Taller Integrador II

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INDICE
 INDICE…………………………………………………………………... 1
SESION 1………………………………………………………………… 2
SESION 2………………………………………………………………… 3
 SESION 3………………………………………………………………... 8
 SESION 4 ……………………………………………………………….. 12
 SESION 5 ……………………………………………………………….. 17
 SESION 6………………………………………………………………... 21
 SESION 7 ……………………………………………………………….. 28
 SESION 8………………………………………………………………... 37
 SESION 9………………………………………………………………... 41
 SESION 10……………………………………………………………….. 44
 SESION 11……………………………………………………………….. 51
 SESION 12……………………………………………………………….. 57
SESION 1
Presentación:
 
Esta sesión consiste en la presentación del taller, es decir las especificaciones y los requerimientos necesario para aprobar la materia. 
Este taller es considerado como complementario en la formación del estudiante, por permitir un desarrollo más completo de los conceptos matemáticos que representan fenómenos de materias de especialización de la ingeniería, a través del estudio de la solución de las ecuaciones diferenciales y series de fourier.
 Criterios de Evaluación:
· Asistencia puntual al taller 80%
· 12 sesiones 20%
Características del escrito
· Portada con datos de los integrantes
· Datos de los participantes en la portada
· Cada sesión
· Redacción del problema
· Planteamiento del problema
· Desarrollo de la solución
· Análisis dimensional
· Conclusiones personales
· Bibliografía, libros, paginas de Internet
· Costos
· Horas micro
· Hoja-impresión
· Engargolado
· Disco, CD.
· 
SESION 2
MARCO TEORICO
Mecánica, rama de la física que se ocupa del movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. Las descripciones modernas del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza. Sin embargo, hasta hace unos 400 años el movimiento se explicaba desde un punto de vista muy distinto. Por ejemplo, los científicos razonaban —siguiendo las ideas del filósofo y científico griego Aristóteles— que una bala de cañón cae porque su posición natural está en el suelo; el Sol, la Luna y las estrellas describen círculos alrededor de la Tierra porque los cuerpos celestes se mueven por naturaleza en círculos perfectos.
El físico y astrónomo italiano Galileo reunió las ideas de otros grandes pensadores de su tiempo y empezó a analizar el movimiento a partir de la distancia recorrida desde un punto de partida y del tiempo transcurrido. Demostró que la velocidad de los objetos que caen aumenta continuamente durante su caída. Esta aceleración es la misma para objetos pesados o ligeros, siempre que no se tenga en cuenta la resistencia del aire (rozamiento). El matemático y físico británico Isaac Newton mejoró este análisis al definir la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleración. Para los objetos que se desplazan a velocidades próximas a la velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría de la relatividad de Albert Einstein. Para las partículas atómicas y subatómicas, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría cuántica. Pero para los fenómenos de la vida diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinámica (el estudio de las causas del cambio en el movimiento).
RELACION CON OTRAS MATERIAS
Física, electromagnetismo, ecuaciones diferenciales, estática y en la vida diaria.
Problemas
1.- Una masa de 200gr se deja caer desde un avión que vuela horizontalmente. La resistencia del aire actúa según F = -kv con una constante de proporcionalidad de 10 g/s. considerando solo el movimiento vertical:
a) encuentre la velocidad como una función del tiempo
b) encuentre la velocidad después de 10 s, suponiendo que el cuerpo no ha chocado con el suelo (ni ningún cuerpo u objeto).
c) si se supone que la fuerza gravitacional es CTE.,¿ cual es la velocidad limite?
Datos
K = 10 g/s
2.-un peso de 64 lb se dispara verticalmente al aire desde la superficie de la tierra. En el instante que el peso deja el disparador tiene una velocidad 192 ft/s
a) ignorando la resistencia del aire, determine cuanto tiempo es necesario para que el objeto alcance su máxima altura.
b) si la resistencia del aire actúa de acuerdo con F = -kv con una constante de proporcionalidad de 4 lb/s ¿ cuánto tiempo toma que el objeto alcance su máxima altura?
Datos
W = 64 lb
V = 192 ft/s
G = 32 ft/s2
a) Procedimiento
Obtenemos la aceleración la cual es dv/dt para poder realizar este problema tenemos que eliminar dt entonces toda la ecuación se multiplica por dt dándonos como resultado la ecuación dv - 32 dt = 0 lo cual es mas fácil de sacar la integral observando que la velocidad es 0 y sustituyendo los valores “c” nos da el tiempo que tarda en llegar al punto mas alto
b)se nos da una fuerza un peso negativo –w = mg y una resistencia la cual es – kv que como sabemos va en contra de la fuerza, sustituyendo los valores y despejando nos muestra un resultado
Conclusiones
Caída libre (física), movimiento, determinado exclusivamente por fuerzas gravitatorias, que adquieren los cuerpos al caer, partiendo del reposo, hacia la superficie de la Tierra y sin estar impedidos por un medio que pudiera producir una fuerza de fricción o de empuje. Algunos ejemplos son el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra o la caída de un objeto a la superficie terrestre. Véase Gravitación.
En el vacío todos los cuerpos, con independencia de su forma o de su masa, caen con idéntica aceleración en un lugar determinado, próximo a la superficie terrestre. El movimiento de caída libre es un movimiento uniformemente acelerado, es decir, la aceleración instantánea es la misma en todos los puntos del recorrido y coincide con la aceleración media, y esta aceleración es la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s2. Como la velocidad inicial en el movimiento de caída libre es nula, las ecuaciones de la velocidad y el espacio recorrido en función del tiempo se pueden escribir así: 
v = g·t
y = ½·g·t2
Galileo fue el primero en demostrar experimentalmente que, si se desprecia la resistencia que ofrece el aire, todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración.
Bibliografías
Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2003. © 1993-2002 Microsoft Corporation. 
SESION 3
Mezclas
MARCO TEORICO
Definamos la concentración de una sustancia como:
Concentración = Cantidad de sustancia/Volumen total
Cuando tenemos un recipiente conteniendo una mezcla homogénea; el cual tiene una entrada y una salida; entonces:
Donde:
Q (t) = cantidad de sustancia.
Qe = cantidad de sustancia de entrada.
