Aplicación de la integral definida

Vista previa del material en texto

l
I-~~-------- ---.------------------------------------------------~T'=~-~:~~r~,J<;'''''----J ~",~-~~,~~~ --~--
Aft!~rj ~llJ1ltJJH,ª~, , ::1 11 ." _ 11 " .
~ l.'; • i ,!: 'A'" I L <» ¿" I _ ,..1.., •
'1, i:' ,1
,l i
.Jif ,)1 ¡ ll::
IS ',l!::IIiiI
• -: I ~ _"~ ••" I I .
.~
;:'
1/'
.~-- ..,~'
'~'--".:.:
Autores: Cclestino Benito Bruui
Felieia Dora Zuriaga
Matias Pablo Brutti
/
AQfUPQC- _nOlOQicO #/ » J~
~ ~<:;] --~ .l'
,- F::Jculiao~~ncl "(]f(]no
-"'4" •
ti.'.! V~RSID.:D TECNOCOG!CA NACiONAl.
!I\CUL I AD REGIONAL PARANA
AGOSTO 2003
APLICACIONES
DE LA
II-JTEGRAL DEFINIDA
índice
Tema 1 - Cálculo del volumen de un sólido en función de las áreas de secciones
paralelas.
Tema 2 - Cálculo del área lateral de un sól ido de revolución.
Tema 3 - Cálculo del trabajo.
1 "..-.-.
rr-;
"..-.-.
'"
r>.
r>.
»<.
r---
""""
~
~
»<;
,..-..,
"..-.-.
,..-..,
,..-..,
r--.
r>.
rr>.
,..-..,
~
Tema 4 - Cálculo de presión de los líquidos. Fuerza sobre una placa plana sumergida en
un líquido.
Tema 5 - Cálculo de mornen .os estáticos de líneas, superficies y volúmenes.
Tema 6 - Cálculo de centros de gravedad de líneas, superficies y volúmenes.
Tema 7 - Cálculo de momen:os de inercia de líneas, superficies y volúmenes.
Tema 8 - Cálculo del valor medio y eficaz.
Tema 9 - Aplicaciones él la ingeniería.
APUCACíONES DE LA INTEGRAL DEFiNIDA
, "
CALCUU) DFL T'()L(/¡HEiV IN; UN ,)'(JUDO Flv FUNC!ON DE LA,)' ARE'¡t';DE SECC!ONI-,'S
/JARALELAS.
Todas las secciones del sólido en estudio son de área conocida como por ejemplo: triángulos,
cuadrados, círculos, etc.
Si graficamos un sólido de sección conocida, podemos calcular las úreas Ch.,) para distintos
valores de x.
el . A~ Al ;',. d 1., e ' " " v.~(xi ) •...., '-' 'u ca c " • ..,ccclon el' -';
0c\¡) e~ el áre8 de la sección
perpendicular al eje x en x¡
(J(X2) es el área de la sección en )(2
Entonces podemos asegurar que existe una función /\. = Q(x) (la cual debe ser intcgrablc).
y b = x,
x. X2 Xi-I x, Xn-2 Xn-J X
--~--+!--~--~~~h~.r--~I--~--A~vh~r---+--~--41------------+~
b""IX"
Graficamos ahora las secciones correspondientes a Xi-I y "."1 y llamemos Ci a un valor
intermedio entre Xi.! e x,
Xj_! ...< E¡ <.: X¡
Estas dos secciones determinan un volumen elemental CU)'O valor es: t.1j, V, == Q«(;i)~Xi
fIff)/,--área = Q(c¡)
i--l \
____ ~ I A
i--l I
F-\I
~I
I I ¡" ¡\Xi
--------~ I !----=:-.
Xi.! I x:
Si
Si hacemos la SUJna integral y 1:1 11(1111311105 \'11
1=11 , ,
V,., ==- ¿º(c;).i~·, siendo el volumen, el límite de la suma integral cuándo el máx. 6x¡ ._> O
,~1.
Cclcstino Benito Brutti - Fclicia Dora Zuriaga - Matías Pablo Brutti
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
11.
V -
i~1 /"_}{ -. '\ A _. .. rb /"\{ .. \ .J .. __ ,unl Z: I,¿\t. I }D.' I - Ja ,¿\.\ jU_\ ~>
mnxlu.:¡-4() ;=1
Ejemplo:
Calcular el volumen del elipsoide de scmicjes a, b y c.
Solu ciÓI1:
Sabemos que la ecuación de la elipsoide es:
Si graficamos:
El objetivo es dejar que el área de las secciones del elipsoide obtenidas por la intersección con
planos perpcndicularcs-al eje x sean solo función de x.
Luego:
)12 ,. 2 • y2
--- + -=-- = 1- --'-
,2 2 2() e a
y2 Z2--~---+ -_....::...._--= j
r ~---~2 r ~---~2
I I ,"2 1- I l. 1-2 l-. .. lC~I-1- -" 2I(\II-~' I
LV (]J V (]J
.17 17
Esta es la ecuación de una elipse de semiejes b, = bJl- "'2 Y eJ =-= ell- '"2
V U V u
_... .. ,.-1\. . (. y2)
t-I area de esta elipse es fJ\X) = 'J({Jl el = 'J({JC¡ l - -" - I
\. a2./
APLiC¡\CIONI~S DE LA INTECRAL DEFINIDA
Ahora podemos aplicar la fórmula:
(
2 \ ( 3 )"V == 11/ O(x,\1:í = la nbc 1 - ~ Jld\.' -r- nbc X - ~
-ti - -a 2 ~ 2, a / Ja _(1
V = 1thc[(a - ~ J - (- a + ~ J] c-:: .1ttabc :=>
3, _ , 3
l. J. 3
En una esfera r = a = b = e :=> ¡Ll.· = ~ nr
3
APLICACIONES DE LA INTeGHAL DE.FINIDA
A1U~ALA 7ERA1, DF llN Cl lERPO DL' RFVOLllCJ(JN
Dada la curva de ecuación y = I{:-;)con a s x s b
Sea además f(x) continua y derivahle en [a, b]
y f(x) continua en ra; b]
Si hacemos girar la curva alrededor del eje x;
y 1 y = f(~)a) Coordenadas cartesianas
generamos una superficie de 1 evulucion,
o--~4-~-~--------~:--~b--+--'x
\
\
\
\<.»:
y si hacemos girar el área limitada por y = f(x);
- 8=P"
P·Vi.1 \I I ,1, \
/\=Po -p1P;: /1 :: :
r~lll I
I I I I I I I I
1 , , I I I I I
: : : :: :: :
I I , I I I I I v
~~ __ ~~'-L~LyJ~'~I~~ ~~
O a===xo Xi_1 x, b=Xn
x = a; x = b e y = O generamos un sólido de revolución.
De la misma forma que realizamos cuándo calculamos
la longitud de área de una curva, dividimos AB en partes:
Llamemos As¡ ia cuerda del arco Pi-1 t,
l' J2J 2 2 l1yt,.s -r- L1.x + 6)' =- J + -' t,.y., , ,'\ A·, .- ,~ -, LlX,
Siendo AVi =f{x,) -.f{X¡-I) [(Xi.]) f(:O:i f(Xi)
11x¡ = Xi ~ Xi-!
Si aplicamos el Teorema del Valor Medio del
Cálculo Diferencial en [Xi-l; x.] obtenemos:
L\y¡ _ ¡(x;)- ¡(xi-!) - 1"(,,)' » , <'., «
-- -_... \Lo ¡ siendo X¡ -1 -. SI ".x,
fui X¡ - x¡_!
X
Xi.] r:¡ x,
l. Li.x; ~I
Luego:
-
- "2
L1.\', = ~l + [¡'(s,)J ,6..\,
Si hacemos girar alrededor del eje x a la cuerda: Ss, = P i-1P, ; obtenemos el cono truncado
indicado en la figura.
x
Pi
Pi-I
f(Xi)f(x;_\ )
Xi·1 x,
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFiNIDA
El área lateral de este cono truncado es:
1r(x .. )+ r(x)lM¡ = 271:1.~ \ 1-11 ~ " \ 11 1Li.,,¡
L 1- J
1r(x .)+ r(x)l / r I ''"
Mi =271:[_" \ 1-,1
2
J \ IIj'V1-I-l.f'\S¡Jft.x¡
f~v4¡ = 2íf/(f., }Jl + [('(E¡))" 6X,
La SU111a integral A, es:
El área lateral del sólido de revolución es A = llm [AJ
IIWX!¿..l:i---70
l=n ¡--------
A = 11m 271:¿f(E.}Jl-l- [['(E¡ )]2 LU:¡ o sea
Illa.\·¡\xj-+O 1=1
lA ~ rh -r \ '1 rr¡{ )12d I=1-71:j TIXI-.I +1 IX 1 Xa' \ I '" 1,,1 \ 1..1
Si la curva gira alrededor del eje y, desde y = e hasta y = d, siendo la ecuación de la curva:
v= ~(\!\.I\. .'- J J
La función x = F(y) debe ser continua y dcrivable en [c; d] Y F/(y) debe ser continua en [c; d]
El área lateral se calcula por:
I Á-,- ')'!T rd ,d ,,\'/1 -1- r ,¡I( ,,)12 d" I1" -"Jc' v/v' . l' V JJ -;; 1
Ejemplo:
Calcular el área lateral de la superficie de revolución que se obtiene al hacer girar la curva de
ecuación y = 0,2x3 - 2x + 4 desde x = O hasta x = 3,5 cm.
APLICACIONli;S I)E LA INTEGRAL DEFINIDA
Solución:
y = O,2x3 - 2x + 4 continua y derivable
en [O: 3,5]
y' = O,6x2 -:2 continua en LO;3 ,S J
A == 2nl~.f(x).J1 + [f'(x W dx
A == 2 7LL~,5(O,2x3 :- 2x + 4)J~~I(o.~:~;-=~Y~ú:
r4 == 149,218 CI112j
b) Coordenadas D()I'II'CSV VV', ti 1ft. ¡JU~, ..•. •.
Si la curva está dada en coordenadas:
p = p(O) entre El = a y El == B
Si la curva gira con respecto al eje polar
el área lateral Sp es:
.• y (cm)
~I'
1
p = p(O)
Siendo p(8) derivable y continua en [cc; B] con derivada continua en [a; ~]
Si gira respecto al ~ie transverso el área lateral Sr es:
S, 2 ,[1 1.r == ni x.c s
-u
""
""
X (cm) '"
~
~
->,
'"
~
~
...-..,
.,; ...._ ... . .
