4 Aplicaciones de las EDO y SLED

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Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 4: Estabilidad de SL de EDO 
 
Redactado por Mg. Sonia Pastorelli - año 2010-2011 Página 47 
 
74. Teoría cualitativa: puntos de equilibrio. 
En matemática es importante estudiar la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales 
ED, es decir, como difieren las soluciones bajo pequeñas modificaciones de las condiciones 
iniciales. Dicha estabilidad es muy importante en la ciencia que utilice la ED (por ejemplo en la 
física), ya que en la realidad las condiciones iniciales normalmente no se conocen con certeza, y es 
importante que pequeños cambios de las mismas no generen comportamientos cualitativos diferentes 
en la solución encontrada. 
Cuando la diferencia entre dos soluciones con valores iniciales cercanos puede acotarse mediante la 
diferencia de valores iniciales se dice que la evolución temporal del sistema presenta estabilidad. 
Debido a que toda ED puede reducirse a un sistemas de ecuaciones diferenciales –SE- de primer 
orden equivalente, el estudio de la estabilidad de las soluciones de ED puede reducirse al estudio de 
la estabilidad de los SE. Si bien el análisis se puede hacer para un sistema de � ecuaciones, dado 
que interesa utilizar características graficas de la solución el tratamiento se hará para sistemas con 
dos incógnitas. 
4.1. Estabilidad de los sistemas lineales. Ejemplos 
Hasta ahora, en el estudio de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales, nos hemos 
centrado en el problema de obtener soluciones, exponiendo algunos métodos de resolución de ciertos 
tipos de ecuaciones y sistemas. Interesa ahora dar otro enfoque, esto es obtener información 
“cualitativa” sobre el comportamiento de las soluciones. Usaremos ejemplos para caracterizar el 
comportamiento de éstas. La solución buscada serán líneas de flujos de campos de velocidad. Se 
desarrollarán varios ejemplos, los que aún teniendo enunciados similares, arrojarán soluciones 
muy distintas entre si. Luego,en la sección “análisis de la estabilidad de los sistemas lineales” será 
motivo de análisis de los resultados obtenidos en estos ejemplos. 
 
Ejemplo: Matriz del sistema lineal con autovalores imaginarios puros 
Determinar la trayectoria que seguirá una partícula que se suelta en el punto �2,0� quedando 
sueta al campo de velocidad estacionario o autónomo (estable en el tiempo) �� 	 �4� , 
� �. 
Resolución: 
Dado que �� 	 ��� , ��� 	 �4� , 
� � el problema se resolverá a través del sistema ��� 	 4��� 	 
��, 
con las condiciones iniciales ��0� 	 2 ; ��0� 	 2, el que es un sistema lineal. 
La solución se encontrará resolviendo el sistema ������ 	 � 0 4
1 0� ����. Los autovalores de A 
son ��,� 	 �2�, mientras que una base del espacio propio �� ��
2�1 � , �2�1 � . Diagonalizando: 
A=� 0 4
1 0� 	 �
2� 2�1 1 � �2� 00 
2�� �
2� 2�1 1 �!�. 
La exponencial matricial �� " #$!$ " � 	 �
2� 2�1 1 � ���$ % 00 �!�$ %� �
2� 2�1 1 �!� & 
 �� " #$!$ " �=�
2� 2�1 1 � �cos�2*� + � ����2*� 00 cos�2*� 
 � ����2*�� �
2� 2�1 1 �!� �� " #$!$ " �= , cos �2*� 2 ��� �2*�
 �� ��� �2*� cos �2*� - & Usando la condición inicial 
 ���� 	 �� 0 4*
* 0 � �20� 	 �2cos �2*�
����2*��. La trayectoria es pues � 	 2 cos�2*� ; � 	 
��� �2*� 
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Los gráficos siguientes muestran el campo de velocidad y la trayectoria solución obtenida. En el 
último gráfico solo se graficaron algunos vectores del campo que tienen origen en la trayectoria 
determinada, para que se aprecia claramente la tangencia. 
 
Notar que si la condición inicial estaba dada genéricamente por ��", �"� la solución es: 
 � 	 �" cos�2*� + 2�" ����2*�; � 	 �" cos�2*� 
 �� �" ����2*�. 
Aquí � e � son funciones de período / ( puede mostrarse siendo � 	 �0� & 1 	 �23 ). Luego 
la linea de flujo será una curva cerrada no simple (se deja como ejercicio mostrar que en estos 
casos es una elipse). 
 
