Final 5_12_17

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Análisis Matemático I 
Examen Final 05/12/17 
 
Realizar un ejercicio por hoja. Trabajar en forma prolija y ordenada. Numerar todas las hojas sobre el 
total de hojas entregadas. En todas las hojas colocar: nombre, apellido y especialidad. 
 
 
Ejercicio 1: (4 puntos) 
a) Definir función discontinua esencial en un punto e indicar los casos que pueden presentarse. Ejemplificar.
 1.5 
b) Enunciar (ó H y T) y demostrar el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (Lagrange). 2 
c) ¿Es posible que un mínimo relativo sea mayor que un máximo relativo? Interpretar geométricamente. 0.5 
 
Ejercicio 2: (4,5 puntos) 
Dada la función 
2
)( xexf  , demostrar analíticamente: 
a) Si )(xf es función par, impar o ninguna de las dos. 
b) Si )(xf posee extremos absolutos. 
c) Que las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene su base en el eje x y dos vértices en la gráfica de 
)(xf son: base = 2 y altura = e/1 
 
Ejercicio 3: (3 puntos) 
Hallar la ecuación de la recta normal a la curva dada por 06
32 
y
x
yx en el punto )1;2(P 
 
Ejercicio 4: (4 puntos) 
a) Sea f una función continua en , ¿cuál es la diferencia entre 
b
a
dxxf )( y  dxxf )( ? 1 
b) Definir integral impropia. 0.5 
c) Enunciar (ó H y T) e interpretar geométricamente el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral. 1 
d) Deducir la fórmula para calcular la longitud de arco de una curva plana en coordenadas cartesianas. 1.5 
 
Ejercicio 5: (4 puntos) 
a) Determinar el carácter de la siguiente integral: 



0 1
)1ln(
dx
x
x
 
b) Plantear las expresiones que permitan calcular las dos áreas de las regiones encerradas por la circunferencia 
 sen 41  , la recta 


sen 
1
2  y el rayo 4/  , en el primer cuadrante. Graficar las regiones y 
determinar analíticamente los puntos de intersección. 
 
Ejercicio 6: (4 puntos) 
a) Indicar qué se debe cumplir para que sean divergentes: }{ na y 

0n
na 1 
b) Justificar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: 1 
b1) Si }{ na está acotada, entonces }{ na es convergente. 
b2) Si 

4n
na es convergente, entonces 

1n
na es convergente. 
c) Definir serie de potencias centrada en x = a. 0.5 
d) Deducir la expresión del polinomio de contacto de orden 3 en el punto de abscisa 1 de )(xfy  . 1.5 
 
Ejercicio 7: (4 puntos) 
a) Determinar el término general y el carácter de la serie 
81!4
4
27!3
3
9!2
2
3
1 432
 
b) Calcular el intervalo de convergencia de la serie 


 
1
1 )1()1(
n
nn
n
x