1-EDOs-parte-1-Sem-3-Orden-1-P-Aplicac-2-EDOs

Vista previa del material en texto

LECTURAS DE AUTOAPRENDIZAJE E INVESTIGACIÓN.
APLICACIONES DIVERSAS DE LAS EDO.
1. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON. Suponga que una varilla de acero al rojo vivo se sumerge en un baño de agua fría. Si es la temperatura de la varilla en el tiempo t, y suponga que la temperatura del agua se mantiene constante en . Por la ley de enfriamiento de Newton: “se tiene que la razón de cambio de temperatura es proporcional a la diferencia entre las dos temperaturas 10°C y ”. Halle y escriba una EDO que describa esta ley física.
Solución. Datos:
- Temperatura de la varilla de acero: .
- Razón de cambio de la temperatura de la varilla: .
Ideas claves:	Razón de cambio de .
Proporcionalidad: .
Descripción del enunciado:			ó	 
Donde:	si ( positiva), calienta. Si ( negativa), enfría.
Resolviendo la EDO: es de variables separables.
Separando variables:		 
Integrando: 	 	 
 			 
Nota: según el contexto del problema y las condiciones del mismo se determinan los valores de las constantes y .
PROBLEMA. Si la temperatura es inicialmente de 200°C y en 20 minutos la temperatura es ya de 150, a los 50 minutos qué temperatura habrá alcanzado, luego a los 70 minutos.
- Cuando el min, la temperatura será la inicial de: , de donde .
- Cuando el min, la temperatura será de:	 , de donde 
La función finalmente será:				
- Piden para min, la temperatura será de:	
- Piden para min, la temperatura será de:	
 - Piden para min, la temperatura será de:	
2. CAPITAL INVERTIDO. Sea f(t) el monto de capital invertido por una empresa de negocios al tiempo t. La razón de cambio del capital se llama “Tasa neta de inversión”. Suponga que la gerencia de la empresa decide que el nivel óptimo de inversión debe ser dólares y que la tasa neta de inversión debe ser proporcional a la diferencia entre el capital óptimo invertido y el capital invertido . Halle y escriba una EDO que describa esta situación.
Solución. Datos:	Capital invertido: .
		Tasa neta de inversión: 
Ideas claves:	Razón de cambio de .
		Proporcionalidad: 
Descripción del enunciado:			ó	
Donde si 	 ( positiva), el capital aumenta.
Resolviendo la EDO: es de variables separables.
Separando variables:				 
 Integrando: 	 	 
Colocando base : 		 
 es el capital invertido. es el capital inicial.
Cuando el tiempo es años, el monto del capital inicial será de C0 dólares: ,
Entonces .
Nota: según el contexto del problema y las condiciones del mismo se determinan los valores de las constantes , y .
POR EJEMPLO:
Supongamos que ; , que para ; entonces 
En efecto:	, de sonde , finalmente la función particular para estos datos será:	
Para se tiene: dólares.
Para se tiene: dólares.
3. PRECIO Y VENTAS. Un modelo que describe las relaciones entre el precio y las ventas semanales de cierto producto puede tener la siguiente forma: , donde “” es el volumen de ventas y “” es el precio por unidad. Es decir, “en cualquier tiempo la razón de descenso de las ventas con respecto al precio es directamente proporcional al nivel de ventas e inversamente proporcional al precio de venta más una constante”. Resuelva esta ecuación diferencial.
Solución. La ecuación es de variables separables.
Separando variables 	
Integrando: 			 
 
Colocando como base se tiene:	
Es decir, el conocimiento de las variaciones de las ventas respecto al precio ha permitido conocer el volumen de ventas respecto al precio por unidad. Si , cuando , se tiene:	
Particularmente:
Si el precio es de soles el volumen de ventas será: 	o	 
Si el precio es de soles el volumen de ventas será: 	o	 
Si el precio es de soles el volumen de ventas será: 	o	 
PROBLEMA 4. La ecuación de crecimiento de Gompertz es , donde y son constantes positivas. Esta ecuación se utiliza en biología para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Encuentre la forma general de las soluciones de esta ecuación diferencial.
Solución. La ecuación dada es de variables separables 
Separando variables 
Integrando: 			 
	 