Ejemplo: Matriz del sistema lineal con autovalores reales distintos y positivos 
Determinar la trayectoria que seguirá la partícula que se suelta en el punto �
1, 
3� sometida 
al campo de velocidad estacionario �� 	 �3x 
 2� , � �. 
Resolución: �� 	 ��� , ��� 	 �3x 
 2� , � � 6 ��� 	 3x 
 2y�� 	 � �, con las condiciones iniciales ��0� 	 
1 ; ��0� 	 
3. Forma matricial del sistema ������ 	 �3 
21 0 � ����. 
Diagonalizando A= �3 
21 0 � 	 �2 11 1� �2 00 1� �2 11 1�!�. Entonces: ��3* 
2** 0 �=�2 11 1� � e�9 00 e9� � 1 
1
1 2 � 6 ��3* 
2** 0 � 	 �
�* + 2�2* 
2�* 
 2�2*
�* + �2* 2�* 
 �2* � & ���� 	 ��:$ !�$$ " � �
13 � 	 �
5�$ + 4��$
5�$ + 2��$� ; 6 � 	 
5e9 + 4e�9; � 	 
5e9 + 2e�9 
Notar que a medida que * aumenta, también 
lo hacen � e �. Si la condición inicial fuera 
dada genéricamente por ��", �"� la solución 
será: ���� 	 ��:$ !�$$ " � ��"�<�. 
Esta es: ��*� 	 �
 �$ + 2��$��< + �2 �$ 
 2��$��<��*� 	 �
 �$ + ��$��< + �2 �$ 
 ��$��< 
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Cualquiera sea ��", �"�, si * = ∞ entonces |�| = ∞ y |�| = ∞. La partícula se alejará del 
origen. 
 
Ejemplo: Matriz del sistema lineal con autovalores reales distintos y negativos 
Determinar la trayectoria que seguirá la partícula que se suelta en el punto �1, 
2� sometida al 
campo de velocidad estacionario o autónomo �� 	 �
3x + 2� , 
� �. 
Resolución: �� 	 ��� , ��� 	 �
3x + 2� , 
� � 6 ��� 	 
3x + 2y�� 	 
� �, con las condiciones iniciales ��0� 	 1 
; ��0� 	 
2. Forma matricial del sistema ������ 	 �
3 2
1 0 � ����. 
Diagonalizando A= �
3 
2
1 0 � 	 �2 11 1� �
2 00 
1� �2 11 1�!�. 
Entonces: ��
3* 2*
* 0 �=�2 11 1� � e!�9 00 e!9� � 1 
1
1 2 � 6 ��
3* 2*
* 0 � 	 �
e
t + 2e
2t 2e
t 
 2e
2t
e
t + e
2t 2e
t 
 e
2t � & ���� 	 ��!:$ �$!$ " � � 1
2� 	 �
5e!9 + 6e!�9
5e!9 + 3e!�9� ; 
 6 
 � 	 
5e!9 + 6e!�9; � 	 
5e!9 + 3e!�9 
Notar que a medida que t aumenta, tanto x e y 
como y tienden a cero. 
El lector puede verificar que a idéntica solución se 
puede llegar para la condición inicial 
genéricamente ��", �"�. 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Matriz del sistema lineal con autovalores reales y de distintos signos 
Determinar la trayectoria que seguirá la partícula que se suelta en el punto �1,9 ; 1� sometida al 
campo de velocidad estacionario �� 	 �
3x + 4� , 
2� + 3� �. 
Resolución: ��� 	 
3x + 4y�� 	 
2� + 3��, ��0� 	 1.9 e ��0� 	 1. 
Forma matricial ������ 	 �
3 4
2 3� ����. 
Diagonalizando A 
 �
3 4
2 3� 	 �2 11 1� �
1 00 1� �2 11 1�!�. 
Entonces: ��
3* 4*
2* 3*�=�2 11 1� � e!9 00 e9� � 1 
1
1 2 � 6 ��
3* 4*
2* 3*� 	 �2e
t 
 e t 
2e
t + 2e te
t 
 e t 
e
t + 2e t � & 
 ���� 	 ��!:$ #$!�$ :$� �1,91 � 	 � 1,8e!9 + 0,1e 9 0,9e!9 + 0,1e 9� 6 � 	 1,8e!9 + 0,1e 9; � 	 0,9e!9 + 0,1e 9 
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Notar que a medida que t aumenta, tanto x e y aumentan en valor absoluto. 
El lector puede verificar que dependiendo de ��", �"� será el signo de � y de � cuanto * = ∞ 
Los siguientes gráficos muestran distintos resultados, los que pueden intuirse viendo el campo. 
 
