Sucesiones y Series

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La paradoja de Aquiles corriendo tras la tortuga es una de las más clásicas y 
famosas paradojas de Zenón. Este griego filósofo pretendía demostrar que 
todo lo que percibimos en el mundo es ilusorio, y que cosas como el 
movimiento eran simplemente ilusiones y no realidades. 
 
 
 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
Análisis Matemático I - Departamento de Matemática – Facultad de Ciencias Exactas 1 
 
 
Sucesiones Infinitas 
Introducción 
Las sucesiones son tan antiguas como los números naturales en la evolución de las 
matemáticas. La ordenación de los días en un año o de los hermanos en una familia de 
menor a mayor son ejemplos de sucesiones finitas. 
Los pitagóricos, grandes aficionados a los números naturales, debieron ser los primeros en 
interesarse por la construcción de sucesiones infinitas. 
Consideraron sucesiones originadas jugando con piedras (cálculos) colocadas en forma de 
polígonos. De allí, viene nuestro nombre de Cálculo. 
Este patrón numérico nos da los famosos números triangulares: 1, 3, 6, 10,… 
 
𝑎1 = 1 
𝑎2 = 3 = 1 + 2 
𝑎3 = 6 = 1 + 2 + 3 
𝑎4 = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 
⋮ 
𝑎𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 +⋯+ 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
 
Otro ejemplo es el siguiente: 
 
𝑎1 = 1 = 1
2 
𝑎2 = 4 = 2
2 = 1 + 3 
𝑎3 = 9 = 3
2 = 1 + 3 + 5 
𝑎4 = 16 = 4
2 = 1 + 3 + 5 + 7 
⋮ 
𝑎𝑛 = 1 + 3 + 5 + 7 +⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛
2 
Estos números son conocidos como números cuadrados. 
 
No son estos los únicos ejemplos de sucesión, pues tenemos infinitos ejemplos de 
sucesiones, como por ejemplo la sucesión de números naturales. 
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,… 
 
Que a cada número natural, le asigna su misma posición, por lo que es posible encontrar 
una ley de formación para armar dicha sucesión. 
 
La sucesión más misteriosa, es sin duda la de los números primos: 
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2,3,5,7,11,13,17,… 
No se conoce ninguna expresión matemática que nos permita construir a todos los números 
primos. Es decir, no se conoce ningún procedimiento que nos permita, dado un número 𝑛, 
calcular (mediante ciertas operaciones sobre 𝑛), el número que ocupa el orden 𝑛 de la 
sucesión de números primos. 
Otra sucesión interesante, puede formarse con los dígitos del número 𝜋, es decir 
3,1,4,5,9,2,6,5,3,5, … 
Con esta sucesión, tampoco es posible asignar una ley de formación, que a cada número 
natural 𝑛, le asigne la posición del decimal correspondiente de 𝜋. 
Un ejemplo clásico y ciertamente muy interesante, es el de la sucesión de Fibonacci: 
𝑎1 = 1 
𝑎2 = 1 
𝑎3 = 1 + 1 = 2 
𝑎4 = 1 + 2 = 3 
𝑎5 = 2 + 3 = 5 
𝑎6 = 3 + 5 = 8 
𝑎7 = 5 + 8 = 13 
𝑎8 = 8 + 13 = 21 
⋮ 
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛+1 
Así, sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el resultado de sumar los dos 
que lo preceden. 
Según la historia esta sucesión surge al estudiar la propagación de conejos. 
 
Las sucesiones de Fibonacci aparecen en infinidad de 
objetos de la naturaleza. Si se observa un árbol, en la 
primera parte hay un tronco, le sigue, en la segunda, 
una parte más fina, en la tercera, dos ramas, en la 
cuarta, tres, luego cinco y ¡Fibonacci presente! 
 
Entre las muchas curiosidades de las sucesiones de 
Fibonacci, una de las más extrañas propiedades de las 
mismas es que la razón entre cada par de números 
consecutivos va oscilando por encima y por debajo de 
la razón áurea, y que a medida que avanzamos en la serie, la diferencia de la razón de 
Fibonacci con la razón áurea se va haciendo cada vez menor. En teoría, cuando llegásemos 
al último par de números, resultaría 
1,61803... 
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que es, precisamente, la llamada “razón áurea”. 
Las extrañas apariciones de las sucesiones de Fibonacci y de la razón áurea han dado lugar 
a interminables especulaciones y análisis y, por supuesto, a una abundante bibliografía. Se 
sabe que los caparazones espirales de muchos caracoles se rigen por ella, como ciertas 
proporciones de la anatomía humana, animal y vegetal. También se han hallado 
manifestaciones de estas entidades en las artes plásticas, la arquitectura y la poesía. Varios 
bardos romanos, especialmente Virgilio en la Eneida, parecen haber utilizado las series de 
Fibonacci en la estructura de sus obras poéticas. También existen aplicaciones en la 
música, pues algunas sinfonías compuestas por Beethoven presentan estos patrones de 
regularidad en sus ideas musicales y en la organización de sus compases; también podemos 
encontrar a dicha sucesión en la construcción de algunos instrumentos musicales como 
guitarras o pianos. 
Una sucesión muy famosa, también es la sucesión de Fermat, quien enriqueció a la 
matemática extraordinariamente a través de su correspondencia entre amigos. 
En 1640 escribió a uno de ellos, diciéndole que pensaba que todos los números de la forma 
𝐹𝑛 = 2
2𝑛 + 1, para 𝑛 = 0,1,2,3, … 
Eran primos, pero que no lo podía demostrar. 
Este parece haber sido el único fallo de la genial intuición numérica de Fermat. Los 
primeros números de Fermat, son: 
𝐹0 = 2
1 + 1 = 3 
𝐹1 = 2
2 + 1 = 5 
𝐹2 = 2
4 + 1 = 17 
𝐹3 = 2
8 + 1 = 257 
𝐹4 = 2
16 + 1 = 65537 
Todos ellos son primos, pero en 1732, Leonard Euler, comprobó que 
𝐹5 = 2
32 + 1 = 4294967297 = (641) ∙ (6700417) 
Es decir, 𝐹5 ya no es primo. 
Más adelante, en 1880 para 𝐹6 y en 1909 para 𝐹7 y 𝐹8, se demostró que estos números 
también eran compuestos. 
En la actualidad, se conoce que muchos más números de la sucesión de Fermat son 
compuestos. Es más, no se ha encontrado ninguno más que sean primos y se conjetura que 
no los hay. 
Este es uno de los problemas más famosos en teoría de números, que esperan solución y 
que no se le ve llegar ni de lejos. Es decir ¿habrá otro término de la sucesión de Fermat que 
sea primo? 
Volviendo a la obra de Pitágoras, retomemos un problema matemático que se originó 
desde la época de los griegos antiguos: 
Hace más de 2000 años que los matemáticos griegos se interesaron en el problema de 
hallar la longitud de la circunferencia (o perímetro) de un círculo de radio dado. Era 
desconocida la fórmula exacta 𝐶 = 2𝜋𝑟 que tan familiar nos parece ahora. Sin embargo, 
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pocas personas entienden su significado, mucho menos el profundo razonamiento que 
fundamenta su descubrimiento. ¿Qué es el número que se designa por 𝜋? ¿Qué queremos 
decir cuando hablamos de “la circunferencia de”, o “la longitud de” un círculo?. Fueron los 
griegos los que descubrieron esta fórmula, a pesar de no disponer en aquel entonces de 
todas las herramientas matemáticas con las que contamos ahora. Ellos pensaban del 
siguiente modo: Como era aparentemente fácil asignar una longitud a un segmento 
rectilíneo, dieron con la idea de aproximar la circunferencia de un círculo por medio de una 
suma de longitudes de segmentos rectilíneos y fueron capaces de hacer esto con cualquier 
grado deseado de precisión. Sabiendo como hallar el perímetro de un polígono regular de 
2𝑛 lados inscrito en el círculo, simplemente consideraron perímetros de polígonos de 
número de lados cada vez más grande. Así, por ejemplo: 
 
Si 𝑟 = 1. 
Consideremos el caso de un cuadrado: 
 
𝑃 = (sen
𝜋
4
) ∙ 2 ∙ 4 
⇒ 𝑃 = 8 ∙ sen
𝜋
4
 
 
 
Para un polígono de 8 lados: 
𝑃 = 16 ∙ sen
𝜋
8
 
 
En forma análoga, para un polígono de 16 lados: 
𝑃 = 32 ∙ sen
𝜋
16
 
Para un polígono de 2𝑛 lados iguales, inscrito en un círculo de radio 𝑟: 
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𝑃 = 2𝑛+1 ∙ 𝑟 ∙ sen (
𝜋
2𝑛
) 
Así, cuando 𝑛 → ∞, 𝑃 tiende a la circunferencia
del círculo. Esta suposición es válida si 
existe: 
lim
𝑛→∞
2𝑛+1 ∙ 𝑟 ∙ sen (
𝜋
2𝑛
) 
 
lim
𝑛→∞
2𝑛+1 ∙ 𝑟 ∙ sen (
𝜋
2𝑛
) = lim
𝑛→∞
2𝑛+1 ∙ 𝑟 ∙ sen (
𝜋
2𝑛)
𝜋
2𝑛 
∙
𝜋
2𝑛
 
Cuando 𝑛 → ∞, 
𝜋
2𝑛
→ 0, por lo que 
lim
𝑛→∞
2𝑛+1 ∙ 𝑟 ∙
sen (
𝜋
2𝑛)
𝜋
2𝑛 
∙
𝜋
2𝑛
= lim
𝑛→∞
2𝑛+1𝑟
𝜋
2𝑛
∙ lim
𝑛→∞
sen (
𝜋
2𝑛)
𝜋
2𝑛 
= 2𝜋𝑟 ∙ 1 = 2𝜋𝑟 
∴ lim
𝑛→∞
𝑃 = 2𝜋𝑟 
 
El conjunto de los números {2𝑛+1 ∙ 𝑟 ∙ sen (
𝜋
2𝑛
)} está en correspondencia uno a uno con los 
números naturales, y así, los elementos del conjunto pueden considerarse en un orden 
definido. En efecto, estos números pueden considerarse como valores en el rango de una 
función cuyo dominio es ℕ. 
 
1. Sucesión numérica 
 
El ejemplo anterior nos da lugar a establecer la siguiente definición. 
 
Definición: 
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros mayores o 
iguales que un cierto entero dado. Si 𝐼 representa el conjunto de los números enteros y 𝑘 es 
un entero dado, entonces la función 
𝑓 = {(𝑛, 𝑦)|𝑦 = 𝑓(𝑛), 𝑛 ∈ 𝐼, 𝑛 ≥ 𝑘} 
Es una sucesión infinita. Por conveniencia, nos referiremos a las sucesiones infinitas 
simplemente con el nombre de sucesiones. En la mayoría de los casos, se considerará que 
el entero 𝑘 será 0 ó 1. 
Es evidente que una sucesión infinita no puede ser tabulada, por tanto, para especificar una 
sucesión, debemos ser capaces establecer, cuando sea posible, una regla o dar una fórmula 
por medio de la cual pueda definirse 𝑓(𝑛), que es el correspondiente del natural 𝑛 bajo la 
sucesión 𝑓. 
 
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Ejemplo 1: 
Sea la función dada por 
𝑓 = {(𝑛, 𝑦)|𝑦 = 6 −
3
𝑛2
, 𝑛 ∈ 𝐼, 𝑛 ≥ 𝑘} 
La misma, es una sucesión en la cual 𝑓(𝑛) = 6 −
3
𝑛2
; 
De esta forma, al ir asignando valores a la variable, en el orden de los números naturales, 
vemos que 
𝑓 = {(1,3), (2,
21
4
) , (3,
71
3
) ,… } 
En general, si 𝑓 es la sucesión definida por 𝑓 = {(𝑛, 𝑦)|𝑦 = 𝑓(𝑛), 𝑛 ∈ 𝐼, 𝑛 ≥ 𝑘}, entonces 
los elementos del rango, es decir: 
𝑓(𝑘), 𝑓(𝑘 + 1),… , 𝑓(𝑛) 
Reciben el nombre de términos de la sucesión, donde 𝑓(𝑘) es el primer término, 𝑓(𝑘 + 1) 
es el segundo término, ..., y 𝑓(𝑛) es el 𝑛-ésimo término, o término general de la sucesión. 
Podemos escribir: 
𝑓(𝑘) = 𝑎𝑘 , 𝑓(𝑘 + 1) = 𝑎𝑘+1, … , 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 
 
Y por tanto, la definición se escribiría como 𝑓 = {(𝑛, 𝑦)|𝑦 = 𝑎𝑛 , 𝑛 ∈ 𝐼, 𝑛 ≥ 𝑘}. 
Cuando resulte evidente que estamos hablando de una sucesión y cuando su dominio ya 
haya sido especificado, podremos usar la notación {𝑓(𝑛)} ó {𝑎𝑛} para representar la 
sucesión. 
 
A veces, ocurre que el listado de algunos de los primeros términos de una sucesión indica 
cual es la regla más probable con la que puede determinarse 𝑓(𝑛) ó 𝑎𝑛. 
 
Definición: 
Sea 𝐴 ≠ ∅, llamamos sucesión de elementos de 𝐴, a toda función del conjunto ℕ0 en 𝐴. En 
particular, una sucesión de números reales, es una función de ℕ en ℝ. Esto es: 
𝑓: ℕ0 → ℝ
𝑛↦𝑎𝑛
|𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 
Al número real 𝑎𝑛, se le llama término 𝑛-ésimo de la sucesión {𝑎𝑛}. 
 
Ejemplos: 
1) La lista dada por 
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,… 
 
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Especifica la sucesión 𝑓 en la cual 𝑓(𝑛) =
1
𝑛 
 , con 𝑛 = 2,3,4,5, …. 
2) La lista dada por 
2
4
,
4
5
,
6
6
,
8
7
,… 
Especifica la sucesión cuyo término general es 𝑎𝑛 =
2𝑛
𝑛+3
 , con 𝑛 = 1,2,3,4, …. 
 
