
1
𝑣2
𝑑𝑣 − ∫
1
𝑣
𝑑𝑣 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 
−
1
𝑣
− ln|𝑣| = ln|𝑥| + 𝐶 
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1
𝑣
= − ln|𝑣| − ln|𝑥| + ln𝐾 ,𝐾 > 0 
1
𝑣
= ln 
𝐾
|𝑣𝑥|
 , 𝐾 > 0 
Como 𝑦 = 𝑣𝑥, tenemos que 𝑣 =
𝑦
𝑥
 y que 
1
𝑣
=
𝑥
𝑦
. De modo que 
𝑥
𝑦
= ln(
𝐾
|
𝑦
𝑥 𝑥
|
) = ln 
𝐾
|𝑦|
 , 𝐾 > 0 
Así 
𝑒
𝑥
𝑦 =
𝐾
|𝑦|
= ±
𝐾
𝑦
⇒ 𝑦𝑒
𝑥
𝑦 = ±𝐾 
Llamando 𝐴 = ±𝐾, obtenemos la familia de curvas buscada: 
𝑦𝑒
𝑥
𝑦 = 𝐴 
Ahora, buscamos la curva que pasa por el punto (0,1). Por lo tanto 
1 = 𝐴 
∴ 𝑦𝑒
𝑥
𝑦 = 1 
 
Ejemplo 3: 
Encuentra la familia de curvas que cumple que los ángulos formados por la tangente a un 
punto y el eje 𝑥, y el formado con el segmento que une al punto con el origen y dicho eje 
son complementarios. 
Solución: 
Sea 𝜃 el ángulo que forma la tangente con el eje 𝑥. Si consideramos el punto 𝑃 de abscisa 𝑥 
y ordenada 𝑦, sea 𝜑 el ángulo que forma con el eje 𝑥, el segmento que une a 𝑃 con el 
origen. 
De este modo, tenemos que 
tg 𝜃 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∧ tg𝜑 =
𝑦
𝑥
 
 
Como dato: 
𝜃 + 𝜑 =
𝜋
2
 
Sabemos por trigonometría, que 
 
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tg(𝛼 + 𝛽) =
tg 𝛼 + tg 𝛽
1 − tg 𝛼 ∙ tg 𝛽
 
Pero la tangente no está definida en 𝑥 =
𝜋
2
, y lim 
𝑥→
𝜋
2
tg 𝑥 = ∞. 
Sin embargo, podemos hacer el siguiente análisis: sea 𝑥 = 𝜃 + 𝜑 
lim 
𝑥→
𝜋
2
tg 𝑥 = lim
𝜃+𝜑→
𝜋
2
tg 𝜃 + tg𝜑
1 − tg 𝜃 ∙ tg 𝜑
= ∞ 
El resultado de estelímite da infinito, debido a que el denominador tiende a 0. Así que 
analicemos donde el denominador se “anula”. 
1 − tg 𝜃 ∙ tg 𝜑 = 0 ⇒ tg 𝜃 ∙ tg 𝜑 = 1 
Pero, sabemos que 
tg 𝜃 ∙ tg 𝜑 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙
𝑦
𝑥
= 1 
Separando variables: 
𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 
Así, resolviendo la ecuación diferencial, obtenemos que la familia de curvas buscada es 
𝑥2 − 𝑦2 = 𝐶 
 
 
 
 
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8. Bibliografía 
 
[1] Apostol, T. M.; (2011). “Cálculus I. Cálculo con funciones de una variable con una 
introducción al álgebra lineal”. Ed. Reverté. Madrid, España. 
[2] Edwards, C.; Penney, D.; (2008). “Cálculo con Trascendentes Tempranas”. Ed. 
Pearson. México D.F.; México. 
[3] Larson, R.; Edwards, B. (2010). “Cálculo 1 de una variable”. Ed. Mc Graw Hill. 
México D.F.; México. 
[4] Stewart, J.; (2010). “Cálculo de una variable. Conceptos y Contextos”. Ed. Cengage 
Learning. México D.F., México. 
[5] Swokowski, E. (1989). “Cálculo Con Geometría Analítica”. Grupo Editorial 
Iberoamericano. Colombia. 
[6] Thomas, G. (2010). “Cálculo una variable”. Ed. Pearson. México D.F.; México. 
[7] Zill, Dennis G.; Wright, Warren S.; (2011) “Cálculo. Transcendentes Tempranas”. Ed. 
Mc Graw Hill. México D.F.; México. 
 
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Índice 
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ..................................................................................................1 
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .....................................................................3 
Introducción .......................................................................................................................................3 
1. Ecuaciones Diferenciales............................................................................................................3 
1.1. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales ...............................................................4 
2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ..........................................................................................5 
2.1. Orden de una Ecuación Diferencial Ordinaria ..............................................................5 
2.2. Grado de una Ecuación Diferencial Ordinaria ..............................................................5 
3. Origen de las Ecuaciones Diferenciales ......................................................................................6 
4. Soluciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ..............................................................8 
4.1. Solución General ............................................................................................................8 
4.2. Solución Particular ........................................................................................................9 
4.3. Solución Singular .........................................................................................................11 
5. Significado geométrico de una Ecuación Diferencial de Primer Orden ....................................12 
6. Clasificación de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden ....................................................13 
6.1. Ecuaciones Diferenciales a Variables Separables ........................................................13 
6.2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas ........................................................................17 
6.2.1 Solución de una Ecuación Diferencial Homogénea ..................................................18 
6.3. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden ...................................................21 
6.3.1 Solución de una Ecuación Diferencial Lineal de Primer Orden ...............................21 
7. Aplicaciones .............................................................................................................................29 
7.1. Trayectorias Ortogonales .............................................................................................29 
7.2. Problemas de Modelado ...............................................................................................30 
7.2.1. Problemas De Modelización Física ..........................................................................30 
7.2.2. Problemas geométricos ............................................................................................35 
8. Bibliografía ..............................................................................................................................40