 
Ejemplo: Matriz del sistema no diagonalizable, autovalores iguales 
Determinar la trayectoria que seguirá la partícula que se suelta en el punto �0 ; 
2� sometida al 
campo de velocidad estacionario�� 	 �3x 
 2� ,8� 
 5� �. 
Resolución: 
Se debe resolver ������ 	 �3 
28 
5� ����, con las condiciones iniciales ��0� 	 0 ; ��0� 	 
2. 
El lector puede mostrar que la matriz tiene dos autovalores iguales, y que la misma no es 
diagonalizable. Usando forma de Jordan: 
A=�3 
28 
5� 	 �1 0,252 0 � �
1 10 
1� �1 0,252 0 �!� 
Entonces 
 ��3 
28 
5�*= �1 0,252 0 � � �!$ *�!$0 �!$ � �0 0,54 
2� 	 ��
* + 4*�
* 
2*�
* 8 *�
* �
* 
 4*�
*� & ���� 	 ��: !�E !F�$ ��"�"� 6 
 � 	 �"��!$ + 4*�!$� 
 2�"*�!$; � 	 8 �"*�!$ + �"��!$ 
 4*�!$� 
 
 
Notar que si * = ∞ , ��, �� = �0,0� si, como en este caso, los 
autovalores son negativos. 
Para la condición inicial dada la línea de fluyo será � 	4*�!$; � 	 
2�!$ + 8*�!$, situación que se esquematiza en 
el gráfico anterior. 
Si por el contrario el único autovalor de la matriz del sistema 
es positivo, si * = ∞ se dará que |�| = ∞ e |�| = ∞. 
El lector puede verificar esto usando �� 	 �
3x +2� , 
8� + 5� �. 
La solución que obtendrá será � 	 �"��$ + 4*�$� 
 2�"*�$ � 	 8 �"*�$ + �"��$ 
 4*�$� . 
En el grafico se particulariza para �" 	 2,5; �" 	 4,25 
 
Ejemplo: Matriz con autovalores complejos conjugados 
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Determinar la trayectoria que seguirá la partícula que se suelta en el punto �0 ; 
2� sometida al 
campo de velocidad �� 	 �9� 
 5� ,25� 
 11� �. 
Resolución: 
Se debe resolver � �� 	 9� 
 5� �� 	 25� 
 11��, con las condiciones iniciales �" 	 0; �" 	 
2. 
Forma matricial del sistema: ������ 	 � 9 
525 
11� ����. Los autovalores de A son � 	 
1 � 5�. 
Diagonalizando A=� 9 
525 
11� 	 �2 + � 2 
 �5 5 � �
1 + 5� 00 
1 
 5�� �2 + � 2 
 �5 5 �!�. 
Entonces: �� 9 
525 
11�*=�2 + � 2 
 �5 5 � ���!�GF%�$ 00 ��!�!F%�$� �2 + � 2 
 �5 5 �!� �� 9 
525 
11�*=�2 + � 2 
 �5 5 � ��!$�cos 5* + ��� 5*� 00 �!$�cos 5* 
 ��� 5*�� �2 + � 2 
 �5 5 �!� 
Simplificando: �� 9 
525 
11�* 	 �
* �cos 5* + 2 ��� 5* 
��� 5*5 ��� 5* cos 5* 
 2��� 5*� ���� 	 �� H !F�F !���$ ��<�<� = ���� 	 �!$ �cos 5* + 2 ��� 5* 
��� 5*5 ��� 5* cos 5* 
 2��� 5*� ��<�<� 
Luego la línea de flujo vendrá dada por la forma paramétrica � 	 �!$I�"�JK� 5* + 2 ��� 5*� 
 �"��� 5*L; � 	 �!$I5 �"��� 5* + �"�JK� 5* 
 2 ��� 5*�L 
Notar que a medida que t aumenta �!$ = 0, por lo que ��, �� = �0,0� , aunque lo hacen siguiendo un camino 
espiralado, como lo muestra el gráfico de la derecha. 
Una situación algo 
distinta se obtendrá si se 
resuleve el sistema ������ 	 �11 
525 
9� ����. 
Los autovalores son � 	 1 � 5�. 
Procediendo de igual manera se tendrá � 	 �$I�"�JK� 5* + 2 ��� 5*� 
 �" ��� 5*L; � 	 �$I5�" ��� 5* + �"�JK� 5* 
 2 ��� 5*�L 
Notar que si * = ∞ entonces �$ = ∞, por lo que ambas 
coordenadas aumentan indefinidamente , aunque lo hacen 
siguiendo un camino espiralado, como lo muestra el 
gráfico de la izquiera. 
 
