Teoria 5 y 6 Funciones

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Capítulo 6
Las funciones en el mundo real
1 Las funciones nos rodean
El concepto de función es uno de los más importantes de la matemática. Es
la piedra angular de todas sus aplicaciones en las ciencias físicas, biológicas,
del medio ambiente, ingeniería, ciencias sociales, comercio y finanzas y virtual-
mente en todas las áreas de la actividad humana.
Una función es una regla o procedimiento que cambia o transforma infor-
mación. Por ejemplo, a fin de contar con una adecuada dotación de personal
durante todo el año, el gerente de operaciones del Parque Nacional Nahuel
Huapi podría estar interesado en el número de visitantes, asociado con cada
mes del año. Un corredor de bolsa puede examinar las utilidades de las empre-
sas y cómo esos ingresos son invertidos, para dar información financiera sana
a sus clientes. Un científico puede construir un gráfico que prediga la cantidad
de energía bioquímica que es transformada en los movimientos de un atleta,
para optimizar su desempeño.
El término función fue introducido por Gottfried Leibniz (cofundador con
Issac Newton del Cálculo) hacia el año 1600 y fue desarrollado desde enton-
ces. Este concepto es el fundamento de toda la matemática moderna y de
sus aplicaciones a otros campos. A partir de que nos familiaricemos con las
funciones, seremos capaces de analizar diagramas y gráficos con confianza. Al
entender las funciones y sus reglas estaremos preparados, no simplemente para
futuros cursos de matemática, sino también para cursos de finanzas, ciencia y
tecnología.
Comenzaremos a aprender funciones, analizando muchos ejemplos:
1
2 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
→ Cada artículo en una tienda está asociado con su precio.
→ En su facultad, cada estudiante tiene su correspondiente número de
libreta universitaria.
→ La aceleración de un auto depende de sus caballos de fuerza.
→ El precio de una casa varía con su ubicación.
→ El área A de un círculo es una función de su radio r. En particular,
A = πr2.
Una función puede ser considerada como una regla, una operación o un
procedimiento que asigna a cada número x de un determinado conjunto A,
un número y de otro conjunto B. La regla puede ser expresada en palabras,
como en el siguiente ejemplo: “el costo del franqueo es de 29 centavos para los
primeros 30 gramos y de 20 centavos por cada 30 gramos adicionales”, o por
una fórmula matemática tal comoA = πr2 para el área de un círculo, o P = kT
V
,
que expresa la presión P de un gas como una función de su temperatura T ,
donde V es el volumen del recipiente que contiene al gas y k es una constante.
La función puede darse también por medio de una tabla de datos, como en
el caso de los empleados administrativos de un negocio de venta por menor,
que deben consultar una tabla como la de la figura para determinar el IVA de
cada producto de acuerdo a su precio (¿cuál es el porcentaje considerado en la
tabla?).
Precio 0, 10 0, 50 1 2 5 10 20 50
IVA 0, 021 0, 105 0, 21 0, 42 1, 05 2, 10 4, 20 10, 50
Además de las muchas formas de expresar funciones en palabras, fórmulas,
ecuaciones y tablas, hay una gran variedad de recursos para representar fun-
ciones visualmente. Comenzaremos analizando algunos de los más difundidos,
a fin de lograr un sentido cabal del concepto de función. Los diagramas por
sectores son herramientas simples pero efectivas para exponer datos o informa-
ción como muestra la figura. Ellos asocian con cada componente de un proceso
(en este caso los diferentes combustibles usados como fuentes generadoras de
electricidad), la proporción atribuída a tal fuente. Por ejemplo, en un cierto
país, el porcentaje de la electricidad generada con petróleo ha descendido del
12% en 1970, al 3, 9% en 1991. El porcentaje generado por plantas nucleares
se ha incrementado de 1, 4% en 1970, a 21, 7% en 1991.
1. LAS FUNCIONES NOS RODEAN 3
El diagrama de barras de la figura siguiente asocia con cada uno de los
doce meses del año, comenzando en junio de 1991, el ingreso total de todos
los trabajadores de los EE.UU., en trillones de dólares. Uno de los caracterís-
ticas especiales de estos diagramas de barras es que dan una sensación de la
tendencia o patrón de una cantidad en el tiempo. En este caso, vemos que el
ingreso total por personal, en la mayoría de los casos, crece con el tiempo.
Los gráficos cartesianos son muy usados en el campo de los negocios y del
estado. Son más flexibles que una “torta” o un diagrama de barras y pueden
transmitir información más detallada. En la figura se representa la cantidad
estimada de dióxido de carbono en la atmósfera, versus el tiempo. Es una
función porque, para cada tiempo t, hay un valor singular asociado con él, que
es la cantidad de CO2 medido en la atmósfera correspondiente a ese tiempo t.
Por ejemplo, estimamos del gráfico que en el año 1.750 había 275 ppm (partes
por millón) de CO2 en la atmósfera, mientras en 1.975 había 330 ppm.
4 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
En este dibujo no sólo podemos observar que el nivel de dióxido de carbono
es creciente, sino también extrapolar hacia adelante para predecirlo en un
futuro no muy lejano. Vemos, además, que el nivel del dióxido no sólo aumenta,
sino que lo hace más rápidamente a medida que el tiempo pasa. Este modelo
de comportamiento, si continúa, ciertamente tiene, a largo plazo, implicancias
en nuestra vida futura. En particular, es la base de la inquietud de muchos
científicos sobre el efecto invernadero que, según su opinión, está produciendo
un calentamiento global creciente.
La produción diaria de gas natural y petróleo está representada, contra el
tiempo, en la figura siguiente. Hay allí dos funciones representadas, ya que el
eje vertical mide la energía en barriles de petróleo para ambos combustibles.
Con esto, podemos observar más fielmente las dos tendencias. Por ejemplo,
podemos calcular la cantidad total de petróleo y gas natural producida diaria-
mente, por suma de las dos funciones, como veremos más adelante.
Representaciones gráficas como las de las dos últimas figuras son preferidas
usualmente por los científicos. Es bastante común representar diversos gráficos
(funciones), sobre los mismos ejes (rectas horizontales y verticales sobre las que
se hacen las mediciones).
2. FORMAS SIMBÓLICAS DE REPRESENTAR FUNCIONES 5
2 Formas simbólicas de representar funciones
Usando la notación del álgebra, describiremos una función con una sola letra tal
como f ó g. La fórmula particular de la relación, si es conocida, es usualmente
escrita como y = f(x) y se lee ”y es una función de x”. Por ejemplo, la función
f que toma algún número real x y lo eleva al cuadrado, se escribe
y = f(x) = x2
por ejemplo,
f(3) = 32 = 9
f(8) = 82 = 64
f(−5) = (−5)2 = 25
Análogamente, la función g que extrae la raíz cuadrada de un número real
no negativo x, puede ser escrita como
y = g(x) =
√
x
por ejemplo,
g(16) =
√
16 = 4;
g(400) =
√
400 = 20;
g(1
4
) =
√
1
4
= 1
2
;
pero g(−25) no está definido, ya que no es posible tomar la raíz cuadrada de
un número negativo.
La función h asociada con el recíproco de algún número real no nulo x,
puede ser escrita como
y = h(x) =
1
x
por ejemplo,
h(5) = 1
5
= 0, 2
h(200) = 1
200
= 0, 005
h(−0, 125) = − 1
0,125
= −8
pero h(0) no está definida, ya que no podemos dividir por 0.
Si tomamos, por ejemplo, el área A de un círculo, sabemos que depende del
radio: A = f(r) = πr2; por tanto podemos decir que el área de un círculo es
una función de su radio. En este caso tenemos que la variable independiente
6 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
es r y la variable dependiente es A. La distancia D que recorre un auto en t
horas, a una velocidad constante de 80 km por hora, está dada por D = 80t;
t es la variable independiente y D es la variable dependiente.
Podemos representar una función f por medio de un esquema como el
siguiente:
f : A→ B
x �→ y , donde y = f(x)
y pensar que la función f transforma un número x de un conjunto A en un
número asociado y de un conjunto B. Llamamos a x variableindependiente y
a y variable dependiente, puesto que depende de x.
En esta representación, la función raíz cuadrada toma la forma g : x �→ √x
y la función recíproca se convierte en h : x �→ 1/x.
Usando un esquema usado habitualmente en computación, una función
y = f(x) puede representarse por un diagrama Entrada/Salida o E/S:
x→ f → y
Una función más interesante que las anteriores es f(t) = 64t − 16t2. Si
arrojamos una pelota hacia arriba en línea recta, con una velocidad inicial
de 64 pies por segundo (cerca de 70 km/h), esta función f nos da la altura
aproximada de la pelota sobre el nivel del suelo después de t segundos. Por
ejemplo, después de medio segundo, la pelota se encuentra a 28 pies del suelo,
ya que
f(1/2) = 64(1/2)− 16(1/2)2 = 32− 4 = 28
Después de un segundo está a una altura de f(1) = 64(1) − 16(1)2 = 48
pies; después de t = 2 segundos su altura es de f(2) = 64(2) − 16(2)2 = 64
pies, la que es su máxima altura. Después de t = 3 segundos, la altura es
f(3) = 64(3) − 16(3)2 = 48 pies y la pelota está cayendo. Después de 4
segundos estará en el suelo ya que f(4) = 0.
En cada uno de estos ejemplos hubo algunas limitaciones naturales a los
valores posibles de la variable independiente y de la variable dependiente. La
pelota está en reposo para t = 0 y vuelve al suelo para t = 4 segundos. Ello
hace, por lo tanto, que no tenga sentido considerar qué sucede antes del tiempo
0 y después de t = 4. Además, la pelota asciende a su máxima altura de 64
pies y luego cae al nivel del suelo. Por lo tanto, los únicos valores significativos
para la altura de la pelota están entre y = 0 y y = 64.
2. FORMAS SIMBÓLICAS DE REPRESENTAR FUNCIONES 7
De modo similar, la función raíz cuadrada y = g(x) =
√
x sólo tiene sentido
si la variable independiente x no es negativa. La función recíproca y = h(x) =
1/x está definida mientras x no sea cero. Los posibles valores de y de esta
función pueden ser cualquier número que no sea el 0; no hay un valor de
x tal que y = h(x) = 1/x = 0. Finalmente, para la función cuadrática
y = f(x) = x2 no tenemos limitaciones sobre los posibles valores de x, pero
sin duda habrá una limitación para los correspondientes valores de y = x2:
ellos nunca podrán ser negativos. Por tanto el dominio de esta función es el
conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los reales positivos
con el cero.
Para cualquier función f , el conjunto de todos los valores posibles para la
variable independiente x es el dominio de f ; el conjunto de todos los valores
posibles para la variable dependiente y es el rango (o recorrido o imagen) de
f .