Colocando como base se tiene:	
Ejercicio. Para una población con ritmo de crecimiento por año, que se supone crecerá hasta millones como máximo, con , aplicar el modelo de Gompertz para encontrar la población al cabo de dos y de cuatro años. Para los mismos datos encontrar el tiempo en que y luego . 
PROBLEMA 5. Cierta sustancia líquida se calienta en un matraz, se descompone convirtiéndose en una sustancia a una razón (medida en unidades de por hora) que, en todo tiempo , es proporcional al cuadrado de la cantidad de sustancia presente al tiempo . Construya y resuelva una ecuación diferencial que satisfaga.
Solución.	 Datos:
- Sustancia se convierte en sustancia .
Ideas clave:	Razón de cambio: ; 
Proporcionalidad: .
Descripción: “ se transforma en a una razón que, en todo tiempo, es proporcional al cuadrado de la cantidad de sustancia presente en el tiempo” .
Para resolver: 
Integrando:	
 La solución es: 	o	
6. PENDIENTE DE UNA CURVA. Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1; 3) y tiene una pendiente de y/x2, hacer un diagrama.
Solución.	Datos:	Pendiente de la curva: 	
Pasa por el punto .
Ideas clave:
- Pendiente de una recta tangente a una curva 
- Descripción:	
Resolviendo: La ecuación es de variables separables:		 
Integrando:		 
La solución general es: 	
Usando la condición de que la curva pase por punto se halla el valor de la constante .
		 
La solución particular será:				 
 		 		 