Ejemplo: Campo no autónomo. Matriz con autovalores imaginarios puros 
Determinar la trayectoria que seguirá una partícula que se suelta en el punto �1; 
1� quedando 
sugeta al campo de velocidad �� 	 �2� 
 � 
 2 , 5� 
 2� + * �. Notar que el campo ya no es 
estacionario, dado que depende de t. 
Resolución: 
La solución se encontrará resolviendo el sistema inhomogeneo: �MNON� 	 �2 
15 
2� ���� + �
2* �, 
con las condiciones iniciales ��0� 	 1; ��0� 	 
1. 
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Este sistema ya fue resuelto usando P��*� 	 �QR�$!$S� �KTTTT� + U �QR�$! V� W����X�$$Y . Aquí tZ 	 0; xoTTTT� 	 � 1
1� ; [V 	 �2 
15 
2� y W���� 	�
2* �. 
La solución es: P� 	 � 
4 
 * + 5 cos * + 2 ��� *
9 
 2t + 9 sen * + 8 cos *�. 
Luego la trayectoria es: ��*� 	 
4 
 * + 5 cos�*� + 2 ����*� ��*� 	 
9 
 2t + 9 sen�*� + 8 JK��*� 
En el gráfico se muestra la trayectoria. Ya 
no se muestra el campo porque el mismo es 
variable con el tiempo. 
 
4.2 Teoría cualitativa: puntos de equilibrio, estabilidad 
Sistemas autónomos. 
Dado el sistema ����*� 	 W��, �, *����*� 	 ]��, �, *�� se dice que es autónomo si W y ] no dependen de *; tiempo. Por 
ejemplo ���� �*� 	 �� 
 ����� �*� 	 �� + �� � es autónomo mientras que ���� �*� 	 �� 
 �� + *���� �*� 	 �� + �� � no lo es. Note que los 
sistemas lineales homogeneos son autónomos, mientras que los no homogéneos no, excepto que la 
función vectorial W��*� 	 T̂� . 
Plano de fase y órbita. 
La solución de un SED de dos ecuaciones con dos funciones incógnitas con condiciones iniciales 
dadas es una pareja de funciones _��*�; ��*�`. Para representar gráficamente la solución del sistema 
frecuentemente se utiliza la curva paramétrica. A la curva se la denominada órbita mientras que al 
plano �� plano de fase. Las órbitas del sistema suelen brindar,codificadas, mucha información del 
sistema. El estudiante puede apreciar que en la sección anterior se graficaron órbitas de sistemas 
lineales bajo la interpretación de líneas de flujos. 
Puede mostrarse que es una características de los sitemas autónomos que la órbita es independiente 
del valor inicial *", pero si lo es del valor ��", �"�. 
A modo de ejemplo, el gráfico de la derecha 
se representan las órbitas del sistema �MNON� 	 �2 
15 
2� ���� + �
20 � con 
condiciones iniciales ���*<���*<�� 	 � 1
1� ; 
particularizando con *< 	 0 , *< 	 2 y *< 	 
2 . Notar que en todos los casos la 
representación gráfica es la misma. 
Note que las gráficas de a��*� y de a��* 
 *"� es la misma. Si fueran la trayectoria de dos móviles, 
éstos recorrerán el mismo camino, pero encontrándose cadua uno en distintos puntos al mismo 
momento. 
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Por el contrario, el los siguientes gráficos muestran las órbitas del sistema no autónomo �MNON� 	 �2 
15 
2� ���� + �
2* � con las condiciones ���*<���*<�� 	 � 1
1� ; particularizando con *< 	 0 , *< 	 2 
y *< 	 
2 . 
Notar que las órbitas 
son distintas (mas allá 
que conserven alguna 
regularidad en su 
forma) 
 