Ejemplo 1 Para hallar el dominio de la función raíz cuadrada y =
√
x ana-
lizamos qué valores puede tomar la variable independiente x. En este caso
resulta que x ≥ 0, ya que x es el radicando de una raíz de índice par. Para
encontrar el rango, observamos qué valores toma la variable dependiente y pa-
ra los valores posibles de x: obtenemos y ≥ 0, ya que la función está definida
como la raíz positiva de x. El dominio y el rango de esta función son el mismo
conjunto: el de los números reales no negativos. Los valores 0, 1/3, 1, 2 y 16
para x, devuelven los correspondientes valores 0, 1/
√
3, 1,
√
2 y 4 para y.
Ejemplo 2 Sea la función y = F (x) = x+ 1/x. Supongamos que el dominio
de F está dado como el formado por los números reales positivos. El recorrido
o imagen de F resulta ser entonces el conjunto de todos los números y que
cumplen que y ≥ 2. Prueba con tu calculadora diferentes valores de x y verás
que realmente es así; el menor valor de y corresponde a x = 1; para cualquier
otro valor de x, el valor de y será mayor.
8 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
Gráficamente, una función f puede representarse como algo que “lleva”
o “proyecta” un miembro de su dominio hacia un miembro de su recorrido,
como muestra la figura. Cada punto x en el dominio es proyectado hacia un
único punto en el recorrido. Así, x1 es llevado hacia y1; x2 es llevado hacia
y2; x3 es llevado hacia y3. Vemos que ambos, x4 y x5 son llevados hacia y4.
Esto es perfectamente legítimo para una función. Cada valor de x debe ser
proyectado hacia un único valor de y, aunque es ciertamente posible que varios
x diferentes se proyecten hacia el mismo y. Piensa en la función y = f(x) = x2
donde ambos, x = 2 y x = −2 son llevados hacia y = 4.
Resumimos las ideas anteriores en la siguiente definición, más formal, de
función:
Una función f es una regla y = f(x) que asigna un único valor
de la variable dependiente y a cada valor posible de la variable
independiente x.
El dominio de f es el conjunto de todos los valores posibles
para la variable independiente, mientras que el rango (también
llamado imagen o recorrido) es el conjunto de todos los valores
posibles para la variable dependiente.
3 Modelos por todas partes
Un modelo de un objeto, proceso o sistema puede ser pensado como un descrip-
ción de él. Por ejemplo, un mapa es un modelo de un territorio. Un diagrama
es un modelo de un circuito eléctrico. El diseño de un puente realizado por un
ingeniero, es un modelo de ese puente.
Un modelo debe dar algunos detalles concretos, pero esencialmente inten-
tará capturar los elementos esenciales de un proceso. Por ejemplo, la ecuación
3. MODELOS POR TODAS PARTES 9
del movimiento de un objeto que se se tira verticalmente hacia arriba,
y = f(t) = 64t− 16t2 ,
es un modelo matemático que describe un aspecto crítico del movimiento de la
pelota: su altura en cualquier tiempo t. Existen otros aspectos del movimiento
que no pueden reflejarse en los modelos matemáticos (tales como los efectos de
la resistencia del aire o cuán rápido se mueve la pelota en cualquier instante),
pero con frecuencia estaremos satisfechos de contar sólo con ésto.
Un modelo de un objeto, proceso o sistema es una representación de
él que preserva sus propiedades o relaciones relevantes.
Los modelos se pueden encontrar en cualquier parte, desde las cartas as-
tronómicas hasta las metáforas de los poetas, desde las réplicas de plástico de
los aviones, hasta las tapas de las revistas con modelos mostrando la última
moda. Aquí nuestro interés está centrado en la matemática, el lenguaje de las
ciencias y los modelos que estudiaremos serán modelos matemáticos.
Un modelo matemático es una representación de un proceso que se expresa
en forma matemática por una fórmula, una ecuación, un gráfico, una sucesión
o mediante una tabla de valores. Como tal, un modelo matemático es una
representación relativamente más abstracta del proceso en consideración.
El diagrama
muestra la interrelación entre el mundo real y el modelo matemático. Co-
menzamos observando un cierto proceso en el mundo real, como por ejemplo el
movimiento de una pelota lanzada hacia arriba, o el crecimiento de la pobla-
ción, o la reacción de una persona ante una droga. Típicamente, en el proceso
de tratar de explicar qué es lo que pasa tenemos que hacer algunas simplifica-
ciones. Por ejemplo, suponemos que la única fuerza que actúa sobre la pelota
es la fuerza de la gravedad; ignoramos los efectos despreciables de la resistencia
10 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
del aire. Por supuesto, si se reemplaza la pelota por un globo o por un pedazo
de papel, la presunción sería inválida.
Basados en estas suposiciones, formulamos el problema en forma matemáti-
ca. Esto conduce a una solución matemática: la representación del proceso en
términos de una fórmula, una ecuación, un gráfico o una tabla. Habiendo
producido este modelo matemático, ahora tenemos que interpretarlo. ¿Verda-
deramente el modelo parece reflejar lo que pasa en el mundo real? Si así fuera,
podemos usar el modelo matemático como una explicación del proceso bajo
estudio y como base para hacer prediciones sobre él. Si el modelo no refleja
adecuadamente el proceso real, seguramente hemos cometido algún error: de-
bemos mirar nuevamente algunos aspectos importantes de la situación, hicimos
algunas presunciones erróneas o cometimos un error en nuestro trabajo.Obviamente, los conceptos de función y de modelo están estrechamente
asociados. El modelo construído es frecuentemente una función y funciones
interesantes generalmente pueden usarse como modelos. Como un ejemplo de
este proceso, un grupo de médicos estudiaron los efectos de la grasa animal
en la dieta de las mujeres, usando la tasa de mortandad causada por el cáncer
de pecho en diferentes países. Algunos de estos datos se muestran en la tabla
siguiente, que da la cantidad de grasa animal en gr/día y la tasa de mortalidad
por cáncer de pecho, para una población de 100.000 mujeres.
País
Ingesta diaria
de grasa
Tasa de mortandad
por 100.000
Japón 20 3
España 40 7
Austria 90 17
E.E.U.U. 100 19
Alemania 120 23
Comenzamos mirando estos datos, primero como un conjunto de valores en
la tabla anterior y luego los representamos en un gráfico, como se muestra en
la figura.
4. FAMILIAS DE FUNCIONES 11
Vemos que la tasa de mortandadM se incrementa a medida que la ingestión
de grasa crece. Hay, obviamente, una relación entre las dos. Más aún, cuando
miramos los correspondientes puntos sobre la gráfica vemos claramente que
ellos responden a un modelo lineal. La ecuación para esta recta es:
M = 0, 2G− 1
¿Qué significa esta ecuación en términos del fenómeno real que estamos
tratando de modelizar? Veamos varios casos. La cantidad diaria de grasa
animal que se ingiere en México es G = 23 gramos, de modo que la ecuación
predice que la tasa de muerte a causa del cáncer de pecho en México será
0, 2 × 23 − 1 = 3, 6 por cada 100.000 mujeres mexicanas. Esto se llama in-
terpolación, puesto que estamos prediciendo el valor de una cantidad usando
una medida que se encuentra dentro del conjunto de datos. Similarmente, la
grasa animal diaria que se ingiere en Dinamarca es G = 135 gramos, de modo
que la ecuación predice una tasa de mortandad de M = 0, 2 × 135 − 1 = 26
mujeres dinamarquesas por cada 100.000. Este tipo de predicción se llama
extrapolación, porque estamos prediciendo un resultado para un valor de la
variable independiente fuera del conjunto de datos disponibles.
4 Familias de funciones
Como vimos, las funciones son fundamentales en la matemática y sus aplica-
ciones. Las hay de muchas clases, pero la mayor parte de nuestro trabajo se
centra en unos pocos tipos: aquellas funciones que son simples pero lo suficien-
temente poderosas para satisfacer nuestras necesidades. Estos tipos o clases
pueden pensarse como diferentes familias de funciones, ya que, por sus pro-
piedades más esenciales, los miembros de cada familia están lo suficientemente
12 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
cerca unos de otros. En este capítulo estudiaremos la famila de las funciones
lineales, la de las funciones exponenciales y la familia de funciones potenciales,
así como otras diversas familias útiles. En el último capítulo consideraremos
las funciones trigonométricas.
5 La función lineal
Las más simples y probablemente las más comunes son las funciones lineales.
Esta familia de funciones modela cualquier cantidad que aumenta o disminu-
ye constantemente. Una función es lineal si cualquier cambio en la variable
independiente origina un cambio proporcional en la variable dependiente.
La forma más simple de una función lineal es y = mx. Esta relación
dice que y es proporcional a x. El coeficiente m es llamado la constante
de proporcionalidad. Por ejemplo, el costo C de la nafta es proporcional al
número L de litros adquiridos, así C = mL. ¿Qué significa m? Supongamos
que compramos nafta común a $0, 80 por litro. El costo de un litro es C =
0, 80 = m × 1 y, por lo tanto, m = 0, 80. Así, para la nafta común, el costo
en pesos es C = 0, 80L para cualquier número de litros L. Análogamente, si
la nafta super cuesta $1, 10 por litro, entonces su costo es C = 1, 10L. En
este contexto, la constante de proporcionalidad es el costo por litro o costo
unitario.
Similarmente, la distancia recorrida por un auto que se desplaza a una
velocidad constante de 70 km por hora es proporcional al número de horas
andadas, así que d = 70t. Aquí, la constante de proporcionalidad es la ve-
locidad fija m = 70 km/h. Para un rectángulo de altura dada, el área A es
proporcional al ancho a, así que A = ma, donde, por geometría, sabemos que
la constante de proporcionalidad m debe ser la altura fija del rectángulo. En
forma análoga, la cantidad de basura Q que se produce en una ciudad puede
considerarse proporcional al número de personas P que la habitan, así que
Q = kP , para alguna constante de proporcionalidad k. Veamos otro ejemplo.
Los siguientes son algunos registros de la tabla usada para calcular el im-
5. LA FUNCIÓN LINEAL 13
puesto a las ganancias:
Ganancia Impuesto esperado
3.000 454
4.000 604
5.000 754
6.000 904
7.000 1.054
8.000 1.204
9.000 1.354
10.000 1.504
11.000 1.654
12.000 1.804
Cuando revisamos cuidadosamente los registros vemos que aumentos de
$1.000 en las ganancias producen un adicional de $150 en los impuestos. ¿Qué
significa ésto matemáticamente?: que el impuesto adeudado es proporcional a
la ganancia tributable. El hecho de que cada $1.000 ganados cuesten $150 en
impuestos, significa que la tasa efectiva de impuestos es del 15 %. Esto es,
Impuesto esperado= 15 % de la ganancia, o sea I = 0, 15G.