Notación: 
Existen otras notaciones para denotar a una sucesión: 
{𝑥𝑛}, (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ0, 〈𝑎𝑛〉𝑛=0
∞ 
 
Definición: 
Dadas las sucesiones, {𝑎𝑛} y {𝑏𝑛}. Se dice que las mismas son iguales, si 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛, ∀𝑛 ∈
ℕ. Esto quiere decir que para que dos sucesiones sean iguales, deben ser iguales término a 
término. 
Es importante distinguir esta sucesión {𝑎𝑛} y el conjunto {𝑎𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} de sus términos (que 
no es más que la imagen de la función 𝑓). 
 
Ejemplo 1: 
Sean las sucesiones {𝑎𝑛} y {𝑏𝑛}, definidas por: 
𝑎0 = 0, 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎3 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 1 
𝑏0 = 1, 𝑏1 = 𝑏2 = 𝑏3 = ⋯ = 𝑏𝑛 = 0 
Ambas sucesiones, son tales que 
{𝑥𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} = {𝑦𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} = {0,1} 
 
Mientras que {𝑎𝑛} ≠ {𝑏𝑛}, pues 
 
𝑛 = 1: 𝑎1 = 0 ≠ 1 = 𝑏1 
𝑛 = 2: 𝑎2 = 1 ≠ 0 = 𝑏2 
𝑛 = 3: 𝑎3 = 1 ≠ 0 = 𝑏3 
𝑛 = 4: 𝑎4 = 1 ≠ 0 = 𝑏4 
𝑛 = 5: 𝑎5 = 1 ≠ 0 = 𝑏5 
⋮ 
 
 
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Ejemplo 2: 
Sean las sucesiones dadas por las funciones 𝑓(𝑛) =
1
𝑛
, 𝑛 ∈ ℕ; y 
𝑔(𝑛) = {
1 si 𝑛 es impar
2
𝑛+2
si 𝑛 es par
. 
{𝑓(𝑛)} = {1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,… ,
1
𝑛
, … } 
{𝑔(𝑛)} = {1,
1
2
, 1,
1
3
, 1,
1
4
, 1,
1
5
,… } 
Los elementos de la imagen de 𝑓 y 𝑔 son los mismos, pues: 
{𝑓(𝑛): 𝑛 ∈ ℕ} = {𝑔(𝑛): 𝑛 ∈ ℕ} = {1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,… ,
1
𝑛
, … } 
 
Sin embargo, ambas sucesiones son distintas. 
Ya que una sucesión es una función, admite representación gráfica. Esta puede realizarse 
en un sistema coordenado, o también en un sistema unidimensional. 
 
Ejemplo 3: 
Sea la sucesión {
1
𝑛
} 
 
 
La representación en un 
sistema coordenado consiste 
en: 
 
 
 
En un sistema unidimensional, 
tenemos: 
 
 
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2. Límite de una sucesión 
 
Ya que una sucesión es una función cuyo dominio contiene números en el intervalo [𝑎, ∞) 
para cualquier número 𝑎, podemos considerar la existencia del límite de dicha función. Ya 
conocemos la definición de límite en la variable continua, por lo que ahora podemos 
particularizar dicha definición para la variable discreta. 
 
Definición: 
Decir que lim
𝑛→∞
𝑓(𝑛) = 𝑙 verifica que: 
∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 = 𝑁(𝜀) ∈ ℕ ∶ ∀ 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ |𝑓(𝑛) − 𝑙| < 𝜀 
La definición quiere decir que, todos los términos de la sucesión 𝑓(𝑛) con 𝑛 > 𝑁 quedan 
dentro del intervalo (𝑙 − 𝜀, 𝑙 + 𝜀). 
Una sucesión que tenga límite finito, es 
decir, lim
𝑛→∞
𝑓(𝑛) = 𝑙, se llama sucesión 
convergente. También se dice que el 
límite del 𝑛-ésimo término es 𝑙 y que la 
sucesión converge a 𝑙. 
Si la sucesión {𝑓(𝑛)} no es 
convergente, se dice que es divergente.
1
 
O sea: 
Que una sucesión tenga límite 𝑙 
significa que prefijado 𝜀 > 0, es posible 
encontrar un número natural 𝑁 de 
manera que los términos de la sucesión 
para los 𝑛 ≥ 𝑁 pertenezcan al entorno 
de 𝑙 con amplitud 𝜀. 
 
Ejemplo 1: 
A partir de ver la gráfica vista en el ejemplo 2, podemos ver intuitivamente que 
lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0 
∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 = 𝑁(𝜀) ∈ ℕ ∶ |𝑎𝑛 − 0| < 𝜀 si 𝑛 > 𝑁 
|
1
𝑛
− 0| = |
1
𝑛
| < 𝜀 ⇒
1
𝑛
< 𝜀 ⇒
1
𝜀
< 𝑛 
Tomamos 𝑁 =
1
𝜀
 
 
1
 Cierta bibliografía enuncia el hecho de que si la no existencia de límite, se da porque el límite oscila, la 
sucesión se dice oscilante; y si se da porque dicho límite es infinito, la misma es divergente. En este curso, 
nos centraremos en si la sucesión converge o no. 
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Es decir 
𝜀 = 0,01 ⇒
1
0,01
< 𝑛 
⇒ 100 < 𝑛 
Así, a partir de 𝑛 = 101 
términos, todos los términos 
quedan dentro del intervalo 
(−0,01,0,01). 
 
 
 
Ejemplo 2: 
𝑎𝑛 =
𝑛 − 1
𝑛
⇒ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 1 
∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 = 𝑁(𝜀) ∈ ℕ ∶ |𝑎𝑛 − 1| < 𝜀 si 𝑛 ≥ 𝑁 
|
𝑛 − 1
𝑛
− 1| = |−
1
𝑛
| =
1
𝑛
< 𝜀 ⇒
1
𝜀
< 𝑛 
Tomamos 𝑁 =
1
𝜀
 
Supongamos 𝜀 = 0.001 = 10−3. 
𝑁 = 1000 ⇒ ∀𝑛 > 1000; |𝑎𝑛 − 𝑙| < 𝜀 
Ejemplo 3: 
𝑎𝑛 =
1
2𝑛
⇒ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 
∀ 𝜀 > 0, ∃𝑁 = 𝑁(𝜀) ∈ ℕ ∶ |𝑎𝑛 − 1| < 𝜀 si 𝑛 ≥ 𝑁
|
1
2𝑛
− 0| = |
1
2𝑛
| =
1
2𝑛
< 𝜀 ⇒
1
𝜀
< 2𝑛 
⇒ log2 (
1
𝜀
) < log2(2
𝑛) = 𝑛 ∙ log2 2 
⇒ 𝑛 > log2 (
1
𝜀
) 
Desde 𝑛 = 10 en adelante. 
O bien: 
Así, si 𝜀 = 0.001, 
1
2𝑛
< 0.001 ⇒
1
0.001
< 2𝑛 ⇒ 1000 < 2𝑛 
Tomamos 𝑁 =
1
𝜀
 
Supongamos 𝜀 = 0.001 = 10−3. 
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𝑁 = 1000 ⇒ ∀𝑛 > 1000; |𝑎𝑛 − 𝑙| < 𝜀 
 
2.1. Relación entre función en variable continua y función en 
variable discreta. 
 
Si lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑙 y 𝑓 está definida para todo entero no negativo, entonces también 
lim
𝑛→∞
𝑓(𝑛) = 𝑙 
Demostración: 
Por hipótesis, 𝑓: ℕ → 𝐴 y lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝑙 ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝐻 > 0: ∀𝑥 > 𝐻 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑙| < 𝜀 
Como 𝑓 tiene dominio ℕ, 𝑘 ∈ ℕ y 𝑥 ∈ ℕ. Tomando 𝐾 = 𝑁 y 𝑥 = 𝑛, será 
∀𝜀 > 0, ∃𝑁: 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ |𝑓(𝑛) − 𝑙| < 𝜀 
Lo cual dice que lim
𝑛→∞
𝑓(𝑛) = 𝑙. 
 
 
Este teorema, nos permite utilizar 
las propiedades de límite para 
funciones del continuo en el caso 
de sucesiones (las cuales son 
funciones sobre un conjunto 
discreto). 
 
 
2.2. Álgebra de Sucesiones 
Si {𝑎𝑛} y {𝑏𝑛} son sucesiones convergentes y si 𝑘 es un número cualquiera: 
i) lim
𝑛→∞
𝑘 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑘 ∙ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 
ii) lim
𝑛→∞
(𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ± lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 
iii) lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ∙ lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 
iv) lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
=
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
lim
𝑛→∞
𝑏𝑛
, lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 ≠ 0 
 
Tenemos una diferencia sustancial con el álgebra de límites vista para funciones de 
variable continua. Es el hecho de que antes, estudiábamos el comportamiento puntual de 
una función, es decir, cuando 𝑥 → 𝑎, mientras que ahora estudaimos cuando 𝑛 → ∞, es 
decir, cuando la variable discreta tiende a infinito. 
 
 
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Ejemplo 1: 
Calcula 
lim
𝑛→∞
𝑛
3
2
√4𝑛3 − 1
 
Solución: 
lim
𝑛→∞
𝑛
3
2
√4𝑛3 − 1
= lim
𝑛→∞
√
𝑛3
4𝑛3 − 1
= lim
𝑛→∞√
𝑛3
𝑛3 (4 −
1
𝑛3
)
= lim
𝑛→∞√
1
(4 −
1
𝑛3
)
= √
1
4
=
1
2
 
 
Ejemplo 2: 
Calcula 
lim
𝑛→∞
𝑛 (1 − 𝑎
1
𝑛) , 𝑎 > 0 ∧ 𝑎 ≠ 1 
Solución: 
lim
𝑛→∞
𝑛⏞
→∞
(1 − 𝑎
1
𝑛
⏞
→1
)
⏟ 
→0
 (Indeterminación del tipo 0 ∙ ∞) 
Podríamos salvar la indeterminación aplicando la Regla de L´Hôpital; sin embargo, dicha 
regla fue enunciada para la variable real continua, por lo tanto, debemos estudiar lo que 
ocurre con la función 𝑓(𝑥), tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑛). Es decir: 
lim
𝑥→∞
𝑥 (1 − 𝑎
1
𝑥) = lim
𝑥→∞
1 − 𝑎
1
𝑥
1
𝑥
=⏞
𝐿′𝐻
lim
𝑥→∞
−𝑎
1
𝑥 (−
1
𝑥2
) ln 𝑎
−
1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
−𝑎
1
𝑥 ln 𝑎 = − ln 𝑎 
Luego, relacionando la variable continua con la discreta, tenemos que: 
 
lim
𝑛→∞
𝑛 (1 − 𝑎
1
𝑛) = − ln 𝑎 = ln 𝑎−1 
 
3. Sucesiones Monótonas 
 
Definiciones: 
Una sucesión {𝑎𝑛} para la cual: 
 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 , ∀ 𝑛 ∈ ℕ, se la llama monótona creciente. 
 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 , ∀ 𝑛 ∈ ℕ, se la llama monótona decreciente. 
 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ ℕ, se la llama estrictamente creciente. 
 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 , ∀ 𝑛 ∈ ℕ, se la llama estrictamente decreciente. 
 
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Ejemplo 1: 
Sea la sucesión, cuyo término general es: 
𝑎𝑛 =
2𝑛
3𝑛 + 1
 
𝑎1 =
2
4
=
1
2
, 𝑎2 =
4
7
, 𝑎3 =
6
10
=
3
5
 
Veamos cómo es la sucesión {𝑎𝑛}: 
𝑎𝑛 =
2𝑛
3𝑛 + 1
, 𝑎𝑛+1 =
2(𝑛 + 1)
3(𝑛 + 1) + 1
=
2𝑛 + 2
3𝑛 + 4
 
𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 , pues 
2𝑛
3𝑛 + 1
⋚ 
2𝑛 + 2
3𝑛 + 4
 
2𝑛
3𝑛 + 1
⋚
2( 𝑛 + 1)
3𝑛 + 4
 
𝑛
3𝑛 + 1
⋚
(𝑛 + 1)
3𝑛 + 4
 
𝑛 ∙ (3𝑛 + 4) ⋚ (𝑛 + 1) ∙ (3𝑛 + 1) 
3𝑛2 + 4𝑛 ⋚ 3𝑛2 + 3𝑛 + 𝑛 + 1 
4𝑛 ⋚ 4𝑛 + 1 
 0 < 1 , ∀ 𝑛 ∈ ℕ 
∴ 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 
Así, la sucesión es estrictamente creciente. 
 
Ejemplo 2: 
Sea 𝑏𝑛 = 𝑒
−𝑛 , veamos que es monótona decreciente. 
𝑏𝑛 =
1
𝑒𝑛
, 𝑏𝑛+1 = 𝑒
−(𝑛+1) = 𝑒−𝑛 ∙ 𝑒−1 =
1
𝑒𝑛 
∙
1
𝑒
 
𝑏𝑛 ≥ 𝑏𝑛+1 , ya que 
𝑒−𝑛 ⋚ 𝑒−𝑛 ∙ 𝑒−1 
1
𝑒𝑛
⋚
1
𝑒𝑛
∙
1
𝑒
 
1 ⋚
1
𝑒
 
∴ 1 < 𝑒, ∀ 𝑛 ∈ ℕ 
Con lo que la sucesión es estrictamente decreciente. 
 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
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4. Sucesiones acotadas 
 
Definiciones: 
 Una sucesión {𝑎𝑛} para la cual existe un número 𝛽1 con la propiedad 𝑎𝑛 ≤
𝛽1, ∀ 𝑛 se llama sucesión acotada superiormente. Es decir: 
{𝑎𝑛} es acotada superiormente 𝑠𝑖𝑖 ∃ 𝛽1 ∈ ℝ: 𝑎𝑛 ≤ 𝛽1 , ∀ 𝑛 . 
Análogamente: 
 Una sucesión {𝑎𝑛} para la cual existe un número 𝛽2 con la propiedad 𝑎𝑛 ≥ 𝛽2, 
∀ 𝑛 se llama sucesión acotada inferiormente. Es decir: 
{𝑎𝑛} es acotada inferiormente 𝑠𝑖𝑖 ∃ 𝛽2 ∈ ℝ:𝑎𝑛 ≥ 𝛽2 , ∀ 𝑛 . 
Por último: 
 Una sucesión {𝑎𝑛} que está acotada superior e inferiormente, se llama sucesión 
acotada (“a secas”). O bien: 
{𝑎𝑛} es acotada 𝑠𝑖𝑖 ∃ 𝛽 ∈ ℝ
+: |𝑎𝑛| < 𝛽 , ∀ 𝑛. 
 
