MODELOS MATEMÁTICOS

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Un modelo matemático describe teóricamente un
objeto que existe fuera del campo de las matemáticas. Su
éxito o fracaso depende de la precisión con la que se
construya esta representación numérica y la confiabilidad
con que se representen hechos o situaciones en forma de
variables relacionadas entre sí.
El éxito o fracaso del modelo depende de la precisión con la que se 
construya esta representación numérica, la fidelidad con la que se 
concreticen hechos y situaciones naturales en forma de variable.
DIETA
CARNE
PESCADO
Contiene:
183 gramos de proteína
93 gramos de hidratos de carbono
Pescado: 
70% proteínas y 
10% hidratos de 
carbono
Carne: 
30% proteínas y 
60% hidratos de 
carbono
Variable X Variable Y
0,7x + 0,3y = 183
0,1x + 0,6y = 93
La 2da ecuación por (7) y 
la 1era ecuación por (-1)
-0,7x - 0,3y = -183
0,7x + 4,2y = 651
0 + 3,9y = 468
3,9y = 468 y = 120 
Sustituir y = 120 en 0,1x + 0,6y = 93
x = 210 
Gramos de 
carne diario
Gramos de 
pescado diario
Fases
Construcción:
Es el proceso en que se 
convierte el objeto en 
lenguaje matemático
Análisis: 
Es el estudio del modelo 
confeccionado.
Interpretación: 
Es donde se aplican los 
resultados del estudio al 
objeto del cual se partió
SE CLASIFICAN EN
Modelos cualitativos:
Pueden valerse de gráficos y no buscan 
un resultado exacto, sino que intentan 
detectar, por ejemplo una tendencia de 
un sistema
Modelos cuantitativos: 
Buscan dar un resultado numérico 
preciso y se apoyan en fórmulas 
matemáticas de complejidad variada.
Modelos de simulación: 
Son los que intentan adelantarse a un 
resultado en una determinada situación, 
ya sea que esta pueda medirse de forma 
precisa o aleatoria
Modelos de optimización:
Contemplan distintos casos y 
condiciones alternado valores, para 
encontrar la configuración más 
satisfactoria
Se clasifican en
Continuos:
La variable presenta 
cambios continuos 
Discretos: 
La variable presenta 
cambios discretos
• En el modelo son objetos o símbolos que
representan entidades o atribuciones del sistema
que permanecen constante.
PARÁMETRO
VARIABLES
Son los procesos físicos o relaciones entre los símbolos 
de un modelo, que representan las actividades y a las 
relaciones entre los elementos de un sistema.
RELACIONES 
FUNCIONALES
Son objetos o símbolos en el modelo, que representan 
a entidades o atributos del sistema que cambian en el 
tiempo .
• Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene
las derivadas de una o mas variables dependientes con
respecto a una o mas variables independientes.
DEFINICIÓN
CLASIFICACIÓN Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo 
con su tipo, orden y linealidad.
• Si una ecuación sólo contiene derivadas ordinarias de una
o más variables dependientes con respecto a una sola
variable independiente, entonces se dice que es una
ecuación diferencial ordinaria.
SEGÚN SU TIPO
Ejemplo: Ordinaria y parciales
yxey
dx
dy
10
y
u
x
u





• El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en
derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden
en la ecuación.
SEGÚN EL 
ORDEN
Ejemplo:
xey
dx
dy
dx
yd






 105
3
2
2
• Se dice que una ecuación diferencial de la forma (*), es
lineal si se puede escribir de la forma (**) .
SEGÚN LA 
LINEALIDAD O 
NO LINEALIDAD
Ejemplo:
    !! 1!,...,,,  nn yyyxfy
         xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n  

 011
1
1 ...
xey
dx
dy
dx
yd
x  6
3
3
3
• Una ecuación diferencial es lineal de primer
orden, si es de la forma:DEFINICIÓN
Al dividir ambos lados de la ecuación por 
se obtiene una forma más útil, la forma estándar de 
una ecuación lineal:
     xgyxa
dx
dy
xa  01
 xa1
   xfyxP
dx
dy

• Para resolver una ecuación lineal de primer orden,
primero se convierte a la forma de estándar; esto es,
se hace que el coeficiente de dy/dx sea la unidad..
• Hay que identificar P(x) y definir el factor integrante
• La ecuación obtenida en el paso 1 se multiplica por el
factor integrante
• Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el 
paso 4, es decir.
  dxxPe
   