:].
Ejemplo:
Calcular el área lateral que se genera al girar la curva p = 2 + cose alrededor del eje polar descle
o = O hasta O = "/2
Sohu:i/m:
p = 2 -1 cosO continua y derivable en [O; "/2]
p' = -senO
o:,,
I
--t-,
I
I
I_2 S,"..L..-...___, 7[/ J 2 (P'\~ .s, =2nJ¡;2pseIl8, p + rd(-j
7(/ ,_ ... --------------
Sr = 2itJ~'2 (2 + cos O)SCll O.y(2 + cm; 0)2 + (- sen 0)2 dO == 41,814 u.d.s.
~)p= 41,814 ud.s.1
r ••ll'dinn n"nitn n •.••tfi - ¡'••!iri" n'H"j.l 7.!lr"im'll- MM-Íns Pahlo Brutti
APLlC:\CiOf·;¡;;S DE LA INTEGRAL DEFINIDA
CÜ,CUUJ Dl~L TRABA.JO lCEAUZADO IJOR UNA FUí~l?ZAF
'""'
'"' a)
r"",
'"""' r.
-r-,
'"'
~ F. x
KF2--------r----+~
a b
En la figura vemos un cuerpo que se desplaza horizontalmente al aplicarle una fuerza constante
El trabajo realizado por la fuerza F al desplazar el cuerpo desde x = a basta x = b es:
W = F(b-a)
b) Si la fuerza F no tiene el mismo sentido que el desplazamiento como se ve en la figura.
F 'r
~-()------~r x
a b
El trabajo es:
W = F. cosO(b - a)
Es muy importante destacar que si no hay desplazamiento no hay trabajo. Por ejemplo SI
sostenemos un peso elevado en una posición fija no hacemos trabajo.
e) ¿Qué pasa si Fvaría en forma continua en función de la posición de un punto material?
Si llamamos x a la distancia de! punto de aplicación de la fuerza a un punto fijo de la recta, la
fuerza vendrá dada por la expresión: F(x)
x-~---+-----~--41-----+~
O él x b
Dividimos [a; b] en 11 subintervalos de longitud LlX¡; siendo x: un punto de ese subintervalo.
X¡
-f-----+-++l-+-t-I-t-f-I --.~ x
O a --J LlX¡ ~ b
Si suponemos n suficientemente grande, tal que en LlX¡ la fuerza F(x¡) es constante, podemos
decir que el trabajo elemental para recorrer LlX¡ (suponiendo que F(x¡) es paralelo a LlX¡) es:
LlVI¡ = F(x¡) LlX¡
Procedemos ahora a realizar la suma integral: \Vn
i=n
W" = ¿F(x¡ )Ll.\'"¡
¡=\
Celestinu Bcnit« Bruüi - Fclicia Dora Zuria~a - Matias Publu Bruui.
APLlCAOONRS DR LAINTEGHALDEJ<JNlDA
Si tomamos el límite de esta surnatoria cuándo el máximo flx¡ tiende a cero obtendremos el
trabajo total de F(x) para desplazar el cuerpo desde a hasta b.
i=n .
W = lim L:F(x¡ )f..x¡ = I:F(x)dr
maxL\x¡----*O i=l
W = lb F(x)dx
a
Unidades:
Sistema Técnico: la unidad de fuerza es el kilogramo y la de longitud el metro
W [Kgm]
Sistema internacional y lVlKS: la unidad de fuerza es el Newton y la de longitud el metro
[W] = [N.m] = 'N[Julio]
Sistema cgs: la unidad de fuerza es la dina y la de longitud el centímetro
[W] = [dina.crn] = W [ergio]
Sistema ingles: W[pie - libra]
Equivalencias: 1 Julio = 107 ergios
1 Kgm = 9,8 Julios
1 Julio = 0,7376 pie -libra
No debe utilizarse en el sistema ingles para trabajo la unidad libra - pie pues está reservada
para momento; par o cupla.
Ejemplo:
Calcular la expresión del trabajo necesario que debe realizar la fuerza F (de acuerdo a la ley de
Coulomb) para desplazar una carga q2 desde la posición Al que se encuentra a una distancia r¡ de
q, hasta la posición A2 que está a una distancia r2 de qr. A...mbas cargas son positivas.
Al A2
• ~ - •qz q21< f2 C(I
1<
TI
~
Solución:
De acuerdo a la ley de Coulomb la fuerza de repulsión entre estas cargas es:
F=kr¡lq2
,.2
Siendo k la constante de proporcionalidad; cuyo valor depende del sistema de unidades
utilizado.
__ f __ .• ~ ~ : •• _ T'Io. LL! I":'_'!_!_ T'\. .. '7 ! l\1I_¿.!. __ 0_1.1 .• n._ ..•.~:
APUCA_CJONES DE LA INTEGRA LDEFINLOA
EIl el Sistema lntcruaciouul de Unidades
,\/ 2
K = 8,98742 X l09 ~
COIl/~
El trabajo es:
rr1 (11(1, f"1 q,(I, .W = - k--'-'" dr = '. k~dx
-rJ,.2 .r, x"
r 1 Jrz [, l 1 JW=kq¡Cf2 -- =kq¡Cf2 --:-+-:-LX" 12 1)r--------------~
W = kq¡q2 [l.. -~]
rl "2
q, y q2 se miden en Coul.
[¡ y 1'2 se miden en m.
Ejemplo;
Un depósito cónico cuya base tiene un 0 de 5m y 6m de alto, contiene un líquido dc peso
específico y = 1kg / :1 . Si la profundidad del pelo de ¡:¡gua es de 4m medidos desde el border:
superior; calcular el trabajo necesario para bombear este liquido hasta 2m por encima del borde
del depósito.
Solucián: y (m)s
2111
8-y
Si consideramos un disco eleurental de peso .'lp¡
;=11
Wn == I iL\¡2y(S - y, ~y¡
;=1 ---+--t--1'--'lI--+--+------ X (m)
El trabajo elemental para levantar este
peso hasta la altura de Sm es:
Si hacemos la suma integral: \VIl
Si tomamos el límite de \Vil cuando el máx Lly¡ __o> 0,
tendremos: La ecuación de la recta es:
[2 - )24 2 .j ,J)' .¡W = L iL\ y(S - J}6! = 7tyfo --f;.- (8 - Y~0!
.1, -
y=.Ji..x ó
2,5
2,5
x=----y
6
APLICACIONES DE LA INTEGRALDEFJNIDA
W = 1t X 1000 X 6,25 x 64 x 2 = 58 177,6[kuom]
36 3 ~
ArLiC,\CIONES nE LA lNTEGRALDEFINIDA
FU/~RZA DFFJíDA A LA FNESf(JN DI',' LOS FUJ!f)()S'
a) Sea S una superficie y F una fuerza aplicada perpendicularmente a S
" d f CJlLa presten se enne como: L.IJ
Si la fuerza 110 es perpendicular él la superficie S, se deberá considerar la proyección de F que
es perpendicular a S.
F cose¡En ese caso p = S
Las unidades que se utilizan son:
lIf
Sistema Internacional y M.K.S.: Pascal (Pa); Pa = -'-'
171
2
dinaSistema c.g.s.: baria = ~
C1I7 •
/,(;
Sistema Técnico: _"0_"
2
11I
Sistema Ingles: p.s.i. = 11:
in"
Una unidad usual es el Kg./cm2 que es equivalente a:
1Kg/e1ll2 = 0,9807 Bar = 715,5(-)111111 de columna de Hg =1 O,018m de columna de agua
14,223 p.s.i. = 97,9047KPa
¿Cómo varía la presión en el interior de un liquido a distintas profundidades?
Si tenemos un depósito lleno con líquido de peso específico y y consideramos un punto P a una
profundidad h del pelo del líquido. La presión en P es p:
P =t h
Si tenemos un área S horizontal la fuerza F ejercida. sobre el área es:
F= p.S
IF = Sil hl
,..------- .,-
APLJCAClONRS Olí: LA INTEGRAL OEFINIDA
b) Fuerza sobre una superficie plana sumergida en un fluido
Consideremos un líquido y sumergimos en este una superficie plana.
La superficie deberá sumergirse verticalmente }' por lo tanto las distintas partes de .la misma
quedarán a distintas profundidades del pelo de! líquido de peso específico y
Si hacemos coincidir el eje x con el pelo del líquido; el eje y me indicará las distintas
profundidades.
La superficie plana debe estar totalmente
contenida en el plano xy.
Si consideramos un rectángulo elemental genérico
a una profundidad h, siendo p¡ un punto sobre la
o Pelo del líquido
hCC-l------=--s-u-pc-r-fj+ci: plana
~yJ '----/'
ld p¡(X¡;y¡)
curva que limita la superficie y x = g(y) la ecuación de la misma.
La fuerza ejercida por el líquido sobre ese rectángulo elemental de altura lJ.y¡ y base x, es:
y
Siendo x¡ = g(Yi) e y¡ un valor comprendido entre 11¡y h, + ~Yi
~F¡ = y y¡ g(y¡) ~y¡
Si realizamos la suma integral: F,
i=nr; = I:».g(y; )~y;
;=1
Si tomamos el límite de esta sumatoria cuándo el máximo ~y¡ ----* O
¡¡=
e) La fuerza total que realiza el liquido sobre una superficie plana sumergida verticalmente en
ese líquido es igual al producto del úrea sumergida por el peso específico del líquido y por la
distancia existente entre el pelo del líquido y el eentroide del área sumergida.
Pelo del líquido
F = a.b.y.y, Ye
APL¡CACiOi~ES DE LA iNTEGRAL DEFiNiD/"
cuciuo tvt: \1')' ,'''j,'hI'lY)(' n),', i xurs s: \'[")];'1),.,""'T/.'(' v '.'/)1 [j·'l.'(j,'n¡;·",./1 J. J.J 1,,/1'1/'( IVljl'v/\..Id/./I,I,llvr.dlL), d ./11-.11\.11\../1:"1.-' 1 "\'//1\'1 A\ :"1)
1) Introduccián
a) Consideremos un conjunto de masas puntuales ubicadas todas en el eje real como se
indica en la figura.
o liml
I •
lim¡
•I~ XI ' ~I
~I
Se define como momento de primer orden o momento estático del conjunto de masas
puntuales Am, con respecto al punto o a la suma de los productos de cada masa puntual por
la distancia de ella a! punto {}y se la simboliza M'o.