Dado el sistema 
autónomo ����*� 	 W��, �����*� 	 ]��, ���, 
problema con valor 
inicial 
��*<� 	 �<��*<� 	 �< , si W 
y ] son continuas y con 
derivadas parciales continuas entonces la existencia y unicidad de la solución está garantizada. 
Dado que las órbitas de cualquier sistema general autónomo son independiente de *< lo 
supondremos por simplicidad *< 	0. 
Punto crítico. 
Se denomina punto crítico ��", �"� del sistema autónomo de primer orden ����*� 	 W��, �����*� 	 ]��, ���, si W��", �"� 	 ]��", �"� 	 0. 
Notar que 
� �*� 	 �<� �*� 	 �< es una solución –estable o de equilibrio- del problema con valor inicial ya que 
la verifica: ��� 	 0 	 W��", �"��� 	 0 	 ]��", �"� �. Pero seguro interesan las demás soluciones. ����*� 	 W��, �����*� 	 ]��, ��� 
El punto crítico del sistema autónomo es un punto de equilibrio. 
Ejemplos: 
1) El sistema ����*� 	 �� 
 1��� 
 1����*� 	 �� + 1��� + 1�� tiene por puntos críticos �1; 
1� y �
1; 1�. Algunas 
órbitas y los puntos críticos se observan en el gráfico de la izquierda de la siguiente figura. 
2) El sistema ����*� 	 2� + ����*� 	 � + 2�� tiene único punto crítico �0,0�. Las órbitas y el punto crítico se 
observan en el gráfico del centro. 
3) El sistema ����*� 	 
2� 
 ����*� 	 
2� 
 �� tiene infinitos puntos críticos ��; 
2�� . Las órbitas y los 
puntos críticos se observan en el gráfico de la derecha. 
 
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Notar que las órbitas varian mucho la forma y se pudieron intuir del gráfico de cada campo de 
velocidades. 
 
Estabilidad del punto crítico. 
Definición 
• Se dice que el punto crítico ��<; �<� del sistema es estable si para todo número R > 0, existe 
algún r > 0, r ≤ R, tal que cada trayectoria que está dentro del círculo �� 
 �<� � +�� 
 �<�� 	 a� en algún momento * 	 *", permanezca dentro del círculo �� 
 �<� � +�� 
 �<�� 	 b� para todos los * c *": esto es, si una trayectoria está cerca del punto de 
equilibrio, se mantendrá cerca a lo largo del tiempo. 
• Se dice que el punto crítico ��<; �<�del sistema es asintóticamente estable, cuando es estable 
y existe algún número r > 0, tal que toda trayectoria que está dentro del círculo �� 
 �<� � +�� 
 �<�� 	 a� en algún momento * 	 *", se aproxime a ��<; �<� cuando t → +∞. La 
expresión “se aproxime al origen cuando t → +∞” se deberá entender de la siguiente forma: 
si C ≡ (x(t), y(t)) es una trayectoria, deberá verificarse que ��*� →�< , e *�*� →�< cuando t 
→ +∞; es decir, las trayectorias cercanas no sólo se mantienen cerca, sino que se aproximan 
al punto de equilibrio a lo largo del tiempo. 
• Se dice que el punto crítico ��<; �<�del sistema es inestable cuando no es estable: las 
trayectorias que empiezan cerca del punto de equilibrio se alejan de este punto a lo largo del 
tiempo. 
Ejemplos: El punto �
1,1� del primer sistema es estable mientras que el �1; 
1� es inestable. 
También es inestable el punto crítico del segundo sistema ejemplificado, mientras que es 
asintóticamente estable cada uno de los infinitos puntos críticos del último sistema. 
En lo que sigue nos centraremos en el estudio de las dos cuestiones siguientes, las cuales constituyen 
una parte esencial del plano de fases de los sistemas lineales autónomos: 
— La disposición de las trayectorias cerca del punto crítico ��<; �<�. 
— La estabilidad o inestabilidad del punto crítico ��<; �<� 
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Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas lineales homogéneos 
Se verá que la naturaleza y estabilidad del punto crítico queda caracterizada por los autovalores de la 
matriz [$ del sistema. 
Si (0, 0) es su único punto crítico, equivale a decir que |[$| d 0 y por ello que los autovalores �� y �� son no nulos. En función del comportamiento de las trayectorias en relación con el punto crítico 
aislado (0, 0), el punto crítico se denominará enodo punto de sillacentro foco �. 
 