La relación entre impuestos y ganancias es una función lineal, con la cons-
tante de proporcionalidad igual a 0, 15. ¿Cuál será el impuesto esperado si la
ganancia tributable fuera de $16.000?
Todas las funciones lineales de la forma y = mx pueden representarse
gráficamente por una recta que pasa por el origen, como se muestra en la
figura. Lo que diferencia una recta de otra es la constante m, la que representa
14 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
cuan rápidamente cambia y cuando cambia x. Un m pequeño significa que y
cambia relativamente poco para un cambio dado de x. Un valor de m negativo
significa que y disminuye cuando x aumenta. La cantidad
m =
cambio en y
cambio en x
=
altura
recorrido
=
∆y
∆x
es llamada la pendiente de la recta.
¿Qué diremos de las rectas que no pasan por el origen? La ecuación para
ellas es de la forma
y = mx+ b
donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen, o el valor
de y cuando x es cero. Esta última es conocida como la intercepción con y.
El caso especial cuando b = 0 corresponde a la forma más simple de una recta
y = mx, las que pasan por el origen como vimos.
Los gráficos asociados con las ecuaciones:
y = f(x) = 2x+ 1
y = g(x) = 3x+ 1 y
y = h(x) = −2x+ 1
se muestran en la figura. Las tres cortan al eje y en el mismo punto donde
y = 1, ya que todas tienen la misma intercepción con el eje y. Sin embargo,
las tres rectas tienen pendientes distintas y por eso se comportan de modo
diferente. Las dos primeras suben cuando x crece (cuando nos movemos de
izquierda a derecha), mientras que la tercera cae cuando x aumenta.
5. LA FUNCIÓN LINEAL 15
Vemos, en consecuencia, que la pendiente de la recta determina si una recta
sube o baja y cuán rápidamente lo hace. Cuando m es positivo la recta sube
cuando nos movemos de izquierda a derecha; cuando m es negativo, la recta
baja en igual circunstancia. Por otra parte, cuanto mayor es la pendiente, más
rápido es su crecimiento. La función de ecuación y = 1, 5x + 1, cuya gráfica
pasa por el mismo punto b = 1 del eje y, crece cuando x crece, pero lo hace
más lentamente que f o g. La recta cuya ecuación es y = −2, 5x + 1, pasa
también por b = 1, decrece cuando x crece y cae hacia abajo en forma más
brusca que h.
Sabemos que la pendiente está dada por
m =
cambio en y
cambio en x
=
∆y
∆x
=
altura
recorrido
Veamos qué significa realmente.
Ejemplo 3 Los grillos que habitan en algunas zonas de Tucumán fueron es-
tudiados por un equipo de biólogos, los que recolectaron los datos que están
consignados en la tabla y encontraron que la frecuencia del canto que emiten
depende de la temperatura del aire.
Temperatura T (◦F) 50 55 60 65 70 75 80
Tasa R (cantos por minuto) 40 60 80 100 120 140 160
Solución:Como podemos observar en la tabla, los cantos del grillo crecen a
una tasa constante: aumentan 20 cantos por minuto cuando la temperatura
crece en 5◦ o, lo que es lo mismo, 4 cantos por minuto por cada grado de
temperatura. Si dibujamos la gráfica de estos puntos vemos que se hallan
alineados en una recta, así que la función dada por la tasa de cantos R en
función de la temperatura T es una función lineal.
16 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
¿Cómo encontramos la ecuación de esta recta? En primer término, usando
el primer par de puntos de la tabla anterior, vemos que la pendiente de esta
recta es
m =
∆R
∆T
= (60− 40)/(55− 50)
= 20/5 = 4
Este valor para la pendiente significa que por cada 1◦ que crece la tempe-
ratura, el grillo cantará 4 veces más por minuto. Si la temperatura sube 5◦, el
grillo cantará 20 veces más por minuto; si sube 10◦ cantará 40 veces más por
minuto y así sucesivamente. Ahora encontramos la intercepción b con el eje y.
Esto representa la altura a la que la recta corta al eje vertical, cuando T = 0.
Podemos hacer ésto usando la pendiente m = 4 y los puntos dados sobre la
recta. El primer punto que tenemos es (T,R) = (50, 40). Una temperatura
de T = 0 representa una disminución de 50◦ y ésto corresponde a un decre-
cimiento de 50 × 4 = 200 en la tasa R a la cual los grillos cantan. El punto
considerado satisface la ecuación R = 4T + b; es decir que 40 = 4× 50 + b, de
donde resulta que b = 40− 200 = −160.
Entonces, la intersección con el eje vertical ocurre a
b = −160
y la ecuación de la recta resulta
R = f(T ) = 4T − 160
Sin embargo, nos damos cuenta que la frecuencia de cantos R = −160 cuan-
do T = 0, carece de sentido. ¿Esto significa que la fórmula está equivocada?
¡No! Ello significa que sólo tiene sentido hablar del canto de los grillos para
temperaturas cercanas o comprendidas en el conjunto de datos dados, esto es
desde 50◦ a 80◦ Fahrenheit. No tiene sentido usar esta relación fuera de ese
intervalo. La relación lineal que tenemos en este modelo matemático debe te-
ner sentido físico y biológico. La fórmula no representa la frecuencia del canto
de los grillos para temperaturas menores que 40◦, ya que R se hace negativa.
No debemos tampoco considerar temperaturas lo suficientemente altas para
cocinar a los grillos. Es difícil que las temperaturas en Tucumán superen los
100◦F , así que hay un dominio natural para esta función:
Dominio de f = todos los valores de T comprendidos entre 40◦ y 100◦
o sea 40 ≤ T ≤ 100.
5. LA FUNCIÓN LINEAL 17
El correspondiente rango para la función es entonces
Rango de f = todos los valores de R desde 0 a 240 o sea 0 ≤ R ≤ 240
¿Cuán razonables son estos resultados? La ecuación predice que, a 100◦, los
grillos cantarán 240 veces por minuto, o 4 veces por segundo. Si nos detenemos
a pensar en ésto, podríamos concluir que suena un poco irrazonable. Así,
mientras el modelo lineal predice ésto, repensemos si tiene sentido extender
este modelo hasta T = 100◦, cuando el límite superior de nuestros datos es
T = 80◦. Es frecuentemente engañoso extrapolar demasiado lejos de los datos
con que se cuenta.
Hasta ahora hemos usado la temperatura para predecir la frecuencia de
cantos y pensado a la temperatura como la variable independiente y a la tasa
de cantos como la variable dependiente. Sin embargo, podríamos invertir ésto
y calcular la temperatura a partir de la frecuencia. Así, nuestro punto de
vista determina cuál variable es dependiente y cuál independiente. Para ello,
partimos de la fórmula que teníamos anteriormente,
R = f(T ) = 4T − 160
y la resolvemos algebraicamente para T como una función de R. Esto es,
tenemos
4T = R+ 160
así que
T =
1
4
(R + 160) =
1
4
R+ 40 = g(R)
Notemos que ésta es también una función, excepto que ahora la variable
independiente es R. Conociendo esta ecuación, podríamos encontrar siempre
un grillo cantando alegremente a lo lejos y determinar exactamente la tempe-
ratura local usando nuestro reloj. Contamos el número de cantos durante un
minuto y aplicamos la fórmula para calcular la temperatura.
La forma de la ecuación de la recta que hemos usado anteriormente
R = 4T − 160
es conocida como la forma pendiente-intercepción ya que ella pone de mani-
fiesto la pendiente m de la recta y su intercepción b con el eje y. Si bien es
una forma muy usada para mostrar la ecuación de la recta, casi siempre es
18 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
insuficiente para determinar dicha ecuación. Frecuentemente es difícil encon-
trar la intercepción vertical; incluso cuando lo hacemos, bien puede ocurrir que
ella esté fuera del dominio de la función. En efecto, en el ejemplo del canto
de los grillos, cuando la temperatura es T = 0 la frecuencia R a la cual los
grillos cantan es de −160 cantos por minuto, así que la intercepción con el eje
y (R = −160) carece totalmente de sentido. Por ello, no parece importante
preocuparse por dónde corta la recta al eje vertical. Un método mucho mejor
para encontrar la ecuación de la recta consiste en usar una forma equivalente
de dicha ecuación conocida como la forma punto-pendiente.
Una ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P (x0, y0),
como la de la figura es
y − y0 = m(x− x0)
Casi siempre usaremos esta forma. Para ilustrar su uso, consideremos el
ejemplo del canto del grillo otra vez. Ya vimos que la pendiente de la recta es
m = 4. Además, usando el primer punto (50, 40) como nuestro punto conocido
P (T0, R0), tenemos inmediatamente
R− 40 = 4(T − 50)
Si queremos encontrar la forma pendiente-intercepción, necesitamos sim-
plemente operar algebraicamente y separar términos para volver a la ecuación
que teníamos antes.
5. LA FUNCIÓN LINEAL 19
En resumen,
Una función lineal tiene la forma
y = mx+ b
donde
m es la pendiente, o tasa de cambio de y con respecto a x,
m = ∆y/∆x =altura/recorrido
b es la intercepción vertical o valor de y cuando x = 0
La forma punto-pendiente para la ecuación de una recta con
pendiente m que pasa por el punto P (x0, y0) es
y − y0 = m(x− x0)
Con frecuencia es importante ser capaz de determinar, viendo una tabla de
valores, que hay una relación lineal entre dos variables. Una aproximación sería
graficar los datos y ver si los puntos aparecen alineados. También podemos
reconocer que una función dada por una tabla de valores es lineal examinando
los datos mismos. Si los datos respondieran a un modelo lineal, obtendríamos
la misma pendiente sin importar cuál par de puntos usamos. Esto da un
critero muy simple para determinar linealidad: ver si las diferencias entre
los valores de y son constantes para valores de x igualmente espaciados. Esto
es, si los valores de x están uniformemente espaciados y hay una diferencia
constante entre los valores de y, entonces los datos caen en un modelo lineal.