Qs = cantidad de sustancia de salida.
Además sabemos que:
Qe = Ve*Ce.
Qs = Vs*Cs.
Donde:
Ve = Volumen entrante.
Vs = Volumen de salida.
Ce = Concentración de entrada.
Cs = Concentración de salida.
El volumen en un tiempo cualquiera será:
V (t)=V0 + (Ve - Vs) t
Donde:
V (t) = cantidad de sustancia.
Ve = cantidad de sustancia de entrada.
Vs = cantidad de sustancia de salida.
Entonces la concentración de la sustancia en el recipiente será:
C (t) = Q (t) / V (t)
PROBLEMAS
1.- Un tanque bien mezclado contiene 300 gal de agua con una concentración de sal de 0.2 lb/gal. Agua con una concentración de sal de 0.4 lb/gal entra con una tasa de 2 gal/min. Una válvula abierta permite que el agua salga del tanque a la misma tasa.
Determine la cantidad de sal en el tanque como una función de tiempo.
Cuanto tiempo tomará que la concentración aumente a 0.3lb/gal.
F.I. = e∫P dx dx
Dx(eu) = eu Dx U
Donde U = función derivable
U = (k/150) si Dx (C f(x)) = C
du = ? C = (1/150)
du = dt/150 f(x) = t
 f´(x) = dt
a)
dA/dt = 0.8 – A/150 
dA/dt + (1/150)A = 0.8
dy/dx + Py = Q
F.I. = e∫(1/150) dt dx
F.I. = e∫(1/150) dt dt
F.I. = e1/150∫df dt
F.I. = e1/150 dt
(dA/dt + (1/150)A = 0.8) [et/150 dt]				A(0) = 60
et/150 dA + A (et/150)(dt/150) = 0.8et/150 			60 = 120 + Ce0/150
d(UV) = U dv + V du						60 – 120 = C
d(A et/150) = 0.8et/150 dt					C = -60
∫d(A et/150) = 0.8∫et/150 dt					A = 120 – 60e-t/150
∫d(Aet/150) = 0.8(150)∫et/150 (1/150)dt			A(t) = 90
Aet/150 = 120et/150 + C						90 = 120 – 60e-t/150
A = (120et/150)/ et/150 + (C / et/150 )				(90 – 120)/-60 = e-t/150
A = 120 + Ce-t/150 						ln 0.5 = ln e–t/150
t = -150 ln 0.5
t = 103.97min
2.- Una habitación tiene un volumen de 800 ft3. El aire de la habitación contiene cloro a una concentración de 0.1 gr/ft3. Entra aire fresco (libre de cloro) a una tasa de 8 ft3/min., el aire de la habitación está bien mezclado y fluye hacia fuera por una puerta a la misma tasa que entra el aire fresco.
Encuentre la concentración de cloro de la habitación como una función de tiempo t.
Suponga que la tasa de flujo del aire fresco es ajustable.
Determine la tasa de entrada requerida para reducir la concentración de cloro a .001gr/ft3 en 20 min.
A = cantidad de cloro en la habitación
R1 = 0 
R2 = (8ft3/min)(Acloro/800ft3) = 8A/800 cloro/min
dA/dt = 0 – a/100
dA/A = -1/100dt
ln A = -1/100t + C1 
elnA = e-1/100t
A = Ce-1/100t (0.1)gr/ft3 (800)ft3 = 80 gr de cloro 
t= 0
A = 80
80 = Ceº 
C = 80
a)
Concentración = 80e-1/100t /800
A = 80e-1/100t
RELACION CON OTRAS MATERIAS
Aplicación de los conocimientos en álgebra para ingeniería, cálculo diferencial, Mecánica Translacional y Rotacional, Ondas y Calor y Cálculo Integral, Química General, Ecuaciones Diferenciales, Series de Fourier e Ingeniería eléctrica.
CONCLUSIONES PERSONALES
Con la realización de esta práctica desarrollamos la habilidad de razonamiento lógico matemático y adquirimos la capacidad de analizar, planear, y resolver problemas de este tipo.
Comprendimos el concepto de la Ecuación Diferencial y analizamos los tipos de solución para la aplicación de problemas físicos de la ingeniería. Así mismo, desarrollamos la habilidad de la descripción del proceso de modelado para establecer un modelo matemático de un problema real a través de un razonamiento intuitivo acerca del mismo o, a partir de las leyes físicas basadas en la experimentación.
BIBLIOGRAFIA
1.- ECIACIONES DIFERENCIALES
Isabel Carmona Jover
Pearson
2.- ECUACIONES DIFERENCIALES
Joseph Ediminister
Mc Graw Hill
3.- ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES DE MODELADO
Dennis G. Zill
Thomson
4.- ECUACIONES DIFERENCIALES CON PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA
Dennis G. Zill – M. Cullen
Thomson
5.- INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Stephen Cambell
Mc Graw Hill
6.- CALKCULO CON GEOMETRIA ANALITICA
Earl W. Swokowski
7.- INTERNET
SESION 4
1.- En un cierto cultivo de bacterias se sabe que la rapidez de crecimiento de la población es en cada instante directamente proporcional al numero de bacterias existentes en dicho momento . Se sabe también que el tamaño de la población al cabo de 4Hr, es el triple de tamaño de la población inicial. Calcular el numero de bacterias que habrá en el cultivo transcurridas 10 horas. (Exprese el resultado en función de la cantidad inicial)
Nomenclatura:
P= Población
Po=Población inicial
Pf=Población final
dP=Diferencial de Población
t=Tiempo
to=Tiempo inicial
tf=Tiempo final
dt=Diferencial de tiempo
dP/dt=Rapidez con la que cambia la cantidad de población
K=Constante de proporcionalidad para la rapidez en el cambio en el cambio de la cantidad de población
E=Numer o de Euler(2.71828)
LN=Logaritmo Natural
Planteamiento y desarrollo:
dP/dt=kP
(Modelo matemático para el crecimiento de población con ecuaciones)
dP/P =Kdt (Resolviendo por el método de separación de variable)
∫dP/P = ∫Kdt
∫dP/P = K∫dt
LN P = K(t)
LN Pf –LN Po = K(tf-to)
Aplicando las propiedades de los logaritmos queda:
LN(Pf/Po)= K(tf-to)
Aplicando los exponenciales:
ELN(Pf/Po) =Ek(tf-to)
El exponencial y el logaritmo se cancelan y queda de la siguiente manera:
Pf/Po= Ek(tf-to)
Despejando la población final queda :
Pf= Po(Ek(tf-to))
Determinación de la K
Retomando:
LN(Pf/Po)= K(tf-to)
K(tf-to)= LN(Pf/Po)
K=(LN(Pf/Po)/(tf-to))
Datos:
to=0hr
tf=4hr
Po=Po
Pf=3Po
LN(Pf/Po) = LN(3Po/Po)= LN(3) = 1.098612289
tf-to = 4hr-0hr = 4hr
K=1.098612289/4
K=.274653072
La cuestión es:
¿Cuál será la población de bacterias en 10 hr?
to=0hr
tf=10hr
Po=Po
Pf=?
K=.274653072 1/hr
K(tf-to)=(.274653072)(10hr-0hr)= (.274653072)(10hr)= (2.74653072)
Pf=Po(Ek(tf-to) )
Pf=Po E2.74653072
Pf=Po(1558845727)
Nota: La población final depende de la inicial.
2.- La sustancia radioactiva C-14(carbono 14) se desintegra en cada instante a una velocidad proporcional a la cantidad presente. La vida media del C-14(tiempo que tarda en desintegrase la mitad de la cantidad inicial) es de 5750 años. Determine la edad de un fosil que contiene 77.7% de su C-14 inicial.
Llamemos y(t) a la cantidad de C-14 en el momento t, con t expresada en años. Sea y(0)= Yo la cantidad inicial del elemento radioactivo.
Nomenclatura:
m=Masa
mo=Masa inicial
mf=Masa final
dm=Diferencial de Masa
t=Tiempo
to=Tiempo inicial
tf=Tiempo final
dt=Diferencial de tiempo
dm/dt=Rapidez con la que cambia la cantidad de masa se desintegra
K=Constante de proporcionalidad para la rapidez en el cambio en el cambio de la cantidad de masa
E=Numer o de Euler(2.71828)
LN=Logaritmo Natural