Ejemplo 1: 
Sea la sucesión {𝑎𝑛} = {
1
𝑛
} 
Esta sucesión está acotada, pues |
1
𝑛
| =
1
𝑛
< 𝑘 ⇒
1
𝑘
< 𝑛, como 𝑛 = 1, 
1
𝑘
< 1 ⇒ 1 < 𝑘 
De este modo, la sucesión está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 0. Es decir: 
sup{𝑎𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} = 1, inf{𝑎𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} = 0 
 
Ejemplo 2: 
Sea la sucesión {𝑎𝑛} = {2𝑛} = {2,4,6,8, … } 
Esta sucesión está acotada inferiormente, pero no superiormente. 
 
Ejemplo 3: 
Sea la sucesión {𝑎𝑛}, con 𝑎𝑛 =
2𝑛+1−1
2𝑛
= 2 −
1
2𝑛
 
Puede verse que 
1
2𝑛
→ 0, cuando 𝑛 → ∞, por lo tanto 
lim
𝑛→∞
(2 −
1
2𝑛
) = 2 
entonces 𝑎𝑛 está acotado superiormente por 2, e inferiormente por 1. 
 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
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5. Teorema Fundamental de Sucesiones Monótonas 
 
5.1 Teorema Fundamental de Sucesiones 
Toda sucesión monótona acotada es convergente. 
Demostración: 
El teorema enunciado es una doble implicación, por lo que debemos enunciar la ida y la 
vuelta 
 ⇒) 
Hipótesis 
 {𝑎𝑛} es monótona 
 {𝑎𝑛} está acotada 
Tesis: 
{𝑎𝑛} es convergente 
Demostración: 
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la sucesión es creciente. 
Por hipótesis, {𝑎𝑛} está acotada, entonces existe 𝛽 ∈ ℝ
+, tal que |𝑎𝑛| ≤ 𝛽, ∀𝑛; lo cual dice 
que {𝑎𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} está acotada superiormente. 
Además, la sucesión forma un conjunto no vacío de números reales. 
Así, por el Axioma de Completitud, el conjunto de las imágenes de la sucesión admite 
supremo. Sea 𝐴 = sup{𝑎𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}. 
Queremos ver que 𝐴 = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 
 
Por ser 𝐴 = sup{𝑎𝑛: 𝑛 ∈ ℕ}, por la propiedad del 
supremo, tenemos que dado 𝜀 > 0 , ∃𝑁 para el cual 
𝑎𝑁 > 𝐴 − 𝜀.
2
 
Como {𝑎𝑛} es creciente ∀𝑛 ≥ 𝑁, entonces 𝑎𝑁 < 𝑎𝑛 
∴ ∀ 𝑛 > 𝑁 ∶ 𝐴 ≥ 𝑎𝑛 > 𝑎𝑁 > 𝐴 − 𝜀 
⇒ 𝐴 − 𝜀 < 𝑎𝑛 ≤ 𝐴 
∴ 𝐴 − 𝜀 < 𝑎𝑛 ≤ 𝐴 < 𝐴 + 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
Así 
 𝐴 − 𝜀 < 𝑎𝑛 < 𝐴 + 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
−𝜀 < 𝑎𝑛 − 𝐴 < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
∴ |𝑎𝑛 − 𝐴| < 𝜀, , ∀𝑛 ≥ 𝑁 
 
2
 Propiedad del Supremo: Sean 𝑆 ≠ 0 y 𝛽 = sup 𝑆, ∀𝜀 > 0, ∃𝑥 ∈ 𝑆: 𝛽 − 𝜀 < 𝑥. Es decir que siempre 
podemos encontrar un número (en este caso 𝑎𝑁 tan cerca del supremo como uno quiera). 
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O sea, dado 𝜀 > 0, existe 𝑁 > 0 tal que para todo 𝑛 ≥ 𝑁, se cumple que |𝑎𝑛 − 𝐴| < 𝜀 
⇔ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐴 = sup{𝑎𝑛: 𝑛 ∈ ℕ} . 3 
⇐) 
Hipótesis 
 {𝑎𝑛} es monótona 
{𝑎𝑛} es convergente 
Tesis: 
{𝑎𝑛} está acotada 
Demostración: 
Sin pérdida de generalidad, supongamos que {𝑎𝑛} es creciente, por lo tanto el primer 
elemento es cota inferior, es decir 𝑎1 ≤ 𝑎𝑛, ∀𝑛. 
Ahora, por hipótesis, {𝑎𝑛} es una sucesión convergente, es decir: 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑙 ⇔ ∀𝜀 > 0 , ∃𝑁 
|𝑎𝑛 −
𝑙| < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
|𝑎𝑛| − |𝑙| ≤ |𝑎𝑛 − 𝑙| < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
|𝑎𝑛| − |𝑙| < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
|𝑎𝑛| < |𝑙| + 𝜀⏟ 
𝑘>0
, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
O sea: 
|𝑎𝑛| < 𝑘, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
Ahora, nuevamente como {𝑎𝑛} es creciente, se cumple que 
𝑎1 < 𝑎2 < ⋯ < 𝑎𝑁−1 < 𝑎𝑁 < 𝑘 
Luego, se cumple que 
|𝑎𝑛| ≤ 𝑘, ∀𝑛 
∴ {𝑎𝑛} está acotada. 
 
El teorema puede demostrarse también, considerando {𝑎𝑛} como una sucesión decreciente. 
(Ejercicio para el lector) 
 
Como consecuencias del Teorema Fundamental de Sucesiones, pueden enunciarse los 
siguientes teoremas: 
 
 
3
 El teorema nos dice que si {𝑎𝑛} es monótona acotada, existe un número 𝐴 tal que lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐴; pero no nos 
dice como encontrar 𝐴. Por ello se llama Teorema de Existencia. 
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5.2 Consecuencias del Teorema Fundamental de Sucesiones 
 
Teorema 1 
Sea {𝑎𝑛} una sucesión creciente acotada superiormente. Entonces lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 existe y 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = sup{𝑎𝑛} . 
 
Teorema 2 
Sea {𝑎𝑛} una sucesión decreciente acotada inferiormente. Entonces lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 existe y 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = ínf{𝑎𝑛}. 
 
Ejemplo 1: 
Demostrar que la sucesión {𝑎𝑛}, con 𝑎𝑛 = 1 +
1
2!
+
1
3!
+⋯+
1
𝑛!
, 𝑛 ∈ ℕ es convergente. 
Demostración: 
Veamos que si {𝑎𝑛} es monótona y que está acotada entonces {𝑎𝑛} es convergente. 
Si estudiamos primero la monotonía: 
 
𝑎𝑛+1 = 1 +
1
2!
+
1
3!
+ ⋯+
1
𝑛!
+
1
(𝑛 + 1)!
 
 
𝑎𝑛 = 1 +
1
2!
+
1
3!
+ ⋯+
1
𝑛!
 
 
∴ 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = [1 +
1
2!
+
1
3!
+ ⋯+
1
𝑛!
+
1
(𝑛 + 1)!
] − (1 +
1
2!
+
1
3!
+ ⋯+
1
𝑛!
) 
 
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 1 +
1
2!
+
1
3!
+ ⋯+
1
𝑛!
+
1
(𝑛 + 1)!
− 1 −
1
2!
−
1
3!
− ⋯−
1
𝑛!
 
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 =
1
(𝑛 + 1)!
> 0 ⇒ 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛 
 
∴ {𝑎𝑛} es estrictamente creciente. 
En otras palabras, la sucesión es monótona. 
 
Ahora veamos que la sucesión está acotada: 
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SUCESIONES Y SERIES 
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Se puede probar que 𝑛! ≥ 2𝑛−1, ∀𝑛 ∈ ℕ.4 
⇒
1
𝑛!
≤
1
2𝑛−1
, ∀𝑛 ∈ ℕ 
∴ 𝑎𝑛 ≤ 1 +
1
2
+
1
22
+⋯+
1
2𝑛−1
 
Multiplicando y dividiendo por (1 −
1
2
) 
𝑎𝑛 ≤
(1 +
1
2 +
1
22
+⋯+
1
2𝑛−1
) ∙ (1 −
1
2)
(1 −
1
2)
 
⇒ 𝑎𝑛 ≤
1 +
1
2 +
1
22
+⋯+
1
2𝑛−1
−
1
2 −
1
22
−
1
23
…−
1
2𝑛−1
−
1
2𝑛
1
2
≤
1 −
1
2𝑛
1
2
<
1
1
2
= 2 
∴ 𝑎𝑛 < 2, ∀𝑛 ∈ ℕ 
∴ {𝑎𝑛} está acotada. 
Finalmente, por el Teorema Fundamental, la sucesión es convergente. 
 
Ejemplo 2: 
Demuestra que la sucesión {𝑎𝑛}, definida por la fórmula recursiva 
𝑎1 = 2, 𝑎𝑛+1 =
1
2
(𝑎𝑛 + 6), para 𝑛 ≥ 2 
es convergente. 
Solución: 
Empezaremos calculando algunos sus primeros términos: 
𝑎1 = 2, 𝑎2 = 
1
2
(2 + 6) = 4, 𝑎3 =
1
2
(4 + 6) = 5, 𝑎4 =
1
2
(5 + 6) = 5,5, 
 
4
 Demostraremos por inducción. Sea 𝑝(𝑛): 𝑛! ≥ 2𝑛−1, ∀𝑛 ∈ ℕ 
i) 𝑝(1) es verdadera 
 𝑝(1): 1! ≥ 21−1 ⇒ 1 ≥ 1 
∴ 𝑝(1) es verdadera 
ii) 𝑝(𝑘) ⇒ 𝑝(𝑘 + 1) es verdadera 
 𝑝(𝑘): 𝑘! ≥ 2𝑘−1 
𝑝(𝑘 + 1): (𝑘 + 1)! ≥ 2𝑘+1−1 ⇒ (𝑘 + 1)! ≥ 2𝑘 
Demostración: 
(𝑘 + 1)! = (𝑘 + 1) ∙ 𝑘! ≥ (𝑘 + 1) ∙ 2𝑘−1 = (𝑘 + 1) ∙ 2𝑘 ∙ 2−1 = (𝑘 + 1) ∙ 2𝑘
Como 𝑘 ≥ 1, (𝑘 + 1) ∙ 2𝑘 ∙
1
2
≥ 2𝑘, pues 
𝑘 = 1 ⇒ 2𝑘 ∙
1
2
= 2𝑘 
𝑘 = 2 ⇒ 3 ∙ 2𝑘 ∙
1
2
=
3
2
∙ 2𝑘 > 2𝑘 
Así, (𝑘 + 1)! ≥ 2𝑘, con lo que 𝑝(𝑘) ⇒ 𝑝(𝑘 + 1) es verdadera 
Finalmente, 𝑛! ≥ 2𝑛−1, ∀𝑛 ∈ ℕ 
Sucesiones y Series 
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𝑎5 =
1
2
(5,5 + 6) = 5,75, 𝑎6 =
1
2
(5,75 + 6) = 5,875, 𝑎7 =
1
2
(5,875 + 6) = 5,9375 
 
Estos términos iniciales hacen pensar que la sucesión es creciente y que los términos se 
aproximan a 6. 
Para confirmar que la sucesión es creciente, utilizamos inducción matemática para 
demostrar: 
𝑝(𝑛): 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1, ∀𝑛 ∈ ℕ 
i) 𝑝(1) es verdadera. 
𝑝(1): 𝑎1 < 𝑎2 
𝑎1 = 2, 𝑎2 = 4 ⇒ 𝑎1 < 𝑎2 
Así, 𝑝(1) es verdadera. 
ii) Sea 𝑘 ∈ ℕ, 𝑝(𝑘) ⇒ 𝑝(𝑘 + 1) es verdadera. 
Si suponemos que se cumple 𝑝(𝑘), entonces 𝑎𝑘 < 𝑎𝑘+1. Por lo que tenemos lo 
siguiente: 
𝑎𝑘 < 𝑎𝑘+1 ⇒ 𝑎𝑘 + 6 < 𝑎𝑘+1 + 6 ⇒
1
2
(𝑎𝑘 + 6) <
1
2
(𝑎𝑘+1 + 6) ⇒ 𝑎𝑘+1 < 𝑎(𝑘+1)+1 
Por lo que p(k) ⇒ p(k + 1) es verdadera. 
Finalmente, de i) y ii), se concluye que la sucesión es creciente. (1) 
Ahora, veamos si la sucesión está acotada. Como la sucesión es creciente, sabemos que 
tiene una cota inferior: 𝑎𝑛 ≥ 𝑎1 = 2, para toda 𝑛. Debemos demostrar ahora (también por 
inducción) 
que la misma tiene a 6 como cota superior, es decir: 
𝑞(𝑛): 𝑎𝑛 ≤ 6, ∀𝑛 ∈ ℕ 
i) 𝑞(1) es verdadera. 
𝑞(1): 𝑎1 ≤ 6 
𝑎1 = 2 < 6 
Así, 𝑞(1) es verdadera. 
ii) Sea 𝑘 ∈ ℕ, 𝑞(𝑘) ⇒ 𝑞(𝑘 + 1) es verdadera. 
Si suponemos que se cumple 𝑞(𝑘), entonces 𝑎𝑘 < 6. Por lo que tenemos lo siguiente: 
𝑎𝑘 < 6 ⇒ 𝑎𝑘 + 6 < 12 ⇒
1
2
(𝑎𝑘 + 6) < 6 ⇒ 𝑎𝑘+1 < 6 
 Por lo que 𝑞(𝑘) ⇒ 𝑞(𝑘 + 1) es verdadera. 
Finalmente, de i) y ii), se concluye que la sucesión está acotada superiormente por 6. 
Luego la sucesión está acotada. (2) 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
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De (1) y (2), por el Teorema Fundamental de Sucesiones Monótonas, la sucesión es 
convergente. 
 