1) El punto crítico es un nodo si los autovalores �� y �� son reales y del mismo signo. Las órbitas 
tiene las siguientes características: 
• las órbitas se parecen a semirectas o a parábolas. 
• �� d �� negativos: “el móvil” se acerca al origen, el equilibrio es asintóticamente estable. 
Gráfico de la izquierda 
• �� d �� positivos: “el móvil” se alejan al origen, el equilibrio es inestable. Gráfico de la 
derecha. 
 
 Si �� 	 �� suele mencionárselo como nodo impropio (las trayectorias son semirectas) 
El punto crítico es un punto de silla si los autovalores �� y �� son reales y de distinto signo. 
Las órbitas, cuando t → +∞, se presentan con dos trayectorias que se acercan al origen y 
otras dos trayectorias que se separan del origen. Esto nos permite concluir, que todo punto 
de silla es inestable. Las trayectorias se asemejan a hipérbolas, como lo muestran los 
ejemplos siguientes 
 
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2) El punto crítico es un centro cuando los autovalores son imaginarios puros. Las trayectorias 
son curvas cerradas que rodean al origen, que en general tienen forma de elipses, de modo 
que ninguna trayectoria tiende a él cuando t → +∞ o t → −∞. Por ello, el punto crítico es 
estable, pero no asintóticamente estable. 
 
3) El punto crítico es una espiral o foco cuando los autovalores son complejos conjugados y 
tienen parte real no nula. Las órbitas son curvas en forma de espiral que, conforme t → +∞, 
pueden presentar dos situaciones: 
• b����� n 0 se acercan al origen; asintóticamente estable. 
• b����� c 0 se separan del origen; inestable 
 
 
 
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Tabla Resumen 
Autovalores ��*�; ��*� * = ∞ Equilibrio Órbita Punto 
crítico ��*� = ��*� = 
R
ea
le
s 
�� c �� c 0 [�|op|$ + q�|or|$ ∞ ∞ Inestable Semirectas o parábolas Nodo 
�� n �� n 0 [�!|op|$ + q�!|or|$ 0 0 Asintóticamente estable Semirectas o parábolas Nodo 
�� 	 �� n 0 [�!|op|$ + q*�!|op|$ 0 0 estable Semirectas o parábolas Nodo impropio 
�� 	 �� c 0 [�|op|$ + q*�|op|$ ∞ ∞ inestable Semirectas o parábolas Nodo impropio �� n 0 n �� [�!|op|$ + q�|or|$ ∞ ∞ Inestable Semirectas o hipérbolas Punto de silla 
C
om
pl
ej
os
 
 
� �.�	
 s�
0� ��.� 	 �0� [tK��0*� + q����0*� Oscilante I��; ��L Oscilante I��; ��L Estable Elipse centro s n 0 �u$_[JK��0*� + q����0*�` 0 0 Asintóticamente estable espiral foco s c 0 �u$_[JK��0*� + q����0*�` Oscilante I
∞, ∞L Oscilante I
∞, ∞L inestable espiral foco 
 
Resumiendo: El punto crítico del sistema lineal es 
estable si y sólo los todos los autovalores tienen parte real no positiva; 
es asintóticamente estable si y sólo si los autovalores tienen parte real negativa. 
es inestable si existe un autovalor con parte real positiva 
Ejemplo: Caracterizar el equilibrio del sistema � ��� �*� 	 �� + 2����� �*� 	 3�� 
 4 �� � 
Resolución 
La forma matricial del sistema es �MpNMrN � 	 �1 23 
4� �MpMr�. Los autovalores de �1 23 
4� son �� 	 
5 y �� 	 2, luego el equilibrio es inestable. 
Ejemplo: Caracterizar el equilibrio del sistema v ��� �*� 	 11 �� 
 3�� + 13�:��� �*� 	 72 �� 
 19�� + 72�:�:� �*� 	 4 �� 
 1�� + 2 �: � 
 Resolución 
La forma matricial del sistema es x MpNM ryzN N { 	 |
11 
3 1372 
19 724 
1 2 } ,MpMrMz-. Los autovalores de 
|11 
3 1372 
19 724 
1 2 } son �� 	 
3 ; �� 	 
2 y �: 	 
1 luego el equilibrio es asintóticamente 
estable. 
 
