Practico 3 Numeros Reales

Vista previa del material en texto

Matemática para Informática
Primer Cuatrimestre 2017
Trabajo Práctico N� 3: Conjuntos Numéricos
Objetivos
El estudiante deberá ser capaz de:
� Distinguir los distintos conjuntos numéricos y sus propiedades.
� Emplear propiedades en demostraciones sencillas y en la operatoria aritmética.
� Resolver situaciones que involucran operaciones con números racionales y discutir la pertinencia de
la solución.
Duración: Nueve (9) horas.
1. Indica el resultado de las siguientes expresiones:
(a) El doble del anterior de 15 (b) El anterior del cuádruple de 10
(c) El triple del siguiente de 59 (d) El doble del siguiente de -4
(e) El opuesto del consecutivo de 0 (f) El inverso aditivo del doble de -3
2. Expresa en forma simbólica:
(a) El opuesto del anterior de x (b) El siguiente de la mitad de a, con a par
(c) El cuadrado del siguiente del triple de b (d) El recíproco de un número impar
3.
(a) Expresa en forma decimal los números fraccionarios dados:
i.
12
15
ii.
3
7
iii. �53
10
iv.
123
9900
v. � 5
10000
(b) Expresa en forma fraccionaria los siguientes números decimales:
i. 0; 0c22 ii. 5; 55 iii. 0;c25 iv. 2;d123 v. 3; 13c21
4. Completa con el símbolo 2 o =2 , según corresponda:
(i) 0 _ N (ii) � 1
2
_ R (iii) 0; 125� 1
8
_ Z+ (iv) 0; 212112111::: _ Q
(v)
�
3; 14
_ I (vi) 0; 1b2 _ I (vii) �p0; 0121 _ Q� (viii) p18�p19 _ R
5. Resuelve:
(a) Un terreno destinado a la construcción, de media hectárea de área, mide 5 veces más de largo
que de ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?
(b) Una empresa que alquila vehículos cobra $600 al día y $10 por kilómetro por alquilar un camión.
Miguel alquiló un camión durante 3 días y su cuenta fue de $1840. ¿Cuántos kilómetros
recorrió?
(c) En una tienda comercial se hace una liquidación donde todos los productos son rebajados en
un 20%. Después de una semana todos los artículos vuelven a rebajarse en un 5%. Si un
pantalón cuesta originalmente $1200:
(i) ¿Cuánto cuesta después de la primera liquidación?.
(ii) ¿Cuánto cuesta después de la segunda liquidación?.
(iii) ¿La oferta sería igual si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 25%?.
(d) Halla la altura de un triángulo equilátero cuya área es 10 cm2.
6. Escribe el nombre del axioma que justi�ca cada enunciado:
(a) (2 + x) + y = 2 + (x+ y) (b)
�
1
x� y
�
(x� y) = 1 con x 6= y (c) (b+ 8) + 0 = b+ 8
(d) (x+ y) + [�(x+ y)] = 0 (e) �7x� 28 = �7 � (x+ 4) (f) 8 � 1
8
= 1
(g) 1 � (x+ y) = x+ y (h) x:y + 1 = (x+ 0) � y + z � z�1; z 6= 0 (i) (x+ 3) � (y + 1) =
= x: (y + 1) + 3 � (y + 1)
1
7. Enuncia los axiomas y/o propiedades de los números reales empleados en la demostración de:
8a; b 2 R; a� b = b� a) a = b
a� b = b� a ) (a� b) + (a+ b) = (b� a) + (a+ b) :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) (a� b) + (b+ a) = (b� a) + (a+ b) :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) [(a� b) + b] + a = [(b� a) + a] + b :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) [(a+ (�b)) + b] + a = [(b+ (�a)) + a] + b :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) [a+ (�b+ b)] + a = [b+ (�a+ a)] + b :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) [a+ 0] + a = [b+ 0] + b :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) a+ a = b+ b :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) a:1 + a:1 = b:1 + b:1 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) a: (1 + 1) = b: (1 + 1) :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) a:2 = b:2) 2:a = 2:b :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
) a = b :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
8. Decide si las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas. Justi�ca.tus respuestas.
(a) Algunos números racionales son enteros. (b) Todos los números decimales son racionales.
(c) Todos los números enteros son racionales. (d) Existen números decimales que no son reales.
(e) Todo racional tiene una expresión decimal.
9. Decide si las expresiones dadas son verdaderas o falsas. Justi�ca tus respuestas.
(a) 8a; b 2 R; a 6= 0; b 6= 0, a > b) 1
a
<
1
b
(b) I es cerrado respecto a la suma
(c) Si a+ b = 0, entonces b es el inverso aditivo de a. (d) 8a; b; c; d 2 Z; b 6= 0; d 6= 0; a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
(e) 8a; b; c; d 2 R; a < b ^ c < d) a+ c < b+ d (f) 8a; b 2 Q, a < b) a < a+ b
2
< b
(g) 8a; b; c 2 R, c 6= 0, ac = bc) a = b (h)8a; b 2 R, a < b y c < 0, ) ac > bc.
(i) Si n es par n
p
tn = t (j) Q [ I = R ^Q \ I 6= ?
10. Resuelve sin calculadora las siguientes operaciones:
(a)
3
q
(�4)2 � j5� 7j
3
p
�27 + (�1)13
(b)
�
1;b62 � 0;b7��1
p
0; 0025
: (0; 2)
�2 (d)
q
(�3)2
3
p
�5 3
p
25
+ (�5)�1
0; 2b9 + 0;b9
11. Simpli�ca las siguientes expresiones:
(a)
 r
1
3
!�3r
4
5
 r
4
5
!�1
r
3
2
r
1
2
(b)
 