¿A qué número converge? 
El teorema no dice a qué valor converge la sucesión, sólo asegura que lo hace. Para 
encontrar éste límite podemos hacer el siguiente planteo: Como sabemos que dicho límite 
existe, lo llamemos 𝐿, es decir: 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 
De este modo: 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1 = lim
𝑛→∞
1
2
(𝑎𝑛 + 6) =
1
2
(𝐿 + 6) 
 
Ahora, como sabemos que 𝑎𝑛 → 𝐿 cuando 𝑛 → ∞, también se cumple que cuando 
𝑛 + 1 → ∞, 
 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1 = 𝐿 
Así tenemos que: 
 
𝐿 = lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1 = lim
𝑛→∞
1
2
(𝑎𝑛 + 6) =
1
2
(𝐿 + 6) ⇒ 𝐿 =
1
2
(𝐿 + 6) 
 
⇒ 𝐿 =
1
2
𝐿 + 3 ⇒
1
2
𝐿 = 3 ⇒ 𝐿 = 6 
que es el resultado que habíamos predicho. 
 
6. Sucesiones de Cauchy 
 
Al considerar una sucesión de números reales, interesa conocer si es convergente o no. En 
algunos casos podemos usar el Teorema Fundamental para sucesiones monótonas para 
estudiar su convergencia. Pero puede ocurrir que la sucesión considerada esté acotada pero 
no sea monótona entonces es posible recurrir a la definición de sucesión convergente, pero 
su aplicación requiere conocer cuál es el límite supuesto y luego demostrar que 
efectivamente es. Esta situación presenta dificultades porque en cierta forma se exige 
conocer por anticipado el número que se desea hallar. 
 
Este inconveniente desaparece si se encuentra una condición necesaria y suficiente para 
determinar la convergencia de una sucesión que no esté referida directamente a su límite. 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
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Esta condición, se conoce con el nombre de “Condición de Cauchy”, y las sucesiones que 
verifica la misma, se llaman “Sucesiones de Cauchy”: 
 
Definición: 
Se dice que una sucesión de números reales {𝑎𝑛} es de Cauchy, sí y sólo sí, ∀𝜀 > 0, 
∃𝑁 ∈ ℕ, tal que |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚| < 𝜀, ∀𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁. 
 
6.1. Completitud en ℝ 
Una sucesión de números reales es convergente sí, y sólo sí, es una sucesión de Cauchy. 
 
No demostraremos este teorema, debido a la complejidad de los conceptos necesarios para 
su prueba. 
 
Ejemplo 1: 
Sea la sucesión {𝑎𝑛} definida por 𝑎𝑛 =
1
2𝑛
. Si bien, sabemos que lim 
𝑛→∞
1
2𝑛
= 0 y con esto, 
podemos decir que dicha sucesión es convergente, veamos que también es de Cauchy, es 
decir que 
∀𝜀 > 0, ∃𝑁: |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚| < 𝜀, ∀𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 
Establezcamos un orden: sean 𝑚 > 𝑛 > 𝑁, entonces se tiene que 
2𝑚 > 2𝑛 > 2𝑁 ⇒
1
2𝑚
<
1
2𝑛
<
1
2𝑁
Así: 
|
1
2𝑛
−
1
2𝑚
| ≤ |
1
2𝑛
+
1
2𝑚
| =
1
2𝑛
+
1
2𝑚
<
1
2𝑁
+
1
2𝑁
= 2
1
2𝑁
=
1
2𝑁−1
< 𝜀 ⇒
1
𝜀
< 2𝑁−1 
log2
1
𝜀
< log2 2
𝑁−1 = 𝑁 − 1 
∴ 1 + log2
1
𝜀
< 𝑁 
Por tanto en ℝ, toda sucesión de Cauchy es convergente. Por ello se dice que ℝ es un 
espacio “Completo”. Pero si tomamos el espacio ℚ de los números racionales, analicemos 
el siguiente ejemplo: 
 
Ejemplo 2: 
Tenemos la sucesión 
{𝑎𝑛} = {(1 +
1
𝑛
)
𝑛
} 
 
Sucesiones y Series 
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Sabemos que {𝑎𝑛} es de Cauchy, pues 
 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒. 5 
 
O sea, en ℝ, la sucesión converge al valor 𝑒, y por el teorema anterior, {𝑎𝑛} es de Cauchy. 
Veamos ahora qué pasa en ℚ. 
 
{𝑎𝑛} es de Cauchy, sin embargo: 
 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒 ∉ ℚ 
 
Esto muestra que ℚ no es completo, pues tiene “huecos”. 
 
 
5
 En el Apéndice del Apunte, veremos formalmente la demostración de este límite notable, tanto en la 
variable natural como en la real.. 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
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Series Infinitas 
Introducción 
 
El primer caso que registra el uso de una suma infinita de términos de una sucesión, se 
remonta hasta la antigua Grecia, con Arquímedes, quien probablemente usó este tipo de 
ideas para determinar el área encerrada bajo el arco de una parábola. Otras ideas 
relacionadas con el uso de series y sucesiones para la representación de determinadas 
funciones se concibieron en India durante el siglo XIV, época en que se destaca el trabajo 
de Madhava. 
Madhava también fue de los primeros en considerar el problema de la convergencia de una 
serie, es decir, determinar si la suma infinita de los términos de una sucesión es igual a 
algún número real. Madhava desarrolló algunos métodos y test de convergencia. En 
Europa, sin embargo, este tipo de problemas fueron estudiados en profundidad solo a 
partir del siglo XIX con los trabajos, entre otros, de Euler, Cauchy y Gauss. Johann Car 
Friedrich Gauss (1777-1855), matemático alemán llamado a menudo El príncipe de los 
matemáticos y sin duda uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, fue al 
parecer también un niño prodigio. A la edad de 9 años, Gauss fue admitido en la clase de 
aritmética y durante una de las clases su maestra decidió plantearles a los alumnos un 
problema largo y tedioso para mantenerlos ocupados por un buen tiempo. Al parecer el 
problema era similar al siguiente: realizar la suma de los primeros 100 términos de una 
sucesión aritmética, específicamente realizar la suma de los números 1, 2, 3, 4,…, 100. En 
aquella época, desde luego, no había calculadoras así que todo debía hacerse a mano. 
Gauss, que nunca había estudiado fórmulas para resolver este tipo de problemas en pocos 
segundos entregó su respuestas en el escritorio de la maestra. La maestra sorprendida le 
preguntó a Gauss con lo había conseguido en tan poco tiempo y el le explicó que para 
calcular la suma de los números 1, 2, 3, … 100 no era necesario realizar suma por suma 
sino que bastaba notar que la suma se podía agrupar en parejas de la siguiente forma 1 + 
100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, … 50 + 51 = 101 y de esta manera para realizar la 
suma total, al considerar las 50 parejas cuya suma era 101, el resultado final se obtendría 
haciendo 50 x 101 = 5050. 
Afortunadamente hoy día ninguno de nosotros necesitamos ser un prodigio como Gauss 
para estudiar y entender los conceptos de series y sucesiones y debemos simplemente 
admirar el talento precoz de uno de los grandes matemáticos de la historia. 
 
Una historia para leer y recordar… 
En un día frío de enero de 1913, el eminente matemático de Cambridge, el profesor G. H. 
Hardy, recibió una carta de un asistente de 25 años del departamento de contabilidad en 
una oficina de gobierno en Madras, India. Su autor, Srinivasa Ramanujan, que no tenía 
educación universitaria, quien admitió haber reprobado, relataba que “después de dejar la 
escuela he dedicado todo el tiempo libre del que he dispuesto a trabajar en matemáticas. . . 
No recorrí el curso convencional normal. . . pero estoy forjando un nuevo camino para mí 
mismo”. Después seguían diez páginas que contenían, en una escritura impecable, 
alrededor de 50 fórmulas; la mayoría eran integrales y series infinitas que Ramanujan 
había descubierto y pedía a Hardy consejo respecto a si tenían algún valor. Las fórmulas 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
Análisis Matemático I - Departamento de Matemática – Facultad de Ciencias Exactas 24 
 
 
eran de una apariencia tan exótica y poco probable que Hardy al principio sospechó un 
engaño, pero él y su colega J. E. Littlewood pronto se dieron cuenta de que estaban viendo 
el trabajo de un extraordinario genio matemático. 
Así comenzó uno de los episodios más románticos en la historia de las matemáticas. En 
abril de 1914, Ramanujan llegó a Inglaterra, siendo un matemático autodidacta, pobre y 
amateur llamado a colaborar como un igual con los matemáticos profesionales más 
reconocidos de la época. Durante los tres años siguientes fluyó de su pluma un raudal de 
descubrimientos extraordinarios. Pero en 1917 cayó seriamente enfermo, en apariencia de 
tuberculosis. Al año siguiente regresó a India para intentar recuperar su salud, cosa que 
nunca ocurrió y murió en 1920 a la edad de 32 años. Hasta el final de su vida trabajó 
febrilmente para registrar sus últimos descubrimientos. Dejó cuadernos en donde describía 
trabajos cuya terminación ocupó a matemáticos prominentes durante todo el siglo xx. 
Con la posible excepción de Euler, nadie antes o desde entonces ha exhibido el virtuosismo 
de Ramanujan con las series infinitas. Un ejemplo de sus descubrimientos es la serie 
infinita 
1
𝜋
=
√8
9801
∑
(4𝑛)!
(𝑛!)4
∙
(1103 + 26390𝑛)
3964𝑛
∞
𝑛=0
 
cuyo primer término lleva a la conocida aproximación π ≈ 3.14159, y cada término 
adicional da a π cerca de ocho cifras decimales más de exactitud. Por ejemplo, sólo se 
necesitan cuatro términos de la serie de Ramanujan para calcular la aproximación con 30 
decimales 
π ≈ 3.141592653589793238462643383279 
que es suficiente para casi cualquier aplicación “práctica” imaginable; si el universo fuera 
una esfera con un radio de 10 mil millones de años luz, este valor de π daría a su 
circunferencia una exactitud al centésimo más cercano de una pulgada. Pero en años 
recientes las ideas de Ramanujan se han usado para calcular el valor de π con precisión de 
mil millones de decimales. Sin duda, esos cálculos colosales de π se usan para verificar la 
precisión de las nuevas supercomputadoras. 
 
1. Series Numéricas 
 
Definición: 
Sea {𝑎𝑛} = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 , … } una sucesión de números reales. Entonces la expresión 
∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ 
Se llama “serie infinita” o simplemente “serie”. Los números 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛, … se 
denominan “término de la serie”. El número 𝑎𝑛 se llama término 𝑛-ésimo o término 
general de la serie. 
 
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Notar que ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 no es una suma aritmética y por lo tanto, NO puede tratarse como tal. 
Deseamos asignar un número a la serie. Ese número se llama “suma de la serie”. Como 
hasta este momento no conocemos el concepto de suma infinita, sino solo de sumas finitas, 
la idea es extender la definición de suma para un número de infinitos términos 
 
Dada la serie infinita 
𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ 
definimos las sumas parciales de la misma como 
𝑆1 = 𝑎1 
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 
⋮ 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 
y llamamos
a la sucesión {𝑆𝑛} = {𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, … , 𝑆𝑛, … }, sucesión de sumas parciales 
correspondiente a la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛.
6
 
 
2. Convergencia de Series Numéricas 
 
Definición: 
Sea 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ una serie infinita y sea {𝑆𝑛} la sucesión de sumas 
parciales de la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛. 
a) Si existe lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑆, se dice que la serie es convergente (converge a 𝑆 y 𝑆 es la 
suma de la serie). Es decir, ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 = 𝑆 y esta expresión significa sencillamente que 
la sucesión de sumas parciales {𝑆𝑛} de la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge al límite o a su 
suma 𝑆. 
b) Si no existe lim
𝑛→∞
𝑆𝑛, la serie es divergente y no tiene suma. 
 
Ejemplo 1: 
Para la serie 
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+⋯+
1
2𝑛−1
+⋯ 
 
6
 No debe confundirse serie con suma parcial. Pues la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ es una 
suma infinita, en tanto que una suma parcial 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛, es una suma de una cantidad 
finita de términos. 
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a) Especifica la sucesión de sumas parciales. 
b) Demuestra que la serie es convergente (encuentra su suma). 
Solución: 
a) 
𝑆1 = 1 = 2 −
1
20
 
𝑆2 = 1 +
1
2
=
3
2
= 2 −
1
2
= 2 −
1
21
 
𝑆3 = 1 +
1
2
+
1
4
=
3
2
+
1
4
=
6 + 1
4
=
7
4
= 2 −
1
22
 
𝑆4 = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
4
+
1
8
=
14 + 1
8
=
15
8
= 2 −
1
23
 
⋮ 
𝑆𝑛 = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+⋯+
1
2𝑛−1
= 2 −
1
2𝑛−1
 
b) Calculemos ahora 
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
(2 −
1
2𝑛−1
) = 2 − lim
𝑛→∞
1
2𝑛−1
= 2 
∴ La serie dada es convergente y su suma es 𝑆 = 2. 
 