Ejemplo 4 De los siguientes conjuntos de datos, uno representa una función
lineal y el otro no. Identifique cuál es la función lineal y encuentre la ecuación
20 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
de la recta.
x f(x)
1, 0 7, 0
1, 2 7, 8
1, 4 8, 6
1, 6 9, 4
1, 8 10, 2
2, 0 11, 0
2, 2 11, 8
x g(x)
1 2
2 3
3 6
4 11
5 18
6 27
7 38
Solución Vemos que en ambas tablas, los valores de x están igualmente separa-
dos, así que podemos examinar las diferencias entre los valores de las funciones,
∆f(x) y ∆g(x). Para los valores de la función f , encontramos:
x f(x) ∆f(x)
1, 0 7, 0 −
1, 2 7, 8 0, 8
1, 4 8, 6 0, 8
1, 6 9, 4 0, 8
1, 8 10, 2 0, 8
2, 0 11, 0 0, 8
2, 2 11, 8 0, 8
Puesto que hay una diferencia constante entre los valores de la función f ,
concluímos que este conjunto de datos es realmente lineal y la pendiente de la
recta que pasa a través de estos puntos es
m =
∆y
∆x
=
∆f(x)
∆x
=
0, 8
0, 2
= 4
Ahora, usando el primer punto P (1, 7) y la forma punto-pendiente, encon-
tramos que la ecuación de la recta es
y − 7 = 4(x− 1)
Operando y resolviendo para y, resulta
y = f(x) = 4x+ 3
5. LA FUNCIÓN LINEAL 21
Cualquiera de estas expresiones representa la ecuación de una función li-
neal.
Sirealizamos el mismo análisis con los valores de la función g, resulta:
x g(x) ∆g(x)
1 2 −
2 3 1
3 6 3
4 11 5
5 18 7
6 27 9
7 38 11
En razón de que las diferencias no son constantes, concluímos que estos
puntos no corresponden a un modelo lineal y, en consecuencia, no hay una recta
que pasa a través de ellos. Por consiguiente, vemos que la función g no puede
ser una función lineal. En efecto, puesto que las diferencias son sucesivamente
más grandes, concluímos que esta función crece más rápidamente que lo que
lo hace una función lineal. Podemos graficar los puntos para ver ésto.
Hay dos hechos importantes sobre las rectas que debemos tener en cuenta.
Del álgebra recordemos que las rectas que tienen igual pendiente son paralelas.
Esto es, las cantidades que ellas representan están creciendo a la misma veloci-
dad. Por otra parte, si dos rectas tienen pendientes que son números recíprocos
y de distinto signo, tales como 2 y −1/2, entonces son perpendiculares.
Resumimos ahora algunas ideas claves sobre el crecimiento y el decreci-
miento de funciones, puesto que éstas son esenciales para nuestro estudio acer-
ca del comportamiento de todos los tipos de procesos y de las funciones que
los modelizan:
Una función f es creciente si los valores de y = f(x) crecen cuando
crece x.
Una función f es decreciente si los valores de y = f(x) decrecen cuando
crece x.
El gráfico de una función creciente sube cuando nos movemos de
izquierda a derecha.
El gráfico de una función decreciente baja cuando nos movemos de
izquierda a derecha.
22 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
6 Funciones polinomiales
Una de las más importantes e interesantes familias de funciones es la de las
polinómicas. Ellas son cualquier combinación de sumas o diferencias de cons-
tantes multiplicadas por funciones de potencia xp, con p ∈ Z+0 . Por ejemplo:
3x− 5, 6x2 + x− 7, 4x3 + 5x2 − 7x+ 12, 10x8 − 7x+ 3,
son todos polinomios. El grado de un polinomio es la potencia más alta de la
variable; así, los cuatro polinomios dados son, respectivamente, de grado 1, 2,
3 y 8. Los factores constantes en cada expresión son llamados los coeficientes
del polinomio. Otra manera de describir a un polinomio es decir que él es
una combinación lineal de funciones de potencia (entera no negativa), en el
sentido de que está formado por una suma de constantes multiplicadas por
estas funciones de potencia. Desde este punto de vista, las funciones de
potencia son los bloques básicos que usamos para construir cualquier
polinomio.
Si un polinomio tiene grado 1, entonces es una función lineal, y = ax + b,
y su gráfico es una recta con pendiente m = a. Si el grado de un polinomio es
2, entonces él es una función cuadrática.
7 La función cuadrática
Definimos a la función cuadrática f como:
f : R→ R | f(x) = ax2 + bx+ c ∧ a �= 0
Su gráfico es una parábola cuyos eje y vértice se determinan fácilmente por
el método de “completar cuadrados”.
Ejemplo 5 Sea la función f(x) = x2 − 2x+ 5.
7. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 23
Reescribimos la función como sigue:
y = f(x) = x2 − 2x+ 5
= x2 − 2x+ 1 + 4
= (x2 − 2x+ 1) + 4
= (x− 1)2 + 4
O sea:
y − 4 = (x− 1)2
La operación de completar cuadrados es simple y, como vimos, consiste en
lo siguiente:
1. hacer 1 el coeficiente de x2;
2. sumar y restar el cuadrado de un medio del coeficiente de x.
La parábola del ejemplo anterior tiene como eje la recta de ecuación x = 1
y como vértice el punto (1, 4).
Las gráficas de estas funciones tienen las siguientes propiedades importan-
tes:
(a) si a > 0 el gráfico se abre hacia arriba;
(b) si a < 0 el gráfico se abre hacia abajo;
(c) si ax2 + bx + c = 0 tiene soluciones reales r1 y r2, con r1 �= r2, el
gráfico corta al eje x en x = r1 y x = r2;
(d) si ax2 + bx + c = 0 tiene una raíz doble r, el gráfico es tangente al
eje x en r;
(e) si ax2 + bx+ c = 0 no tiene soluciones reales, el gráfico no corta al
eje x;
(f) el gráfico es simétrico de la recta x = −b/2a;
24 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
(g) el vértice de la parábola es el punto (−b/2a, (−b2 + 4ac)/4a).
Si y = ax2 + bx+ c (a �= 0), entonces y = a
(
x2 + b
a
x+ c
a
)
.
Si sumamos y restamos el cuadrado de 1
2
b
a
y operamos:
y = a
(
x2 +
b
a
x+
b2
4a2
− b
2
4a2
+
c
a
)
= a


(
x+
b
2a
)2
− b
2
4a2
+
c
a


= a
[
x−
(
− b
2a
)]2
+
4ac− b2
4a
Luego, resulta:
y − 4ac− b
2
4a
= a
[
x−
(
− b
2a
)]2
Llamando h = − b
2a
y k =
4ac− b2
4a
, tendremos:
y − k = a(x− h)2 o bien y = a(x− h)2 + k
Si a > 0⇒ a(x− h)2 ≥ 0⇒ a(x− h)2 + k = y ≥ k.
El punto (h, k) es el vértice y la parábola abre hacia arriba.
Si a < 0⇒ a(x−h)2 ≤ 0⇒ a(x− h)2+ k = y ≤ k: la parábola abre hacia
abajo.
Ejemplo 6 Determine, por el método de completar cuadrados, eje y vértice
de
f(x) = −3x2 + 2x− 1. Dibuje su gráfica.
Solución Seguiremos el método descripto previamente:
y = f(x) = −3x2 + 2x− 1 = −3(x2 − 2
3
x+
1
3
)
= −3(x2 − 2
3
x+
1
9
− 1
9
+
1
3
) =
7. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 25
= −3
[(
x2 − 2
3
x+
1
9
)
− 1
9
+
3
9
]
=
= −3
[(
x− 1
3
)2
− 1
9
+
3
9
]
=
= −3
[(
x− 1
3
)2
+
2
9
]
= −3
(
x− 1
3
)2
− 2
3
Luego, la expresión resultante es
y −
(
−2
3
)
= −3
(
x− 1
3
)2
La ecuación del eje de la parábola es x = 1/3 y el vértice de la misma está
en el punto (1/3,−2/3). Su gráfico es el siguiente:
En la figura próxima vemos los gráficos asociados con las funciones cua-
dráticas y = x2, y = x2 + 6, y = x2 − 5x+ 6 y y = x2 + 5x+ 6.
26 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
Mientras el término de la potencia más alta determina el comportamiento
básico de la función cuadrática (la hace una parábola), los otros términos tienen
sus propios efectos especiales. El término constante opera produciendo un
cambio vertical: en este caso sube la parábola 6 unidades (o la desplaza hacia
abajo si la constante fuera negativa). Use una graficadora de funciones para
experimentar qué efectos ocurren en el gráfico de la parábola, al ir cambiando
el término constante. Por ejemplo, ¿cómo son los gráficos de y = x2 + 5x+ 7
o y = x2+5x− 2, comparados con el gráfico de y = x2+5x+6? Seguramente
deberemos ver bastantes gráficos para convencernos del efecto del término
constante.
El término lineal−5x o 5x sirve para cambiar la parábola a la derecha o a la
izquierda, respectivamente. Nuevamente, use su graficadora de funciones para
ver los efectos de asignar una variedad de valores diferentes a este coeficiente.
Por ejemplo, ¿cómo es el gráfico de y = x2−4x+6 o y = x2+2x+6 comparados
con el de y = x2 − 5x+ 6? Notaremos, sin embargo, que el efecto de cambiar
el coeficiente de x no tan sólo traslada el gráfico de derecha a izquierda o
viceversa: mientras es más grande produce, como puede comprobarse, algún
movimiento vertical (hacia arriba).
Como hemos visto con las funciones de potencia, el signo del coeficiente
principal (el factor del término de la mayor potencia) determina en su mayor
parte el comportamiento de la parábola. Cuando él es positivo la parábola abre
hacia arriba, cuando es negativo, abre hacia abajo. De cualquier forma que
abra, así como x crece indefinidamente en una u otra dirección, la parábola
crece o decrece hacia el infinito. Además, por su misma naturaleza, toda
parábola tiene un punto de cambio. Si la parábola abre hacia arriba, este
punto corresponde al valor mínimo de la función. Si abre hacia abajo, al
máximo valor de la función.
Otra información clave sobre la función cuadrática es que siempre tiene dos
7. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 27
ceros. Estos son los valores de la variable que hacen 0 a la función. Equiva-
lentemente, si hacemos igual a cero a la expresión para la función cuadrática,
entonces tenemos una ecuación cuadrática que posée dos raíces. Notemos que
una función tiene ceros y una ecuación raíces. Las dos raíces de cualquier
ecuación cuadrática
y = ax2 + bx+ c
pueden siempre encontrarse mediante la fórmula cuadrática:
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
Dependiendo de la particular orientación de la parábola, estas raíces pueden
ser números realeso un par de números complejos y conjugados. Al igual que
el punto donde una recta corta al eje x da la raíz de una ecuación lineal, los
puntos donde la parábola corta al eje x dan las raíces reales de una ecuación
cuadrática.
Por ejemplo, la ecuación cuadrática
x2 − 5x+ 6 = 0
tiene raíces reales x = 2 y x = 3. Su gráfico se muestra en la figura; notemos
que el gráfico corta al eje x dos veces, una vez cuando x = 2 y otra cuando
x = 3.