Planeamiento y desarrollo:
dm/dt=km
(Modelo matemático para el crecimiento de población con ecuaciones)
dm/m =Kdt (Resolviendo por el método de separación de variable)
∫dm/m = ∫Kdt
∫dmm= K∫dt
LN m= K(t)
LN mf–LN mo= K(tf-to)
Aplicando las propiedades de los logaritmos queda:
LN(mf/mo)=K(tf-to)
Aplicando los exponenciales:
ELN(mf/mo)= Ek(tf-to)
El exponencial y el logaritmo se cancelan y queda de la siguiente manera:
mf/mo= Ek(tf-to)
Despejando la población final queda :
mf= mo(Ek(tf-to) )
Determinación de la K
Retomando:
LN(mf/mo)=K(tf-to)
K(tf-to)= LN(mf/mo)
K=(LN(mf/mo) /(tf-to)) 
Datos:
to=0años
tf=5750años
mo=mo
mf=1/2mo
LN(mf/mo)=LN(1/2mo/mo)=LN(1/2)=-.69314718
tf-to = 5750años-0años=5750años
K=-.69314718/5750
K=-1.205473358x10-04 
La cuestión es:
¿Cuál será el tiempo que lleva desintegrándose el fósil si lo que le queda de C-14 es el 77.7%?
to=0años
tf=?
mo=100%
mf=77.7%
K=-1. 205473358x10-04 
 mf/mo=(Ek(tf-to) )
77.7/100=(E-1. 205473358x10-04(tf-0) )
LN(.777) =-1. 205473358x10-04 (tf)
tf= LN(.777)/-1. 205473358x10-04
tf=2093.077603años
SESION 5
Aplicaciones de la ley de transferencia de Calor de Newton
Antecedentes históricos:
Sir Isaac Newton, (4 de enero, 1643 NS – 31 de marzo, 1727 NS) fue un científico, filósofo, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la Mecánica Clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en el Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.
Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la Revolución científica.
Entre sus hallazgos científicos se encuentran los siguientes: el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de conducción térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas.
Newton comparte con Leibnizel crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de las matemáticas, desarrollando el teorema del binomio. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija al mundo."
Se denomina Leyes de Newton a tres leyes concernientes al movimiento de los cuerpos. La formulación matemática fue publicada por Isaac Newton en 1687 en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Constituyen, junto con las leyes de transformación de Galileo, la base de la mecánica clásica. En el tercer volumen de los Principia Newton mostró que, combinando estas leyes con su Ley de la gravitación universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
1.- Se encuentra el cadáver de un felino. En dicho momento se toma la temperatura del mismo y resulta ser de 35oC. Una hora después se vuelve a tomar la temperatura y esta es de 34.5oC, suponiendo la constante de temperatura ambiental igual a 27 o C. Calcular a que hora se produjo la muerte del animal.(utiliza la ley de Newton) considerando la temperatura del animal en vida =36.5oC
T0=36.5OC TF=270C Ŝ totf dt =k Ŝ tfto dt ln( tf ) = -0.01438(tf – to )
dp=kp to
dt ln (T)׀TFTo = k (dt)׀ Tf To ln(27 ) = -0.01438( tf – to )
 36.5
dt=kT ln Tf - lnTo = k( tf –to ) 
dt -0.30147 =( tf – to )
 ln(tf) = k (tf – to) -0.01438
dt=kdt to
T 20.96= (tf –to)
 K= -0.01438
dt=k(dt)
T k=tf =34.5
 to 35
2.- Un deposito contiene 20 kg de sal disuelta en 500 lts, de agua supongamos que se comienza a introducir salmuera ( agua con sal ) a razón de 12 LPM ( solución que contiene 0.25 kg de sal ) que simultáneamente la mezcla sale del deposito a razón de 8 LPM ¿ que cantidad de sal tendrá en el deposito al cabo de 1 hora?
La solución se mantiene completamente mezclada y se drena del tanque con la misma rapidez . ¿Cuánta sal queda en el tanque después de30 minutos ?
A(t) = cantidad de sal que se puso en el tanque 
 da =R1 –R2 donde: R1 =M pide con la distancia que entra
 dt R2 = rapidez con la distancia que sale
R1 =( 25h/min ) (0.03 Kg. / h) = 0.75 kg /h
R2 =(251h/min )(a kg/h) =A kg/h
5000 200
 da=.75kg/min – Akg/min
dt 200
Factor de integracion:
d( ct/200 A ) =.75t/200 
[d (et/200 A ) =.75t/200 ] dt
 dt 
integrando:
ct/200 A = .75 (200) Ŝ ct/200
A = 150 + Ce-t/200 c=130
a) cuando la sal sale del tanque despues de media hora 
A(30 MIN) = 150-130et/200 A = 38.1kg
Conclusión: 
las ecuaciones diferenciales tienen su importancia , hasta para usar en lo mas común como para enfriar un pan . Según Newton el objeto a enfriar proporcional mente a la diferencia que hay entre el y el medio ambiente en el que esta , así en la industria partiendo de esta ley y aplicando los cálculos diferenciales , se puede comprobar resolver estos tipos de problemas de diferencias de calor.
Bibliografías.
www.monografias.com.mx
www.wano.com.mx
www.rincondelvago.com.mx
SESION 6
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Marco Teórico:
El Hombre mediante la observación a través de los años callo en cuenta de que a medida de que la población crecía seria necesaria una mayor cantidad de recursos de todo tipo para satisfacer las necesidades de la población. Y en su Afán de controlar todo su entorno ideo distintas maneras de predecir la relación de crecimiento poblacional.
La primera hipótesis decía que el crecimiento era lineal, cosa que quedo descartada ya que en ese entonces los matrimonios solían tener un promedio de 7 hijos.
Otra hipótesis mas fue que el crecimiento era exponencial, esta conjetura satisfizo a muchos al momento, pero con el tiempo y con estudios se comprobó que esta relación tampoco se cumplía.
En nuestros días hemos concluido en que la población crece proporcionalmente a su tamaño, aun con las variaciones de la ubicación y de la cultura.
Redacción del problema
1.- Una epidemia de desarrolla en una población de una forma tal que, en cada instante de tiempo, la velocidad de desarrolla de la infección es directamente proporcional al numero de personas enfermas por el numero de personas sanas.
Si la población tiene 10 000 habitantes, y se sabe que el numero de personas infectadas inicialmente era de 50 junto con que al cabo de 3 días había 250 enfermos. Determine el número de enfermos que habrá al cabo de 12 días
Uno de los modelos para el crecimiento de la población, se baso en la hipótesis de que la población crece con una rapidez proporcional a su tamaño:
DP / dT = KP
En general, si y (t) es ala cantidad y en el instante t y si la razón de cambio de y con respecto a t es proporcional a su magnitud y (t) en cualquier instante, entonces:
			dy / dt =Ky З K es una constante
Esta ecuación recibe el nombre de Ley de Crecimiento Natural, tal que, K>0.
a) Determina la solución del problema con valor inicial:
dy = Ky З y(0) = Yo
	dP = KP dy = KY		K= CTE
 	 dt		 dt
	