E! supra índice indica que las distancias están elevadas a la potencia uno y el subindicc
indica el punto o eje con respecto al cual se toma el momento.
1=11
,u·¡ -"A"l ,.II'lU-L-.,;(....j."¡··A¡
;=1
Si el momento es de segundo orden se denomina momento de inercia y se lo simboliza
rveo = lo. Las distancias se consideran elevadas al cuadrado.
i=n
2 " 2/1.10 = f o = ¿lil11¡x¡
i=l
También se pueden calcular mamen lOS de orden 1'.
i=n
M~ = L~/l1¡X:-
i=1
Ejemplo:
Calcular los momentos estáticos ]'vl'o y ¡\:1'lO y los momentos de inercia ]\120 C~ lo y fv1210 = 110
del conjunto de masas puntuales indicadas.
SKg 5Kg óKg
-+I--t--!If---t--I---+-1 --+I--tl---tl--!--.¡--+I----+~ x (m)
O 2 3 4 5 G 7 s 9 10
Solucián:
Mo = 8x2 + 5x5 + 6x8 = 89 Kgrn
1\110 = 8x8 + 5x5 + 6x2 = 101 Kgrn
lo = 8 X (2)2 -1- 5x(5)2 -1- 6x(8)2 = 541 kgm2
APLICAClON.ES [)E LA LNTEGRALDEFINIDA
Las unidades usuales son:
Para M': Kgm; g.cm; slug.ft; blob.in; utm.m; lbm.in
También es usual Kg.cm
Para I: Kgm2; g.cm"; slug.fl.'; blob.in"; utrn.m' ; Ibrn.in2
También es usual Kg.cm2
b) Si tenemos un conjunto de masas puntuales en el plano
Se pueden presentar los siguientes
casos de momentos estáticos,
de inercia o de orden r:
y
, i=n
M = }'l1m.y.x ~. 1 I
i=1
di
----------- Am,
"(lz d : \dpi
------ :Li"ñ1¡- -----_e~_: \ p
, dp2_--;.------ .•
I _- I
Y2 --------:-------:2C~12 :
I I :, , ,
~------~:---- __'-------,--~X
O X¡ Xi
yi
Yl
b.) Momento estático del cnnj unto
de masas puntuales con respectoal eje x.
b2) Momento estático del conjunto de masas puntuales con respecto al eje y.
, ;=11
My = ¿I1JJl¡Xi
;=1
br) Momento estático del conjunto de masas puntuales con respecto al origen.
I i=n ( )1/2 2 /2M u = ¿Sm¡ », + y;
;=1
bs) Momento estático del conjunto de masas puntuales con respecto a la recta.
, j=n
MI = ¿111l1;di
;=1
bs) Momento estático del conjunto de masas puntuales con respecto a un punto P
cualesquiera.
, i=nu; = ¿!1Jll¡dp¡
i=1
Los momentos de inercia más importantes son:
b6) Momento de inercia polar del conjunto de masas puntuales.
i~l1( 2 2 \,
[o = L », + y; jillll¡
i=l
APLlC.ACIONES DE LA INTEGRAl., DEFINIDA
b7) Momento de inercia con respecto al eje x de! conjunto de masas puntuales.
i=1I
J x = LY; Sm,
1=1
b:.;)Momento de inercia con respecto al eje y del conjunto de masas puntuales.
;=11
J y = LX; tstn¡
i~l
b9)Momcnto de inercia ccntrifugo con respecto a los ejes x e y del conjunto de masas
puntuales.
i~/1
J~T = Lxiy¡f.l7li
i=l
b¡o) Momento de inercia con respecto a una recta I de! conjunto de masas puntuales.
i="
1, = '" d2 Snt
I ¿ I I
i=l
Algunos momentos de orden r son:
bll)Momento de orden r del conjunto de masas puntuales con respecto al eje x.
I~II
Iv!'" = '" v" funx ¿'" I :
i~l
b¡2) Momento de orden r del conjunto de masas puntuales con respecto al eje y.
i=J1
11< = LX; f.1lI ¡
, i~1
b13) Momento de orden '0 de! conjunto de masas puntuales con respecto al origen.
APLlC¡\ClONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
2) Cálculo de momentos estáticos de lineas, superficies J' volúmenes
) . 'a Lmens
La densidad lineal se mide en Kg.rrn; gr/cm;
Vamos a calcular los momentos estáticos de
la línea de densidad lineal y
slug/ft; blob/in; utrn/rn ó lbm/in
x~---------------------+o
La línea curva que va desde A hasta B cumple con y := [(x).
Para este estudio suponemos que y = f(x) es continua y derivable en [a; b] Y f '(x) es
continua CIl [a; b].
Si dividimos AB en n partes, coincidiendo A con Po y B con P, tendremos:
Pn-l
p¡
P Pi-!ss o P,,
I,,,
01
'
Xi Ax. x.,
~.\~1
Del tema longitud de arco de una curva sabemos que:
6.<; := -J I + f,(¡;·)2 6x.
I • • 1 ¡ siendo x.., < ~i < x,
»<
A cada LlS¡corresponderá un elemento genérico elemental de masa Arn, tal que Llm¡ = yLlSi
Los momentos elementales de primer orden con respecto a los ejes son:
al) Con respecto al eje x
6..M'x¡ = 11111¡..f(¡; i)
L\Aü-¡ =:: y6S¡ ./(8,)
A ,\ z t , 'V 1 + [f'(_ \12 r(- \ A r
lJJ '1 .~i = , / 0 ¡JJ . \0; JU. ;
y B
Si hacemos la suma de los momentos
elementales obtenemos la suma integral.
M :"1/ ='f Y~1 + [¡'(E,)Y f(E; )I:\x¡
;=1
.~.: .
M'x= lim ;fy~1 + [f'(Ei)r/(E;)L\x=
I1IGX/\X;~O ;=1
Si tomamos el límite cuándo el máximo I1X¡ --~ O
APLlCACION.ES DE LA INTEGRAL DEFJNJOA
a-) Con respecto al eje y (siguiendo el mismo criterio).
bJd)'¡ = l:"m¡8¡
M4jJ¡ = yl:"s¡8¡
M'(F¡ = Y~r-l +-[-1"-(E-¡)]-2 E¡fui
MjJn =Iy~l+[I'(E¡)YEi&i
¡=l
lvfYn = lim Iy~l + [1'(r.'¡)]2E¡L'L'C¡
ltlaXN:i~O ¡=l
a3) Siguiendo el mismo criterio se puede obtener M'() (Momento de pnmer orden con
respecto al origen de coordenadas).
Ejemplo:
Dada la curva material de densidad lineal y = 2Kg/m cuya gráfica en el intervalo [1; 4] esta
x2dada por V = 2 + - . Hallar los momentos de primer orden M'¿ M', y M'o.- 10 '.
Solución:
a) M'y = CYx~l + [('(x)Y dx
M 'y = f
l
4 2x~1 + (O,2X)2 d..x= 17,327kgT1l
&fy = 17,327 kglJlj
b) M x = f:yf(x )Jl + [I"(x )]2 dx
M x = f¡4 .2~ + 0,lx2 )J1+ (0,2x)2 dx = 18,488kgm
h,f'x = 18,488 kglllj
B,.//Primero graficamos.
Luego aplicamos las formulas demostradas pues
y = 2 + 0,1 x2 es continua en [a; b] y derivable e
y' = 0,2x es continua en [1; 4].
o 2 3 4
Cclcsfinn Benito Brutti - Fclicia Dora Zuríuza - Matlns Pablo Brutti.
APLlCAOONES IHi',LA INTgGRAL DRFINIDA
r.) A.A / Si'o, 1,,2 + [[(,.'\]2 11 1- í {' 1 .. '112/\.
... 1'/1 o = a) \ .v +) \ - tJ \.\ jJ ti.
'\4'0 = 25,40 kgm
b) De una superficie plana
Vamos a calcular los momentos estáticos del
área limitada superiormente por y = f(x),
inferiormente por el eje x y lateralmente por las
rectas x = a 1\ x = b. Siendo y = f(x) continua
ell [a; b].
La densidad superficial del área es o y se Ei
mide en: sluz/ft":,-. 'W' J.l , blob/in';
u.t.rn/m' Ó lbm/ü?
Si dividimos AJJ en n partes (de !a misma forma que cuando planteamos cálculo de
áreas) podemos decir que el centro geométrico de área elemental f(Ei) lIXi se encuentra en G¡
Los momentos estáticos (o de primer orden) con respecto a los ejes son:
b.) Con respecto al eje x.
El elemento genérico de masa elemental es:
lIl11¡ = o lIA¡ = o f(E¡) lIx¡
La distancia de! centro geométrico G¡ al eje ~ es: f(E~l
. ')
¿
.r( \
P l Á~f'.1 E¡J A.or o tanto Lln' Xi =--_._- .. DlII ¡
2
lIA.1 \-. == I(E) Oft (8 )lIx .
1 ') '. 1 1
La suma integral será
APUCACIONES DE LA iNTEGRAL DEFiNIDA
El límite de la suma integral cuándo el máx lix¡ ~ O es
Iv! x =iJ:o[f(x )J2 dx
b2) Con respecto al eje y (siguiendo el mismo criterio)
Óm¡ = ° ÓA¡ = ° f(c¡) ÓX¡
M1'YI = c¡ÓI1I¡
11M)}¡ = c¡~f(c¡ )ÓX;
i=n
A11v = '\ oc.j·(c)&'" n L,¡ I •• 1 1
;=1
i=n 1
M ~v= lim ¿ocJ(c; )t1:\:; = S:o:\f(X}l\-
1II1l~'t;.,¡ -->{) ;=1
bJ) Siguiendo el mismo criterio se puede obtener el momento de primer orden con respecto
al origen M'u.
La distancia de G¡ a O es: c; + [f~; )r
Luego:
Ejemplo:
Calcular los momentos estáticos M'x y M'y del área limitada superiormente por y = x2 - 4x + 6,
infcriormcntc por el eje x y lateralmente por las rectas x = O Y x = 4. Medidas en cm.
Solución:
y (cm)
Al calcular los momentos del área debe considerarse °= 1 6
M'x = 1L~~2- 4x + 6Y dx = 25,067cm3
2
::::OfLL~-'..LLu.r~'-"f':.L.L.c+--~x (cm)
2 3 4
5
3
[Mlx = 25,067 cm!1
2
APUCACiONES DE LA INTEC¡,AL DEFINIDA
h) M'l' = r"ox!(,)..!..l\, - Ja· \ ,
A.f'y = L>"2 - 4.1 + 6~Ú" = 26,6c¡¡¡3
!~/f')' =, 26,6 cflI!1
El área elemental es:
'l-----
e) De una superficie plana limitada po,' dos curvas
Se debe realizar el estudio de la misma
forma que lo planteamos anteriormente.
y = fl(x) e y = f2(x) continuas en [a; b].