3a�
1
2
b
1
3
! 
2a�
1
6
b
1
2
!
, b > 0
(c) 5
p
3 + 4
p
48� 3
p
12 + 4
p
27 (d)
3p
12
+
p
48
(e)
3
p
16
6
p
4
(f)
3�
p
2p
2 + 1
12. Expresa sin las barras de valor absoluto:
(a)
��2�p2�� = (b) ��p2� 2�� = (c) j� � 3j =
(d) j� � 5j = (e) j3� xj = si x < 3 (f)
��y2�� =
(g) ja� bj = si a < b (h) � j3� xj = si x � 3
13. ¿Para qué valores enteros es válida la igualdad?
(a) jxj =
p
3 (b) jx� 1j = 7 (c) j�xj = jxj (d) jx+ 5j = �1 (e) j3x+ 1j = 1
2
14. Decide si las siguientes expresiones son verdaderas o fasas. Justi�ca tus respuestas.
(a) 8x; y 2 R; y 6= 0; jx:yj = jxj : jyj (b) 8x 2 R; � jxj � x � jxj
(c) 8x; y 2 R, jx+ yj = jxj+ jyj (d) 8x 2 R : jxj � a) x � �a
15. Expresa en notación cientí�ca:
(a) 120400000000000000 (b) 0; 0000000000000035 (c) 0; 0004060� 1012 (d) 45� 1025
16. Sean a = 2; 25� 10�8 y b = 5; 5� 1012 calcula y expresa el resultado en notación cientí�ca de:
(a) a� b (b) a : b (c) b : a
17. Las aguas cubren el 70; 8 % de la super�cie del planeta, lo que equivale a 3; 61 � 108 km2. Calcula el
área de la super�cie terrestre que no está bajo las aguas. Expresa el resultado en notación cientí�ca.
18. El Sol tiene un radio de 7�105km, la distancia de la tierra al Sol es aproximadamente 1; 496�108km.
Estima la velocidad orbital de la Tierra (en km=s) considerando una órbita circular de la Tierra
alrededor del Sol.
3