Finalmente:		; la gráfica se adjunta.
7. CONSERVACIÓN DE ALIMENTOS.- En el proceso de conservación de alimentos, el azúcar de caña experimenta una variación convirtiéndose en una mezcla de dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa. En solución diluida, “la tasa de inversión es proporcional a la concentración de azúcar no alterado”. Si la concentración es de 1/50 en horas y de 1/200 después de tres horas, obtener la concentración de azúcar no alterado después de 6 horas y después de 12 horas.
Solución. Datos: 
- Azúcar de caña se transforma en dos azúcares más sencillos: glucosa y fructosa.
- La concentración es de 1/50 en horas y de 1/200 después de tres horas.
Ideas clave: Variación del azúcar. Proporcionalidad: , .
Descripción: En solución diluida, la tasa de inversión es proporcional a la concentración y(t) de azúcar no alterado:	
Resolviendo: La ecuación es de variables separables: 
Integrando:			 	 	 
La solución general es:	
Su gráfica es la siguiente, cuando aumenta.
Usando las condiciones hallaremos el valor de las constantes desconocidas de la solución general:
Si cuando 	 	 
Si cuando 	 	 	 
La solución particular será, pues y disminuye:		 
Calculamos lo que se pide:
i) Si :		 
ii) Si :		 
Observamos que la concentración, a medida que el tiempo pasa es cada vez menor.
8. CRECIMIENTO POBLACIONAL. La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional a tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180 moscas después del segundo día del experimento y 300 después del cuarto día; ¿Cuántos moscas habían originalmente?
Solución.	 Datos: 
- Hay 180 moscas después del 2do día.
- Hay 300 mocas después del 4to día.
Ideas clave:	Tasa de crecimiento: derivada.
Proporcionalidad: .
Descripción: La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional a tamaño de la población en dicho momento: 
Resolviendo: La ecuación es de variables separables:		
Integrando:		 	 	 
La solución general es:		o	
Usando las condiciones hallaremos el valor de las constantes desconocidas de la solución general:
Si , cuando 	 		 			(a)
Si , cuando 	 						(b)
Remplazando (a) en (b): 		 moscas.
Por otro lado, hallemos el valor de : 		 	 
La solución particular será:		o	
 Respuesta: La cantidad original de moscas es de 180; se obtiene cuando el tiempo .
Se puede calcular la cantidad de moscas para cualquier tiempo que se pida, por ejemplo:
- Al finalizar el día sétimo , habrán moscas aproximadamente.
- Al finalizar el décimo día , habrán moscas aproximadamente.
PLANTEO DE OTROS PROBLEMAS:
PROBLEMA 9. Con base en la hipótesisdel modelo de la ecuación , determine una ecuación diferencial que describa la población, cuando se permite una inmigración de tasa constante .
Solución. Sea:
: población del país en el tiempo ( en años).
: Rapidez de cambio de la población.
: constante de proporcionalidad positiva, .
: población que inmigra al país al año en forma constante.
Bajo la hipótesis de que la razón de cambio de la población en cualquier instante t es proporcional a la cantidad de población presente en ese instante, la ecuación diferencial asociada a este fenómeno es: 
PROBLEMA 10. Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a un flujo constante de g/s. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento . Formule una ecuación diferencial que describa la cantidad .
Solución. Sea:
: cantidad de medicina, en g/s, en el torrente sanguíneo en el tiempo .
: cantidad constante de medicina que ingresa al torrente sanguíneo del paciente.
: Rapidez con la que varía la cantidad de medicina en el torrente sanguíneo del paciente.
: constante de proporcionalidad negativa, .
Suponiendo que la cantidad de medicina disminuye proporcionalmente a la cantidad presente en cualquier instante de tiempo t, la ecuación diferencial que describe la situación será: 
PROBLEMA 11. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene 300 galones de agua en un inicio, en los que se disolvieron 50 libras de sal. Al tanque entra agua pura con flujo de 3 galones por minuto y, con el tanque bien agitado, sale el mismo flujo. Deduzca una ecuación diferencial que exprese la cantidad de sal que hay en el tanque cuando el tiempo es .
10
 Pies
Altura
h
Aw
o pies
Agujero circular A0
Solución. Sea:
: cantidad de sal en el tanque en el tiempo ( en segundos).
: Rapidez de cambio de la cantidad de sal en el tanque.
: rapidez con que entra la sal al tanque.
: rapidez con que la sal es desalojada del tanque.
De modo que:	 
Se tiene que:	, no está ingresando sal al tanque (entra agua pura).
 = 
De modo que: 
PROBLEMA 12. Por un agujero circular de área , en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a , donde . Deduzca una ecuación diferencial que exprese la altura del agua en cualquier momento . que hay en el tanque cúbico de la figura 1. el radio del agujero es de 2 pulgadas y pies/s2.
Solución.
Sea:	: volumen del tanque.
	: base cuadrada del tanque.
	: arista del cubo.
	: altura del agua en el tiempo .
De modo que el volumen será: .
Derivando ambos lados con respecto a , se encuentra la relación entre las razones de cambio del volumen y la altura del tanque:			
 Pero: = 
 = = =.
De donde: 	ó		.
Dado que la altura va disminuyendo se toma signo negativo, es decir la ecuación diferencial final queda como: 	 .
PROBLEMA 13. En la teoría del aprendizaje, se supone que “la rapidez con que se memoriza algún tema es proporcional a cantidad que queda por memorizar”. Suponga que representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que es la cantidad memorizada en un tiempo cualquiera. Deduzca una ecuación diferencial para determinar la cantidad .
Solución. Sea:
: cantidad del tema memorizado en el instante t.
: cantidad total del tema que se debe memorizar.
: cantidad del tema que falta memorizar.
: Rapidez con que se memoriza.
k: constante de proporcionalidad positiva.
La ecuación diferencial queda:	
PROBLEMA 14. Se sabe que “la población de cierta comunidad aumenta en una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento”. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y en cuánto se cuadruplicará?
Solución. Sean
: población de la comunidad en el tiempo .
: población inicial, en .
: tiempo en años.
: Rapidez con la que aumenta la población.
: constante de proporcionalidad positiva
Del enunciado, la EDO será:		
Separando variables e integrando:		 
 	 	 
Usando las condiciones iniciales para hallar y respectivamente:
Si :		 		 
Si :		 	 	 
Finalmente la función queda:			 
Calculando lo que se pide:
- La población se triplica:		 	 años
- La población se cuadruplica:		 	 años
Respuesta: la población se triplica aproximadamente a los 7,9 años y se cuadruplica a los 10 años.
PROBLEMA 15. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias?
Solución. Sean
: cantidad de bacterias en el tiempo t.
: tiempo en horas
: cantidad inicial de bacterias.
 : Rapidez de aumento del número de bacterias en el cultivo.
: constante de proporcionalidad positiva.
Según la descripción, la EDO será: 
Separando variables e integrando:		 	 
 		 
Usando las condiciones iniciales para hallar y respectivamente:
Si :			 		 
Si :			 	 	 
Si : 	 	 	 
Igualando los anteriores: 	 
Respuesta: la cantidad inicial de bacterias es aproximadamente de bacterias.
PROBLEMA 16. El PB-209, isótopo radiactivo de plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3,3 horas. Si al principio había un gramo de plomo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90 %?
Solución. Sea.
: cantidad de plomo PB-209 presente en el tiempo t.
: tiempo en horas.
 : Rapidez de desintegración del PB-209.
: constante de proporcionalidad positiva.
Del enunciado se tiene la EDO: (el signo – es por ser desintegración, disminución de )
Separando variables e integrando:
	 	 		 
