2 parcial 2016

Vista previa del material en texto

ANÁLISIS MATEMÁTICO II 2º Parcial 10-11- 2016 
APELLIDO Y NOMBRE......................................................... 
CARRERA: .................................................. 
UN EJERCICIO POR HOJA, ENTREGAR TODAS, 
INCLUYENDO ÉSTA. 
 
Tema 1: Desarrollar cada inciso justificando correctamente 
 
a) Definir máximo y mínimo local. Demostrar, imponiendo las condiciones necesarias, la afirmación ”si f(x,y) tiene extremo en 
(a,b), entonces 0),( baf x y 0),( baf y ” 
b) Si f es una función continua en un rectángulo polar dado por 0 ≤ a ≤ r ≤ b, α ≤  ≤ β. Escribir cómo la integral 

R
dAyxf ),( se expresa en coordenadas polares justificando que dA=r dr d . 
c) Imponer condiciones y demostrar que “Los campos rotores son solenoidales“. 
d) Plantear una integral de línea sobre una curva C cerrada, simple, suave a tramos y orientada positiva, de manera que 
utilizando el campo jyxQixyxyxF

),()2();( 2  permita calcular el área de la región limitada por la curva C. 
Dé tres funciones Q (x,y) distintas. Justifique su elección. 
Tema 2: 
i) Sea  una constante real. Sea 22),( yxyxyxf   
a) Probar que el punto (0,0) es un punto crítico de ),( yxf cualquiera sea el valor de . 
b) Calcular todos los valores de , si existe alguno, para los cuales f(0,0) alcanza 
 b.1) Un mínimo local ; b.2) un máximo local. ; b.3) un punto silla. 
ii) Dada yxyxf 538),(  y la región triangular determinada por los puntos A (0,0); B(5,0); C(5,3) 
a) Determinar los valores máximos y mínimos absolutos en la región dada. 
b) Justificar si es cierto que existen infinitos puntos donde la función alcanza su valor máximo. 
Tema 3: Plantear las integrales que permiten verificar el teorema de Green para 

 jxixyyxF )3()4(),( 43 siendo la curva C orientada positivamente yyx 4
22  . Hallar rdFC

. 
para el campo y curva dada. 
 
Tema 4: Dado el sólido comprendido dentro de la esfera zzyx  222 y debajo del semicono , 
cuya densidad en cada punto es proporcional a la distancia de dicho punto al origen 
a) Graficar el sólido y plantear las integrales que permitan calcular la masa: 
I) En coordenadas cilíndricas 
II) En coordenadas esféricas. 
b) Hallar la masa. 
 
Tema 5: 
i) Indicar Verdadero o Falso justificando correctamente. 
a) El gráfico del campo 

 jxixyxF ),( corresponde al grafico A. 
b) El trabajo realizado al mover una partícula a lo largo del segmento de línea desde 
 (-3,2,) hasta (2,2), sobre el campo del grafico A, es positivo. 
 
 
 Grafico A 
ii) Mediante una integral calcule el área de la superficie de una cerca cuya altura está dada por la función escalar 
xyxf  4),( y cuya base coincide con la circunferencia 422  yx . 
I II III IV V TOTAL 
25 25 18 20 12 100