Si 8 es la densidad superficial
,0,.111; = o,0,.A; = 8rf:(s;) - fl(G;)l~x;
Las coordenadas del centro de gravedad del área elemental ¿¡A¡ son:
el) El momento de primer orden con respecto al eje x es:
[
12(S)+ l/s )]AA! ~.¡ = ¿¡m ¡ :-'-/-'2-:'-\ 1- ..
¡}¡~rl\= off- (8) ._-f (e jl 12 ~J_~ll(8J]6X
/ l·~ / .I\/t 2 /
1=11 ') C· { I ¡. ( J' tIv! X
I1
= I.s..
2
tf2 \E¡t·- Jl r,¡)· f'\x¡
i=J
M ~~= lim [¡'vj): n] = I,~~ tf2 (x )]2 - [;; (x)Y }ú-
I1U1.'- {u:¡ ~O k
'1' f"ú·tr()F f¡'(')111¡lié x = a 2" 2 \~. j - l 1 .\, J rX
C2) El momento de primer orden con respecto al eje '/ es:
&\.1 )-'¡ = ¿¡m¡.s I
" A Á IV _. d f (c-)' "e \L A v-cav: .. ; - 0L 2 v ¡ -.11 \1> i Jf';o,,;
1=11
A{I\'<':[¡'()' ·f ')1 A11-' l'. ~c. / U 2 E - f.! E ~j. LlX·
•• 11 .:-.J. I "' I \ ',1 J" I 1
H
M)l = lim ~H ))/11;:.S:Ol/2 (x) - .11 (y)}ydx
nHf.r !\l.·¡----+O
/11 Y = fh o[/~ (x) - ./; (.X)J\(b-
a .
r..t •.•. '; •••• nuu:tn n.-u~¡~_ ~..:;..;.~n ·.. 7 ·; I\,~.• I: .•.. !'..!.!.. p. •••• t~:
APLICACIONES DE LA iNTEGRAL DEFINWA
cj) El momento de primer orden de la superficie con respecto al origen es:
Siendo la distancia de G¡ a O:
Ejemplo:
Calcular los momentos estáticos de primer orden 1\.1'x y M'), del área del primer cuadrante
limitada superiormente por la curva y = 8 - O,05x2 e interiormente por y = 8 - 4x e y = 0,5x - l.
.Medidas en metros.
Solución: y = (m)
4
Graficamos.
Como se piden momentos estáticos del área.S = 1
Intersecciones
1¡) Se debe resolver el sistema:
{
JI == 8 - 4x
y == O,5x-l
por igualación 8 - 4x = O,5x - I
-=+-+-~--+--t--l--t--+--t~f-'-f-----':X (111)
O _/-2\
.- I
\
4 lO
9 = 4,5x => x = 2 => Y = 8 - 4x2 = °
Luego 1¡(2; O)
h) Se debe resolver el sistema:
f y == 8 - 4x
LY == 8 - 0,05x2 => 8 - 4x == 8 - 0,05x2
x(°,05x - 4) == O ~ x == O => Y == 8 - 4(0) = 8.
Luego h(O; 8)
1.J)Se debe resolver el sistema:
fy:= O,5x-1
b" = 8- O,05x2 => O,5x -1 = 8- O,05x2
O,05x2 -1- O,5x - 9 = O ~ XI = 9,3178
APLlCACIONI1S DE LA INTEGRALDEFlNlDA
y = 0,5(9,3178)- 1 = 3,6589
Luego ].1(9,3178; 3,(589)
Cálculo de los momentos
Se debe calcular un momento para el área A 1 Y otro para el área A2 y luego sumarios,
Recordamos que: M} = f:: QÍJ~el") - ./1 (x )}rdr
A(v = M )'1 +1\/1h = Sc>[(s - O,OSx2 )- (8 - 4_,)}lx + f~,l 178x[(8 - 0,05x2 )- (0,5:( - l)}L\
MjJ = I~(4x2 - 0,05x3 t/.r + r'i7R(9x - 0.5x2 - 0,05X]}fx = (10,4667 + 145,1744~1I])
t\1:y = 155,6411 n/l
1 , , f" o f. r ( \12 [ (\ 12 ~Recordando que: M x = - ~T" IX IJ - ti X 11 ,'Ixa 2 ~:' " \ I . ! 1
+ /'vi ~', == 1[o2'l(g - 0,05x2). 2 - {g - 4X)2 JdX +- 2" ~ . j \
1 r'),Jlnl ~fo ' 0)2 (. 1')" 1+-2 o-(),U5x~ - 0,5x-, dx
2' L ,.' j
Al X = 41,608fJ1} + 128,5951111 ::.::170,2031l1J
.: .'
d) De un sólido
Para facilidad consideremos un sólido de revolución generado al girar la curva de
ecuación y = f(x); z = ° alrededor del eje x.
Si la densidad del sólido es 0,
Las unidades de 8 pueden ser.Kg.zrrr'; gr/m'';
I 'fl} 11 t r J ( ,J u l' 3 1 1S ugl ;) o 11m; u.t.rn.zrn o om In oe acuerc o ,
/
I
I
I ,
I /
,/
~=-----Y
al sistema de unidades utilizado,
Calculemos el momento del volumen con \\
" x,.,,,respecto al plano zy.
Consideramos la curva y ~ f(x); z = ° en el plano xy desde A a B y subdividimos 11JJ en
11partes Luego tomamos el elemento de área X¡-l; X,; P, y P¡_I y lo hacemos girar alrededor
del eje x, generando un volumen elemental (disco),
APLICACiONES DE LA INTEGRAL DEFiP-UDA
L\Vi = rt r¡2L\X¡= n[f(s¡)]2 L\x¡
Cuya masa elemental es:
L\m¡ = ú L\V¡ = t: ú[f(S¡)]2 L\x¡
y
A X
Xi_l x, b
1.••
C¡
~~:\!--
~I
El momento elemental correspondiente a esta masa se obtiene multiplicando la masa del
.- -
disco elemental por la distancia S¡ de.este al plano zy.
Si hacemos la suma integral
El límite de la suma integral cuándo el máx L\X¡-+ ° es la integral definida
i=-n
M~y = lim L:no[r(s¡)Ys¡L\x¡ =J:no[l(x)yxdx
mnXó.T,40 i=l
Luego:
M~J' = ni~ú[r(x)Y xdx
De forma similar se pueden calcular otros momentos.
Ejemplo:
Calcular el momento estático M'xy del sólido de revolución limitado por la superficie z = x2 +
l. La densidad del material es de 800 kg/m". Las medidas de longitud en cm y O::;z::; 9.
.---..
Solución:
z (cm)
Si graficamos.
g%'0=0,8 3
. . CfI/'
'.,...L-f-I--+---- ••.Y (cm)
3
----
S, d s:: 800 Kg ..::,80.::...,0::...cx-,-1.:...:0:...,::0-=-0gr¡en o u = -=-
m3 106 cm3
M'xy = nCo z(f(z)Y dz =
M'xy = ¡¡; x 0,8f~z[Fz]2 dz =
M:'(y= 0,8n[¿]9 =610gelll
3 o
f\.?/'XF = 61°geml
3
x (cm)
APLiCACiONES DE LA iNTEGRAL DEFI.N1DA
CEN77W DE GRAVEDAD, CEN'lTW DE MASAS Y CEJvTRO!DE
a) Definiciones
al) Centro de gravedad
Es el punto de un cuerpo en el cual puede admitirse que actúa el peso y sobre el que se
donde se aplica la misma.
Este punto se llama centro de gravedad del conjunto G(xc; yc;).
puede sostener en equilibrio indiferente.
Sea un conjunto de n partículas fijas en el plano.
Los pesos de las partículas se pueden
considerar con suficiente aproximación por un
conjunto de Fuerzas paralelas que se pueden
sustituir por su resultante y un punto determinado
f==!1
La resultante será PR = LP¡
i=1
P~
y¡ -------.
: p
Y3 ~--- • .1
, ,
y¡ J __ -1- __ l-l¡
, , ,
p¡ : : :
y¡ - - -4fi I I I
I I I I
: : : : ~l
Yn ---:---~---;---~---;
I I I I I
1----'-:" _.....:' I I I
x¡ x:! AJ X-1 x,
Si tomamos momentos estáticos con respecto al eje y del conjunto de pesos (fuerzas) y de
la resultante/estos deben ser iguales por estar en equilibrio'
F,x, + P2X2 + + p¡x¡ + + Pllx" = PRXG
Despejando x(/:
;=11
¿p¡xi,~'
i.::::r;
Si al conjunto de fuerzas paralelas que representan a los puntos las giramos 90° y
tomamos el momento con respecto al eje x
P'Yi + P2Y2 + + p¡)'¡ -1- + P"y" = FRyc;
Despejando Xü:
i:::'1I I=n
¿P'Yi ¿l~J'i
_;~_.l = .:..;=...::1,--_ M.:.
r !I.Yr:; 1'/1 /:.:;.1/s.:
i=l
En el punto G(xu; YG) actúa el peso del cuerpo formado por 11 partículas independientes.
Celestinu Benito Brut ti - Fclicia Dura Zuda!!a - Matias Pahlu Brutti.
APLICACIONES DE LA lNTRGRALDEFJN1DA
Si el conjunto de partículas están en el espacio, será:
i=n
¿P'X;
;=1
XG == ;=11
¿P;
;=1
i=ns.r».¿ 1.'
Y ==.:-;=--,:!_-
G ;=n
¿l~
.=1
i=n
¿P;Z;
;=!Zo == -'-'--"=-n--
¿P¡
;=1
x
El centro de gravedad est~ en G(xc;; yc;; zu).
az) Centro de masas
Es el punto de un cuerpo sobre el cual actúa la resultante de las resistencias debidas a la
inercia cuándo el cuerpo sufre una aceleración. En la tierra coincide con el centro de gravedad.
Para estudios en dinámica es necesario calcular el centro de masas. Se debe recordar que
si estamos en un lugar de la tierra la aceleración de la gravedad es g = 9,806 m/s2y es constante
y que P = m.g. (Siendo P el peso del cuerpo y m su masa)
y
i=n
¿fu17;X;
;=! M'y
M
Si tenemos un conjunto de masas puntuales en el plano:
Siguiendo el mismo criterio anterior,
tomamos momento con respecto a los ejes. Primero
con respecto al eje y.