Así, vemos que, para cualquier función cuadrática, “las raíces reales de
una ecuación cuadrática corresponden a los puntos donde la parábola asociada
corta al eje x”.
28 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
Dado que las raíces son 2 y 3 para esta ecuación cuadrática, podemos
factorizar el polinomio como
x2 − 5x+ 6 = (x− 2)(x− 3)
Por consiguiente, vemos que “las raíces reales de una ecuación cuadrática
corresponden a los factores lineales del polinomio cuadrático”. Así, si sabemos
que una parábola corta al eje x en un punto x = r, entonces x = r es también
un cero de la función cuadrática asociada y x− r es un factor de la expresión
cuadrática.
Dependiendo de la orientación de la parábola (hacia arriba o hacia abajo)
y la posición del punto de cambio, una parábola puede no tocar nunca al eje
x, como con x2 + 6 que consideramos antes. En tal caso, la correspondiente
ecuación cuadrática tiene, no obstante, dos raíces, pero ellas son raíces com-
plejas. Si una ecuación cuadrática tiene raíces complejas, ellas deben aparecer
en pares de la forma α ± β i, donde i =
√
−1. Esto sigue directamente de la
fórmula cuadrática cuando el término dentro del radical, b2 − 4ac, es negati-
vo. Esta expresión es llamada discriminante. Así, cuando el discriminante es
negativo, las dos raíces aparecen separadamente por suma o resta de la raíz
cuadrada de tal discriminante negativo.
Una tercera posibilidad es que la parábola puede solamente ser tangente
al eje x; en este caso lo roza y vuelve y no corta al eje. Como un ejemplo,
consideremos la función cuadrática y = x2 − 4x+ 4. ¿Cuáles son las raíces de
la ecuación cuadrática correspondiente?
Ejercicio 1 Use una graficadora para examinar el gráfico correspondiente;
¿cuál es el significado de las raíces en este caso?
8 Otras funciones polinómicas
Si el grado del polinomio igualado a y es tres, la función es llamada la función
cúbica y su gráfico parábola cúbica. En general, una función cúbica tiene la
forma:
y = ax3 + bx2 + cx+ d
Por ejemplo, el gráfico de la función cúbica y = x3+3x2−8x−4 se muestra
en la figura.
8. OTRAS FUNCIONES POLINÓMICAS 29
Este gráfico es típico de una función cúbica. Notemos primero que una
curva de este tipo se dispara hacia +∞ en una dirección y hacia −∞ en la
otra. También podemos ver que hay dos puntos de cambio y que la curva dada
corta al eje en tres puntos.
En general, una función cúbica tiene tres ceros y una ecuación cúbica, dada
por
ax3 + bx2 + cx+ d = 0
tiene tres raíces. Las raíces pueden ser todas reales o bien, una raíz real y dos
raíces complejas. Además, cada una de las raíces corresponde a un factor de
la expresión cúbica.
“Las raíces reales de una ecuación cúbica corresponden a los puntos donde
la curva cúbica asociada corta al eje x”.
“Las raíces reales de una ecuación cúbica corresponden a los factores linea-
les del polinomio cúbico”.
“Las raíces complejas conjugadas corresponden a un factor cuadrático del
polinomio cúbico”.
Si una cúbica tiene tres raíces reales, entonces la curva corta al eje x en
esos tres puntos. Si hay sólo una raíz real, entonces la curva corta al eje x sólo
30 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
una vez, como se ve en la figura.
Por ejemplo, la cúbica:
f(x) = (x− 1)(x+ 2)(x+ 5) = x3 + 6x2 + 3x− 10
tiene tres raíces reales en x = 1, −2 y −5, correspondientes a cada uno de los
tres factores. Además, como el coeficiente principal, 1, es positivo, la curva
cúbica debe aumentar hacia +∞ cuando x tiende a +∞ y disminuir hacia −∞
cuando x→ −∞. Verifique ésto usando una graficadora.
Aún cuando hay una fórmula para calcular las raíces de una ecuación cúbi-
ca, ella es considerablemente más complicada que la fórmula cuadrática y es
raramente usada. Si el polinomio cúbico se halla factorizado, podemos encon-
trar las raíces directamente ya que cada factor corresponde a una raíz. Sin
embargo, no es muy probable que esto suceda. Usualmente, el medio más
8. OTRAS FUNCIONES POLINÓMICAS 31
simple de encontrar las raíces reales de una ecuación cúbica es aproximarlas
usando una graficadora de funciones. Para la cúbica y = x3+3x2−8x−4 dada
anteriormente, las raíces están ubicadas aproximadamente en x = −4, 561577;
−0, 4384546 y 1, 9999994 (lo cual podría sugerir que la tercera raíz es precisa-
mente x = 2. ¿Cómo podríamos verificar si este es el caso? Si ello es verdadero,
¿cómo podemos usar el hecho de que 2 es una raíz para reducir la ecuación
original?).
Finalmente, como con una función cuadrática, en una función cúbica el
coeficiente principal determina, en su mayor parte, el modelo de comporta-
miento de la función. Si el coeficiente principal es positivo, entonces la curva
cúbica aumenta como aumenta x (excepto posiblemente para un relativamente
pequeño intervalo entre los dos puntos de cambio). Si el coeficiente principal es
negativo, la curva cúbica disminuye cuando x aumenta (excepto posiblemente
entre los dos puntos de cambio).
Las ideas aquí discutidas para polinomios de grado 2 (cuadráticos) y 3
(cúbicos), pueden extenderse a polinomios de cualquier grado n. En particular,
tenemos los hechos siguientes:
• Un polinomio de grado n tiene precisamente n ceros.
• La correspondiente ecuación polinómica de grado n tiene precisamente
n raíces. Ellas pueden ser reales o complejas.
• Las raíces complejas ocurren de a pares de complejos conjugados, α±β i,
donde i =
√
−1.
• Las raíces reales corresponden a los puntos donde la curva corta al eje x.
• Las raíces reales corresponden a los factores lineales de la expresión po-
linómica.
• Un polinomio de grado n tiene, a lo sumo, n− 1 puntos de cambio.
• Todo polinomio tiende a ±∞ cuando x → +∞ o cuando x → −∞. La
dirección depende del signo del coeficiente del término de mayor potencia.
Si bien podemos usar un graficador para producir el gráfico de un poli-
nomio, debemos ser muy cuidadosos para interpretar lo que la calculadora o
la computadora dibujan. Usualmente, las características más importantes de
cualquier función y de un polinomio en particular, son:
32 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
• Su comportamiento final (aumento o disminución cuando x es muy gran-
de).
• Intervalos donde la función es creciente o decreciente.
• La ubicación de los puntos de cambio.
• Los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia
abajo.
• La ubicación de sus puntos de inflexión.
• La ubicación de sus ceros reales.
El comportamiento final puede verse fácilmente si usamos en el graficador
una ventana razonablemente grande. Sin embargo, la ubicación de los puntos
de cambio y los ceros es un aspecto local del gráfico y pueden desaparecer
fácilmente de él si usamos también una ventana muy grande. Por otro lado, si
usamos una ventana muy pequeña, perderemos ciertamente el comportamiento
general del polinomio. Si nos enfocamos sobre un punto de cambio o una raíz
en particular, perderemos usualmente de vista todos los otros. Es raro que una
única vista sea suficiente para mostrar todos los detalles importantes de una
función. Por lo tanto, usaremos, en todos los casos, la información obtenida
en las diferentes vistas de nuestra calculadora o computadora para realizar un
dibujo de la función, llamado gráfico completo.
9 Clasificación de funciones
Sea una función f : A→ B. Si ocurre que elementos distintos del dominio tie-
nen imágenes distintas en el codominio, entonces f se llama función inyectiva,
biunívoca o uno a uno.
Por otra parte, si todo elemento del codominio es imagen de algún elemento
del dominio, la función se llama sobreyectiva.
Cuando sepresentan ambas situaciones simultáneamente, la función se lla-
ma biyectiva o correspondencia biunívoca.
Definición
f : A→ B es inyectiva⇔ ∀x, ∀a ∈ A : [x �= a⇒ f(x) �= f(a)]
9. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 33
Utilizando la contrarrecíproca, también podemos definir:
f : A→ B es inyectiva⇔ ∀x, ∀a ∈ A : [f(x) = f(a)⇒ x = a]
Esta segunda forma de definición es más conveniente cuando quiere de-
mostrarse que una función es inyectiva. Si utilizamos pares ordenados, la
inyectividad puede definirse también de la siguiente manera, equivalente a las
anteriores:
∀x,∀y,∀a ∈ A : [(x, y) ∈ f ∧ (a, y) ∈ f ⇒ x = a]
Es decir que dos elementos no pueden compartir la misma imagen y, salvo
que sean iguales.
Ejemplo 7 Pruebe que f : R→ R | f(x) = x3+1
3
es inyectiva.
Solución Para demostrarlo, debemos probar que:
∀x, ∀a ∈ A : [f(x) = f(a)⇒ x = a]
Partimos del antecedente de la implicación:
f(x) = f(a)⇒ x
3 + 1
3
=
a3 + 1
3
⇒ x3 + 1 = a3 + 1⇒ x3 = a3 ⇒ x = a
Geométricamente, si la función es inyectiva toda recta horizontal corta a
su gráfica a lo sumo en un punto. El gráfico de la función es el de la figura:
34 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
Ejemplo 8 Pruebe que f : R→ R | f(x) = x2 no es inyectiva.
Solución Para negar la inyectividad basta exhibir un contraejemplo. Es decir:
f : A→ B no es inyectiva⇔ ∃x,∃a ∈ R | [f(x) = f(a) ∧ x �= a]
En esta función, por ejemplo, ∃5, ∃ − 5 | [f(5) = f(−5) ∧ 5 �= −5]:
Definición
f : A→ B es sobreyectiva⇔ ∀y ∈ B, ∃x ∈ A | y = f(x)
En el caso de la sobreyectividad, el conjunto de imágenes se identifica con
el codominio de la función. Si para una función de A en B, el rango coincide
con el segundo conjunto, entonces f es una función sobre B. O sea:
f : A→ B sobreyectiva⇔ Imf = B
Ejemplo 9 Demuestre que f : R→ R | f(x) = 2x+ 3 es sobreyectiva.
Solución f es sobreyectiva ya que se cumple que ∀y ∈ R, ∃x ∈ R | y = 2x+ 3.
En efecto:
x =
y − 3
2
∧ x ∈ R
Ejemplo 10 Pruebe que g : Z → Z | g(x) = 3x no es sobreyectiva.
9. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 35
Solución La función g no es sobreyectiva ya que su imagen está formada ex-
clusivamente por los números enteros que son múltiplos de 3. Por lo tanto,
Img �= Z. En efecto:
∃5 ∈ Z | ∀x ∈ Z : g(x) �= 5
Un función siempre es sobreyectiva en su rango. Es decir, la sobreyectivi-
dad depende exclusivamente de la elección del segundo conjunto al definir la
función. Si el segundo conjunto es el rango la función es sobreyectiva. Si el
segundo conjunto tiene algún elemento que no pertenece al rango, la función
no es sobreyectiva.
Demostrar sobreyectividad en un conjunto significa probar que todo ele-
mento de este conjunto tiene una preimagen en el dominio. En cambio, para
demostrar que una función no es sobreyectiva en un conjunto, basta exhibir
un elemento del conjunto que no tenga preimagen en el dominio.
Definición
f : A→ B es biyectiva⇔ f es inyectiva ∧ f es sobreyectiva
En este caso queda establecida una correspondencia biunívoca entre A y
B.
Ejemplo 11 Pruebe que f : R→ R | f(x) = x3 es biyectiva.
Solución
(a) f es inyectiva: ∀x,∀a : (x3 = a3 ⇒ x = a)
(b) f es sobreyectiva: ∀y ∈ R, ∃x ∈ R | y = x3. En efecto, x =
3
√
y ∧ x ∈ R.
Ejemplo 12 La función g : Z → Z | g(x) = 3x no es biyectiva pues no es
sobreyectiva (Ejemplo 88).
Ejemplo 13 La función f : R → R | f(x) = x2 no es biyectiva pues no es
inyectiva (Ejemplo 86).
36 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
10 Función exponencial
La población de Florida era de 9, 75 millones de personas en 1980 y, desde
entonces, ha estado creciendo constantemente, como puede verse en la tabla
de la izquierda:
Año
Población
(en millones)
1980 9, 75
1981 10, 03
1982 10, 32
1983 10, 62
1984 10, 93
1985 11, 25
1986 11, 57
1987 11, 91
P ∆P
9, 75 −
10, 03 0, 28
10, 32 0, 29
10, 62 0, 30
10, 93 0, 31
11, 25 0, 32
11, 57 0, 32
11, 91 0, 34
¿Cómo es este crecimiento poblacional? Si la población estuviera creciendo
según un modelo lineal, entonces los cambios o incrementos en la población
∆P de un año al otro serían todos iguales. Vamos entonces a verificar estas
diferencias en la tabla dibujada a la derecha.
Vemos que las sucesivas diferencias son crecientes (ésto tiene sentido porque
como la población crece, hay más gente para hacer niños). Consecuentemente,
la población de Florida ha estado creciendo a una tasa que es ligeramente
mayor que una tasa lineal. Veamos si podemos determinar qué tipo de modelo
de crecimiento es.
Supongamos que dividimos la población de cada año por la población del
año anterior. Esto da, aproximadamente lo siguiente:
Población en 1981
Población en 1980
=
10, 03 millones
9, 75 millones
= 1, 029
Población en 1982
Población en 1981
=
10, 32 millones
10, 03 millones
= 1, 029
Población en 1983
Población en 1982
=
10, 62 millones
10, 32 millones
= 1, 029
Esto significa que la población de Florida en cualquier año dado es 1, 029
veces la población del año anterior. Equivalentemente, podemos decir que la
10. FUNCIÓN EXPONENCIAL 37
población crece de un año al otro 2, 9 %, entre 1980 y 1983. Si verificamos la
población que figura para los años siguientes hasta 1987, veremos que crecía con
el mismo factor de cerca de 1, 029, o 2, 9 %, cada año. Siempre que el factor de
crecimiento (aquí 1, 029) sea constante, tenemos un crecimiento exponencial.
Si t es el número de años desde 1980,
cuando t = 0, población= 9, 75 = 9, 75 · (1, 029)0
cuando t = 1, población= 10, 03 = 9, 75 · (1, 029)1
cuando t = 2, población= 10, 32 = 10, 03 · 1, 029 = 9, 75 · (1, 029)2
cuando t = 3, población= 10, 62 = 10, 32 · 1, 029 = 9, 75 · (1, 029)3
Más generalmente, después de t años, la población de Florida es
P (t) = 9, 75 · (1, 029)t
Esta es llamada una función exponencial con base 1, 029. Se usa el nombre
de exponencial porque la variable t está en el exponente. La base 1, 029 es el
factor de crecimiento por el cual la población crece cada año.
Si suponemos que esta relación continúa para los próximos 40 años, enton-
ces podemos graficar la población como se muestra en la figura. Vemos que la
función es obviamente creciente. Más aún, el gráfico crece en forma sostenida
a medida que el tiempo pasa, y se curva hacia arriba. Este comportamiento
es típico de una función exponencial. Comparemos esto con lo que ocurre con
una función lineal creciente, la que crece siempre con la misma tasa, por lo
que su gráfico es una recta. Porque este gráfico se curva hacia arriba, decimos
que es cóncavo hacia arriba. Precisamente, aquellas funciones exponenciales
que suben lentamente primero, como ésta, suben extremadamente rápido con
38 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
el tiempo. Es por esto que mucha gente percibe el crecimiento exponencial de
la población como una amenaza para el mundo.
El gráfico mostrado, es sólo una aproximación del gráfico verdadero de
la población de Florida. Ya que no podemos tener fracciones de personas, el
gráfico debería, teóricamente, ser dentado, con pequeños escalones hacia arriba
o hacia abajo cada vez que alguien nace o muere o entra o sale del estado. Sin
embargo, con una población tan grande, los escalones son muy pequeños y
esencialmente invisibles a simple vista con la escala que usamos. Un gráfico
suave es actualmente una buena aproximación para la población.
Ejemplo 14 Estime la población de Florida en el año:
(a) 2004, (cuando t = 24);
(b) 2028, (cuando t = 48);
(c) 2052, (cuando t = 72).
Solución La extrapolación para el futuro está basada en nuestra suposición
de que la población continúa creciendo exponencialmente a la misma tasa de
2, 9 % por año. Más allá del futuro que proyectamos, estas predicciones son
aventuradas porque otros factores pueden cambiar esta tasa de crecimiento
(¿puede pensar en alguno?). No obstante, usaremos el modelo que encontramos
para predecir hacia adelante y así hallar:
(a) P (24) = 9, 75 · (1, 029)24 = 19, 36 ≈ 9, 75 · 2 millones
(b) P (48) = 9, 75 · (1, 029)48 = 38, 45 ≈ 9, 75 · 4 millones
(c) P (72) = 9, 75 · (1, 029)72 = 76, 37 ≈ 9, 75 · 8 millones
Veamos lasrespuestas del ejemplo anterior. Después de 24 años, la pobla-
ción se ha duplicado. Después de aproximadamente otros 24 años (un total
de t = 48 años), se ha duplicado nuevamente. Después de aproximadamente
otros 24 años (t = 72), la población se ha duplicado otra vez. Vemos, en con-
secuencia, que el tiempo de duplicación de la población de Florida es cercano
a los 24 años.
Toda población que crece exponencialmente tiene un tiempo de duplicación
determinado. La población mundial se duplica, generalmente, cada 38 años.
Dado que se admite una población cercana a los 5.500 millones, será del orden
de los 11 mil millones en 38 años más y aproximadamente 22 mil millones
10. FUNCIÓN EXPONENCIAL 39
de personas en 76 años. Como otra forma de ver ésto, piense que, para una
persona de 76 años, la población mundial se cuadruplicó durante su vida.
En nuestro próximo ejemplo, una cantidad decrece exponencialmente en
vez de crecer.
Ejemplo 15 Pérdida de intensidad de una señal en cables de fibra óptica
La intensidad de cualquier señal en un cable de fibra óptica, tal como se
usan para telefonía y otras líneas de comunicación, disminuye 15% por cada
10 millas (unos 16 kilómetros). Encuentre una expresión para la intensidad
de la señal remanente después de cualquier número de millas. ¿Cuánto quedó
de la señal después de 100 millas? ¿Cuán lejos llega una señal hasta que su
intensidad se reduce a sólo el 1% del nivel original?
Solución Si la señal disminuye 15% cada 10 millas, entonces después de cual-
quier tramo de 10 millas sólo queda el 85% de la intensidad de la señal original.
Sea S◦ la intensidad inicial de alguna señal en un cable de fibra óptica y S(n)
la intensidad de la señal remanente después de n · 10 millas de longitud. Por
lo tanto, para n = 1, después de 1 · 10 millas de longitud, queda el 85% de S◦.
Similarmente, después de las segundas 10 millas de longitud del cable, queda
el 85% de la intensidad de la señal al comienzo del tramo, o sea S(2) = 85%
de S(1).
Continuando de este modo, resulta:
S(0) = S◦
S(1) = (0, 85) · S◦
S(2) = (0, 85) · S(1) = (0, 85) · (0, 85 · S◦) = (0, 85)2 · S◦
S(3) = 0, 85 · S(2) = (0, 85) · (0, 85)2 · S◦ = (0, 85)3 · S◦
y así, después de n · 10 millas de longitud del cable,
S(n) = (0, 85)n · S◦
Después de 100 millas, cuando n = 10, el nivel de intensidad de la señal
remanente es
S(10) = (0, 85)10 · S◦ = 0, 1969S◦
esto es, queda casi el 20% de la intensidad de la señal original.
40 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
Para resolver cuán lejos debe llegar una señal para que su intensidad se
reduzca al 1% de la original, debemos encontrar cuándo
S(n) = (0, 85)n · S◦ = 0, 01S◦
Si dividimos ambos lados de esta ecuación por la intensidad inicial S◦ de
la señal, tenemos
(0, 85)n = 0, 01
Si usamos la calculadora y tratamos de resolver esta ecuación por prueba y
error, encontraremos que n ≈ 28, así que la señal se deteriora el 99% después
de 28 · 10 millas de longitud o sea cerca de 280 millas. Supongamos que el
equipo usado pueda detectar claramente una señal que tenga el 0, 01% del
nivel original, ¿cuán lejos podría estar la estación elevadora?
Para que este ejemplo tenga sentido, n debe ser un número no negativo.
Sin embargo, en general, la función exponencial y = S(x) = S◦ · (0, 85)x puede
estar definida para cualquier número real x. En el caso particular en que
S◦ = 1, escribimos algunos valores en la siguiente tabla:
x S(x)
1 0, 85
2 0, 723
3 0, 614
4 0, 522
5 0, 4437
6 0, 3771
7 0, 3206
8 0, 2725
9 0, 2316
10 0, 1969
Notemos cómo esta función es decreciente (o declinante) y que cada esca-
lón es más pequeño que el anterior. Esto es así porque, desde que la señal
se debilita, cada vez hay menos señal para disminuir y así, el decrecimiento
en la intensidad de la señal disminuye cada 10 millas de longitud del cable.