Observación: 
Debe tenerse mucho cuidado en distinguir el término general de la serie infinita del 
término general de sus sumas parciales. 
O sea, en la serie ∑
𝑛=1
∞
1
2𝑛−1
, el término general de la serie es 𝑎𝑛 =
1
2𝑛−1
, mientras que el 
término general de la sucesión de sumas parciales es 𝑆𝑛 = 2 −
1
2𝑛−1
. 
 
Ejemplo: Paradoja de Zenón
7
 
Zenón, en el siglo V A.C., enunció la siguiente paradoja con la que pretendía probar que el 
movimiento es imposible. 
 
7
 Zenón de Elea: Matemático y filósofo. Nació en Elea, suroeste de Italia (se desconoce la fecha de su 
nacimiento y muerte). Fue el discípulo predilecto del filósofo griego Parménides y su acompañante en su 
viaje a Atenas. Allí enseñó filosofía durante algunos años, concentrándose en el sistema eleático de 
metafísica. Pericles y Calias estudiaron con él. Regresó a Elea y participa en la conspiración para librar a la 
ciudad del tirano Nearcco; la conspiración fracasó y fue torturado aunque se negó a delatar a sus compañeros. 
Sólo pocos fragmentos de su obra perduran, pero las obras de Platón y Aristóteles se nutren de referencias 
textuales de los escritos de Zenón. Acepta la creencia de Parménides de que el universo, o el ser, es una 
sustancia indiferenciada, simple, única, aunque pueda parecer diversificada para los sentidos. Intentó 
desacreditar las sensaciones a través de una serie de paradojas, sobre el espacio y el tiempo que han 
perdurado hasta nuestros días como mosaicos intelectuales complejos. 
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Para ir de un punto 𝐴 a otro 𝐵, primero debemos recorrer la mitad de la distancia 𝐴𝐵. 
Después la mitad de lo que queda. Después la mitad del resto… y así sucesivamente. El 
proceso ha de repetirse infinitas veces, y por tanto el tiempo que se requiere es infinito: 
nunca llegará a 𝐵. 
Como 𝐴 y 𝐵 son dos puntos tan próximos como queramos, llegó a la conclusión de que no 
podían moverse. 
La paradoja de Zenón, sigue siendo inmersa y profunda en la actualidad, aunque ya 
podemos intentar explicarla. (Ver que esta paradoja se la enuncia de diferentes maneras, 
ejercicio para el lector) 
Supongamos que vamos a una velocidad constante y que recorremos la mitad de 𝐴𝐵 en 
medio minuto. El tiempo total empleado en recorrer 𝐴𝐵 será la suma de infinitos términos. 
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+⋯+
1
2𝑛
+⋯ = ∑
1
2𝑛
∞
𝑛=1
 
Es la suma de los términos de una serie geométrica. 
𝑆 =
𝑎
1 − 𝑟
⇒ 𝑆 =
1
2
1 −
1
2
=
1
2
1
2
= 1 
De esta forma, la suma de los infinitos tiempos que decía Zenón es “finita”. 
 
Observación: 
A veces queremos, o nos conviene, que la sucesión comience en 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, o en algún otro 
término, por ejemplo, de la forma 
∑𝑎𝑛
 ∞
𝑛=𝑘
= 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘+1 + 𝑎𝑘+2 +⋯ 
En el caso que carezca de importancia el índice que se asigna al primer término, se escribe 
∑𝑎𝑛 para distinguir una serie infinita. 
 
Como lim
𝑛→∞
(𝑆𝑛 − 𝑐) (con 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒) existe sí y sólo sí lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 existe, se deduce que podemos 
omitir un número finito de términos entre los primeros de una serie, sin que afecte la 
convergencia o divergencia de la misma. O sea 
∑𝑎𝑛
 ∞
𝑛=1
 y ∑𝑎𝑛
 ∞
𝑛=𝑘
 
Ambas convergen o divergen juntas. 
Por supuesto, el valor de la suma si existe, quedará afectado (en la suma de los términos 
que se omiten). 
 
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2.1. Condición necesaria de convergencia 
 
Si la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente entonces lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0. 
Demostración: 
Sea {𝑆𝑛} la sucesión de sumas parciales de la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛. 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 
𝑆𝑛−1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛−1 
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑎𝑛 ⇒ 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 = 𝑎𝑛 
 
Como ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente, lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑆. 
Así 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
(𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1) = lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 − lim
𝑛→∞
𝑆𝑛−1 = 𝑆 − 𝑆 = 0 
∴ lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 
 
El teorema es una condición necesaria y no suficiente para la convergencia de la serie. Por 
lo tanto, la contra reciproca indica un arma poderosa para la divergencia. 
 
2.2. Condición de Divergencia. 
 
Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0 (o no existe), entonces la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente. 
 
Ejemplo: 
Sea la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑛
2𝑛+1
. 
Si calculamos el límite del término general de la serie, tenemos: 
 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛
2𝑛 + 1
= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 (2 +
1
𝑛)
= lim
𝑛→∞
1
2 +
1
𝑛
=
1
2
 
 
Como lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0, por condición necesaria, la serie diverge. 
 
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2.3. Series conocidas. 
 
Ejemplo 1: 
Sea la serie 
∑𝑎 ∙ 𝑟𝑛−1
∞
𝑛=1
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 +⋯ =∑𝑎 ∙ 𝑟𝑛
∞
𝑛=0
 
siendo 𝑎 ≠ 0 y 𝑟 ≠ 0, se llama serie geométrica de razón 𝒓. 
Demuestra que la serie geométrica converge si |𝑟| < 1, y diverge si |𝑟| ≥ 1. 
Demostración: 
Busquemos sus sumas parciales. 
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟
2 + 𝑎𝑟3 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 
𝑟 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟
2 + 𝑎𝑟3 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑟𝑛 
Por lo tanto, 
(1 − 𝑟)𝑆𝑛 = (𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟
2 + 𝑎𝑟3 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1)
− (𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 + 𝑎𝑟𝑛) 
= 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛 
∴ (1 − 𝑟)𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟
𝑛 
⇒ 𝑆𝑛 =
𝑎 − 𝑎𝑟𝑛
1 − 𝑟
 
 
Tomando el límite cuando 𝑛 → ∞, tenemos que 
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎 − 𝑎𝑟𝑛
1 − 𝑟
=
𝑎
1 − 𝑟
− 𝑎 lim
𝑛→∞
𝑟𝑛
1 − 𝑟
 
Por lo tanto, debemos determinar lim
𝑛→∞
𝑟𝑛. 
Los resultados serán 
lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = 0, si |𝑟| < 1 
lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = ∞, si 𝑟 > 1 
 
Si 𝑟 = 0, es trivial, asi que consideraremos el caso contrario. 
Si 𝑟 ≠ 0, 0 < |𝑟| < 1, tenemos que probar que lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = 0. Para ello, debemos probar que 
dado cualquier 𝜀 > 0, existe 𝑁 ∈ ℕ tal que 
|𝑟𝑛 − 0| = |𝑟𝑛| = |𝑟|𝑛 < 𝜀 siempre que 𝑛 ≥ 𝑁 
 
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30 
 
 
Esta desigualdad, es equivalente a todas y cada una de las siguientes: 
|𝑟𝑛 − 0| = |𝑟𝑛| = |𝑟|𝑛 < 𝜀 ⇔ ln|𝑟|𝑛 < ln 𝜀 ⇔ 𝑛 ln|𝑟| < ln 𝜀 
 
Como 0 < |𝑟| < 1, entonces ln|𝑟| < 0, lo que es equivalente a: 
 
𝑛 >
ln 𝜀
ln|𝑟|
 siempre que 𝑛 ≥ 𝑁 
 
Basta tomar 𝑁 =
ln 𝜀
ln|𝑟|
, para que la definición de límite se cumpla. 
 
Este resultado quiere decir, obviamente, que la sucesión {𝑟𝑛} converge, si 0 < |𝑟| < 1. 
Si |𝑟| > 1, tenemos que probar que lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = ∞. Para ello, debemos probar que dado 
cualquier 𝑀 > 0, existe 𝑁 ∈ ℕ tal que 
 
|𝑟𝑛 − 0| = |𝑟𝑛| = |𝑟|𝑛 > 𝑀 siempre que 𝑛 ≥ 𝑁 
 
Esta desigualdad, es equivalente a todas y cada una de las siguientes: 
|𝑟𝑛 − 0| = |𝑟𝑛| = |𝑟|𝑛 > 𝑀 ⇔ ln|𝑟|𝑛 > ln𝑀 ⇔ 𝑛 ln|𝑟| > ln𝑀 
 
Como |𝑟| > 1, entonces ln|𝑟| > 0, lo que es equivalente a: 
 
𝑛 >
ln𝑀
ln|𝑟|
 siempre que 𝑛 ≥ 𝑁 
 
Basta tomar 𝑁 =
ln𝑀
ln|𝑟|
, para que la definición de límite se cumpla. 
 
Este resultado quiere decir, obviamente, que la sucesión {𝑟𝑛} diverge, si |𝑟| > 1. 
 
Por lo tanto, la serie geométrica converge si |𝑟| < 1 y su suma es 𝑆 =
𝑎
1−𝑟
; y diverge si 
|𝑟| > 1. 
 
Si 𝑟 = 1, entonces 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 +⋯+ 𝑎⏟ 
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 𝑛 ∙ 𝑎, por lo que 
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛 ∙ 𝑎 = ∞ 
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Si 𝑟 = −1, entonces 𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 + ⋯+ (−1)
𝑛𝑎⏟ 
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
, por lo que la suma oscila, pues 
𝑆𝑛 vale 1 o 0, y no tiende a un límite único, de modo que ∄ lim
𝑛→∞
𝑆𝑛. 
 
Así: 
∑𝑎 ∙ 𝑟𝑛
∞
𝑛=0
{
converge con suma 𝑆 =
𝑎
1 − 𝑟
|𝑟| < 1
diverge |𝑟| ≥ 1
 
 
Ejemplo 2: 
Se deja caer una pelota desde 𝑎 metros de altura sobre una superficie plana. Cada vez que 
la pelota toca la superficie, después de caer una distancia ℎ, rebota hasta una distancia 𝑟ℎ, 
donde 𝑟 es positiva, pero menor que 1. Determine la distancia total que viaja la pelota 
hacia arriba y hacia abajo. 
Solución: 
Analicemos el movimiento gráficamente: 
Desde el instante inicial, la pelota cae una distancia 𝑎, al 
primer punto de rebote. Luego sube una distancia 𝑎𝑟, y 
baja al segundo punto de rebote con la misma magnitud 
que subió, de modo que se desplazó una distancia 2𝑎𝑟. 
Luego de eso sube y baja una distancia 𝑎𝑟2, por lo que su 
desplazamiento es de 2𝑎𝑟2. Siguiendo este proceso, 
podemos encontrar que en la 𝑛-ésima caída (rebote), sube y 
baja una magnitud 𝑎𝑟𝑛, lo que genera un desplazamiento 
total de 2𝑎𝑟𝑛. 
 
La distancia total es: 
𝑆 = 𝑎 + 2𝑎𝑟 + 2𝑎𝑟2 + 2𝑎𝑟3 +⋯ 
= 𝑎 +∑2𝑎𝑟𝑛
∞
𝑛=1
 
= 𝑎 +
2𝑎𝑟
1 − 𝑟
= 𝑎
(1 + 𝑟)
1 − 𝑟
 
 
Ejemplo 3: 
Expresa el número decimal periódico 0,333333333… como fracción 
Solución: 
De forma alternativa, podemos expresar al número dado como: 
0,33333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +⋯ 
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= 3 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,01 + 3 ∙ 0,001 + 3 ∙ 0,0001 + 3 ∙ 0,00001 +⋯ 
= 3 ∙
1
10
+ 3 ∙
1
100
+ 3 ∙
1
1000
+ 3 ∙
1
10000
+ 3 ∙
1
100000
+⋯ 
= 3 ∙ (
1
10
)
1
+ 3 ∙ (
1
10
)
2
+ 3 ∙ (
1
10
)
3
+ 3 ∙ (
1
10
)
4
+ 3 ∙ (
1
10
)
5
+⋯ 
 
Esta suma infinita, puede expresarse en forma sintética como: 
0,33333… =∑3 ∙ (
1
10
)
𝑛∞
𝑛=1
 
La serie obtenida es una serie geométrica, de razón 𝑟 =
1
10
< 1, con lo cual es convergente, 
y con 𝑎 = 3 ∙
1
10
=
3
10
. Así, su suma es: 
𝑆 =
3
10
1 −
1
10
=
3
10
9
10
=
1
3
 
tal como queríamos probar. 
 
Ejemplo 4: 
La serie 
∑
1
𝑛
∞
𝑛=1
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+⋯+
1
𝑛
+⋯ 
recibe el nombre de serie armónica. 
 
𝑎𝑛 =
1
𝑛
 y lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0. Sin embargo, veamos que sucede con lim
𝑛→∞
𝑆𝑛. 
 
Calculemos las sumas parciales 𝑆2𝑘: 
𝑆2𝑘 = 1 +
1
2
+
1
3
+⋯+
1
2𝑘
 
𝑆2𝑘 = 1 +
1
2
+ (
1
3
+
1
4
) + (
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
) + (
1
9
+
1
10
+
1
11
+
1
12
+
1
13
+
1
14
+
1
15
+
1
16
) + 
…+ (
1
2𝑘−1 + 1
+⋯+
1
2𝑘
) 
𝑆2𝑘 ≥ 1 +
1
2
+ (
1
4
+
1
4
)
⏟ 
2 sumandos
+ (
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
)
⏟ 
4 sumandos
 
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+(
1
16
+
1
16
+
1
16
+
1
16
+
1
16
+
1
16
+
1
16
+
1
16
)
⏟ 
8 sumandos 
+⋯+ (
1
2𝑘
+
1
2𝑘
+⋯+
1
2𝑘
)
⏟ 
2𝑘−1 sumandos
 
= 1 +
1
2
+ 2 ∙ (
1
4
) + 4 ∙ (
1
8
) + 8 ∙ (
1
16
) +⋯+ 2𝑘−1 ∙ (
1
2𝑘
) = 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+⋯+
1
2⏟ 
𝑘−1 términos
 
 
𝑆2𝑘 ≥ 1 + (𝑘 − 1) ∙
1
2
=
2 + 𝑘 − 1
2
=
𝑘 + 1
2
 
∴ 𝑆2𝑘 ≥
𝑘 + 1
2
 
 
Como lim
𝑘→∞
𝑘+1
2
= ∞, entonces lim
𝑘→∞
𝑆2𝑘 = ∞. Llamando 𝑛 = 2
𝑘, tal que cuando 𝑘 → ∞, 
𝑛 → ∞, se cumple que lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = ∞ 
 
Así, la sucesión de sumas parciales {𝑆𝑛}, no está acotada y por lo tanto, la serie diverge. 
 