L\m!x! + L\m2x2+ ... + ;tlm¡x¡ + .... + L\mllxll = JvIxlv[
XAf = ;=11
¿L\m;
;=1
Ahora tomamos momentos con respecto al eje x.
L\m¡y¡ + L\m2Y2 + ... + L\miYi + .. ,. + L\mnYn = MYM
;=11
¿6m;
;=1
YM
i=n
¿L\l1l;Yi
;=1
(",,¡,,<tinn TI"nito n".tti - Fc!icin Dora Zurinza - Maüas Pablo Bruttl,
APL!( '",nON ES J)J~ LA INTECHA L JWF'INlDA
Si los puntos están en el espacio:
i==n
'\' D.mx.t..- 1,
i~l
i=n
y Sm. 1'.
f-..-J 1- I
i=l
i=n
¿ 6/11 j Z i
i=1
X,\.{ /14 )/u lvl Z/I,r M
En nuestros cálculos el centro de gravedad coincide con el centro de masa.
Siendo que las partículas solo tienen peso cuándo actúa sobre ellas la gravedad, el centro
de gravedad depende del peso, pero el centro de masas es independiente de la gravedad
Podemos por ejemplo hablar del centro de masa de nuestra galaxia pero no tiene sentido
hablar del centro de gravedad de la misma.
Para determinar el centro de masa de una línea (por ejemplo un alambre) se necesita
conocer la función densidad lineal (Kg.zm) y para determinar el centro de masa de una placa
plana (una chapa delgada) se necesita conocer la función densidad superficial (Kg./n?).
a:¡) Ccutroide
Es el centra geométrico de ID. pieza. Puede coincidir con el centro de gravedad y el centro
de masa si la pieza es totalmente homogénea y con densidad constante en todos los puntos.
El centroidc de una superficie es el centro de gravedad del cuerpo obtenido recubriendo la
superficie con una capa infinitamente delgada y uniforme de materia.
Ejemplo:
Calcular cl centro de masa del siguiente conjunto de masas puntuales:
mi = lOkg concentrada en el punto Piel; 2). Coordenadas en metros.
m2 =: 5kg concentrada en el punto P2(5; 1).
111J = 8kn concentrada en el "unto P·(3· 5)\o y J,.
1114 = 4kg concentrada en el punto P4(2; 4).
1115 = 30kg concentrada en el punto P5(5; 5)
Solucion : y (m)
2
111) 111)----------";------1
1lI." ,, ,
- - - - - - -f I I
" ', I '
" ,
, I '
'1 'Inl:: :
-- ~ I I I
I '1 I
: :: n)?---r---r~--r------~
I I I '
, , I I X (m) .=+--~,--~'--~,------~'--~~
01 2 3 4 5
5
Graficamos.
4
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Calculamos Xlvi
i=5
¿111¡Xi
-=-i=...:....1__ = 10 x 1+ S x S + 8 x 3 + 4 x 2 + 30 x 5= 3,807771
KM = i=5 10 + 5 + 8 + 4 + 30
Ll11i
i=1
i=5
¿1ll¡Y¡
} _ -'-.i=...'-I__ = lQ, x 2 + 5 x t + 8 x 5 + 4 x 4 + 30 x S = 4,0526/17
) M - i=5 10 + 5 + 8 + 4 + 3O
¿m¡
i=1
b) Centro de gravedad de UIl ateo de curva plana (o centro de masa)
Consideremos el arco de curva plana que va
desde A hasta B y se corresponde con la gráfica de
y = flx).
y 7i
,,
¡,,,,,,,, , x
b ~
p¡
Lly¡
Sea y la densidad lineal de la curva.
Para este estudio se supone que y = f(x) es
continua y derivable en [a; b] Y la derivada y' = f '(x)
es continua en [a; b]
Dividimos AB en n puntos, coincidiendo A con Po y B con P,,;
o' a
Si consideramos una de estas particiones:
f""
A cada ¿\s¡ le corresponde un elemento genérico
elemental de masa ¿\Ill¡ x--L--4--~------~
Am, = y¿\s¡
X¡_I x¡
Para calcular las coordenada del centro de gravedad de la curva material debemos calcular los
momentos estáticos M'>.: y M'y.
Si hacemos la suma de los momentos elementales,obtenemos la suma integral.
u», = if y~l + LI'(Ei)]2 f(Ei )L\x¡
j~l
Ai'LiCACIOrms DE LA INTEGRAL DEFINiDA
El momento es el limite cuándo el máximo .6.X¡ ~ 0, o sea la integral definida.
M x == UI!l 'I;y~ 1 + [I'(s iW f(s ¡)Llx¡ == .r:y/(x)~ 1 + [/'(x )]2 dx
1I111X ;\XI-~O i=J
Si dividimos el momento estático del arco de curva sobre la masa del arco de curva
obtendremos Y;VI
YM == Yn
Siendo X¡...{
fh t: rf'(- .,11·· I(] YX'JI + u x)J (,X
.cy-Jl + [f'(x )J2 dx
e) Centro de gravedad de WUl CUlTU materia! cerrada
La curva cerrada se tiene como la unión de dos
y
ry ry? • 1
circunferencia x" + y- = r" se pUCdO car por dos
curvas, una superior que responde a y = f2(x) y otra
inferior que responde a y = f¡(x).
Por ejemplo si consideramos la ecuación de la
+---~------------~b---+Xa
funciones, una semicircunferencia superior
y == ~r2 - x2 y otra semi circunferencia inferior
Aplicando lo visto anteriormente:
I:yx{ ~l + [f¡'(x W + ~l + [/; (x )]2 }dr
-------- ---------------
h f r 'r )12 ¡' r .C' I \12 l tLY1 l+lfl'Xj +\)1 +U2\XJJ Jax
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Recordemos que y es la densidad lineal y que f, (x) y f2(x) deben ser continuas y derivables en
[a; b] y con derivadas continuasen [a; b].
Ejemplo:
Calcular el centro de gravedad de la curva limitada superiormente por y
inferiormente por y = x2 - 4x + 12.
12x - 3x2 e
Solución:
y = 12x - 3x2 y' = 12 - 6x
y = x2 - 4x + 12 ; y' = 2x - 4
Las funciones y = f,(x) 1\ f2(x) son continuas y derivables \Ix y sus derivadas continuas \Ix.
La intersección se obtiene resolviendo el sistema:
v
f y = x2 - 4x -1- 12
Lv = 12x - 3x2 por igualación
12
3
x2 - 4x + 12 = 12x - 3x2
2. . x] = J
4x - 16x + 12 = 0<
x2 =3
8
1,(1; 9) ; h(3; 9)
r x~l + (2x - 4)2 dx + I¡3x~1 + (12 - 6xy dxx - ]
G - g~1+(2X-4Ydx+ I~~1+(12-6xYdx
x~ = 5,91577 + 12,99612 = 2
ü 2,958 + 6,498
rd--~--r--+--+---~XO
2 J 4
I]J ~2 - 4x + 12)J 1+ (2x - 4Y dx + I]1 (12x - 3x 2 )J1+ (¡2 - 6x y dx _
Ye = -
I I¡3~1 + (2x- 4y dx + f¡3 ~1 + (12 - 6x2 y dx
I • = 24,87576 + 68,73449 = 989956
-' G 2,958 + 6,498'
Iyo = 9,899561
¡Ge2; 9,89956)1
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIJ)A
d) Ceu "'0 de eravedad ,!., uun olaca deleada limitada ""('1' una C,'Ir-l'a,.1:": t. •. (:)J .f e; •.•.•.Le: .1.., )' lt,-, .•.' •.' "bt1_.. '- .•c. .•.•.•.. G.. t}J' tI o·
Sea y = f(x) continua en [a: bJ y 0, la densidad
superficial de la placa medida en kg/nl; g/cm";
u.t.ro./m"; slug/ft', blob/rn"; lbrn/ il?
Si dividimos AB en n partes y consideramos
uno de los trapecios elementales que se generan
teniendo en cuenta que. x, - Xi.J = ~x¡ y que: x.. < 0¡
< X¡ entonces el área elemental de ese trapecio será
~A¡ = f(c:¡)6x¡ y su centro de gravedad G¡ estará en
( {)J' f\0¡el punto ('¡= ~¡;-2
El elemento de masa correspondiente es:
,1M¡ = os.f( E¡) ,1x¡
El momento estático elemental que se
corresponde a él es, si lo tornamos con respecto al
eje y.
A 1\ '1'\'. =-c A 1\1'· r. -" c-. C'.IY c.) u,A 'v .ti L\'. ,'1 - u.l'V _1 vI -- u", vi \c-'I, '''i
i=n
L . 1 ~[' .•~ s: ti \,él suma integra es: JI/C .v'I = L.U¡0¡. \,0¡ Jf).X¡
I=J
B, 1
y
P,.F~.l!'2P
I I I 3
I I, ,, ,, ,, ,
I ,, ,,
bo a
rCE¡J
,,,,,
JGi
I,,,,,,
__~~ __~'__~ ~x
[(8i)/ 2
Xi-! Ei x,
Si hacemos el límite de la suma integra! obtenemos el momento estático del área con respecto
al eje y .
......,
Si dividimos el momento Ivt'y por la masa M que se corresponde al área A obtendremos la
coordenada x(; del centro de gravedad.
- f~'Osxf(x )d:.:
:.: -~----
. n - ('o.J(x}h
Si hacemos el mi S 111O estudio tornando momentos con respecto al eje x tendremos:
~M \:¡ = M-f, f~ ¡) = 8 s f~!.2 f(E I },'.\x,
APLiCACiONES DE LA INTEGRAL DEFiNiDA
A-1:Y
I1
= ¡f62s [¡{E¡W Sx,
1=1
¡=n 6 [ ( )J2 1 b r ]2M'y = lim ~_s f t¡ Sx, = - fa6 slf(x) dx
f/l17xill:¡--'>O ¡=1 2 2
Siendo:
Ejemplo:
Dada la chapa de acero de densidad superficial: 6s kg/m", determinar las coordenadas del centro
de masa de esta chapa, si está limitada superiorrnente por la curva y = 0,4 x3 - 2x2 + 3x + 4,
infcriormente por y = O Y lateralmente por x = O Y x = 4.