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Ejemplo: 
Consideremos el sistema de masa resorte del siguiente 
gráfico. Imaginemos que se estira el resorte superior una 
distancia ��~�~�~�� desde el reposo y al inferior �� ~�~�~�� y se lo 
suelta luego. El desplazamiento vertical a partir del punto 
de equilibrio (reposo) de las dos masas se denotan con ���t� y ���t�. Se desea analizar el tipo de equilibrio que 
alcanzará el sistema para el caso particular k� 	 0,03 ��� ; k� 	 0,01 ��� ; m� 	 27 kg; m� 	 18 kg 
Resolución 
Usando la ley de Hooke se sabe que las fuerzas netas sobre 
las masas están dada por: 
v���t� 	 
k����t� + k�_���t� 
 ���t�` 	 �� �rMp�9��9r���t� 	 
k�_���t� 
 ���t�` 	 �� �rMr�9��9r � 
Las condiciones iniciales estarán dadas por los 
estiramientos iniciales ��~�~�~�� y �� ~�~�~�� y la velocidad inicial de las masas �� ~�~�~�� y �� ~�~�~�� . Omitiendoindicar que tanto ���t� como ���t� dependen de t: 
Luego el sistema resultante será: 
v ���� 	 
 �pG�r�p �� + �r�p ������ 	 �r�r �� 
 �r�r �� � con 
���0� 	 ��~�~�~�� ���0� 	 �� ~�~�~�� ����0� 	 ��~�~�~�� ����0� 	 ��~�~�~�� 
 
Notar que este sistema puede ser rescrito como un sistema de primer orden, introduciendo el 
cambio de variable �: 	 ��� e �# 	 ��� . Con este cambio �:� 	 ���� y ��# 	 ����. 
Notar que con este cambio de variable �: y �# son las velocidades en �� y �� respectivamente. 
Entonces v ���� 	 
 �pG�r�p �� + �r�p ������ 	 �r�r �� 
 �r�r �� � es equivalente a ���
����� 	 �:��� 	 �# �:� 	 
 �pG�r�p �� + �r�p ���#� 	 �r�r �� 
 �r�r �� 
�. 
La forma matricial de éste es �
��������:��#� �
� 	
�
��
0 00 0 1 00 1
 �pG�r�p �r�p�r�r 
 �r�r 0 00 0�
�� x
�����:�#{. 
Para analizar cualitativamente la estabilidad del sistema se deben buscar los autovalores de la 
matriz (obviamente utilizando un SAC). Con los datos dados los autovalores son dos pares de 
complejos conjugados: ��,� 	 � √��" � y �:,# 	 � √:��" � Mas allá de la solucion, el tipo de 
equilibrio, de acuerdo a la tabla será estable, pero no asintóticamente estable (lo que significa que 
las masas oscilarán idefinidamente alrededor del punto de equilibrio). El tipo de equilibrio es 
válido para las 4 funciones incógnitas (luego la velocidad también tiene el mismo tipo de 
equilibrio). 
Ejemplo: Vibraciones Amortiguadas . El resorte está sujeto a una fuerza de fricción producto del 
medio viscoso. Experimentalmente se muestra que la fuerza de rozamiento es proporcional a la 
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velocidad de la masa. La constante J de proporcionalidad depende entre otras cosas del fluído 
(cuanto más denso, mas grande) y de la forma de la masa. 
Caracterizar el tipo de equilibrio 
Resolución 
Usando la ley de Newton y la de Hooke se tiene que la fuerza actuante en el 
resorte � 	 � � 	 � ��� es la suma de la re reposición del resorte ���V 	 
^ � 
y la de rozamiento ��<� 	 
J � 	 
J �� (la constante J c 0, el signo negativo 
se debe a que la fuerza se opone al movimiento, luego a �). 
Luego � ��� 	 
J �� 
 ^ � = ��� 	 
 �� �� 
 �� �. Transformado la EDO 
en un SL usando �� 	 �; ��� 	 ��, resulta el sistema  : ¢ �� 	 ��� 	 
 �� � 
 �� ��. 
Matricialmente �x�y�� 	 , 0 1
 �� 
 ��- ����. 
Los autovalores son x 	 !��√�r!#� ��� . De acuerdo a los valores de √c� 
 4k m, los mismos pueden ser reales (iguales o distintos) o imaginarios o complejos. 
a) c� 
 4k m n 0 : Amortiguamiento escaso, se tiene dos raíces complejas, con parte real 
negativa 
!���. El equilibrio es asintóticamente estable, tanto x (desplazamiento) como y 
(velocidad) tienden a cero oscilando. 
 
b) c� 
 4k m c 0 : Amortiguamiento excesivo, se tiene dos autovalores reales negativos (notar 
que √c� 
 4^ � n √c� 	 c). El equilibrio también es estable, tanto x (desplazamiento) como 
y (velocidad) tienden a cero pero sin oscilaciones. 
 
c) c� 
 4k m 	 0 : Amortiguamiento crítico, se tiene dos autovalores reales negativos (notar 
que √c� 
 4^ � n √c� 	 c). El equilibrio también es estable, tanto x (desplazamiento) 
como y (velocidad) tienden a cero sin oscilaciones, aunque notar que la rapidez máxima es 
mayor que en el caso anterior. 
 