Recordemos que, para el crecimiento exponencial, cada escalón que sigue es
más grande que el anterior. Al igual que en el crecimiento exponencial, en la
10. FUNCIÓN EXPONENCIAL 41
declinación exponencial el gráfico es cóncavo hacia arriba.
Más, como el proceso continúa, la intensidad de la señal en el cable de
fibra óptica está, obviamente, más y más cerca de 0. Decimos que el nivel se
aproxima asintóticamente a cero en el sentido que no llega a 0 en cualquier
intervalo finito de tiempo y que el eje horizontal, en este caso, es una asíntota
horizontal al gráfico de la función exponencial decreciente.
10.1 La fórmula de la función exponencial
En general, P es una función exponencial de t con base a, si
P = P◦ · at
donde P◦ es la cantidad inicial (cuando t = 0) y a es el factor de crecimiento
o decrecimiento por el cual P cambia cuando t se incrementa en 1 unidad. El
dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales.
Suponemos que a > 0 y a �= 1.
Si a = 1+ r, entonces P es incrementado 100 · r% cada período de tiempo.
Si a = 1− r, entonces P disminuye 100 · r% cada período de tiempo.
r es la tasa de crecimiento o la tasa de declinación.
a = 1± r es el factor de crecimiento o factor de declinación.
Por ejemplo, si una cantidad está creciendo el 5% en un año, entonces
r = 0, 05 es la tasa de crecimiento y a = 1+r = 1, 05 es el factor de crecimiento.
Si una cantidad está disminuyendo a la tasa del 25% en una hora (por ejemplo,
la eficiencia de un medicamento en el cuerpo), entonces r = 0, 25 es la tasa de
declinación y a = 1− r = 0, 75 es el factor de declinación.
Podemos reconocer que una función P = f(t) dada por los valores de una
tabla de datos está creciendo o decreciendo exponencialmente, examinando
42 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
las razones entre los sucesivos valores de P , como hicimos con la población
de Florida. Si ellas son constantes para valores de t igualmente espaciados,
entonces concluímos que los valores siguen un modelo exponencial. Además,
la razón común es, precisamente, el factor de crecimiento o declinaciónn para
el proceso. Así, con los valores de población para Florida, la razón común era
1, 029, número que es el factor de crecimiento; la tasa de crecimiento asociada
es 0, 029 = 2, 9% por año.
Además de eso, el tiempo de duplicación para una cantidad que crece expo-
nencialmente, es el tiempo necesario para duplicarla; la vida media para una
cantidad que decrece exponencialmente, es el tiempo necesario para reducirla
a la mitad.
Ejemplo 16 Encuentre la vida media de la intensidad de la señal que está
siendo transmitida a lo largo del cable de fibra óptica en el ejemplo anterior.
Solución Sabemos que la intensidad de la señal después de n · 10 millas de
longitud es
S(n) = S◦ · (0, 85)n
Anteriormente, encontramos que después de 5 · 10 millas de longitud, la
intensidad de la señal bajó hasta 0, 4437S◦, así que la vida media es segura-
mente algo menos que 5. También sabemos que S(4) = S◦ · (0, 85)4 = 0, 522S◦.
Usando el método aproximado de prueba y error, encontramos que el verdade-
ro valor es cercano a n = 4, 265 veces 10 millas de longitud o sea 42, 65 millas.
Esto es, la intensidad de la señal cae a la mitad cada 42 y 2/3 millas.
Notemos que tuvimos suerte de ser capaces de determinar, en este ejem-
plo, la vida media por prueba y error. En general, encontrar el tiempo de
duplicación para un proceso de crecimiento exponencial o la vida media para
un proceso de declinación exponencial, es algo más complicado, pero puede ser
hecho exactamente mediante el uso de logaritmos, como veremos más adelante.
Ejemplo 17 Tratemos de modelar la cantidad de aire contaminado en los
pulmones. Supongamos que inicialmente no hay nada en los pulmones y que
la cantidad comienza a crecer lentamente a medida que la persona respira. Así
como la cantidad de contaminante crece, así es la tasa a la cual el cuerpo
lo elimina. Por ello, como el tiempo pasa, el nivel de contaminante se va
atenuando y se acerca al valor de saturación S. En el gráfico se ha dibujado
la cantidad de contaminante versus el tiempo.
10. FUNCIÓN EXPONENCIAL 43
La cantidad Q comienza en cero y regularmentecrece hacia el nivel de
saturación S. La recta que representa el nivel de saturación es una asíntota
horizontal, porque la curva está más y más cerca de ella a medida que el tiempo
crece, pero nunca la alcanza. La tasa de la cantidad de contaminante, que crece
lentamente cuando se acerca a S, hace que la curva se combe hacia abajo, por
lo que la curva es cóncava hacia abajo. Supongamos que necesitamos encontrar
una fórmula para modelar este proceso, para la cantidad Q como una función
de t. A un nivel muy simple, podemos encontrar un modelo matemático por
inspección del gráfico del proceso y decidir qué clase de función tiene la forma
justa. La gráfica de la figura puede sugerir una función exponencial declinan-
te que se “vuelca” a medida que nos aproximamos al nivel de saturación S,
haciéndose casi horizontal. Si suponemos que la diferencia entre el nivel de
saturación S y la cantidad Q en los pulmones decrece exponencialmente, di-
gamos al 20 % por mes, entonces, para cualquier tiempo t dado, la diferencia
entre S y Q es:
S −Q = (diferencia inicial) · (0, 20)t
donde t está medido en meses. Pero el valor inicial de esta diferencia es
S − 0 = S, así que
S −Q = S · (0, 2)t
Resolviendo para Q, resulta:
Q = S − S · (0, 2)t = S · [1− (0, 2)t]
Esta función es una exponencial al revés, por el signo menos: como t crece,
(0, 2)t se hace más y más pequeño y así, la diferencia 1−(0, 2)t crece y se acerca
44 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
más y más a 1. Usamos el símbolo “→” para significar “tiende a” o “se acerca
más a” o “se aproxima a”. En consecuencia, podemos escribir simbólicamente
que (0, 2)t → 0 cuando t→∞, así que 1− (0, 2)t → 1, cuando t→∞. Luego:
Q = S · [1− (0, 2)t]→ S, si t→∞
Las curvas que vimos anteriormente en las dos primeras figuras, son ambas
combadas hacia arriba y usamos el término cóncava hacia arriba para describir
su comportamiento. La curva de la esta figura está combada hacia abajo y
decimos que es cóncava hacia abajo. Como veremos ahora, hay dos formas en
que una curva puede ser cóncava hacia arriba: ella puede representar a una
función creciente o a una función decreciente.
Análogamente, hay dos formas en que una curva puede ser cóncava hacia
abajo: puede ser una función creciente o una decreciente. Estos cuatro casos
se muestran en la figura de arriba. Crecimiento/decrecimiento y concavidad
son dos propiedades totalmente distintas de una curva y ambas proveen infor-
mación muy importante sobre el comportamiento de una función. Lo mismo
que es posible para una función ser creciente en una región y decreciente en
otra, es posible que sea cóncava hacia arriba en una y cóncava hacia abajo en
otra. Además, el punto donde la concavidad cambia de cóncava hacia arriba
a cóncava hacia abajo o viceversa es conocido como punto de inflexión.
El gráfico de una función es cóncavo hacia arriba si está combado hacia
arriba.
El gráfico de una función es cóncavo hacia abajo si está combado hacia
abajo.
El punto donde la concavidad cambia de cóncava hacia abajo a cóncava
hacia arriba o de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo es un punto de
inflexión.
10. FUNCIÓN EXPONENCIAL 45
Ejemplo 18 Identifica todos los intervalos donde la función f mostrada en la
figura es: (a) creciente; (b) decreciente; (c) cóncava hacia arriba; (d) cóncava
hacia abajo. Entonces, indica todos los puntos donde la función: (e) tiene un
máximo; (f) tiene un mínimo; (g) tiene un punto de inflexión.
Solución Comprendemos que la cuestión es primero encontrar intervalos de
x donde ocurren los diferentes tipos de comportamiento. Comenzamos por
redibujar el gráfico, introduciendo todos los puntos x1, x2, . . . , x9 donde el
comportamiento de la función cambia.
Vemos que la función es creciente para x entre x3 y x5 y también entre x7
y x9. La función es decreciente entre x1 y x3 y también entre x5 y x7. Por
otra parte, la curva es cóncava hacia arriba entre x2 y x4 y también entre x6 y
x8; y es cóncava hacia abajo entre x1 y x2, entre x4 y x6 y también entre x8 y
x9. Seguidamente, vemos puntos particulares de la curva. La función alcanza
sus máximos cuando x = x1; cuando x = x5 y cuando x = x9. El más grande
de estos máximos locales es x = x9. Análogamente, la función alcanza sus
mínimos en x = x3 y x = x7. El menor de éstos está en x = x3. Finalmente,
los puntos de inflexión ocurren donde la concavidad cambia y esto pasa en
x2, x4, x6 y x8.
Vemos que las cuestiones que responden “dónde” un cierto comportamiento
ocurre están referidas a la variable independiente, x en este caso. Si buscamos
conocer algo sobre “qué” ocurre, entonces necesitamos mirar a los valores de
la variable dependiente y.
Finalmente, dado que las funciones exponenciales involucran trabajo con
exponentes, se aplican todas las reglas algebraicas para operar con exponentes.
46 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
Como recordamos:
Reglas para exponentes
∀a ∈ R y n,m ∈ Z+
1. am · an = am+n
2. am/an = am−n
3. (am)n = amn
4. a0 = 1
5. a−1 = 1/a y, en general, a−n = 1/an
6. a1/n = n
√
a siempre que n
√
a exista
11 Funciones de potencia
Otra importante familia de funciones son las funciones de potencia. Por ejem-
plo, el área, A, de un círculo de radio r está dada por
A = f(r) = πr2
La superficie, S, de una esfera de radio r es:
S = f(r) = 4πr2
(imagina una pelota de tenis cuya superficie está compuesta, aproximadamen-
te, por cuatro regiones circulares).
El volumen, V , de la esfera, es:
V = f(r) =
4
3
πr3
Análogamente, consideremos la ley de atracción gravitacional, la que describe
cómo varía la fuerza de gravedad de la tierra o de cualquier otro objeto, con
la distancia; si F es la atracción gravitacional ejercida sobre una unidad de
masa situada a una distancia r del centro de la tierra, la Ley de Gravitación
del Cuadrado Inverso nos dice que:
F =
k
r2
o F = kr−2
donde k es una constante positiva.