Observación: 
La serie armónica es un contraejemplo clásico que nos muestra que la implicación 
recíproca de la condición necesaria de convergencia de series es falsa. Es decir: 
“Si 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝟎 entonces ∑𝒂𝒏 converge” 
es un resultado FALSO, pues si consideramos la serie ∑
𝑛=1
∞
1
𝑛
, vemos que lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0, pero 
la serie ∑
𝑛=1
∞
1
𝑛
 diverge. 
 
Ejemplo 5: 
La serie de la forma 
∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1
, 𝑝 ∈ ℝ 
recibe el nombre de serie 𝒑. 
En relación a su convergencia, podemos decir que 
∑
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1
, 𝑝 ∈ ℝ {
converge 𝑝 > 1
diverge 𝑝 ≤ 1
 
 
 
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Ejemplo 6: 
Una serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛, tal que cada término puede expresarse de la forma: 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1 se 
llama serie telescópica
8
. Demostrar que dicha serie converge sí y sólo sí existe lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 y 
que su suma 𝑆 es: 
𝑆 = ∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑏1 − 𝑏, 𝑏 = lim
𝑛→∞
𝑏𝑛+1 
Demostración: 
Sea 𝑆𝑛 = ∑
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛. Como 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1, entonces 
𝑆𝑛 =∑(𝑏𝑘 − 𝑏𝑘+1)
𝑛
𝑘=1
= (𝑏1 − 𝑏2) + (𝑏2 − 𝑏3) + (𝑏3 − 𝑏4) + ⋯+ (𝑏𝑛 − 𝑏𝑛+1) 
∴ 𝑆𝑛 = (𝑏1 − 𝑏𝑛+1) 
Tomando límite miembro a miembro, cuando 𝑛 → ∞: 
𝑆 = ∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
= lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
(𝑏1 − 𝑏𝑛+1) = lim
𝑛→∞
𝑏1 − lim
𝑛→∞
𝑏𝑛+1 = 1 − 𝑏 
 
Ejemplo 7: 
Estudia la convergencia de la serie ∑
𝑛=1
∞
1
𝑛(𝑛+1)
. En caso de ser convergente, encuentra su 
suma. 
Solución: 
Primeramente, reescribamos sus términos: 
𝑎1 =
1
1
.
1
2
=
1
2
= 1 −
1
2
, 𝑎2 =
1
2
.
1
3
=
1
6
=
1
2
−
1
3
 
𝑎3 =
1
3
.
1
4
=
1
12
=
1
3
−
1
4
, 𝑎4 =
1
4
.
1
5
=
1
20
=
1
4
−
1
5
 
⋮ 
𝑎𝑛 =
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
, 𝑎𝑛+1 =
1
𝑛 + 1
−
1
𝑛 + 2
 
De esta forma: 
 
𝑆𝑛 =∑𝑎𝑘
𝑛
𝑘=1
= (1 −
1
2
) + (
1
2
−
1
3
) + (
1
3
−
1
4
) +⋯+ (
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
) + (
1
𝑛 + 1
−
1
𝑛 + 2
) 
 
8
 Nótese que los términos se cancelan en pares. La serie recibe el nombre de serie telescópica, debido a todas las cancelaciones de sus 
sumas parciales; la suma se pliega (como un telescopio de pirata) en sólo dos términos. 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
Análisis Matemático I - Departamento de Matemática – Facultad de Ciencias Exactas 35 
 
 
= 1⏟
𝑏1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+⋯+
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
+
1
𝑛 + 1⏟ 
𝑏𝑛
−
1
𝑛 + 2⏟ 
𝑏𝑛+1
 
∴ 𝑆𝑛 = 1 −
1
𝑛 + 2
 
 
Tomando límite cuando 𝑛 → ∞, tenemos que: 
∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
= lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
(𝑏1 − 𝑏𝑛+1) = 1 − lim
𝑛→∞
1
𝑛 + 2
= 1 
Así, como la sucesión de sumas parciales es convergente, la serie converge, y su suma es 1. 
 
2.4. Condición Necesaria y Suficiente: Condición de Cauchy 
 
Una serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente
sí, y sólo sí existe 𝑁 tal que 
|∑ 𝑎𝑛
𝑚+𝑝
𝑛=𝑚
| = |𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + 𝑎𝑚+2 +⋯+ 𝑎𝑚+𝑝| < 𝜀, ∀𝑚 ≥ 𝑁, ∀𝑝 > 0 
O sea 
∑𝑎𝑛
∞
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑁 + 𝑎𝑁+1 + 𝑎𝑁+2 +⋯+ 𝑎𝑁+𝑝⏟ 
<𝜀
+⋯ 
Por lo tanto, la serie converge sí y sólo sí, se quita una cantidad finita de sumandos que 
tiende a cero, y como 𝜀 es arbitrario, significa que a partir de un 𝑁 en adelante, la parte 
final, o cola de la serie, se hace arbitrariamente pequeña. 
 
En otros términos, dada la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛, cuya sucesión de sumas parciales es {𝑆𝑛}: 
∑
𝒏=𝟏
∞
𝒂𝒏 es convergente ⇔ {𝑺𝒏} es una sucesión de Cauchy 
Demostración: 
Escribimos: 
|∑ 𝑎𝑛
𝑚+𝑝
𝑛=𝑚
| = |∑ 𝑎𝑛
𝑚+𝑝
𝑛=1
− ∑ 𝑎𝑛
𝑚−1
𝑛=1
| 
Pues 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
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∑ 𝑎𝑛
𝑚+𝑝
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 +⋯+ 𝑎𝑚+𝑝 
∑ 𝑎𝑛
𝑚−1
𝑛=1
= 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑚−1 
⇒ |∑ 𝑎𝑛
𝑚+𝑝
𝑛=𝑚
| = |𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + 𝑎𝑚+2 +⋯+ 𝑎𝑚+𝑝| 
∴ |∑ 𝑎𝑛
𝑚+𝑝
𝑛=𝑚
| = |∑ 𝑎𝑛
𝑚+𝑝
𝑛=1
− ∑ 𝑎𝑛
𝑚−1
𝑛=1
| = |𝑆𝑚+𝑝 − 𝑆𝑚−1| 
Como se tiene que 
∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es converge ⇔ {𝑆𝑛} es convergente ⇔ {𝑆𝑛} es de Cauchy 
⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝑁: |𝑆𝑚+𝑝 − 𝑆𝑚−1| < 𝜀, ∀𝑚 ≥ 𝑁, ∀𝑝 > 0 
 
3. Series de Términos Positivos 
 
Definición: 
Si la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 tiene la propiedad de que 𝑎𝑛 > 0, ∀𝑛, entonces recibe el nombre de serie 
de términos positivos. 
 
3.1. Condición Necesaria y Suficiente: Acotación de la Sucesión de 
Sumas Parciales 
 
Una serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛, 𝑎𝑛 > 0, ∀𝑛 es convergente sí, y sólo sí su sucesión de sumas parciales 
está acotada. 
Demostración: 
Como 𝑆𝑛+1 = 𝑆𝑛 + 𝑎𝑛+1 > 0 ∧ 𝑎𝑛+1 > 0, ∀𝑛 ⇒ 𝑆𝑛+1 > 𝑆𝑛 
∴ {𝑆𝑛} es monótona creciente. 
∘ ⇐) {𝑆𝑛} está acotada ⇒ ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 converge 
{𝑆𝑛} es monótona creciente y {𝑆𝑛} está acotada, entonces, por el Teorema Fundamental de 
Sucesiones, {𝑆𝑛} es convergente. Por lo tanto, la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 converge. 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
Análisis Matemático I - Departamento de Matemática – Facultad de Ciencias Exactas 37 
 
 
∘ ⇒) ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 converge ⇒ {𝑆𝑛} está acotada 
 
Usemos la contrarecíproca, es decir, debemos probar que: “Si {𝑺𝒏} no está acotada 
entonces ∑
𝒏=𝟏
∞
𝒂𝒏 diverge”. 
Si {𝑆𝑛} no está acotada entonces, por el Teorema Fundamental de Sucesiones, {𝑆𝑛} no es 
convergente. Por lo tanto, la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 diverge. 
 
El teorema que hemos enunciado es, como bien se dijo, una condición suficiente y 
necesaria para la convergencia de series. Al tener esta característica de caracterización, 
podría considerarse como una definición de convergencia de series numéricas de términos 
positivos, pues es equivalente a la definición que hemos adoptado para convergencia de 
series. 
 
4. Criterios de Convergencia para series de términos positivos 
 
Los siguientes teoremas que estudiaremos, serán criterios de convergencia presentados 
como condiciones suficientes, es decir: Si se cumplen las hipótesis, puede asegurarse la 
tesis; mientras que si fallase alguna de ellas, no puede asegurarse nada de la serie. 
 
4.1. Criterio de Comparación 
 
Sean ∑𝑎𝑛 y ∑𝑏𝑛 dos series de términos positivos. Supongamos que existe un cierto 𝑁, 
para el cual: 
𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
Entonces: 
a) ∑
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 es convergente ⇒ ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente 
b) ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente ⇒ ∑
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 es divergente 
Demostración: 
Sean {𝑆𝑛} la sucesión de sumas parciales de ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 y {𝑆
′
𝑛} la sucesión de sumas parciales 
de ∑
𝑛=1
∞
𝑏𝑛. Así: 
 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑁 +⋯+ 𝑎𝑛 
𝑆𝑛
′ = 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 +⋯+ 𝑏𝑁 +⋯+ 𝑏𝑛 
Sucesiones y Series 
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a) Como la serie ∑𝑏𝑛 es una serie de términos positivos convergente, entonces por la 
condición necesaria y suficiente, su sucesión de sumas parciales está acotada, y en 
particular, admite cota superior, la llamemos 𝐵. Así, dado que por hipótesis, 
𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑁, se tiene que: 
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 ≤ 𝑆𝑛
′ = 𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 +⋯+ 𝑏𝑛 ≤ 𝐵, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
 
Es decir: 
𝑆𝑛 ≤ 𝑆𝑛
′ ≤ 𝐵, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
 Esto quiere decir que {𝑆′𝑛} está acotada, así, por la condición necesaria y suficiente 
para series de términos positivos, la serie ∑𝑏𝑛 converge. 
 
b) Por la contrarrecíproca 
Si ∑𝑏𝑛 es convergente, y 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑁, entonces ∑𝑎𝑛 es convergente; que es 
lo demostrado en a). 
 
Ejemplo 1: 
Decide si es o no convergente la serie 
∑
1
𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
 
Solución: 
Sabemos que 
 
𝑛 < 𝑛 + 1 ⇒ 𝑛 ∙ 𝑛 = 𝑛2 < 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ⇒
1
𝑛 ∙ (𝑛 + 1)
<
1
𝑛2
 
 
Como la serie ∑
𝑛=1
∞
1
𝑛2
 converge por ser una serie 𝑝, con 𝑝 = 2 > 1, concluímos que por el 
criterio de comparación, la serie converge. 
 
Ejemplo 2: 
Sea la serie 
∑
𝑛
2𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
 
Decide si dicha serie es o no convergente. 
Solución: 
Sabemos que 
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0 < 𝑛 < 𝑛 + 1 ⇒ 0 <
𝑛
𝑛 + 1
< 1, ∀𝑛 
⇒
𝑛
2𝑛(𝑛 + 1)
<
1
2𝑛
 
 
Como la serie ∑
𝑛=1
∞
1
2𝑛
 converge por ser una serie geométrica, con razón 𝑟 =
1
2
< 1, 
concluímos que por el criterio de comparación, la serie converge. 
 
Ejemplo 3: 
Sea la serie 
∑
𝑛
5𝑛2 − 4
∞
𝑛=1
 
Decide si dicha serie es o no convergente. 
Solución: 
Sabemos que 
5𝑛2 − 4 < 5𝑛2 ⇒
1
5𝑛2
<
1
5𝑛2 − 4
⇒
𝑛
5𝑛2
=
1
5𝑛
<
𝑛
5𝑛2 − 4
 
∴
𝑛
5𝑛2 − 4
>
1
5
∙
1
𝑛
 
 
Como la serie ∑
𝑛=1
∞
1
5𝑛
 es divergente por ser un múltiplo constante de la serie armónica, 
concluímos que por el criterio de comparación, la serie diverge. 
 