Solución:
6 = 25 kg/m"
y (111)
10
IG(2, 17674111; 2,97409111)1
e) Centro de gravedad de una placa plana y delgada limitada por dos curvas.
y
[¡(x) dos funcionesSean y = f2(x) f\ y
continuas en [a; b].
Sea 6 la densidad superficial de la placa plana.
X-4.--~~---------L---~
x=a x=b
~
~
X (111) ""'
>
'"'
~
r--.
r-
""'
""'
r--.
Celestiuu Benito Bruui - Felicia Dura Zudi!~a - Matius Pahlu Brutti.
APLiC¡\CiO¡,ES DE LA INTEGRAL DEFiNIDA
I I I ~ l' 2 ,2 ,2Las unir éll es uc o son: ,g/m; g/cm; uun/m ;
slug/Il"; blob/in"; lbm/in2
Si subdividimos [a; b] en n pArtes de longitud ,0.xi = x, - Xi·1 (de la misma forma que cuándo
planteamos el cálculo de áreas planas) a cada elemento de área le corresponderá un elemento de
YA y=r2(x)masa D-lIIi.
I
I
I
I
I X
""'O+-_...l..;¡---:-. -1-.-1_ '- ~
Xi·] E¡ X¡ u- '.
El elemento de área es:
Luego:
El centro de gravedad de esa masa elemental esta en G¡ de coordenadas:
El momento estático elemental con respecto al eje y que le corresponde a Am, es:
,6.J'vl'y¡ = ,0.m¡ C:¡= o [fl( E.¡) - fl (8¡) ]E.¡ AXi
La suma integral es:
i=n
su», = Lo[f~(8;) -./; (E, )};/I..t¡
;=1
El límite de la suma integral es M'y (momento estático de la masa M con respecto al eje y).
;=n f
111} = lint ¿o[/~ (E,) - ./JE ¡)~¡Sx, = J;'O[l2(x) - ./1 (x )]nh
mflx/\.,"j~Oi:::!:l
La coordenada X(j del centro de gravedad es:
De la misma forma podemos plantear el momento estático con respecto al eje x.
r [f2(E¡)+f¡(E/)] [ () '){ f2(E¡)-fJE¡)]!::Jd x¡ = Sur, -----2-'--. = '6 /2 C; - fllE; t---'2---- /;;X¡
;=1/" ,. ]2 l l' tóM'x1l = L* t/2 (Ei) - t, (!::J. J0.x,
,~I •.•
M'x = litn 'fQ tí2 (E¡W - VJE¡ )]2 ~X¡ =f: Q tí2 (X))2 - [í¡(l;W }h
mn." ¿\"¡ -"O ;=} 2 2 .
APLICACiONES DE LA lNTEGRALD1WI.NJJ)A
La coordenada yo del centro de gravedad es:
f) Centro de gravedad de una placa plana delgada limitada por varias curvas.
Sea la placa de densidad superficial 8 limitada por y = f(x); y g(x) e y = h(:\) todas
continuas entre los límites de integración que les corresponden.
La masa total M se debe descomponer en dos masas: MI limitada superiormente por f(x) e
inferiormente por h(x) con a ~ x ~ b Y Mz limitada superiormente por y = g(x) e inferiormente
por y = h(x) con b ~ x::;; c.
y
y = f(x)
y = h(x)
Calculemos las coordenadas del centro de gravedad de MI.
tóxfJ(x) - h(x )}l\"
xG = --'a'-- _
, S;ófJ(x)- h(.)}ix
~ S:8tr(x)Y - [h(x)Y px
Yo, = I:ó[r(x)- h(x)}Jx
Calculemos ahora las coordenadas del centro de gravedad de M2.
r:8x[g(x) - h(x )}ix
XI' =
'2 s: 8[g(x ) - h(x )}ix
Las coordenadas Xu e Yu del centro de gravedad (o centro de masa) de M serán:
xo MI + xG1lvl2
X - 1 -G- 1111 +Mz
g) Centro de gravedad de una placa compuesta por varias placas de centro conocido.
Dividimos la placa en CIl1CO placas
rectangulares con líneas de punto.
De cada una de ellas podemos determinar su
centro de gravedad.
Luego:'
A = 2xT? + 8x3 + 6x3 + 7x3 + 10x4 =
A = 139 u.d.¡2
Calculamos ahora.los ,l11Omentos:
M'y = (3x12)x6 +(3x8)xl;5:;- (6x3)(-3) +
. ....",:. ' 3
+ (3x7)xO + (lOx4)xl = 238 u.d.l.
v
11) rc ..tro de eravedad .t.; n" ,·,;1:,1(, .t ; "Cl' ,{ ici'--- t t t Lf. 6'l!" L r 1 s e c. lit; LHnll.: , t:~ 1 .(? [: ~()Il.
El sólido tiene una densidad o.
Si recordamos lo visto en el estudio del
calculo del momento M'yz del sólido con
respecto al plano )lZ.
El elemento de masa es:
~m¡ = 0~V¡ = ít0[r(¡;¡)]2~X¡
El momento estático del elemento de masa es:
La suma integral y
r-.
,....."
•......•
•......•
."---'
x "
r'\
~
.-,
~
~
.l----~~ Y
y = f(x)
El momento estático M'yz es el límite de la
sumatoria cuándo el máximo 6.X¡-> O.
--~--~aL-----~rL----~b----~x
~ I¿
c¡ ¿\X¡
l<f·----J>~I
El volumen del sólido de revolución es: V == I~re[f(x)y dx y la masa M = reI:o[r(x W dx
Por lo tanto la coordenada X(J del centro de gravedad del sólido es:
Las coordenadas del centro de gravedad son: G (xu; O; O)
r.~I""":n •• n .._:#- .. O_ .• I-l.: p_t!..!_ 1"'11._ •• _ '7.... ! ..
Si el sólido se genera al girar alrededor del eje
y la curva z = f(y); la coordenada yo del
centro de gravedad es:
z
"-
'"
'"'
~
(Z ~
"
~
r=-;
"-
"
y
:'"'
, '"
'"'
.-."
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
x
Las coordenadas del centro de gravedad son G(O; yo; O)
Nota:
La coordenada Za se puede obtener también de:
1
9
ü,8rrz3 13
zG =--2 Ir,
0,8n:z ¿ o
? 1
9
-ZG = 3' Z o = tsctn
i) Teorema de Papus - Guldin
1) El área deseripta por una curva que gira alrededor de un eje, es igual a la longitud de la
circunferencia descripta por el centro de gravedad de la curva al girar alrededor del eje
multiplicado por la longitud de la curva,
Ejemplo:
Calcular le área lateral que se obtiene al hacer girar la recta y == x -1- 2 desde x = 1 hasta x = 5
alrededor del eje x.
//
.B,,//"-
,7 -------------
y
Solucián:
La distancia de G al eje x es rl "" 5
La longitud de AB = J(S - 1)2 + (7 - 3)2 = 132= 4J2
,
6 :G '
S :
14- ,A :3 - ,') /,1.: :=. I :
//*1_1--+1-/-1 __ --1>" x
O J 2 3 4 5
\'
o ••
7
El centro de gravedad (centroide) del segmento AH
es el punto G
G(3; 5).
Según el teorema el área lateral es
A, = 27(:1'1 AB = 2nx 5 x 4J2
IAI = 40J2n uodoSol
_ El volumen determinado por un área plana al girar alrededor de un eje de su plano es igual
AJ>LICACJONES DE LA iNTEGRAL DRFINlDA
CALO/U) DE MOMEN'/05'Dí;; /Nn?CIA
Se:'C¡ct?:!~! (i-c ..;~:..p:_~t!'t~:-i~:y !~f;;lt{~r!~fd!~·:~::.,~:!tl'i.~""
R:5t=(j'CT Ir~t~~:'f~I
u T. N. ¡.~;~k~~j·:~;(~~·'~·:;~:~ii~;~·;'·~'Y.'8 ra.!:,~;.
,".\}:~:;i;I.!;:'·:-:~'l::'}.'~~:j. IJa;-:i';"¡{; - E !"'~0L
y B
t:..s~
~. : :
A~ :!: :
•• III I
I I i I I
I l' I : I
1 ,1 cr 1
1 , '--L-¡( f:» 1
I I !: \ 1 I
: : ! : :
I I ! I I
I III I
I l' I : X
or-~a--~x7¡_~1~X-¡----~b----+'
c¡
t:..x¡ = X¡ - X¡-l
Si la curva viene dada por y = f(x) con densidad lineal y = y(x).
Si dividimos AB, como lo hicimos para calcular la longitud del arco AB en:
.6.s1; t:..S2;t:..S.l; ; t:..s¡; ; t:..sn
y consideramos los elemento de masa t:..m¡= yt:..s¡concentrados cada uno en el punto [s.; f(s¡)],
podemos calcular:
A} , - [~2 -L [f(~.)2]) Y AS'Ll I)¡ - t vJ I eJ .f LJ.•.1
Calculo de lo
El momento de inercia polar elemental será:
si y = flx) IA\ y = f'(x) son continuas en [a; b] y existe fl(C¡)'
Si realizamos la suma integral
Si tomamos el límite de esta suma cuando el rnax .6.X¡-+ O tendremos:
De forma similar se pueden calcular 1,,; I,c L,
Calculo de I,
El momento de inercia elemental con respecto al eje x es:
Ix, = [f(C¡)]2 yL1S¡
Si y = f(x) /\ y = f'(x) son continuas en [a; b] y existe f I(C¡)
APLICACIONES Dí<: LA INTEGRAL DEFINIDA
Si realizamos la suma integral
1XII == i2:[r(E;)Yy~J + [f'(EiW tsx,
i=1
Si tomamos el límite de esta sumatoria cuándo elmáx [.,x¡ tiende a cero, tendremos:
1,,= lim I'[f"(s;)yy~1+[I'(Ei)]2A-'i
m(lxL'..>Ci~O ;=1
Las unidades de y(x) son: kg/rn; g/cm; u.t.m./m; slug/ft; blob/in; lbm/in.
Calculo de I,
De la misma forma
¿Si == ~l + U(S,)]2 ;}xi
[Yn == ifs;y~l + [l'(E¡ W Sx ,
1=1
Iy== lim ifs;y~1+[f'(E1)Y!J.Xi
lIIaxl\xi~O i=1
1 - 1" ,2 ~[rl( ,)]2 1y - (1 yx -V 1+ _\ ex
Calculo de Ix)'
De la misma forma:
Ss, = ~l + [r'(s,)Y Sx,
I XYIl :=: ifE,j(Si )y~l + Ll'(s¡ )]2 A-,¡
¡=1
l,y == lim ifsj(s¡ )y~l + [f'(S,)]2 Sx,
maxL'..>cj~O ¡=l
Celestino Benito Brutti - Felicia Dora Zuriuua - Maüas Pablu Bruui.
