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Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010 -2011 Página 32 3. Sistema lineal de EDO lineales con coeficientes constantes. Hasta el momento se estudio la solución de una EDO L (con o sin los datos de valores iniciales, dando por resultado una familia solución o una única solución, dependiendo del caso). Ahora se tratará el problema referido a resolver sistemas EDO lineales, esto es encontrar la/las funciones que solucionan simultáneamente un conjunto de ED. Normalmente esos sistemas aparecen en modelos que involucran determinar más de una función de la misma variable independiente, la que normalmente suele ser el tiempo. Por ejemplo determinar la posición de un móvil sujeto a un campo de velocidad conocido, o determinar la concentración de un químico en distintos tanques comunicados entre sí. En este bloque se asumirá como variable independiente a � y como funciones incógnitas ���t�; ���t� (en general, ���t� ), aunque para facilitar la notación se omite indicar la dependencia de t, nombrando las funciones incógnitas como �� y ��. Hay métodos muy sencillos que permiten transformar un sistema lineal de cualquier orden en uno de primer orden por ello trataremos solo éstos. Resolveremos un sistema de ecuaciones diferenciales (SL de EDO) por dos métodos, uno denominado método de eliminación y otro que denominaremos matricial 3.1 Método de eliminación: El nombre de este método elemental proviene del hecho de que el mismo transforma el sistema lineal de EDO en una sola EDO, pero de orden superior. Consiste en despejar de una de la ecuaciones una de las funciones y reemplazarla en las otras, reduciendo así en un nuevo sistema con una ecuación menos. Se repite la operación hasta lograr una única ecuación lineal. Ejemplo: Resolver el sistema �� � �3�� � ���� � 4�� � 3�� � , sabiendo ���0� � 1 y ���0� � 0 Resolución: Despejando �� de la primera ecuación: �� � �� � 3��. Derivando m.a. m. ��� ��� � 3���. Reemplazando éstas en la segunda se ecuación del sistema, se tiene uno equivalente: �� � 3�� ���������� � 4�� � 3 ��� � 3������������ ; el que se reduce a �� � 6�� � 5�� � 0 Notar ésta es una EDO de 2º orden. La ecuación característica de la misma es m� � 6m � 5 � 0; la que tiene por solución dos raíces reales distintas � � �1 y � � �5 . Luego �� � !"#$ �%"#&$. Reemplazando este resultado en la primera ecuación del último sistema se obtiene: �� � �� � 3�� � �!"#$ � 5%"#&$ � 3�!"#$ � %"#&$�=2!"#$ � 2%"#&$ Luego la solución general del sistema es ( �� � !"#$ � %"#&$ �� � 2!"#$ � 2%"#&$ � . Utilizando las condiciones iniciales ( ���0� � 1���0� � 0 � ) 1 � ! � % 0 � 2A � 2% �; luego ! � % � ��. Finalmente el sistema tiene por solución (�� � �� "#$ � �� "#&$�� � "#$ � "#&$ �. En el gráfico siguiente se muestran las gráficas de las soluciones encontradas. Notar que si � + ∞, ambas funciones soluciones tienden a 0. Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010 -2011 Página 33 El sistema anterior puede tener una interpretación física. Suponiendo un campo de velocidad dado para cada punto ��; -� por ./ � ��3� � -; 4� � 3-�, se desea encontrar la trayectoria de la partícula que se suelta en �1; 0�; o sea la línea de flujo. Notar que se debió resolver ./ ��� ���; - ���� � ��3� � -; 4� � 3-�, siendo ��0� � 1; -�0� � 0. Más allá del cambio de notación el sistema es el resulto recientemente. En el gráfico se muestra el campo de velocidad ./ y la trayectoria 0/��� � �����; -���� encontrada: (���� � �� "#$ � �� "#&$y�t� � "#$ � "#&$ � . Notar que si � + ∞ la partícula