	dy = KY dt 	 dy = Kdt		∫ dt = ∫ Kdt
	dt	 Y 	 y			 y
			 Iny	 Kt + c			Kt
	Iny = Kt + C 	 e + e 	y = Ce 
	
	c= y , y (0) =1650 º o º C= 1650 		C= 1650
 	 Kt				 Kt
	 e			 e
 		 Kt	
	y= 1650 e
1. Introducción
El anhídrido carbónico o dióxido de carbono es un gas resultante de la combinación de dos cuerpos simples: el carbono y el oxígeno. Se produce por la combustión del carbón o los hidrocarburos, la fermentación de los líquidos y la respiración de los humanos y de los animales.
Presente en proporción débil en la atmósfera, se asimila por las plantas, que por su parte devuelven oxígeno. En resumen, el CO2 es un gas de olor ligeramente picante, incoloro y más pesado que el aire. No es esencial para la vida. Solidifica a temperatura de -78,5° C, formando nieve carbónica. En solución acuosa el gas crea el ácido carbónico, muy inestable para ser aislado de forma sencilla.
Datos de un gas
	Tabla de conversiones
	Fase sólida:
peso [kg]
	Fase gas:
volumen [m3]
	Fase líquida:
volumen[I]
	1.000
1.887
1.176
	0.530
1.000
0.624
	0.850
1.603
1.000
	m3 (metro cúbico): volumen de gas medido a 1.013 bar y 15ºC de temperatura. 
l (litro) : volumen líquido medido a 1.013 bar y a temperatura de ebullición .
Propiedades Físicas de un Gas
	Símbolo químico
	 
	CO2
	Masa atómica
	 
	44.01
	Fase líquida (a temperatura de ebullición)
	Peso específico
(agua = 1)
	1.18 @ 1,013 bar
	Temperatura de ebullición
	Temperatura
	-78.50°C @ 1,013 bar
	
	Calor latente de evaporación
	571.3 kJ/kg
	Fase gaseosa
	Peso específico
(aire = 1)
	1.539
	
