Ejercicios - EDO

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ANÁLISIS MATEMÁTICO II 
GUÍA PARA RESOLVER CICLO LECTIVO 2020 – TEMA 1 Facultad de Ingeniería 
Tema 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 
 
Contextualización 
 
01-C. Describí las siguientes situaciones mediante un modelo matemático basado 
en una ecuación diferencial. Indicar cuál es la variable independiente y cuál 
es la variable dependiente: 
a) La variación con el tiempo de una población 𝑃, es proporcional a la √𝑃. 
b) Una familia de curvas tiene la propiedad de que su pendiente en 
cualquier punto es igual al doble de la abscisa en dicho punto. 
c) Para cierta sustancia la velocidad de cambio de presión de vapor 𝑃 
respecto de la temperatura 𝑃, es proporcional a 𝑃 e inversamente 
proporcional a 𝑇2. 
d) En una ciudad con una población fija de 𝑃 personas, la variación con 
respecto al tiempo del número 𝑁 de personas que han contraído cierta 
enfermedad contagiosa, es proporcional al producto del número de quienes 
están enfermas por el número de las que no lo están. 
 
Observación Reflexiva 
 
01-R. ¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria? 
 
02-R. ¿Qué entendés por solución de una ecuación diferencial ordinaria? 
 
03-R. ¿Cómo relacionás las ecuaciones diferenciales y sus soluciones con la carrera 
que cursás? 
 
Conceptualización 
 
01-T. Definí el significado de orden de una ecuación diferencial ordinaria 
 
02-T. Establecé las condiciones de linealidad y homogeneidad en una ecuación 
diferencial ordinaria de primer orden. 
 
03-T. Establecé la relación entre orden, constantes arbitrarias y condiciones 
particulares para una ecuación diferencial ordinaria. 
 
04-T. Establecer qué propiedades deben tener dos curvas en el plano y dos 
familias de curvas en el plano para ser ortogonales. Dada una familia 
simplemente infinita de curvas 𝑦(𝑥), ¿bajo qué condiciones y de qué manera 
se puede determinar otra familia 𝑢(𝑥) tal que sea ortogonal a la primera? 
Presente un ejemplo. 
 
Experimentación Activa 
 
01-E. Indicar cuales de las siguientes ecuaciones son ecuaciones diferenciales 
ordinarias 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = 9 b) 𝑦′′ + 𝑦 − 2𝑥 = 0 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
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c) (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 − (4𝑦𝑑𝑦) = 0 d) 
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 0 e) 
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
− 2
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 
 
02-E. Clasifica las siguientes ED según el orden y la linealidad 
 
a) (𝑥2 + 𝑒𝑥𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑦2 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0 b) 3𝑥2𝑦′′ + 5𝑥𝑦′ − 8𝑦 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
c) (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 + (3𝑒𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 d) (
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
) + 𝑡𝑎𝑛𝑥 (
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
) − 𝑒𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑥𝑦 = 𝑒3𝑥 
 
03-E. Averiguar si las funciones que se indican son soluciones de la ED 
dadas 
 
a) 𝑦 =
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
 de 𝑦′ − 𝑦 𝑡𝑔𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
 
b) 8𝑥 + 2𝑦 + 1 = 2𝑡𝑔(4𝑥 + 𝑐) de 𝑦′ = (8𝑥 + 2𝑦 + 1)2 
c) 𝑦 = 𝑥(𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶) de 𝑦′ =
𝑦
𝑥
+ 1 
d) 𝑦 = (𝑥 + 1)2(𝑒𝑥 + 𝐶) de 𝑦′ −
2
𝑥+1
𝑦 = 𝑒𝑥(𝑥 + 1)2 
 
04-E. Hallar para cada familia de curvas dada una curva que satisfaga las 
condiciones iniciales indicadas: 
 
a) 𝑦 = (𝐶1 + 𝐶2𝑥)𝑒
2𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 0; 𝑦′(0) = 1 
b) 𝑦 = (𝐶1𝑒
−𝑥 + 𝐶2𝑒
𝑥 + 𝐶3𝑒
2𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 0; 𝑦′(0) = 1; 𝑦′′(0) = −2 
 
05-E. Hallar la solución general de las siguientes ED 
 
a) (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 2𝑦 + 1)𝑑𝑦 = 0 
b) (3𝑥 − 6𝑦 + 4)𝑦´ + 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 
c) 𝑦′ = 𝑡𝑔2(𝑥 + 𝑦) 
d) (𝑥2 − 3𝑦2)𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 
 
06-E. Hallar la solución particular de las siguientes ED 
 
a) 𝑦´(1 + 𝑒𝑥) = 𝑒𝑥−𝑦 y(0)=0 
b) 𝑦′ − 3𝑥2𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 
c) (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 𝑦(1) = 𝜋 
d) (𝑥𝑦2 + 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑥2𝑦 − 𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 
 
07-E. Resolver 
 
a) 𝑦′ − 3𝑥𝑦 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑦(0) = 1/2 b) 𝑑𝑦 +
𝑥𝑦
1+𝑥2
𝑑𝑥 = 0 
 
08-E. Resolver 
 
a) 𝑦′ − 𝑦𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦(0) = 0 b) 𝑥𝑦´ − 𝑦 = 𝑥2𝑐𝑜𝑠2𝑥 
c) 
1
√𝑥
𝑦´ + 𝑥
1
2𝑦 = 𝑥
1
2√1 − 𝑒
𝑥2
2 d) 𝑥𝑦′ − 4𝑦 = 𝑥6𝑒𝑥 
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e) 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛(3𝑥) 
 
09-E. Resolver 
a) 𝑦′ =
1
𝑥
𝑦 +
𝑥
𝑦
 b) 𝑥𝑦2𝑦′ + 𝑦3 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 c) 𝑥𝑦´ + 𝑦 = 𝑦2𝑙𝑛𝑥 
 
10-E. Hallar las trayectorias ortogonales 
 
a) 𝑦 = 𝐶𝑒2𝑥 b) (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 = 1 
 
01-P. En un proceso químico una sustancia se transforma en otra con una 
velocidad proporcional a la cantidad de la sustancia que queda sin 
transformar. Si al cabo de una hora esa cantidad es 50 y al cabo de 3 horas 
es 25. Hallar la cantidad inicial. 
 
02-P. Una bolilla de naftalina tenía originalmente un diámetro de 2cm. Al 
cabo de un mes su diámetro disminuyo a la mitad. Suponiendo que la 
naftalina se sublime con una velocidad proporcional a su superficie: a) 
encontrar el radio como función del tiempo, y b) ¿en cuánto tiempo 
desaparecerá? 
 
03-P. Si una cepa de bacterias crece proporcionalmente a la cantidad de 
individuos presentes, y si la población se dobla en una hora ¿cuánto crecerá 
al cabo de 2 horas? 
 
04-P. Este es un modelo para la propagación de una infección o un rumor en 
una población fija. Supóngase que un estudiante portador de un virus de 
gripe, regresa a un campus universitario, aislado, que tiene 1000 estudiante. 
Supongamos que la rapidez con que el virus se propaga, es proporcional no 
sólo al número de estudiantes contagiados, sino también, al número de 
estudiantes no contagiados. Determinar el número de estudiantes 
contagiados después de 6 días, si además se observa que después de 4 días 
ya eran 50 los contagiados.