Importante : la estabilidad de la solución de una ecuación diferencial ordinaria homogénea de 
orden n puede ser caracterizada por las n raíces de su ecuación característica. Se deja como ejercicio 
dicho estudio. 
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Ejercicios propuestos sección 4:
1. Sea el campo de velocidades v x y x y i x y j
→ → →
a) Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que permiten determinar las trayectorias de 
flujo ( ) ( ) ( )r t x t i y t j= +
r r r
. 
b) Probar que dicho sistema puede reducirse a 
c) Resolver la ecuación anterior.
d) Encontrar la trayectoria de una partícula que parte del punto (
e) En el gráfico se muestras tres trayectorias de flujo, una de ella es la buscada. Determinar la 
misma, justificando la respuesta.
2. Un móvil se mueve siguiendo una trayectoria 
velocidad está dada por ( ( ); ( )) ( 2 ) (3 2 )v x t y t x y i x y j
→ → →
a) Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que permiten determinar la trayectoria.
b) Probar que dicho sistema puede reducirse a las ecuaciones 
2 ( ) ( ) '( )y t x t x t= − ; ( (0); (0)) (1,3)x y =
c) Encontrar la trayectoria. 
d) En el gráfico se muestras distintas trayectorias, una de ella es la buscada. Determinar la misma, 
justificando la respuesta. 
3. Si los autovalores de la matriz del sistema lineal de ecuaciones diferenciales son todos positivos 
¿es el punto crítico del sistema estable y la órbita 
4. Resolver el sistema 



=
−=
=
'
2
'
1
x
x
S
5. Una partícula se mueve en el plano xy con 
serán los valores de k para qué
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: 
( ; ) ( ) (6 4 )v x y x y i x y j
→ → →
= − + − . 
Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que permiten determinar las trayectorias de 
Probar que dicho sistema puede reducirse a ''( ) 3 '( ) 2 ( ) 0x t x t x t+ + = 
Resolver la ecuación anterior. 
Encontrar la trayectoria de una partícula que parte del punto (-1; 1). 
En el gráfico se muestras tres trayectorias de flujo, una de ella es la buscada. Determinar la 
misma, justificando la respuesta. 
Un móvil se mueve siguiendo una trayectoria ( ) ( ) ( )r t x t i y t j= +
r r r
, de tal manera que en todo (x,y) su 
( ( ); ( )) ( 2 ) (3 2 )v x t y t x y i x y j
→ → →
= − + − Si el móvil parte del punto (1,3) 
ecuaciones diferenciales que permiten determinar la trayectoria.
Probar que dicho sistema puede reducirse a las ecuaciones ''( ) '( ) 4 ( ) 0x t x t x t+ + =
( (0); (0)) (1,3)= 
distintas trayectorias, una de ella es la buscada. Determinar la misma, 
Si los autovalores de la matriz del sistema lineal de ecuaciones diferenciales son todos positivos 
¿es el punto crítico del sistema estable y la órbita una espiral? Justificar 
+
+−
21
21
25
2
xx
xx
 . Caracterizar el equilibrio del sistema.
se mueve en el plano xy con velocidad 
é la trayectoria de la partícula sea elíptica? 
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Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que permiten determinar las trayectorias de 
En el gráfico se muestras tres trayectorias de flujo, una de ella es la buscada. Determinar la 
 
, de tal manera que en todo (x,y) su 
Si el móvil parte del punto (1,3) 
ecuaciones diferenciales que permiten determinar la trayectoria. 
''( ) '( ) 4 ( ) 0x t x t x t+ + = ; 
distintas trayectorias, una de ella es la buscada. Determinar la misma, 
 
Si los autovalores de la matriz del sistema lineal de ecuaciones diferenciales son todos positivos 
. Caracterizar el equilibrio del sistema. 
– . ¿Cuáles