Todas éstas son funciones de potencia, ya que la variable independiente
está elevada a una potencia constante. En cada caso, la variable dependiente
11. FUNCIONES DE POTENCIA 47
es proporcional a una potencia de la variable independiente. En general, una
función de potencia es cualquier función de la forma
y = f(x) = k · xp
donde k y p son constantes cualesquiera (por contraposición, en una función
exponencial y = abx, la variable x es el exponente o potencia y la base b es la
constante).
En esta sección, investigaremos los efectos de los diferentes valores de la
potencia p sobre las funciones de potencia. Compararemos, también, funciones
de potencia para distintos valores de p, con funciones exponenciales, para ver
cuáles crecen más rápidamente. Notemos que en el caso especial en que p = 1,
la función de potencia se reduce a y = kx (k es una constante), la que ya vimos
como una función lineal.
Por lo tanto, las funciones lineales están también incluídas en la compara-
ción. Averiguaremos dónde estas funciones son crecientes o decrecientes, si son
cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo; qué clase de simetría, si existe,
tienen. También nos interesaremos sobre el comportamiento de estas funcio-
nes cerca del origen, cuando x está cerca de 0 y cuando es muy grande o se
aproxima a +∞ o a −∞. En suma, investigaremos las tasas de crecimiento de
estas funciones, en el sentido de conocer cuáles crecen más rápidamente para
grandes valores de x.
En efecto, estas son las clases de cosas que queremos conocer sobre cualquier
tipo de funciones, ya que nos muestran el modelo de comportamiento que ellas
representan.
11.1 Potencias enteras positivas
Comencemos considerando funciones de potencia de la forma f(x) = xn, donde
n es un entero positivo. Estas funciones son: y = x, y = x2, y = x3, . . .. Vemos
en la figura que sus gráficos se dividen en dos grupos: los de potencias impares
y los de potencias pares. Primero estudiemos las funciones de potencia con
exponente impar; todas estas funciones (x, x3, x5, . . .) son crecientes cuando
x crece de izquierda a derecha. Además, cada gráfico pasa por elorigen y es
simétrico con respecto al origen. Vemos también que, para n ≥ 1, todas las
funciones de potencia impares son cóncavas hacia abajo para x negativo, y
cóncavas hacia arriba para valores positivos de x. Así, la concavidad, en cada
una de estas curvas, cambia para x = 0, lo que significa que todas las funciones
48 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
de potencia impares, de la forma f(x) = x2n+1, con n ≥ 0, tienen un punto de
inflexión en el origen. Examinemos algunas de estas funciones observando sus
gráficos.
Veamos ahora las funciones de potencia pares. Ellas primero decrecen
(hasta x = 0) y luego crecen, a medida que x crece. Además, todas pasan
por el origen, son simétricas respecto al eje y, y tienen forma de “U” como
la parábola. Así, todas las funciones de potencia pares son siempre cóncavas
hacia arriba, por lo que no tienen un punto de inflexión.
Hemos visto que todas las funciones de potencia, sean pares o impares,
pasan por el origen. Notemos también que todas ellas pasan por el punto
(1, 1), ya que 1n = 1 para cualquier potencia n. Además, todas las funciones
de potencia par pasan por el punto (−1, 1), mientras que todas las impares lo
hacen por el (−1,−1). Así, estos puntos particulares sirven para graficar a las
funciones de potencia y son puntos clave donde las diferentes características
de estas funciones se ponen de manifiesto.
El origen (0, 0) representa el lugar donde las funciones de potencia par al-
canzan su mínimo valor y las de potencia impar tienen su punto de inflexión.
Además, el punto (1, 1) representa la separación entre dos tipos de compor-
11. FUNCIONES DE POTENCIA 49
tamiento diferentes para estas funciones: el comportamiento cerca del origen
y el que observan para valores muy grandes de x. Ya que todas las funciones
de potencia pasan por el origen, podemos tomar su comportamiento para x
cerca de 0 como una carrera y ver cuál se aproxima a 0 más rápidamente. Del
mismo modo, ya que todas las funciones de potencia crecen indefinidamente
para grandes valores de x, podemos tomar también este comportamiento para
x grande como una carrera diferente y ver cuáles funciones se aproximan más
rápidamente al infinito.
Vamos a examinar primero la carrera hacia el infinito. En la figura vemos
que, para valores más altos de la potencia de x, la función aumenta más rápi-
damente. Para valores de x grandes (para todos los valores de x > 1), y = x5
está sobre y = x4, la que está sobre y = x3, etc. Podemos comprobarlo, por
ejemplo, considerando x = 10: 105 es más grande que 104, el que a su vez es
más grande que 103, y así sucesivamente. No sólo las potencias superiores son
más grandes, sino que esta comparación se hace más pronunciada para valores
mayores de x. Si repetimos el cálculo anterior por ejemplo para x = 20 en
lugar de 10, lo comprobaremos. A medida que x se hace más y más grande
(escribimos ésto como → ∞), cualquier potencia positiva domina a cualquier
potencia menor.
Veamos ahora la carrera hacia el 0 y verifiquemos el comportamiento cerca
del origen. Como se observa en la figura, el orden de magnitud se invierte: x5
es más pequeña que x4, la cual es más pequeña que x3. Podemos comprobarlo
considerando, por ejemplo, x = 1
10
: 1
105
es menor que 1
104
, el cual es menor que
1
103
, y así sucesivamente. Vemos que para valores grandes de x, las potencias
altas dominan en la carrera hacia el infinito. Para valores pequeños de x,
cercanos a cero, las potencias más altas dominan también a las menores en la
carrera hacia el cero.
Como un caso especial consideremos la función de potencia con exponenete
cero: y = x0. Como hemos definido la potencia cero de cualquier número no
nulo igual a 1 (a0 = 1, para a �= 0), tenemos por lo tanto:
y = x0 = 1
expresión que será constante para todo x �= 0. Consecuentemente, su gráfico
es una recta horizontal; no es creciente ni decreciente, y no es cóncava hacia
arriba ni cóncava hacia abajo.
50 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
11.2 Potencias fraccionarias
Veremos ahora el caso de funciones de potencia con potencias fraccionarias,
tales como y = x
1
2 , y = x
1
3 , y = x
3
2 , . . ..
En álgebra, los exponentes fraccionarios se introducen simplemente como
recursos para simplificar operaciones con términos que contienen radicales, tal
como:
x
1
2 =
√
x
x
1
3 = 3
√
x
x
5
8 = 8
√
x5
y, en general,
x
m
n = n
√
xm
siempre que n
√
xm pertenezca al conjunto de los números reales.
Como veremos, sin embargo, tales funciones aparecen naturalmente en mu-
chas áreas. Por ejemplo, los biólogos han encontrado una relación entre la
altura H de un animal y su peso P :
P = k ·H 23
donde k es una constante de proporcionalidad (recordemos que H
2
3 significa
que primero elevamos H al cuadrado y entonces tomamos su raíz cúbica o
viceversa). Esta relación es conocida como la ley cuadrado-cúbica, ya que la
expresión puede reescribirse como P 3 = m · H2, para la nueva constante de
proporcionalidad m = k3. Una consecuencia de esta ley es que una hormiga
puede cargar varias veces su propio peso, mientras que un elefante puede cargar
sólo una fracción de éste. ¿Por qué? Otra consecuencia es que ninguna de
aquellas películas de terror que involucran el ataque de arañas de 100 pies de
largo tiene sentido biológicamente; si el tamaño de una criatura creciera 100
veces, su peso crecería mil veces y sus extremidades, relativamente delgadas,
no podrían soportarlo.
Para entender mejor cómo estos procesos que se modelan usando una fun-
ción de potencia con exponente fraccionario ocurren, examinaremos el com-
portamiento de la clase fundamental de funciones de la forma y = x
m
n = n
√
xm.
Ya que muchas potencias fraccionarias tales como x
1
2 =
√
x y x
1
4 = 4
√
x están
definidas solo para valores positivos de x, restringiremos al dominio para to-
das las funciones de potencia fraccionaria a x ≥ 0. Además, para cualquier
potencia fraccionaria, si x = 0 entonces y es cero también; toda función de
11. FUNCIONES DE POTENCIA 51
potencia con exponente fraccionario positivo pasa por el origen (discutiremos
potencias negativas después). Por otro lado, cuando x aumenta, toda fun-
ción de potencia con exponente fraccionario tiende a infinito. Por lo tanto
podemos considerar de nuevo las dos carreras: ¿cuáles términos con potencias
fraccionarias se acercan más rápidamente a cero?, ¿cuáles más rápidamente a
infinito?
La figura muestra que para valores grandes de x (para todo x > 1), el
gráfico de y = x está encima del gráfico de y = x
1
2 , el cual está encima del
gráfico de y = x
1
3 . Vemos que ésto tiene sentido si consideramos qué sucede,
por ejemplo, cuando x = 10. Tenemos:
10
1
2 =
√
10 ≈ 3, 16;
10
1
3 = 3
√
10 ≈ 2, 15
así 10 > 10
1
2 > 10
1
3 . ¿Dónde esperaría ver el gráfico de y = x
3
4? ¿Qué opina de
y = x0,99 = x
99
100 y de y = x1,01? ¿Cómo se comportan comparando con la recta
y = x? En general, para potencias fraccionarias superiores a 1, la función de
potencia es más grande siempre que x > 1.
¿Qué sucede cerca del origen, cuando x está entre 0 y 1? Por ejemplo,
supongamos que x = 1
10
= 0, 1, con lo que ( 1
10
)
1
2 =
√
0, 1 ≈ 0, 316 y ( 1
10
)
1
3 =
3
√
0, 1 ≈ 0, 46. Por lo tanto, concluímos que cerca del origen la situación se
invierte: y = x está por debajo de y = x
1
2 , la cual está por debajo de y = x
1
3 .
52 CAPÍTULO 6. LAS FUNCIONES EN EL MUNDO REAL
Además y = x
3
2 está entre y = x e y = x2 para todo x. Por lo tanto, para x
cerca de 0 son menores las funciones de potencia con exponentes fraccionarios
más grandes. Nuevamente, las potencias mayores ganarán la carrera hacia 0.
Podemos comprobar estas ideas gráfica y numéricamente usando un graficador
de funciones.
Otra cosa importante sobre los gráficos de y = x
1
2 e y = x
1
3 es conocer su
concavidad. Los gráficos de y = x2 y y = x3 son cóncavos hacia arriba, ya
que ellos crecen cada vez más rápidamente cuando x aumenta. Sin embargo
los gráficos de y = x
1
2 e y = x
1
3 son cóncavos hacia abajo ya que