	Calor específico
	0.8500 kJ/kg °C
	
	Densidad
	1.9769 kg/m3
	Punto triple
	Temperatura
	-56.6°C
	
	Presión
	517.3 kPa abs
	Punto crítico
	Temperatura
	-31.10°C
	
	Presión
	7382 kPa abs
	
	Densidad
	468.0 kg/m3
	Conductibilidad térmica
	 
	0.0168 W/m °K 
@ 300 °K
2.- En un túnel subterráneo de dimensiones 24m x 5m x 4m, existe una concentración de gas carbónico (CO2) del .16%, mientras que en el aire exterior la concentración de gas es del .04%. Se inyecta aire del exterior en eltúnel con unos ventiladores a razón de 50 m3/min. Hallar la concentración de gas carbónico en el túnel media hora después de iniciado el proceso el proceso de renovación de aire.
Planteamiento
Sea x el numero de m3 de CO2 es ese momento
La concentración de gas carbónico es 
Desarrollo
Volumen del túnel subterráneo:
24m x 5m x 4m = 480 m3
Durante el intervalo dt la cantidad de CO2 que entra en el túnel subterráneo es 
		 , y la cantidad de CO2 que sale es 
de donde el cambio dx en el intervalo es:
dx = 
ln | x - .2 | + C = 
| x - .2 | + C = 
C = - x + .2
Dadas las condiciones para un t = 0
X = .0016 (480 m3) = .768 m3 de CO2 en el interior
C = 1 - .768 + .2
C = .432
x = - c - .2
x = - .432 - .2
x = - .58
Respuesta con el análisis
EL % de CO2 es que es = -.001208
Por lo tanto el % de CO2 es -.12%
Conclusiones 
Un ejemplo ilustrativo de la importancia actual del gas se evidencia en la generación eléctrica: los líquidos derivados del petróleo participan con el 2%, la hidroelectricidad con el 75% y el gas natural con el 23%. Por otro lado, el apoyo a la industria ha sido decisivo al contribuir con las necesidades energéticas de ese importante sector con el equivalente a 281 mil barriles diarios (MBDPE) en más de 1.300 industrias instaladas en las áreas de influencia de los gasoductos. Otro aporte significativo desde el punto de vista social, es que el gas natural mejora la calidad de vida en más de 400 mil hogares de Caracas, Maracaibo y Puerto La Cruz, y existen proyectos muy avanzados para dotar de gas doméstico a importantes centros urbanos del país.
Relación con otras materias:
Física, Química, Petroquímica, Cálculo Integral, Cálculo Diferencial, Taller integrador II.
 Bibliografía.
Web Site sobre Gas Natural:
· http://www.es.airliquide.com/pr_carac_gases_co2.htm#datos
SESION 7
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.
Marco Teórico:
LEY de OHM
La corriente continua es un movimiento de electrones. Cuando los electrones circulan por un conductor, encuentran una cierta dificultad al moverse. A esta "dificultad" la llamamos Resistencia eléctrica.
La resistencia eléctrica de un conductor depende de tres factores que quedan recogidos en la ecuación que sigue:
· La primera ley de Kirchhoff se conoce como la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y su enunciado es el siguiente:
"La suma algebraica de las corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero en todo instante".
Para entender mejor esta ley se puede asimilar un nodo como la interconexión de una red de acueducto, donde se tiene una conexión en forma de T, con tres tubos de los cuales por dos de ellos llega el agua y por el tercero sale la suma de los dos anteriores, si se lleva esto a la teoría de circuitos, la corriente viene siendo representada por el flujo de agua y los conductores por los tubos, dentro de los tubos, no se puede acumular el agua, por lo tanto toda la cantidad que entra en este sistema debe ser la misma que sale, de la misma forma se asume que en los conductores y nodos no se puede acumular carga, ni hay pérdidas de energía por calor, la corriente que entra al nodo debe ser la misma que sale
· La segunda ley de Kirchhoff se conoce como la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) y su enunciado es el siguiente:
· "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier lazo (camino cerrado) en un circuito, es igual a cero en todo instante".Para entender mejor esta ley se puede reflejar dentro de un marco físico conservativo como es el gravitacional, donde el desplazamiento de una masa, alrededor de una trayectoria cerrada provoca un trabajo resultante de cero sobre la misma
· INDUCTANCIA:
Es la propiedad de un circuito que establece la cantidad de flujo magnético que lo atraviesa, en función de la corriente que circula por él. El coeficiente de autoinducción, L, es la medida de esta propiedad y se define:
donde es el flujo magnético e I es la corriente. El valor de este coeficiente viene determinado exclusivamente por la geometría del circuito y por la permeabilidad magnética del espacio donde éste se expresa.
Un cambio en la intensidad de la corriente (dI / dt) resultará en un cambio en el campo magnético y, por lo mismo, un cambio en el flujo que está atravesando el circuito, lo que dará lugar a la generación de una fuerza electromotriz autoinducida en él, debido a la Ley de Faraday, y por tanto a la circulación de una corriente que se opone a su propio cambio de corriente 
CAPACITANCIA: 
Es la capacidad de un conductor a la propiedad de adquirir carga eléctrica cuando es sometido a un potencial eléctrico con respecto a otro en estado neutro. La capacidad queda definida numéricamente por la carga que adquiere por cada unidad de potencial.
En el sistema internacional de unidades la capacidad se mide en faradios (F), siendo un faradio la capacidad de un conductor que al ser sometido a una diferencia de potencial de 1 voltio, adquiere una carga eléctrica de 1 culombio.
Se define también, como la razón entre la magnitud de la carga (Q) en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos (V). Es entonces la medida de la capacidad de almacenamiento de la carga eléctrica.
El voltaje es directamente proporcional a la carga almacenada, por lo que se da que la proporción Q/V es constante para un capacitor dado.
· La capacitancia se mide en Culombios/Voltio o también en Faradios (F). 
· La capacitancia es siempre una magnitud positiva. 
Problema:
1.- Un circuito RCL, dado en la figura, tiene una batería de 1.5 volts como una fuente de voltaje de (e (t) = 1.5). Los valores de las componentes son R= 1.5 ohms, L= 1H y C=2F. Al inicio, la carga sobre el capacitor es de 2C y la corriente en el resistor es 4ª. Encuentre la carga en el capacitor y la corriente como una función del tiempo.
La caída del voltaje a través del capacitor es Q/C, donde Q es la carga en coulomb (C).
La ley de Kirchhoff establece: 
RI(t) + Q = V(t)
C
Pero I(t) = dQ/dt, así tenemos que
Supongamos que la resistencia es de 5, la capacitancia es de 0.5F, la batería suministra un voltaje constante de 60V y que la carga inicial es de Q(0) = 0C.
Determine la carga y la corriente en el tiempo t.
Considere ahora que:
R = 2, C = 0.01F, Q(0) = 0 y V(t) = 10sen60t.
Determine la carga y la corriente en el tiempo t.
 