 
 
 xfeyxPe
dx
dy
e
dxxPdxxPdxxP 
   
 
 dxxfeye
dxxPdxxP
1.- Resolver:
2.- Resolver:
3.- Resolver:
4.- Resolver el problema de valor inicial:
con 
xexy
dx
dy
x 64 
03  y
dx
dy
  092  xy
dx
dy
x
xy
dx
dy
x 2
  01 y
xexy
dx
dy
x 64 
4
4
4 4 4
5 4 4
x
x
x x
x x
x x
x x
u x
du dx
dv e dx
v e
yx xe e dx
yx xe e c
xe e c
y
x x x
y x e x e x c


  




 
  
  
  

03  y
dx
dy
xy
dx
dy
x 2   01 y
xy
dx
dy
x 2   01 y
-
  092  xy
dx
dy
x
  092  xy
dx
dy
x
5.
| 32y xy x 
Solución:
32
dy
xy x
dx
 
Identificamos a P(x):
  2P x x
  2P x dx xdx
e e 
  2P x dx xe e 
Multiplicamos por el factor integrante
2 2 3x xe y e x dx 
Realizamos un cambio de variable 
para transformar la integral
2 2 2x xe y e x xdx 
2
2
2
u x
du xdx
du
xdx



2 2
2
x u due x xdx e u 
 
1
2 2
u u udue u ue e 
2 221 1
2 2 2
u x xdue u x e e C  
2 2
2 2 2
2 2 2
2
21 1 1 1
2 2 2 2
x x
x x x
x x x
x e e C
e y x e e y
e e e
     
221 1
2 2
xy x Ce   Solución general
1.-Crecimiento y decaimiento Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el
crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798.
En esencia, la idea del modelo malthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la
población de un país crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ese país en cualquier
momento t. En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro.
En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:
2.-El núcleo de un átomo está formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas
de esas combinaciones son inestables; esto es, los átomos se desintegran, o se convierten en
átomos de otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos; por ejemplo, con el
tiempo, el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en gas radón, Rn 222, también
radiactivo. Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa con
que los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad (con más
precisión, el número) de núcleos, A(t), de la sustancia que queda cuando el tiempo es t (o en el
momento t):
kP
dt
dP
P
dt
dP

kA
dt
dA
A
dt
dA

1.-Ley de Newton del enfriamiento Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la
rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del
medio que le rodea, que es la temperatura ambiente. Si T(t) representa la temperatura del objeto en
el momento t, Tm es la temperatura constante del medio que lo rodea y dT/dt es la rapidez con que
se enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático:
4.- Dinámica de poblaciones: modelo de Malthus
El comportamiento de una población de seres vivos cuyo número de individuos varía en el tiempo
puede ser matemáticamente modelada mediante ecuaciones diferenciales y constituye, de hecho,
uno de los principales campos de aplicación de las Matemáticas a la Biología. Cuando una población
no está sujeta a condicionantes externos (falta de alimentos, competencia por el hábitat, . . . ) su
ritmo de crecimiento o decrecimiento es debido únicamente al equilibrio entre su tasa de natalidad y
su tasa de mortandad: la velocidad de crecimiento de la población (o de decrecimiento, si nacen
menos individuos de los que mueren) es proporcional al número de individuos que la componen.
Para expresar esto matemáticamente, denotemos:
N = N(t) número de habitantes en el instante t:
Entonces, el crecimiento de la población, se puede expresarmediante la siguiente ecuación 
diferencial: , donde N(t) es el número de población en el instante t.
 TmTk
dt
dT
TmT
dt
dT

kN
dt
dN

1. Un cultivo tiene una cantidad inicial de bacterias. Cuando t = 1 h, la
cantidad medida de bacterias es . Si la razón de reproducción es
proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo
necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.
0N
0
3
2
N
0
dN dN
kN kN
dt dt
   
Sol
kdt kte e
  
Entonces: P(t) = -k
0.kt kt
kt
kt
e N e dt
e N C
C
N
e
 






  ktN t Ce
Ahora hacemos uso de las 
condiciones dadas
  00N N
 0
0
0
k
N Ce
N C


  0
ktN t N e
Entonces: 
  0
3
1
2
N N
1
0 0
3 3
2 2
k kN N e e  
3 3
2 2
kLn Lne kLne Ln
   
     
   
Aplicamos Ln a ambos lados
0,4055k 
  0,40550
tN t N e
Ahora utilizamos la otra condición
  03N t N
0,4055 0,4055
0 03 3
t tN N e e  
0,40553 0,4055 3tLn Lne t Ln  
3
2,71
0,4055
Ln
t h 
2. Un reactor de cría convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un
isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0.043% de la cantidad
inicial, , de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese isótopo, si la
razón de desintegración es proporcional a la cantidad presente.
0A
Sol
0
dA dA
kA kA
dt dt
   