Usando las condiciones iniciales para hallar y respectivamente:
Al inicio, la cantidad es de un gramo: Si : 	 	 
En 3,3 horas se desintegrará aproximadamente la mitad del PB-209:	 :
	 	 
La ecuación finalmente queda:		o	
Piden calcular en qué tiempo se desintegra el 90% de PB-209. Se trabaja con lo que queda, el 10% presente en el tiempo: 
De donde horas aproximadamente.
Respuesta: el 90% de PB-209 se desintegrará aproximadamente en 11 horas.
PROBLEMA 17. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado que su intensidad I disminuye es proporcional a I(t), en donde t representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar límpida, la intensidad a tres pies bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial I0 del rayo incidente, ¿cuál es la intensidad del rayo a 16 pies bajo la superficie?
Solución.	
: es el espesor del medio en pies.	: constante de proporcionalidad positiva.
La descripción “la intensidad del rayo de luz disminuye con una rapidez proporcional a la intensidad presente”, da la EDO:	
Separando variables e integrando: 	 	 
 		 	o	
Usando las condiciones iniciales para hallar y respectivamente:
La intensidad inicial es :		 	 	 
La intensidad a una profundidad de 3 pies es del 25% de la inicial , es decir : 
	 	 	 
La ecuación finalmente queda:	
Piden calcular la intensidad a una profundidad de 15 pies bajo la superficie del agua:
		 	 
Respuesta: A una profundidad de 15 pies habrá una intensidad de luz del 0,1 % de la intensidad original, es decir de la intensidad de la superficie.
PROBLEMA 18. En un trozo de madera quemada se determinó que el 85,5% de su C-14 se había desintegrado. Determine la edad aproximada de la madera (la vida media del C.14 es de 5 600 años). Estos son precisamente los datos que usaron los arqueólogos para fechar los murales prehistóricos en una caverna de Lascaux, Francia.
Solución.
Hipotéticamente el C-14 se desintegra con una rapidez que es proporcional a la cantidad presente en el tiempo t.
La ecuación diferencial asociada a este tipo de fenómeno es: 
Cuya solución es dada por:		, 						(1)
De donde: , pues la vida media del C-14 es de 5600 años.
Entonces: 	 	 	 		(2)
Entonces: 									(3)
Como ya se desintegrado el 85,5 % del C-14, resta por desintegrarse el 14,5% del C-14 original en eltrozo de madera; de donde:						(4)
Al reemplazar (4) en (3) se tiene: 
 	 
De donde años.
Respuesta: La madera hallada en la caverna de Lascaux tiene una edad aproximada de 15 600 años.
PROBLEMA 19. Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de y se lleva al exterior, donde la temperatura es de . Pasado medio minuto el termómetro indica . ¿Cuál es la lectura cuando minuto? ¿Cuánto tiempo se necesita para que el termómetro llegue a ?
Solución. La ley de enfriamiento de Newton establece que en un cuerpo que se enfría, la rapidez con que la temperatura del cuerpo cambia en el tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio ambiente que lo rodea. Es decir, si es una constante de proporcionalidad.
De la Ley se tiene:	
Pero nos dan que , es decir: 		 
Integrando:		 	 
			 					(1)
Como en , , al sustituir en (1): , se llega a tener que .
Seguidamente: 							(2)
La otra condición: , conduce a: 	 
 
Finalmente:			 				(3)
Piden hallar para minuto: = .
Y piden ahora hallar t pata : , de donde al despejar minutos.
Respuesta: Al cabo de un minuto la temperatura del termómetro será de ; el termómetro llegará a en minutos.
dt
k
dy
y
=
-
10
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
2
4
6
8
10
12
14
0.005
0.01
0.015
0.02
2
4
6
8
10
12
14
1000
2000
3000
4000
5000
gh
CA
dt
dV
2
0
=
h
r
C
)
32
(
2
)
(
2
p
[
]
h
pu
C
64
lg)
2
(
2
p
h
pie
C
8
6
1
2
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
h
C
p
9
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
h
C
dt
dh
p
9
2
100
1
h
C
dt
dh
p
450
1
=
h
C
dt
dh
450
p
-
=
)
10
(
y
k
dt
dy
-
=