 (
Carga en tiempo t
)
2.- Un circuito RCL, dado en la figura, tiene una fuente de voltaje de e (t)=3 cost volts. Los valores de las componentes son R=3 ohms, L=0.5 H y C=0.4F. Al inicio, la carga sobre el capacitor es cero y la corriente en el resistor es 1ª. Encuentre la carga en el capacitor y la corriente como una función del tiempo.
La ecuación diferencial se obtiene al aplicar la segunda ley de Kirchoff al circuito.
e – RI – Q – LdI = 0
 C dt en donde:
e = voltaje aplicado al circuito por el generador e función 6 forzamiento
RI = caída de voltaje en el resistor
- Q = caída de voltaje en el capacitor
 C
- LdI = caída de voltaje en el resistor
 dt
Datos del problema: R = 3R1, L = .5H, C = .4F = e(t) = 3cost2
Sustituyendo en la ecuación y recomendándola
3cost - .5dI – 3I – 2.5q = 0
 dt
.5dI + 3I + 2.5q = 3cost
 dt
Por definición : I = dq dI = d2q
 dt dt dt2
Dividiendo entre .5 y usando las formulas anteriores
[.5d2q + 3dq + 2.5q = 3cost] ÷[.5]
 dt dt
d2q + 6dq + 5q = 6cost
dt2 dt
Ecuación diferencial lineal 2ndo orden
La solución general se compone de la suma de 2 soluciones 
Y = Yp + Yh
Yp = solución general
Yh = solución de la ecuación homogénea asociada
d2q + 6dp + 5p = 0
dt2 dt
r2 + 6r + 5 = 0 (r + 1)(r + 5) = 0
r1 = -1 r2 = -5
solución de la ecuación homogénea (Yh)
Yh = C1e-t + C2e-5t
d2q + 6dq + 5q = 6Cost sí
dt2 dt 
Yp = Acost + Bsent----Y´p = -Asent + Bcost---Y´´p = -Acost – Bsent
Entonces:
d2q + 6dYp + 5Yp =cost + Bsent
-Acost – Bsent – 6 Asent +6Bcost + 5Acost + 5Bsent = 6cost + 0sent
[-Acost + 6Bcost + 5Acost] + [-Bsent – 6Asent + 5Bsent] = 6cost + 0sent
[4A + 6B]cos + [-6A +4B]sent = 6cost + 0sent
4A + 6B = 6
-6A + 4B = 0
A = 6/13 B = 9/13
q(t) = C1e-t + C2e-5 + 6cost + 9sent
 13 13
Condiciones iniciales
q(0) = 0 i(0) 1
q(0) = C1e0 + C2e0 + 6cos(0) + 9sen(0) = C1 + C2 + 6 = 0
 13 13 13
C1 + C2 = 6/13
I(0) = -C1e0 – 5C2e0 – 6sen(0) + 9cos(0) = -C1 – 5C2 + 9 = 1
 13 13 13
-C1 – 5C2 = 1 – 9/13 – C1 – 5C2 = 4/13
-C1 – 5C2 = 4/13
C1 + C2 = -6/13
Resolviendo por simultaneas
C1 = -1/2 C2 = 1/26
q(t) = 6cost + 9sent – 1e-t + 1e-5t
 13 13 2 26
I = q´(t) = - 6sent + 9cost + 1e-t – 1e-5t
 13 13 2 26
Conclusiones:
Para esta sesión fue necesario deducir que camino es mas sencillo para resolvérsete tipo de problemas, y cuales son sus variantes y sus comparativas con respecto a otros problemas realizados, como partimos desde la ley de Kirchhoff, observamos que no regresa al cien por ciento la cantidad exacta de voltaje, aun y cuando la corriente se mantiene igual.
Bibliografía
Biblioteca de Consulta Microsoft ® Encarta ® 2005. © 1993-2004 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
Ecuaciones diferenciales
Autor: Frank Ayres
Editorial: Mc Graw Hill
SESIÓN 8
1.-Un circuito RCL, dado en la figura, tiene R=20 ohms, L=0.005F. Se hace corto circuito en la fuente de voltaje {e(t)=}. En el tiempo t=0 hay una carga de 10 Cen el capacitor y no hay corriente.
a) Resuelva la ecuación diferencial para la carga.
b) ¿Cuánto segundos tomará para que la amplitud variable se reduzca 99%?
2da LEY DE Kirchoff
e – RI – LdI – Q = 0 RI + LdI + Q = e
 dt C dt
I = dq ----dI = d2q
 dt dt dt2
Con los datos del problema obtenemos:
20dq + (1)d2q + 200q = 0---- d2q + 20dq + 200q = 0
 dt dt2 dt2 dt
Solución de la ecuación diferencial, ecuación auxiliar:
r2 + 20r + 200 = 0
Fórmula general:
r = -20±√[400-4(1)(200)]
 2(1)
r1 = -10 + 10i r2 = -10 – 10i
La solución general es:
q(t) = C1e-10tcos10t + C2e-10tsen10t
q´(t) = -10C1e-10tsen10t – 10C1e-10tcos10t + 10C2e-10tcos10t – 10C2e-10tsen10t
Condiciones iniciales
q(0) = 10---q´(0) = 0
q(0) = C1e0cos(0) + 0 -----Sen(0) = 0
q(0) = C1 = 10
Porque q´(0) todos los términos que llevan sen(0) se cancelan, entonces:
q´(0) = -10C1e0cos(0) + 10C2e0cos(0) = 0
q´(0) = -10C1 + 10C2 = 0------10C1 = -10C2----- C1 = C2
C1 = C2 = 10
La solución particular es:
q(t) = 10e-10tcos10t + 10e-10tsen10t
Forma amplitud fase:
q(t) = C1coswt + C2senwt = Rcos(wt – ø)
R = √(C12 +C22 ) = √200 = 10√2
Ø = tg-1C2/C1 = tg-1(1) = 45º = π/4 
q(t) = 10√(2e-10t)cos[10t – π/4]
2.- En el tiempo t=0 se observa que la masa en un sistema resorte masa, von masa m y constante de resorte k, se encuentra 1 pie abajo del equilibrio y viajando hacia abajo a 1pie/seg.
a) Determine el movimiento subsecuente.
b) Determine la amplitud como una función de m y k
c) ¿Cuál es el efecto de la amplitud si se aumenta o k?
La frase 2determinar el movimiento subscecuente2 significa descubrir como varía X en función de t. La ecuación diferencial se formula relacionándola con la ley de Hook y la ley de Newton
a)2da Ley de Newton
F = ma
md2x + KX = 0Ecuación diferencial lineal 2do Orden, homogénea
 dt2
Solución de la ecuación con el factor de integración, el factor de integración es X = ert
md2ert + Kert = 0
 dt2
Ecuación característica mr2 + K = 0
Por lo tanto r = ±√[(K/m)(i)
X(t) = C1cos√[K/m)(t)] + C2sen√[(K/m)(t)]
X´(t) = -C1√[(K/m)(sen)]√[K/m)(t)] + C2√[(K/m)(cos)]√[(K/m)(t)]
Para hallar C1 y C2 se utilizan las condiciones iniciales
X(0) = C1cos√[(K/m)(0) + C2sen√[(K/m)(0) = 1
Por lo tanto C1 =1
X´(0) = -C1√[(K/m)sen(0) + C2√[(K/m)cos(0) = 1
Por lo tanto C2[(K/m) = 1
C2 = 1 = √(m/K)
 √(K/m)
Sustituyendo C1 y C2 en la solución general
X(t) = cos√(K/m)(t) + √[(m/K)(sen)]√[(K/m)(t)]
b) Amplitud = R = √(C12 + C22)
R = √[1 +(√m/K)1]
R = √(1 + m/K)
c) La amplitud crece si m crece
 La amplitud decrece si m decrece 
SESION 9
1.Antecedente Histórico
El estudio  teórico  de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII (simultáneamente con la aparición del cálculo diferencial e integral), actualmente las ecuaciones diferenciales se han convertido en una de las herramientas más poderosas para la investigación de fenómenos naturales,  especialmente sus aplicaciones que son la base para la solución de muchos problemas  de ciencia y tecnología, como lo son varios del campo de la construcción  de maquinaria eléctrica o dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de un objeto o partícula, el curso de una reacción química, fenómenos económicos que se resuelven por medio de ecuaciones diferenciales, etc. 
Además en los trabajos desarrollados por estudiantes y especialmente en los proyectos de grado se han detectado deficiencias relacionadas con el manejo de variables en la modelación de un problema, el manejo e interpretación adecuados de los datos obtenidos en laboratorios y elaboración de informes. La  asignatura de ecuaciones diferenciales intenta ser un espacio que aporte soluciones a las dificultades anteriormente mencionadas.
 2. Marco teórico
Reconocer y valorar las matemáticas no sólo como un instrumento técnico o "natural" para interpretar fenómenos, sino como la ciencia deductiva que ha aportado, aporta y aportará al desarrollo de la ciencia y la tecnología para dar soluciones a los múltiples problemas que surjan en física, astronomía, ingeniería, química, biología etc. 
Fomentar el estudio de la asignatura como una disciplina que aporta a la formación individual de la responsabilidad y la constancia indispensable en un buen profesional. 
Conclusiones
En particular en esta sesión referente al sistema masa-resorte creo que nos ayuda a plantear, identificar y resolver problemas con respecto a las ecuaciones diferenciales, y nos permite desarrollarnos y darnos cuenta de cómo aplicar las ecuaciones en todo tipo de problemas mecánicos, eléctricos etc.
Relación con otras materias:
Física, Ecuaciones, Etc.
Bibliografía:
1. Ecuaciones Diferenciales, Carmona
2. Ecuaciones Diferenciales, Zill
3. www.google.com
 