Entonces: P(t) = -k
kdt kte e
  
Con   00A A
 
 
0kt kt
kt
kt
kt
e A e dt
e A C
C
A t
e
A t Ce
 







Ahora hacemos uso de las 
condiciones dadas
  ktA t Ce
 0
0
0
k
A Ce
A C


  150
15
0 0
15
99,957
100
k
k
A A e
A A e


1599,957
100
ke
1599,957 99,95715
100 100
ke k Ln
 
    
 
99,957
100
0,000029
15
Ln
k
 
 
   
  0,0000290
tA t A e
Ahora el periodo medio es cuando se 
ha desintegrado el 50%
0,0000290
0
2
tA A e
24,180t años
nLnx nLnx
Ln xy Lnx Lny 
x
Ln Lnx Lny
y
 
nLne n
3.
Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300°F. Después de 3 
minutos, 2OO’F. ¿En cuanto tiempo se enfriará hasta la temperatura 
ambiente de 7O”F?
Datos:
T0=300°F
t=3min
T(3m)= 200°F
T(t)=70°F
 m
dT
k T T
dt
 
  0m
dT
k T T
dt
  
 P t k 
kdt kte e
  
  0kt me T T dt
   
 kt m
m kt
e T T c
c
T T
e


 
 
kt
m
kt
m
T T ce
T ce T
 
 
Condiciones
 0 300T 
70mT 
 0
300 70
300 70
230
k
ce
c
c
 
 

230 70ktT e 
Sustituyendo c
 3 200T 
3200 230 70ke 
3200 70
230
ke


3
3
200 70
230
200 70
230
k
k
e
Lne Ln


 
  
 
200 70
3
230
200 70
230
3
0,1902
k Ln
Ln
k
k
 
  
 
 
 
 
 
0.1902230 70tT e 
  70,001T t 
0.190270,001 230 70
70,001 70
0,1902
230
64,9min
te
t Ln
t
 
 
  
 

Resolver:
 
1
xdy xSenx y dx
dy
x xSenx y
dx
dy
x y xSenx
dx
dy
y Senx
dx x
 
 
 
 
1
dx
Lnxx
Lnx
e e
e x



1 1
Cos
Cos
Cos
xy xSenxdx
xy x x Senx C
Senx C
y x
x x
y x x Senx x C 

   
   
   

Resolver: ! 2 23y x y x 
2 3
dy
x y
dx
 
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma: 
Se dice que es separable o que tiene variables separables.
   
dy
g x h y
dx

Por ejemplo:
2 3 4x ydy y xe
dx
a) b)
dy
y Senx
dx
 
El método consiste en que usted pueda expresar la ecuación dada 
de la forma:    h y dy g x dx
2 3 4
2 3 4
x y
x y
dy
y xe
dx
dy
y xe e
dx


3
2 4
x
y
dy
xe dx
y e

  .
.n m n m
n
n m
m
m
n n m
x x x
x
x
x
x x





Ejemplo:
 1 0x dy ydx  a)
Solución
 
 
1 0
1 0
x dy ydx
x dy ydx
  
  
 
 
1
1
x dy ydx
dy dx
y x
 


 
 
1
1
dy dx
y x
dx
Lny
x




 

1u x
du dx
 

Cambio de variable
du
Lny
u
Lny Lnu C

 

 1Lny Ln x C  
 1Lny Ln x C  
Aplicando antilogaritmo
 1Ln x C
y e
 

 1
.
Ln x cy e e


 1cy e x 
 1 1y c x 
5Lny 
5y e
2. Resuelva el problema con valores iniciales
dy x
dx y
  Con y(4)=-3
dy x
dx y
ydy xdx
 
 
ydy xdx  
2 2
2 2
y x
c  
2 2 2y x c  
2 2 2x y c 
 
22 24 3
25
5
c
c
c
  

 
(4,-3)
  21
dy
x xy x x
dx
   
 
 
 
2
1 1
1
1 1
dy X x x
y
dx x x
x xdy x
y
dx x x

 
 

 
 
1
1
1 1
1 1
x
dx dx
x x
x dx
dx dx
x x
e e
e e
  
 
  
 
 

  

1u x
du dx
 

3. Resuelva
 1
dy x
y x
dx x
 

Cambio de variable
 
 
1
11
1
.
1
dx
dx
x Lnux
dx
dx Ln xxx
dx
dx
xx
e e
e e e
e e x
 
 
  
 

 

 

 
 
   
  2
1 1
1
x x
x x x
e x y e x xdx
e x y xe dx x e dx
 
  
  
  

 
 
 
 
 
2
2
2
2
1
1 3 2
3 2
1
3 2
1
x x x
x x x x
x x x
x
x
e x y xe dx x e dx
e x y x e xe e c
x e xe e c
y
e x
x x ce
y
x
  
