08-05-2018

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
ANÁLISIS MATEMÁTICO I – EXAMEN FINAL 08-05-2018 
 
 
I II III IV V TOTAL 
20 25 15 20 20 
 
 
APELLIDO Y NOMBRE................................................ 
CARRERA: .................................................................. 
Realizar un ejercicio por hoja. Trabajar en forma prolija y ordenada. Numerar todas las 
hojas sobre el total de hojas entregadas. En todas las hojas colocar: nombre, apellido y 
especialidad. 
 
 
Ejercicio 1:(20 puntos) 
a) Sea la función )(xfy  obtenida por composición de las funciones derivables )(1 ufy  y ).(2 xfu 
Enunciar y demostrar la derivada de la función compuesta f (Regla de la cadena). 10 
b) Definir mínimo absoluto de una función. Escribir las hipótesis bajo las cuales el teorema de Weierstrass 
garantiza la existencia de extremos absolutos. 4-2 
c) Justificar la verdad o falsedad de la siguiente proposición: “Si )(xgy  es una función derivable x y 
)1()1(  gg entonces 1|| /  cc y 0)(' cg ”. 4 
 
Ejercicio 2:(25 puntos) 
Dada la siguiente función ,
)2(
1
)(
2
2



x
x
xf indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. 
Justificar analíticamente las respuestas. 
a) La función derivada de f es 
3)2(
42


x
x
 V 8 
b) f tiene asíntota horizontal en y=1 V 5 
c) f no tiene puntos de inflexión F 8-4 
 
Ejercicio 3:(15 puntos) 
Sea la función h: [2;4] , definida por 
 
 Hallar entre todos los triángulos cuyos vértices 
coinciden con los puntos ); ,(V 021 ); (x,V 02 ,)(3 )x(x,hV la base y la altura del triángulo de mayor área y calcular 
dicha área. 
 
Ejercicio 4:(20 puntos) 
a) Sean u y v dos funciones derivables. Deducir la fórmula para la integración por partes, siendo conocida la 
expresión .vdu
 
8 
b) “Si f es una función continua en [a,b], ¿puede ser  
b
a
dxxf 0)( ?” Justificar la respuesta. SI - 4 
c) Calcular dx
x
x


1
0
3 )ln(1
 8 
 
Ejercicio 5:(20 puntos) 
a) Sea  na una sucesión numérica, completar con el conectivo lógico correcto y dar un ejemplo de uso del 
siguiente teorema: .0.......0 

n
n
n
n
alimalim
 4
 
b) Indicar cuando una serie de términos alternados



1
)1(
n
n
n c , ,0 ncn  converge condicionalmente 6 
(3-3) 
c) Dada la serie de potencias 
 
:
42
5
1
12





n
n
n
n
x
c1) ¿Cuál es su intervalo de convergencia?; c2) ¿ Para
4
1
x 
dicha serie es convergente? Justificar las respuestas. 8-2