1.- Una masa de 30 gr. Se une a un resorte. En equilibrio, el resorte se alarga 20 cm. El resorte se jala hacia abajo otros 10 cm. Y se suelta. Establezca la ecuación diferencial para el movimiento resultante ignorando la fricción y resuélvala.
2.- Una masa de 400 grs. se une a un resorte. En equilibrio, el resorte es alargado 245 cm. El resorte se jala hacia abajo y se suelta. A las 12 del día se observa que la masa esta a 10 cm mas abajo y moviéndose hacia arriba a razón de establezca la ecuación diferencial para el movimiento y resuelva la ecuación diferencial.
SESIÓN 10
Aplicaciones a la física:
Movimiento Armónico Simple:
La Ley de Hooke:
Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se reemplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintosalargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb./pie.
Luego, necesariamente una masa que pesa 8 lb. alarga el mismo resorte en 2/5 pie.
Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m . g
En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geolibras (slugs) y g = 9.8 mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt². Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:
m d²x/dt² = - k (s + x) + mg
= - kx + mg - ks = - kx
cero 
Caso I:
² - ² > 0. En esta situación decimos que el sistema está sobreamortiguado, puesto que el coeficiente de amortiguación es grande comparado con la constante k del resorte. La correspondiente solución de d²x/dt² + 2 dx/dt + ²x =0 es x(t) = C1e + C2e 
o bien: 
x(t) = e (C1e + C2e ).
Caso II:
² - ² = 0. Decimos que el sistema está críticamente amortiguado ya que una pequeña disminución de la fuerza de amortiguación produciría un movimiento oscilatorio. La solución general será: 
x(t) = e (C1 + C2t)
Caso III: 
² - ² < 0.En este caso se dice que el sistema está subamortiguado, ya que el coeficiente de amortiguación es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces m1 y m2 son ahora complejas. m = - + "(² - ²)i m = - - "(² - ²)i
y por lo tanto la solución general es:
x(t) = e [C1 cos "(² - ²)t + C2 sen "(² - ²)t]
1.- Un sistema masa-resorte tiene una masa de 10gr acoplada al resorte. La constante del resorte es 30gr/seg2. Al sistema se una un mecanismo equivalente a una constante de amortiguamiento de 40gr/seg. La masa se jala hacia abajo y se suelta. En el tiempo t=0, la masa se encuentra 3cm debajo de la posición de reposo y moviéndose hacia arriba a 5cm/seg. Establezca la ecuación diferencial que describa el movimiento, resuelva, diga si el movimiento es:
a) armónico
b) oscilatorio con sub-amortiguamiento
c) oscilatorio con sobre-amortiguamiento
d) con amortiguamiento crítico
F = -KX
-KX = mg
K = - mg/X
ma = F
 (
md2x = -&
dx
 – 
Kx
 dt2 
dt
)
M = masa = 10g
& = cte de amortiguamiento = 40g/s
K = cte del resorte = 30g/s
 (
10d2x + 40dx + 30x = 0 dividiendo entre 10
 Dt2 
dt
)
Sustituyendo: 
d2x + 4dx + 3X = 0
 dt2 dt
√(&2 – 4mK) = √[(40)2 – 4(10)(30)] = √(1600 – 1200) = √400 = √20
& = 40
√4mK = √1200 = 34.6
&>√4mK por lo tanto el movimiento es sobre amortiguado
La solución es X(t) =C1er1t + C2er2t
 (
R1 = -& + 
√
(&2 – 4mK)
 2m 
2m
R1 = - 40 + 
√
(1600 – 1200)
R1 = -2 + 1 = -1
)
 (
R2 = -& + 
√
(&2 – 4mK)
 2m 
2m
R2 = -40 + 
√
(1600 – 1200)
20
R2 = -2-1 = -3
X(t) = C
1
e
-1
 + C
2
e
-3t
X`(t) = C
1
e
-1
 – 3C
2
e
-3t
 