APLiCACiONES DE LA iNTEGRAL DEFiNIDA
Si solo consideramos la línea losmomentos de inercia serán:
J 1,,[,,(,.\)]2 ~l L" ",( _')]2 J._x = a J _t. + ,\:.\ax
J y = r>2 ~l + [j'(X)]2 dx
I,y = r>l(x)~l + [r'(X)r dy
i, = s::{,,2 + [r(xW }J¡ + [('(.,,)J2 dx
L id I "1 1 J 1 ' 3 3 ft3 ,3as uru ac es (le .0;. ,,; _y C'K)' "eran: cm ; 111; o in ,
Ejemplo:
Dada y = O,2x3 - 2x + 3
a) Calcular los momentos de inercia Ix; 1:, e lo de este arco de curva desde x = O hasta x = 4.
Medidas en m. Graficar.
b) Calcular los momentos de inercia [XIII; lYIII e 10m de este arco con densidad final de I02x
I
kg/m.
1 Jb • 11 r. "12 ixy = Q Xv + U' J ax
~r(m)
6,
5
Solucláu:
a) 1" = O 6x2 - 2- ,
3
2
I
2 3
Iy = CxJl + (0,6x2 - 2y dx
Ir~,-- 27,875 mIl
4
b (\ I '\7t , = tr x.hjl -I-lJ-"/di:
r, = C(o,2x.l - 2x -1- 3hjl + (O,6x2 - 2).ú-
Vx = 36,277 m\1
x (m)~----+---~---+----Ir-~~
.:1o
/0 = Ix + Iy = 22,875 -1- 36,277 = 59,152 m"
Ira = 59,152 111:11
APLICACIONES DE LA I.NTECRAL DEFINIDA
CALCULO DE MO/vlEN'í'05' DE INI',RCf¡l
Momento de inercia de un área plana
El momento de inercia de un elemento de área respecto a un eje que este en el plano del área. .
viene dado por el producto del elemento de área (t..A¡) por el cuadrado de la distancia de ese
elemento al eje.
y¡ ----/--:-~.vi1---..
1 y =r g(x) : Yi
1 1 1
1 1 1
I 1 1
I : I l!' jII X
O a Xi b
y = I\x)
1:::::11
La suma integral será: !,.= y M
•••. 11 ~ XI
,=\
Si tomamos el límite de la suma integral cuando el max t..A¡ -+ O tendremos que:
Ejemplo:
Calcular r,
I. = fb J!2 dA
x a' e
Solucián: y
h ////,.'///// (b; h);~:?;:;:::::~~~~:~."/./..//'l.".'///
~~;:~fi.&~0~~~~;~
:~*íigi~
Si consideramos un elemento t..A¡ este será, el que
apreciamos en el gráfico,
Este elemento de área tiene un centro G¡ de
coordenadas G¡(x¡; h/2),
El elemento de área será:
Si aplicamos la sumatoria podremos calcular I), o sea
"
o b
y
h ~1:
h/2
:.:::.:~
'//, G¡- - ";i;¡',,:,¡;
::};:
¡:;,f:' x" ,
O x, b
LlXi
t..A = h LlX¡
1:::::11
la suma integral! J'" ::: L X¡2 héx¿
¡=\
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFiNiDA
El momento de inercia Iy será entonces:
1 lb. h 2 X' h 31y = So x hdx = h -' = - b
3 o 3
11 = hb31
y 3
b) Calculo de Ix
Consideremos ahora el elemento de área como indica
la gráfica siguiente:
Al ,., ·b/ )rora sera: G¡( 2; y¡
G¡
!1A¡ = b.6y¡
i=n
1 _ =" v2b!1VXn ~"' 1 ••. I
;=1
3 h
h Y bf3J = r y2hdlJ=h-- =_1_
x Jo .J 3 3
o
k = bh31
x 3
También se pueden definir de forma similar el:
Momento de inercia centrífugo: 1,:)'= L'xydA
.. 1 Ib( 2 ~ \ , ÁMomento de mercia polar: o = a \x + y~ p/i
Siendo lo = I; + 1)'
Calculo de Ix; 1)'e 10 para el área limitada por dos curvas
Si quisiéramos generalizar lo anterior; podríamos plantear el área limitada por dos curvas
y y =Itx
~;;
y¡ -------- :/.~G¡
;t.
y
/: y = g(x) l!1x'1 I 1
I
I I
1 I
1 1 X
O a = Xo x¡ b= Xn
Por ello consideramos el elemento de área tJ.A¡ está tiene un centro G¡(X¡; y¡).
G¡{X¡; 1/2[f(x¡) + g(x¡)]}
El elemento de área será .6A¡ = [f(x¡) - g(X¡)]!1X¡
/-\.PLiCACiONES DE LA L"'lTEGRAL DEFiNiDA
Calculo de 1)
El elemento de momento de inercia con respecto al eje y será:
Haciendo la suma integral obtendremos:
;=n i=n
IYII = 'IMYi = ¿x; Uk)- g(xJJ6.x;
;=1 ;=1
Si tomamos el límite de esta sumatoria para 6.Xi --+ O; será
Lb 2 [ ( \ ( \1[)' = a X f X) - g X) Y/X
Para calcular el momento de inercia de una placa con cierta masa, siendo: 8 = 8(x) la densidad
superficial será:
J y = I~8x2 [f(x) - g(x )}b::
Las unidades de 8(x) son: [kg/m"; g/cm"; u.t.m.zrn"; slug/ft"; lbm/in"; blob/in2]
Aplicando el mismo criterio se pueden calcular 1,,; ly e 10
Calculo de I,
Si consideramos el elemento como un rectángulo de base b = 6.x¡ y altura f(Xi), como se puede
apreciar en el siguiente gráfico.
YA
_--¡--y = J~x)
"
l. ,
" ,
: i : '., _
I " ¡(X,) - h
:j~//
, "
l. ,
" II ¡ I
l. ,
" ,--~1--~~----L'~I'~' ~ __ ~x
O a b ~ Ll.X¡ b
1~11 [r(x;)r
La suma integral es: [XII = ¿ 6.::(; ""--'--'-'-"'-
1=1 3
pues en un rectángulo el momento de inercia con
'\
respecto al eie x es: J = bh
:J x 3
APLlCACIONES DE LA INTEGRAL nEFINI.DA
I g(X¡)
I
I
I
I
I
I
I X
O a D.X¡ b
Para la función y = g(x)
y
y = g(x)
., ,. ¡~' [g(X¡)f b [g(x)J'
De la rmsma forma I¿ = iun ¿----l1x¡ = f dx
mi maX,'.\"¡4{) 1=1 3 a 3
Luego para el área limitada por las eurvas f(x) 1\ g(x) es:
y
. y = g(x)
~o~----~a----------------~b~x
Si lo consideramos eomo masa siendo (5 = o(x) la densidad superficial será:
El momento de inercia polar es;
lo = Ix + Iy
Los momentos de inercia de un área tienen por unidades:
1114; cm"; ft4 o in" (la más utilizada es cm")
Los momentos de inercia de la masade densidad superficial o(x) tienen por unidades:
k 2 k 2 2 1 ft2 lb . 2 bl b.i 2g.crn ; g.m ; g.cm ; s ug. ; I m.m ; 0.1n
Teorema de Steiner
área A
El teorema dice que:
El momento de inercia respecto a un eje es igual
al momento de mercia respecto a un eje
baricentrico más el producto del área por la
distancia al cuadrado entre los ejes paralelos.
'"......,
~r- -L ~X
O
APLICACiONES DE LA INTEGRAL DEFlNlOA
Si conocemos los momentos de inercia del área A respecto a dos ejes baricentricos (ha e 1yo);
'podemos calcular aplicando este teorema los momentos respecto a los ejes x e y paralelos a los
baricentricos.
Iy = 1;'0 + Ax~
También es aplicable el teorel~a a los momentos de inercia polar y centrífugo.
( 2 2 )J o = lO(J + A x G + Y G
l." = 1\._J' _ + AXl-J JI¡~.~... _ e, (, . .....-'
Ejemplo:
Determinar el momento de inercia del área del triángulo respecto a un eje coincidente con su
base b. Ver gráfica.
y(cm)
h
x (cm)
'~---"'h--~
Solucion:
a) Se nos pide l., Primero lo hacemos por límite de la surnatoria.
Y(CIll)
h
I"----!---'''----I> X (cm)6 b
a h-ySi comparamos triángulos semejantes tendremos que - = --_1
b h
Siendo: a = -~(;1 - y¡)
i=n
1x" = ¿y; GDYi => que el límite de la sumatoria es:
i=1
1 _ = rh )/l:,dl! = rh)l2 j¿ (17_ }'\.Jv = ]2. fh).,2 (h - )I'dy =., Jo. ••• ;! Jo- h .]U,. f¡Jo \: /.
r'¡d",-f-iul\ nnnitn I1rlrff-¡ _ lf li.·j.1 n.n,,-n 7 •• ,-j •.IHU _ 1\.1~,fiot.: Poh.lu nrll~fi
APLlCAClONES DE, LA [NTEGRAL DEfINIDA
1, = !z.h3 rcm4]
x 12 ~
b) Aplicando la fórmula demostrada
y(cm)
~..I.l..Lu...u..1.!-_-¿-_ .• X (cm)
Debemos determinar y = f2(x) e y = f¡(x)
Para f2(x) corresponde y = x
Para f,(x) corresponde la ecuación de una recta que pasa por los puntos (11; 11) Y(b; O),
y _ () =(11 - O)(x_ b)
h-b
y=~(x-b)f¡-b
1x = t S: x3 dx +t s:'[ (\,3) - (h : b ) 3(x - bY ]d\'
1 =l[LJb +'1[x4]" _[(_h )3 (X-btlh
x 3 4 o 3 4 b h-b 4
b
1, ~b4 +~h4 _~h4 _1(_h_)3 Vl-ht +1(_h_)3 (O)
, 12 12 12 3 h - b 4 3 h - b
t. .r..173 Vl-b)=1-h4 __ 1 f¡4 + bh3
x 12 12 12 12 12
[ = bh) cm4
x 12
Celestino Benito 13J-IIHi- Fcliciu Dora Zuria~a - Matias Pablu Brutü,
~iomentos de Inercia de Masa
Es la propiedad del cuerpo que mide la resistencia del mismo a la aceleración angular. Es muy
utilizada en dinámica para el estudio de la rotación de un cuerpo. r.