se acerca al origen (0,0) . Ejemplo: resolver el sistema 2 �� � ��� � �� � �3�� � 4�� � 3�� �3 � �� � 3�3 � t � Resolución: Despejando de la primera �3 se tiene �3 � ��� � �� � �� y derivando ��3 � ��� � ��� � ���. Reemplazando éstas en las otras dos ecuaciones del sistema: �� � 4�� � 3����� � ��� � ��� � �� � 3���� � �� � ��� � t� Simplificando �� � 4�� � 3����� � 4��� � ��� � 4�� � 3�� � t�. El procedimiento general apuntaría a despejar �� de la primera ecuación, y luego de calcular ��� reemplazarlas en la segunda. En este caso no es necesario, dado que al reemplazar �� en la segunda se simplifican varios términos y la ecuación resultante es una EDO de una única función incógnita: ��� � 4��� � �4�� � 3��� � 4�� � 3�� � t; simplificando �� � 4��� � �t. Al resolver �� � 4��� � �t se tiene como ecuación característica � � 4 � � � 4� � 0; luego la solución complementaria será ��4 � !"5$ � %"#6$ � ! � %"#6$; y la particular, siendo que 7��� � �, un polinomio de primer grado, tendrá la forma ��8 � �9� � 9���� � 9�� � 9��� (notar que fue necesario multiplicar por t, dado que en el caso de haberse adoptado 9� � 9�� el sumando 9� sería incorrecto dado que forma parte ya de la solución complementaria). Así ���8 � 9� � 2 9�� y ����8 � 2 9� ; luego reemplazando en �� � 4��� � �t se obtiene 2 9� � 4�9� � 2 9�� � � ��. Para determinar las constantes, se resuelve el sistema Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 3: Sistema Lineal de EDO L Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010 -2011 Página 34 2 9� � 49� � 08 9� � �1 �; luego 2 9� � ��;9� � � �<�. Entonces ����� � ! � %"#6$ � ��; � � �< ��. Introduciendo esta en �� � 4�� � 3��; se lleva a una ecuación diferencial lineal de primer orden �� � 3�� � 4! � 4%"#6$ � �6 � � �� ��. Siendo =��� � 3 y >��� � 4! � 4%"#6$ � �6 � � �� ��, utilizando �� � "# ? 3@$ A9 � ? "? 3@$ B4! � 4%"#6$ � �6 � � �� ��C D�E � "#3$ A9 � ? "3$ B4! �4%"#6$ � �6 � � �� ��CE � "#3$ A9 � ? B4!"3$ � 4%"#$ � �6 �"3$ � �� ��"3$CE. Resolviendo cada integral es posible llegar a �� � "#3$ A9 � 63 !"3$ � 4%"#$ � �3; "3$ � ��� "3$� � ��G "3$ �� �H "3$� � �; "3$��E. Simplificando �� � "#3$9 � 63 ! � 4%"#6$ � G�5< � G3; � � �; ��. Para obtener �3 es posible reemplazar los resultados anteriores en ��3 � ��� � ��� � ���. Luego ��3 � &&�66 � 4 %"#6$-3C"#3$ � $��. Resolviendo esta ecuación de variables separables se tiene �3�t� � &&�66 t � %"#6$ � C"#3$ � $��6 � D . Notar que hasta aquí parecen ser 4 las constantes. Se sabe que en realidad son 3. La cuarta D es, seguro, una combinación lineal de las anteriores. Para obtenerla simplemente se reemplaza las funciones ���t�, ���t� y �3�t� obtenidas en el sistema. Reemplazando en �� � ��� � �� � �3 se tendrá: �4%"#6$ � 116 � 14 �� � K! � %"#6$ � 116 � � 18 ��L� K"#3$9 � 43 ! � 4%"#6$ � 7108 � 736 � � 16 ��L � � 55144 t � %"#6$ � C"#3$� ��24 � N� Operando en el segundo miembro, agrupando términos comunes: �4%"#6$ � ��; � �6 �=� G�5< � O3 � N � 4%"#6$ � $6 . Luego ��; =� G�5< � O3 � N; por lo que N � � &&63� � O3. Finalmente el conjunto solución es ���t� � ! � %"#6$ � 116 � � 18 �� ���t� � 43 ! � 4%"#6$�"#3$9 � 7108 � 736 � � 16 �� �3�t� � !3 � %"#6$ � C"#3$ � 55144 t � ��24 � 55432 Se deja como ejercicio verificar la solución. Habrá notado el lector que este sistema resultó muy laborioso, lo que justifica indagar en un método más eficiente y sistemático para resolver sistemas similares a éste. Se tratará el mismo problema cuando estudiemos el uso del álgebra lineal en los sistemas lineales.
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