4.2. Consecuencia del Criterio de Comparación: Comparación en el 
límite 
 
Sean ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 y ∑
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 dos series de términos positivos. 
a) Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑙 > 0 entonces ambas series convergen o divergen juntas. 
b) Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 0 y ∑
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 es convergente, entonces ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente. 
c) Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= ∞ y ∑
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 es divergente, entonces ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente. 
Demostración: 
a) Por hipótesis, lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑙 > 0 ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝑁: 
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|
𝑎𝑛
𝑏𝑛
− 𝑙| <
𝑙
2
, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
⇒ −
𝑙
2
<
𝑎𝑛
𝑏𝑛
− 𝑙 <
𝑙
2
, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
⇒
𝑙
2
<
𝑎𝑛
𝑏𝑛
<
3
2
𝑙, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
∴
𝑎𝑛
𝑏𝑛
>
𝑙
2
 ∧ 
𝑎𝑛
𝑏𝑛
<
3
2
𝑙, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
⇒ 𝑎𝑛 >
𝑙
2
𝑏𝑛 ∧ 𝑏𝑛 >
2
3𝑙
𝑎𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
Así, por el Criterio de Comparación: 
De la desigualdad 𝑎𝑛 >
𝑙
2
𝑏𝑛, si ∑𝑎𝑛 es convergente entonces ∑𝑏𝑛 es convergente. 
De la desigualdad 𝑏𝑛 >
2
3𝑙
𝑎𝑛, si ∑𝑏𝑛 es divergente entonces ∑𝑎𝑛 es divergente. 
Es decir, ambas series convergen o divergen juntas. 
 
b) Por hipótesis, lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 0 ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝑁: 
|
𝑎𝑛
𝑏𝑛
| < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
En particular, tomando 𝜀 = 1, tenemos que 
|
𝑎𝑛
𝑏𝑛
| =
𝑎𝑛
𝑏𝑛
< 1, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
⇒ 0 < 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 <,∀𝑛 ≥ 𝑁 
 Por hipótesis, ∑𝑏𝑛 es convergente, entonces, por el Criterio de comparación, ∑𝑎𝑛 
es convergente. 
a) Por hipótesis, lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= ∞ ⇔ ∀𝐻 > 0, ∃𝑁: 
|
𝑎𝑛
𝑏𝑛
| > 𝐻, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
 
En particular, tomando 𝐻 = 1, tenemos que 
 
|
𝑎𝑛
𝑏𝑛
| =
𝑎𝑛
𝑏𝑛
> 1, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
⇒ 0 < 𝑏𝑛 < 𝑎𝑛 <,∀𝑛 ≥ 𝑁 
 
Sucesiones y Series 
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Análisis Matemático I - Departamento de Matemática – Facultad de Ciencias Exactas 41 
 
 
Por hipótesis, ∑𝑏𝑛 es divergente, entonces, por el Criterio de comparación, ∑𝑎𝑛 es 
divergente.
Ejemplo 1: 
Demuestra la divergencia de la serie 
∑
1
√4𝑛2 − 7
∞
𝑛=1
 
Demostración: 
Comparemos la serie planteada con la serie armónica ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 , la cual sabemos que es 
divergente. 
 
lim
𝑛→∞
1
√4𝑛2 − 7
1
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
√4𝑛2 − 7
= lim
𝑛→∞
𝑛
√𝑛2 (4 −
7
𝑛2
)
= lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛√4 −
7
𝑛2
= lim
𝑛→∞
1
√4 −
7
𝑛2
 
∴ lim
𝑛→∞
1
√4𝑛2 − 7
1
𝑛
=
1
4
> 0 
 
Como ∑
𝑛=1
∞
1
𝑛
 diverge, entonces la serie ∑
𝑛=1
∞
1
√4𝑛2−7
 diverge por el criterio de comparación en 
el límite. 
 
Ejemplo 2: 
¿Converge o diverge la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑛2
𝑛!
? 
Solución: 
Comparemos con la serie ∑
𝑛=1
∞
1
𝑛!
, que es convergente. 
 
lim
𝑛→∞
𝑛2
𝑛!
1
𝑛!
= lim
𝑛→∞
𝑛! 𝑛2
𝑛!
= lim
𝑛→∞
𝑛2 = ∞ 
 
Por lo tanto, el teorema no da información acerca de la convergencia o divergencia de 
dicha serie. 
 
Pero, si restamos los dos primeros términos de ésta serie, no se modifica su carácter. Así 
 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
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∑
𝑛2
𝑛!
∞
𝑛=3
=∑
(𝑛 + 2)2
(𝑛 + 2)!
∞
𝑛=1
 
 
Aplicando ahora el teorema, tenemos que 
 
lim
𝑛→∞
(𝑛 + 2)2
(𝑛 + 2)!
1
𝑛!
= lim
𝑛→∞
𝑛! (𝑛 + 2)2
(𝑛 + 2)!
= lim
𝑛→∞
𝑛! (𝑛 + 2)2
(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝑛!
= lim
𝑛→∞
𝑛 + 2
𝑛 + 1
= 1 > 0 
 
Por lo tanto, la serie converge. 
 
4.3. Criterio del Cociente o de D’Alembert
9
 
 
Sea ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 una serie de términos positivos y convengamos que lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝜌. Entonces: 
a) Si 𝜌 < 1 entonces la serie converge. 
b) Si 𝜌 > 1 entonces la serie diverge. 
c) Si 𝜌 = 1, no se puede asegurar nada. 
Demostración: 
a) Sea 𝜌 < 1, como 𝑎𝑛 > 0, ∀𝑛 entonces 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
> 0, ∀𝑛. Así, 𝜌 > 0. Es decir: 
0 < 𝜌 < 1. 
Elegimos un número 𝑟 tal que 0 < 𝜌 < 𝑟 < 1 ⇒ 𝑟 − 𝜌 > 0. 
 
Como por hipótesis, lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝜌, se tiene que ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 
tal que 
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
− 𝜌| < 𝑟 − 𝜌, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
O también 
 
9
 Jean Le Rond D'Alembert: Científico y pensador francés de la Ilustración (París, 1717-1783). Sus 
investigaciones en matemáticas, física y astronomía le llevaron a formar parte de la Academia de Ciencias 
con sólo 25 años; y resultaron de tal relevancia que aún conservan su nombre un principio de física que 
relaciona la estática con la dinámica y un criterio de convergencia de series matemáticas. 
Sin embargo, su mayor renombre lo iba a alcanzar como filósofo. Junto con Diderot dirigió 
la Enciclopedia, compendio del saber de su tiempo que ha dado nombre a este tipo de obras hasta nuestros 
días; el propio D'Alembert redactó en 1751 el «Discurso preliminar», en el cual apuntaba el enfoque general 
de la obra, ligado a la filosofía de las «Luces». Su pensamiento resulta una síntesis entre el racionalismo y el 
empirismo, que subraya la unidad del saber y la fe en el progreso de la Humanidad a través de las ciencias, 
unificadas por una filosofía desprendida de mitos y creencias trascendentales. 
 
Sucesiones y Series 
SUCESIONES Y SERIES 
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𝜌 − (𝑟 − 𝜌) <
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
< 𝜌 + (𝑟 − 𝜌), ∀𝑛 ≥ 𝑁 
𝜌 − 𝑟 + 𝜌 <
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
< 𝜌 + 𝑟 − 𝜌, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
2𝜌 − 𝑟 <
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
< 𝑟, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
∴ 𝑎𝑛+1 < 𝑟 ∙ 𝑎𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
Así: 
𝑎𝑁+1 < 𝑟 ∙ 𝑎𝑁, 𝑛 = 𝑁 
𝑎𝑁+2 < 𝑟 ∙ 𝑎𝑁+1 < 𝑟 ∙ (𝑟 ∙ 𝑎𝑁) = 𝑟
2 ∙ 𝑎𝑁, 𝑛 = 𝑁 + 1 
𝑎𝑁+3 < 𝑟 ∙ 𝑎𝑁+2 < 𝑟
2 ∙ 𝑎𝑁+1 < 𝑟
2 ∙ (𝑟 ∙ 𝑎𝑁) = 𝑟
3 ∙ 𝑎𝑁, 𝑛 = 𝑁 + 2 
⋮ 
De esta forma: 
𝑎𝑁+1 + 𝑎𝑁+2 + 𝑎𝑁+3 +⋯ < 𝑎𝑁 ∙ 𝑟 + 𝑎𝑁 ∙ 𝑟
2 + 𝑎𝑁 ∙ 𝑟
3 +⋯⏟ 
serie geométrica de razón 𝑟<1 convergente
 
De este modo, por el criterio de comparación, la serie ∑
𝑛=𝑁+1
∞
𝑎𝑛 es convergente. Y como el 
carácter de una serie no cambia si se resta una cantidad finita de términos, entonces 
∑ 𝑎𝑛 ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛
∞
𝑛=1 es convergente. 
 
b) Si 𝜌 > 1 
Elegimos un número 𝑞 tal que 0 < 𝑞 < 𝜌 < 1 ⇒ 𝜌 − 𝑞 > 0. 
 
Como por hipótesis, lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= 𝜌, se tiene que ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 tal que 
|
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
− 𝜌| < 𝜌 − 𝑞, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
O también 
𝜌 − (𝜌 − 𝑞) <
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
< 𝜌 + (𝜌 − 𝑞), ∀𝑛 ≥ 𝑁 
𝜌 − 𝜌 + 𝑞 <
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
< 𝜌 + 𝜌 − 𝑞, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
𝑞 <
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
< 2𝜌 − 𝑞, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
∴ 𝑞 ∙ 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
Así: 
𝑎𝑁+1 > 𝑞 ∙ 𝑎𝑁, 𝑛 = 𝑁 
Sucesiones y Series 
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𝑎𝑁+2 > 𝑞 ∙ 𝑎𝑁+1 > 𝑞 ∙ (𝑞 ∙ 𝑎𝑁) = 𝑞
2 ∙ 𝑎𝑁, 𝑛 = 𝑁 + 1 
𝑎𝑁+3 > 𝑞 ∙ 𝑎𝑁+2 > 𝑞
2 ∙ 𝑎𝑁+1 > 𝑞
2 ∙ (𝑞 ∙ 𝑎𝑁) = 𝑞
3 ∙ 𝑎𝑁, 𝑛 = 𝑁 + 2 
⋮ 
De esta forma: 
𝑎𝑁+1 + 𝑎𝑁+2 + 𝑎𝑁+3 +⋯ > 𝑎𝑁 ∙ 𝑞 + 𝑎𝑁 ∙ 𝑞
2 + 𝑎𝑁 ∙ 𝑞
3 +⋯⏟ 
serie geométrica de razón 𝑞>1 divergente
 
De este modo, por el criterio de comparación, la serie ∑
𝑛=𝑁+1
∞
𝑎𝑛 es divergente. Y como 
el carácter de una serie no cambia si se resta una cantidad finita de términos, entonces 
∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente. 
c) Si 𝜌 =1 no se puede asegurar nada. Es suficiente mostrar un contraejemplo. 
Consideremos la serie ∑
𝑛=1
∞
1
𝑛𝑝
 
𝑎𝑛 =
1
𝑛𝑝
; 𝑎𝑛+1 =
1
(𝑛 + 1)𝑝
 
Así: 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= lim
𝑛→∞
1
(𝑛 + 1)𝑝
1
𝑛𝑝
= lim
𝑛→∞
𝑛𝑝
(𝑛 + 1)𝑝
= lim
𝑛→∞
(
𝑛
𝑛 + 1
)
𝑝
= lim
𝑛→∞
[
𝑛
𝑛 (1 +
1
𝑛)
]
𝑝
= lim
𝑛→∞
(
1
1 +
1
𝑛
)
𝑝
 
= lim
𝑛→∞
(
1
1 +
1
𝑛
)
𝑝
= 1𝑝 = 1, ∀𝑝 
Sin embargo, si 𝑝 > 1 la serie converge; y si 𝑝 ≤ 1 la serie diverge. 
 
Ejemplo: 
¿Converge o diverge la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑛!
𝑛𝑛
? 
Solución: 
Apliquemos el Criterio de D’Alembert 
 
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 1)𝑛+1
𝑛!
𝑛𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)! 𝑛𝑛
(𝑛 + 1)𝑛+1𝑛!
= lim
𝑛→∞
(𝑛 + 1)𝑛! 𝑛𝑛
(𝑛 + 1)𝑛+1𝑛!
= lim
𝑛→∞
𝑛𝑛
(𝑛 + 1)𝑛
 
Sucesiones y Series 
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= lim
𝑛→∞
(
𝑛
𝑛 + 1
)
𝑛
= lim
𝑛→∞
[
𝑛
𝑛 (1 +
1
𝑛)
]
𝑛
= lim
𝑛→∞
1
(1 +
1
𝑛)
𝑛 =
1
lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛)
𝑛 =
1
𝑒
< 1 
 
∴ ∑
𝑛!
𝑛𝑛
∞
𝑛=1 es convergente. 
 
4.4. Criterio de la Raíz o de Cauchy 
 
Sea ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 una serie de términos positivos y convengamos que lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = 𝑅. Entonces: 
a) Si 𝑅 < 1 entonces la serie converge. 
b) Si 𝑅 > 1 entonces la serie diverge. 
c) Si 𝑅 = 1, no se puede asegurar nada. 
Demostración: 
La demostración es análoga a la del criterio del cociente. 
a) Sea 𝑅 < 1, como 𝑎𝑛 > 0, ∀𝑛 entonces √𝑎𝑛
𝑛 > 0, ∀𝑛. Así, 𝑅 > 0. Es decir: 
0 < 𝑅 < 1. 
Elegimos un número 𝑟 tal que 0 < 𝑅 < 𝑟 < 1 ⇒ 𝑟 − 𝑅 > 0. 
 
Como por hipótesis, lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = 𝑅, se tiene que ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 tal que 
| √𝑎𝑛
𝑛 − 𝑅| < 𝑟 − 𝑅, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
O también 
𝑅 − (𝑟 − 𝑅) < √𝑎𝑛
𝑛 < 𝑅 + (𝑟 − 𝜌), ∀𝑛 ≥ 𝑁 
𝑅 − 𝑟 + 𝑅 < √𝑎𝑛
𝑛 < 𝑅 + 𝑟 − 𝑅, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
2𝑅 − 𝑟 < √𝑎𝑛
𝑛 < 𝑟, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
∴ 𝑎𝑛 < 𝑟
𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
De esta forma: 
𝑎𝑁 + 𝑎𝑁+1 + 𝑎𝑁+2 + 𝑎𝑁+3 +⋯ < 𝑟
𝑁 + 𝑟𝑁+1 + 𝑟𝑁+2 + 𝑟𝑁+3 +⋯⏟ 
serie geométrica de razón 𝑟<1 convergente
 
De este modo, por el criterio de comparación, la serie ∑
𝑛=𝑁+1
∞
𝑎𝑛 es convergente. Y como el 
carácter de una serie no cambia si se resta una cantidad finita de términos, entonces ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 
es convergente. 
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SUCESIONES Y SERIES 
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b) Si 𝑅 > 1 
Elegimos un número 𝑞 tal que 0 < 𝑞 < 𝑅 < 1 ⇒ 𝑅 − 𝑞 > 0. 
 