Si consideramos el momento con respecto al
eje z (ver la figura), debemos tener en cuenta
todos los elementos de masa: dm y sus
respectivas distancias al eje r
¡z
En general el eje z es un eje bariccntricoycomo r está elevado al cuadrado IZM es siempre
positivo. Las unidades utilizadas son: kgm2; gcm2; slug fl2; u Lm.m
2
; blob.in' y lbm.It".
Llamemos 8 a la densidad del cuerpo (la cual puede ser constante o variable), entonces:
L = J 8,.2 dm
~M l'
Para calcular los momentos de inercia de masa con integrales simples (una variable) es
condición que el volumen elemcntal (L',V¡) tenga el espesor diferencial en una sola dirección; o
sea que pueda aplicar el método de los discos (o arandelas) y el método de los anillos.
z~ z~
.L-_-\-.L---_y
L',V¡ := ny? L',z¡ L',V¡ := 2n Yi Z¡ L',Yi
TABLA DE I'v10MENTOS DE INERCIA
,--------- -,----------,------------.-------------_.
Momento de Inercia
de masac/respecto al
eje z~---~.------+---~~--_r----------r_------------
Cuerpo
, 1
lm = - M .,.2
2
Momento de Inercia de
masac/respecto al eje y-y
lv/( J J)Irn =- 3¡-- +11-
12
Momento eJe Inercia de
masac/respecto a 1eje x-x
M () ,)1111 = - 31'- -1- h:
12
f-----+---- -+---------t-------------+--------------
,-,-,.-
1 1 . (, , , )
1 Al( 2 2) 1111=--/\1/3/':+3,."+17'111 = - 11' r + r 12 ' (2 e I
1 (, , ,lrn = -M 3,.~ + '],.- +I¡-
12 -" - I
2 2Im=-M-,.
S
2 )
Irn = - 1\1 -r:
5
2 ,lm=-M-,.-
S
f----------+---------I-----------+-----------·--- /'""--
. /V ~j2::;J=
..,
Jm="'::'M-r2
la
3 (2 ) )Im = - M . 4,. + Ir
80
3 (, ,)Im = -M· 4,.' + 17-80
f-----'--------f---------+-------------1-------- --..
[----
f---------.--+---------I------------j-------- ..---.._..-.
M () J)lm =- a: v b:S .
M () ,)Irn = - a' + e'
S
M (, ')lm = - h- + e-
S
'-- -'-- -L- -'- ._.... _.....
A.PLfCACJONES DE LA lNIEGRAL DEFiNiDA
Cuerpo
Mom mto de Inercia de Momento de Inercia de Momento de Inercia de
rnasac/respecto al eje z masac/respecto al eje y-y masac/respecto al eje x-x
\7
í1\\ 1 (',2 112) (', 2 172 )I \;H--~ v In = - f¡,f ' r 2 Im = M· "6 +18 lrn =M· -+-~ " 3 6 18~;1-i7!---~
~ ~V-'-
c- /::;_1=
1m:: M (31'17-112)
.~ 77 5
.- '"l,
[2 3r·h 311
2
)é- --G~: Irn= r --4-+20 .-- -- -
~ V ( 2h )
!. 3r -11
-'X', 11I ' 111 JM = M[ 4R2 ; 5,.2) .lM = M(R2 +%r2) J!l4 = M[ 4/(2;51'2), I I, -f-!-r--~, I
'~
/ I ,//
1// /
< ~~t/
ld~ JM=M(a2+b2) JM = M(3h2 ;041/) .llvl = Meh2 ;0402 )/) ~---~ 20
O-----c7]' JM=M(a2+b2) M (? 2) M (? ,)/ '" L..-____ JM = - a- +c JM =- b' +c-/. ,
1/ / L 12 12 12
/
I
Cuerpo
"~----~;/"'----+
/
1"
1
APLiCACIONES DE LA INT.EGRA L DEF.lNJDA
-_.-~_ ... _., ..
Momento de Inercia de
Momento de Inercia de Momento de Inercia de
masac/respecto al eje z
masac/respecto al eje y-
masac/respecio al eje x-x
y
,-
lrn = M .R1
1 , 1 ,
~ Im = -M· R- lm=-M·R-
2 2
---_._--_ .•....- -
1 , 1 , 1 ,
Im=-M ·L- Irn = -M· L- lm = - M . 1,-,
12 3 .,-'
-----,-_.- ..-...
o'
2 , 2 , 2 ,
Im=-M·R- lrn = -M· R- 1111=-M·R-., ., 3.J .J
..._-- --_.- - .
1m=MR2
7 }\1' (2 ,) 1 1 1 ,
1111=- a +h- Irn = - M .(/- Illl=-M·/¡·
12 ., 3---7 .J
,
-
Cclestino Benito Brurt¡ - Felicia Don! Zurin1Jn _ Mnti!l'-7 P~lhlll n .... Hi
- '"
APLlCACIONES DE LA INTEGRAL DEFINlDA
VALOR MEDIO Y EFICAZ DE UNA FUNCIÓN EN [a; bJ
a) Valor medio de y = f(x) en [a; b]
De acuerdo a lo estudiado en el terna: Teorema del Valor Medio del Calculo Integral; el valor
medio de una función y = f(x) continua en [a; b] es: v
o'
f(c)=~ J:¡(x'Jix
Siendo a ::;e s b
El área AT es la integral: Ar = S: f(x)dx
Si consideramos el área de un rectángulo de base b - a
(b > a) y altura f(c) este rectángulo tiene área igual a ATo
¿Qué pasa si f(x) no es mayor o igual a cero en [a; b] y
es negativo en un subintervalo de [a; bJ?
El resultado de la integral definida:
f:fCX"~ix" = L (un número) siendo:
L = Al - A2 + A3 Y L"te AT = Al + A2 + A3
El valor medio de flx) en [a; b] será f(CI) = f(C2)
En el caso de una onda sinusoidal y = A senúnt) de
periodo T el valor medio en un período es nulo, pues
A¡=A2
1 l'f(c) = T Io Al senci tdt = O
o a be
y
y
b
Por ello en electricidad y en electrónica se
suele utilizar para las funciones sinusoidales el
valor medio en un semiperíodo C"¡2)
Sea Vmsp el valor medio de y = f(t) = A sencot en un semiperiodo.
TI
V = 01 r~ Asen cstd: == 2A [_ cos ro/J/2
. IIISp I. Jo T (O o
2
siendo (O = 2n
T
Ivmsp = 0,6366 Al
APLiCACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Dada la función continua en [a; b] se define
C0l110 valor eficaz (o raíz del cuadrado medio) al
y.
valor: Ver:
v = l.. 1 f'lr(x)J2 dx
cf -V (D - a) a
-+__~ ~~~ .x
ba
Las magnitudes alternas como la corriente: i(t) = 1m senu: t o la tensión: v(t) = Vm seno: t son
sinusoidales y periódicas y los valores eficaces de corriente y tensión son los utilizados en la
práctica.
Por ejemplo cuándo decimos que la tensión
i(t)
v(t)disponible en la red de energía eléctrica en 220v,
estamos refiriéndonos al valor eficaz de la
Vm /
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
IPor ejemplo si el período es T:
~
T
\ I
\ I
\ I
\ I
\ I
\ I
\ I
\ I
, I
\ I
,/
tensión.
1.1 T J2 .Icf =Vrfo[1m se/lO)f dI
r l"l[ ,'. ]2f 'ir =. T fo ~ m8efl(l)f dt
Si el período es T, al calcular una corriente alterna de intensidad i(t) por un elemento resistivo
puro, ésta disipará una potencia p(t) con un valor medio P. Esa misma potencia P puede ser
disipada por una corriente continua constante de intensidad 1. Luego i(t) tiene un valor eficaz (lel)
que disipa la misma potencia media que 1.
Nota
En las funciones periódicas se puede definir el factor de forma: f gue es el cociente entre el
valor eficaz y el valor medio.
Sea Ver el valor eficaz de y = f(t) = Asen cot en el período T
v .= 1. rTA2 scn2 «itd; =~ rTsen2 m[o'l = ~ [1. _ Se/l2mf]T
el T Jo JT Jo .fi"\ 2 40) O
APLiCACIONES DE LA JNTEGRAL DEFINIDA
. d 7' 7nsIen o ==-
(1)
v ' = ~ (L _ sen 2m T) _ (O _ o) = ~ tI. _ seu 4n: = ~ f( = Á
el JT \.2 4 \ - JT \ 24ft V2 ..fi
IV-er= 0,70/ Al
Ejemplo:
La temperatura de un cuerpo varía de acuerdo a la ley T = 2,4t - 0,1 t2; donde t es el tiempo en
horas [O::; t ::; 24]. Calcular la temperatura media.
15
m __ 1 r24 {2 4 _ O J 2 \, -
ll11ed - 24 JO \, r ,( p!- 10 / / ¡ _
5 I
I,
o 12 IR
Ejemplo:
Determinar el valor eficaz de i(t) = 25 e,10Otcon T = 0,1 segundos. La intensidad de corriente
eléctrica en medida en miliampcr (mA).
Solucián:
mA.:. i(t)
~\---------------¡\---------------¡----------------\:
~ ¡\" ¡~;
I ,1 II I I
I I I
0.1 0,2 0.3
¡ _ 1 ro,l [2- -loor]2 /' _ J' '2-°1.1,1 -20()1 Ir
C
',. - - )e ( ( -. ()) e G• ,0,IJO ,o
[
-20 1 J6250 ~-+-'-
- 200 200
r..I. ... /! •... D .. _.:, .. o .... ,.! 17 .. r: ..!.. T'\.. _ .. "7 .... :...... "' .. 1:._ .. ""1 .. 1.'-_ n ..._I'~
	Índice
	Cálculo del volumen de un sólido en función de las áreas de secciones paralelas
	Área lateral de un cuerpo de revolución
	Cálculo del trabajo realizado por una fuerza F
	Fuerza debida a la presión de los fluidos
	Cálculo de momentos de líneas, superficies y volúmenes
	Centro de gravedad, centro de masas y centroide
	Cálculo de momentos de inercia
	Cálculo de momentos de inercia
	Valor medio y eficaz de una función en [a;b]