   
  

  
     
   


   


 
4. Cuando t = 0, había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Al cabo de 6
horas, esa cantidad disminuyó el 3%. Si la razón de desintegración, en cualquier
momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente, calcule la
cantidad que queda después de 2 horas.
0
dA dA
kA kA
dt dt
   
  ktA t ce
A(0) =100mg
A(6) = 97%(100)
=97
A(2) =? 
(0)100
100
kce
c


  100 ktA t e
Ahora
(6)97 100 ke
Aplicando Ln
(6)97
100
97
6
100
97
100
6
kLn Lne
k Ln
Ln
k



0,0051k  
  0,0051100 tA t e
   
 
0,0051 2
100
98,98
A t e
A t mg



Ahora A(2) =? 
5.  70
dQ
k Q
dt
 
 
 
70
70
dQ
k Q
dt
dQ
kdt
Q
 


 70
dQ
kdt
Q

 
Cambio de variable
70u Q
du dQ
 

du
kdt
u
Lnu kt c

 
 
 70
70 kt c
Ln Q kt c
Q e 
  
 
70 kt cQ e e 
70ktQ ce 
5. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la
temperatura del aire es 5°F. Después de un minuto, el termómetro indica 55”F, y
después de cinco marca 30°F. ¿Cuál era la temperatura del recinto interior?
Datos:
Tm=5°F
T(1)=55°F
T(5)=30°F
T0=?
5
kt
m
kt
T ce T
T ce
 
 
5
55 5
55 5
50
kt
k
k
k
T ce
ce
ce
e
c
 
 
 

5
5
5
4
4
4
5
30 5
30 5
25
25
25
25 50
kt
k
k
k
k k
k k
k
T ce
ce
ce
e
c
e
c
e e
c
e
c c

 
 
 




4
4
4
25 50
25
.
50
1 1
4
2 2
0,1732
k
k
k
e
c c
c
e
c
e k Ln
k


  
 
1. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20° C, se deja caer en
un gran tanque de agua hirviendo. ¿Cuánto tiempo tardará la barra en alcanzar los 90°
C si se sabe que su temperatura aumentó 2° en 1 segundo? ¿Cuánto tiempo tardará en
alcanzar los 98° C?
Datos:
T0=20°c
Tm=100°c
T(1)=22°C
T(t)=90°c
T(t)=98°c
 
 
 
m
m
m
dT
k T T
dt
dT
kdt
T T
dT
kdt
T T
 



 
 
 
m
m
dT
kdt
T T
Ln T T kt c


  
 
 
 
m
kt c
m
kt c
m
kt
m
Ln T T kt c
T T e
T e T
T t ce T


  
 
 
 
   00 100kT ce 
Evaluando
 0
20 100
80
k
ce
c
 
 
   080 100kT t e  
22 80 100ke  
22 100 80
22 100
80
90 100
80
2,0794
k
k
e
e
Ln k
k
  



 
 
 
 
  2,079480 100tT t e  
2,079490 80 100te  
2,079490 100
80
90 100
2,0794
80
90 100
80
2,0794
1,00002 .
te
t Ln
Ln
t
t seg
 

 
   
 
 
 
 


98 100
80
2,0794
1,8 .
Ln
t
t seg
 
 
 


2. La población de bacterias en un cultivo crece a una razón proporcional a la cantidad
de bacterias presentes al tiempo t. Después de tres horas se observa que hay 400
bacterias presentes. Después de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes.¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?
Datos:
N(0)=N0
N(3)=400
N(10)=2000
N(0)=?
5 20
dy
y
dx
 3. con  0 2y 
22
dx
y x y
dy
 4. con  1 5y 
 1 6
dx
x x
dy
  5.
3. El carbono-14 (C14), sustancia radioactiva presente en ciertos fósiles, se
desintegra a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La vida media
(tiempo en desintegrarse a la mitad una cantidad inicial) es de 5730 años. Averiguar
la edad del fósil sabiendo que contiene el 77:7% del C14 inicial.
4. Sea V = V (t) el volumen de una célula en el instante t. Determinar V (t) para t≥0 
,sabiendo que dV /dt(0) = 3 y que V verifica la ecuación V (t) = sen(t).
5. El sábado 27 de febrero del 2007 a las 7H 00 A.M. un conserje del básico encuentra
el cadáver de un estudiante de Calculo Integral en el aula donde rindió su examen del
día anterior, que se conserva a temperatura constante de 26º C. En ese momento la
temperatura del cuerpo es de 28º C y pasada hora y media la temperatura es de 27,5º
C. Considere la temperatura del cuerpo a la hora de la muerte de 37º C, ¿cuál fue la
hora de la muerte?