Como por hipótesis, lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = 𝜌, se tiene que ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 tal que 
| √𝑎𝑛
𝑛 − 𝑅| < 𝑅 − 𝑞, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
O también 
𝑅 − (𝑅 − 𝑞) < √𝑎𝑛
𝑛 < 𝑅 + (𝑅 − 𝑞), ∀𝑛 ≥ 𝑁 
𝑅 − 𝑅 + 𝑞 < √𝑎𝑛
𝑛 < 𝑅 + 𝑅 − 𝑞, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
𝑞 < √𝑎𝑛
𝑛 < 2𝑅 − 𝑞, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
∴ 𝑞𝑛 < 𝑎𝑛, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
De esta forma: 
𝑎𝑁
+ 𝑎𝑁+1 + 𝑎𝑁+2 + 𝑎𝑁+3 +⋯ > 𝑞
𝑁 + 𝑞𝑁+1 + 𝑞𝑁+2 + 𝑞𝑁+3 +⋯⏟ 
serie geométrica de razón 𝑞>1 divergente
 
De este modo, por el criterio de comparación, la serie ∑
𝑛=𝑁+1
∞
𝑎𝑛 es divergente. Y como 
el carácter de una serie no cambia si se resta una cantidad finita de términos, entonces 
∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente. 
 
c) Si 𝜌 =1 no se puede asegurar nada. Es suficiente mostrar un contraejemplo. 
Consideremos la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛
1
𝑛𝑝
 
Así: 
lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = lim
𝑛→∞
√
1
𝑛𝑝
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛⏟
→∞
−
𝑝
𝑛
⏞
→0
 
Se produce así una indeterminación del tipo ∞0. Para salvarla, debemos aplicar la regla de 
L’Hôpital. Sin embargo, como estamos trabajando con series, la variable es discreta y la 
regla se aplica sobre el continuo. Para ello definiremos la función 𝑓(𝑥) = 𝑥−
𝑝
𝑥. 
Así 
lim
𝑥→∞
𝑥−
𝑝
𝑥 = 𝐿 ⇒ ln ( lim
𝑥→∞
𝑥−
𝑝
𝑥) = ln 𝐿 ⇒ lim
𝑥→∞
ln (𝑥−
𝑝
𝑥) = ln 𝐿 
∴ lim
𝑥→∞
(−
𝑝
𝑥
) ln 𝑥 = lim
𝑥→∞
(−
𝑝 ln 𝑥
𝑥
) = ln 𝐿 
Aplicando la Regla de L’Hôpital: 
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lim
𝑥→∞
(−
𝑝 ln 𝑥
𝑥
) = lim
𝑥→∞
(−
𝑝
𝑥
1
) = lim
𝑥→∞
(−
𝑝
𝑥
) = 0 = ln 𝐿 ⇔ 𝐿 = 𝑒0 = 1 
∴ lim
𝑛→∞
√𝑎𝑛
𝑛 = lim
𝑛→∞
√
1
𝑛𝑝
𝑛
= 1 
Sin embargo, si 𝑝 > 1 la serie converge; y si 𝑝 ≤ 1 la serie diverge. 
 
4.5. Criterio de Raabe
10
 
Sea ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 una serie de términos positivos y convengamos que lim
𝑛→∞
𝑛 (1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
) = 𝐿. 
Entonces: 
a) Si 𝐿 > 1 entonces la serie converge 
b) Si 𝐿 < 1 entonces la serie diverge 
c) Si 𝐿 = 1, nada puede asegurarse 
Demostración: 
a) Como lim
𝑛→∞
𝑛(1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
) = 𝐿 > 1, entonces ∃𝑐 > 0: 𝐿 > 1 + 𝑐 > 1 
Además, por propiedad de conservación de signo para sucesiones convergentes: 
∃𝐻 > 0: ∀𝑛 ≥ 𝐻 ⇒ 𝑛 (1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
) > 1 + 𝑐 
⇒ 𝑛 (
𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
) > 1 + 𝑐 ⇒ 𝑛(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛) > (1 + 𝑐)𝑎𝑛−1 
⇒ (𝑛 − 1)𝑎𝑛−1 − 𝑛𝑎𝑛 > 𝑐𝑎𝑛−1 
La demostración no pierde generalidad si se considera 𝐻 = 1, pues si 𝐻 > 1, basta 
suprimir los 𝐻 términos iniciales y el carácter de la serie no cambia. Por lo tanto, la 
relación establecida se mantiene ∀𝑛 ≥ 𝐻 = 1. Así 
𝑛 = 2 ⇒ 𝑎1 − 2𝑎2 > 𝑐𝑎1 
𝑛 = 3 ⇒ 2𝑎2 − 3𝑎3 > 𝑐𝑎2 
𝑛 = 4 ⇒ 3𝑎3 − 4𝑎4 > 𝑐𝑎3 
⋮ 
𝑛 = ℎ ⇒ (ℎ − 1)𝑎ℎ−1 − ℎ𝑎ℎ > 𝑐𝑎ℎ−1 
 
10
 Joseph Ludwig Raabe: (1801-1859) fue un profesor y matemático suizo del siglo XIX. Históricamente, es 
reconocido por haber enunciado el criterio de convergencia de las sucesiones infinitas, posterior al enunciado 
por Jean le Rond d'Alembert en el siglo XVIII y por haber enunciado la integral de la función gamma. 
Asimismo, publicó varios documentos, entre los que se destacan Die Jacob Bernoullische Function(La 
función Jacobi-Bernoulliana) de 1848 y Züruckrechnung Einig Summen und auf die bestimmten Integrale 
Jakob Bernoullische Function (Recálculo de sumas en integrales definidas por la Función Jacobi-
Bernoulliana) de 1851. 
https://es.wikipedia.org/wiki/1801
https://es.wikipedia.org/wiki/1859
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XIX
https://es.wikipedia.org/wiki/Jean_le_Rond_d%27Alembert
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIII
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma
https://es.wikipedia.org/wiki/1848
https://es.wikipedia.org/wiki/1851
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SUCESIONES Y SERIES 
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Sumando: 
𝑎1 − 2𝑎2 + 2𝑎2 − 3𝑎3 + 3𝑎3 − 4𝑎4 +⋯+ (ℎ − 1)𝑎ℎ−1 − ℎ𝑎ℎ
> 𝑐𝑎1 + 𝑐𝑎2 + 𝑐𝑎3 +⋯+ 𝑐𝑎ℎ−1 
⇒ 𝑎1 − ℎ𝑎ℎ > 𝑐(𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎ℎ−1) 
⇒
𝑎1 − ℎ𝑎ℎ
𝑐
> 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎ℎ−1 
∴ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎ℎ−1 <
𝑎1 − ℎ𝑎ℎ
𝑐
<
𝑎1
𝑐
= 𝐾 
Así, ∃𝐾 > 0: 𝑆ℎ−1 < 𝐾, ∀𝑛. 
Esto dice que {𝑆𝑛} está acotada. Por lo tanto, por la condición necesaria y suficiente, la 
serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 converge. 
b) lim
𝑛→∞
𝑛 (1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
) = 𝐿. Si 𝐿 < 1 entonces ∃𝑘: 𝐿 < 1 − 𝑘 < 1, por lo que 0 < 1 −
𝑘 − 𝐿. Llamando 𝑚 = 𝑛 (1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
), tenemos que ∀𝜀 > 0, ∃𝑁: 
|𝑚 − 𝐿| < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
 Tomando 𝜀 = 1 − 𝑘 − 𝐿 será 
|𝑚 − 𝐿| < 1 − 𝑘 − 𝐿, ∀𝑛 ≥ 𝑁 
⇒ −1+ 𝑘 + 𝐿 < 𝑚 − 𝐿 < 1 − 𝑘 − 𝐿 ⇒ 𝑚 − 𝐿 < 1 − 𝑘 − 𝐿 ⇒ 𝑚 < 1 − 𝑘 < 1 
∴ 𝑚 < 1 
Así 
𝑛 (1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
) < 1 ⇒ 𝑛(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛) < 𝑎𝑛−1 ⇒ 𝑛𝑎𝑛−1 − 𝑛𝑎𝑛 < 𝑎𝑛−1 
⇒ 𝑛𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 < 𝑛𝑎𝑛 ⇒ (𝑛 − 1)𝑎𝑛−1 < 𝑛𝑎𝑛 ⇒
𝑛 − 1
𝑛
<
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
∴
1
𝑛
1
𝑛 − 1
<
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
El primer miembro de la desigualdad muestra la relación entre dos términos consecutivos 
de la serie armónica, que sabemos, diverge. Entonces ∑𝑎𝑛 diverge. 
 
Ejemplo: 
Aplica el criterio de Raabe a la serie 𝑝: ∑
𝑛=1
∞
 
1
𝑛𝑝
 . 
Solución: 
Como 𝑎𝑛 =
1
𝑛𝑝
, 𝑎𝑛−1 =
1
(𝑛−1)𝑝
. 
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lim
𝑛→∞
𝑛 (1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
) = lim
𝑛→∞
𝑛 [1 −
1
𝑛𝑝
1
(𝑛 − 1)𝑝
] = lim
𝑛→∞
𝑛 [1 − (
𝑛 − 1
𝑛
)
𝑝
]
= lim
𝑛→∞
𝑛⏞
→∞
[1 − (
𝑛
𝑛 − 1
)
−𝑝
]
⏟ 
→0
 
Se produce una indeterminación del tipo ∞ ∙ 0. Por lo que vamos a salvarla aplicando la 
regla de L’Hospital. Para ello, primero pasemos al continuo, es decir: sea la función 
𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ [1 − (
𝑥
𝑥 − 1
)
−𝑝
] 
lim
𝑥→∞
𝑥 ∙ [1 − (
𝑥
𝑥 − 1
)
−𝑝
] = lim
𝑥→∞
1 − (
𝑥
𝑥 − 1)
−𝑝
1
𝑥
= lim
𝑥→∞
𝑝 (
𝑥
𝑥 − 1)
−𝑝−1
[−
1
(𝑥 − 1)2
]
−
1
𝑥2
 
= lim
𝑥→∞
𝑝 (
𝑥
𝑥 − 1
)
−𝑝−1
(
𝑥
𝑥 − 1
)
2
= lim
𝑥→∞
𝑝 (
𝑥
𝑥 − 1
)
−𝑝+1
= 𝑝 
Así 
lim
𝑛→∞
𝑛 (1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
) = lim
𝑛→∞
𝑛 [1 −
1
𝑛𝑝
1
(𝑛 − 1)𝑝
] = 𝑝 
 
Por Raabe; si 𝑝 > 1 entonces la serie converge; y si 𝑝 < 1 la serie diverge. 
 
5. Algebra de series 
 
5.1. Múltiplo constante 
 
a) Si 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒 y ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente y tiene suma 𝑆 entonces la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑐 ∙ 𝑎𝑛 es 
convergente y tiene suma 𝑐 ∙ 𝑆. 
b) Si 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒, 𝑐 ≠ 0 y ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente entonces la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑐 ∙ 𝑎𝑛 es divergente. 
Demostración: 
a) Por hipótesis, ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 converge y tiene suma 𝑆, entonces {𝑆𝑛} converge 
∴ lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑆, con 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 
 Tomemos ahora la sucesión de sumas parciales de la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑐 ∙ 𝑎𝑛, y la llamemos 
{𝑆𝑛
′ } 
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𝑆𝑛
′ = 𝑐 ∙ 𝑎1 + 𝑐 ∙ 𝑎2 + 𝑐 ∙ 𝑎3 +⋯+ 𝑐 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑐 ∙ (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛) = 𝑐 ∙ 𝑆𝑛 
Ahora 
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛
′ = lim
𝑛→∞
𝑐 ∙ 𝑆𝑛 = 𝑐 ∙ lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑐 ∙ 𝑆 
∴ La serie ∑
𝑛=1
∞
𝑐 ∙ 𝑎𝑛 es convergente y tiene suma 𝑐 ∙ 𝑆 = ∑
𝑛=1
∞
𝑐 ∙ 𝑎𝑛 
b) Supongamos, por el absurdo, que ∑
𝑛=1
∞
𝑐 ∙ 𝑎𝑛 converge; entonces, por a); dado que 
𝑐 ≠ 0, la serie ∑
𝑛=1
∞
1
𝑐
∙ 𝑐 ∙ 𝑎𝑛 converge; es decir, la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 converge. ¡Absurdo!, 
pues esta serie pos hipótesis es divergente. Así, la serie ∑
𝑛=1
∞
𝑐 ∙ 𝑎𝑛 es divergente. 
 
5.2. Propiedad Asociativa 
 
La suma infinita no es una suma ordinaria y por lo tanto no debe tratarse como tal. Algunas 
propiedades para sumas finitas pueden no cumplirse, tal como ocurre con la propiedad 
asociativa. 
 
Ejemplo: 
Dada la serie 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +⋯+ (−1)𝑛+1 +⋯ = ∑
𝑛=1
∞
(−1)𝑛+1. 
Como lim
𝑛→∞
(−1)𝑛+1 ≠ 0 (en realidad, no existe), entonces la serie diverge. Por lo tanto, no 
tiene suma. 
 
Ahora: 
Si asociamos: (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) +⋯+ (1 − 1) +⋯, entonces 𝑆 = 0 
Si asociamos: 1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) −⋯− (1 − 1) −⋯, entonces 𝑆 = 1 
Esto muestra que la propiedad asociativa no se cumple para cualquier serie. 
 
Sin embargo, si la serie es convergente, en muchos aspectos puede tratarse como una suma 
finita. De hecho, la propiedad asociativa, cuando la serie converge, es