)
Las condiciones iniciales son:
X(0) = 3x`(0) = .5
X(0) =C1e0 + C2e0 =3
X`(0) = -C1e0 – 3C2e0 = -5
C1 + C2 = 3 C1 = 3 – C2 = 3 – 1 = 2
-C1 – 3C2 =-5
-2C2 = -2
C2 = 1
Como X(t) = Rcos(w- Þ) 
d) el movimiento no es oscilatorio no se puede escribir
x(t) = 2e-t + e
el sistema masa resorte no tiene amortiguamiento. Entonces & = 0 y el movimiento es armónico 2da ley de newton
md2x = F
 dt2
md2x = -Kx
 dt2
m = 1 K = óma = ó(1)(980) = 49
 x 20
a) d2x + 49x = 0
 dt2 Ecuación lineal de segundo orden y homogénea
Solución de la ecuación:
Ecuación auxiliar r3 + 49 = 0 r = ±±
x(t) = C1cos√(k/m)(t) + C2sen√(k/m)(t)
x(0) = C1cos7i + C2sen7i
x`(t) = -7C1sen + 7C2cos7
Las condiciones iniciales son:
X(0) = 1 x`(0) = 7
X(0) = C1cos(0) + C2sen(0) = 1
X´(0) = -7C1sen(0) + 7C2cos(0) = 7
7C2 = n7 C2 = 1 C1 = 1 C2 = C2
b) solución particular x(t) =cos7t + sen7t
d) se dice que el movimiento es armónico
2.- Una masa de 1 gr esta unida a un sistema de resorte-masa para el que la fracción es despreciable. El resorte se alarga 20cm y regresa al reposo. Se jala la masa hacia abajo 1 cm desde el reposo y se suelta con una velocidad de 7 cm/seg hacia abajo. Establezca la ecuación diferencial que describa el movimiento, resuelva, diga si el movimiento es:
e) armónico
f) oscilatorio con sub-amortiguamiento
g) oscilatorio con sobre-amortiguamiento
h) con amortiguamiento crítico
m = masa
a = aceleración
g = gravedad
k = constante de proporcionalidad
ka= constante de amortiguamiento
v = velocidad
vo = velocidad inicial
vf = velocidad final
dv/dt = rapidez con la que cambia la velocidad
t = tiempo
to = tiempo inicial
tf = tiempo final
Fm + Fr = 0
Ma + kx = 0
M(d2x/dt2) + kx = 0
(M(d2x/dt2) + kx = 0)1/m
d2x/dt2 + kx/m= 0
D2x + (k/m)(x)- = 0
x(D2 + k/m) = 0
x(D2+(.04905/.001) = 0
x(D2+3) = 0
M1=7.003i
M2=-7.003i
X(t) = c1cos 7.003t + c2sen- 7.003t
X’(t)= -7.003c1sen7.003t – 7.003c2cos- 7.003t
X(0)= -.01m
X’(0)=-.07m/s
-.01 = c1cos 7.003(0) + c2sen- 7.003(0)
-.01= c1
-.07= -7.003c1sen7.003(0) – 7.003c2cos- 7.003(0)
-.07/7.003= c2
.00999=c2
X(t) = -.01cos 7.003t + .00999sen- 7.003t
SESION 11
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
Marco Teórico:
LEY de OHM
La corriente continua es un movimiento de electrones. Cuando los electrones circulan por un conductor, encuentran una cierta dificultad al moverse. A esta "dificultad" la llamamos Resistencia eléctrica.
La resistencia eléctrica de un conductor depende de tres factores que quedan recogidos en la ecuación que sigue:
· La primera ley de Kirchhoff se conoce como la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y su enunciado es el siguiente:
"La suma algebraica de las corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero en todo instante".
Para entender mejor esta ley se puede asimilar un nodo como la interconexión de una red de acueducto, donde se tiene una conexión en forma de T, con tres tubos de los cuales por dos de ellos llega el agua y por el tercero sale la suma de los dos anteriores, si se lleva esto a la teoría de circuitos, la corriente viene siendo representada por el flujo de agua y los conductores por los tubos, dentro de los tubos, no se puede acumular el agua, por lo tanto toda la cantidad que entra en este sistema debe ser la misma que sale, de la misma forma se asume que en los conductores y nodos no se puede acumular carga, ni hay pérdidas de energía por calor, la corriente que entra al nodo debe ser la misma que sale
· La segunda ley de Kirchhoff se conoce como la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) y su enunciado es el siguiente:
"La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier lazo (camino cerrado) en un circuito, es igual a cero en todo instante".Para entender mejor esta ley se puede reflejar dentro de un marco físico conservativo como es el gravitacional, donde el desplazamiento de una masa ,alrededor de una trayectoria cerrada provoca un trabajo resultante de cero sobre la misma
· INDUCTANCIA:
Es la propiedad de un circuito que establece la cantidad de flujo magnético que lo atraviesa, en función de la corriente que circula por él. El coeficiente de autoinducción, L, es la medida de esta propiedad y se define:
donde es el flujo magnético e I es la corriente. El valor de este coeficiente viene determinado exclusivamente por la geometría del circuito y por la permeabilidad magnética del espacio donde éste se expresa.
Un cambio en la intensidad de la corriente (dI / dt) resultaráen un cambio en el campo magnético y, por lo mismo, un cambio en el flujo que está atravesando el circuito, lo que dará lugar a la generación de una fuerza electromotriz autoinducida en él, debido a la Ley de Faraday, y por tanto a la circulación de una corriente que se opone a su propio cambio de corriente 
CAPACITANCIA: 
Es la capacidad de un conductor a la propiedad de adquirir carga eléctrica cuando es sometido a un potencial eléctrico con respecto a otro en estado neutro. La capacidad queda definida numéricamente por la carga que adquiere por cada unidad de potencial.
En el sistema internacional de unidades la capacidad se mide en faradios (F), siendo un faradio la capacidad de un conductor que al ser sometido a una diferencia de potencial de 1 voltio, adquiere una carga eléctrica de 1 culombio.
Se define también, como la razón entre la magnitud de la carga (Q) en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos (V). Es entonces la medida de la capacidad de almacenamiento de la carga eléctrica.
 El voltaje es directamente proporcional a la carga almacenada, por lo que se da que la proporción Q/V es constante para un capacitor dado.
· La capacitancia se mide en Culombios/Voltio o también en Faradios (F). 
· La capacitancia es siempre una magnitud positiva. 
1.-Con referencia al circuito que abajo se muestra. La fuente de voltaje es de e (t) =sen t, el resistor es lineal con una característica de v-i, v=i y L=1. Establezca la ecuación diferencial para la corriente como una función de tiempo para cualquier condición inicial i (0).
 (
+
e
-
)
El valor de la fuente de voltaje que alimenta este circuito esta dado por las siguientes fórmulas:
 - Voltaje (magnitud) VS = (VR2 + VL2)1/2
 - Angulo = /Θ = Arctang (Vl / VR).
Estos valores se expresan en forma de magnitud y ángulo.
Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los tres elementos que forman el circuito. Se cumplirá que 
Vab+Vbc+Vca=0
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=0.
Para formular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una fem equivalente. Medimos la diferencia de potencial entre los extremos de cada uno de los dos elementos que forman el circuito. Se ha de tener en cuenta, que i disminuye con el tiempo por lo que su derivada di/dt<0 es negativa 
Vab+Vba=0
Integrando, hallamos la expresión de i en función del tiempo con las condiciones iniciales t=0, i=i0.
La energía suministrada por la batería hasta el instante t es
La energía disipada en la resistencia es
La energía acumulada en la autoinducción en forma de campo magnético es
Como podemos comprobar E0=ER+EB
· Cuando se abre el circuito y cae la corriente, toda la energía acumulada en la autoinducción se disipa en la resistencia. 
La energía inicial acumulada en la bobina, cuando la intensidad es i0 
Al abrir el circuito la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo. La energía por unidad de tiempo disipada en la resistencia por efecto Joule será P=i2R
Integrando entre cero e infinito obtenemos la energía total disipada.
2-. Para el circuito de la figura de abajo, el capacitor es de .5, el resistor es lineal con características v-1, v=2i, y la fuente de voltaje sinusoidal esta dada por el e (t) = 6 sen t. Encuentre la carga sobre el capacitor como una función de t dado que inicialmente era 1
	Entonces de donde con solución general:
	 (c1cos20t+c2sen20t) y qp=1/4
	entonces = q=qn+qp
(-20c1sen20t+20c2 cos20t) –20e-20t(c1cos20t+c2sen20t)
con las condiciones dadas tenemos =, por lo tanto 
SESION 12
MARCO TEORICO
	
MOVIMIENTO DE UN CUERPO EN EL CAMPO GRAVITATORIO BAJO EL ROZAMIENTO DEL AIRE.
INTRODUCCION
Vamos a analizar que sucede cuando dejamos un cuerpo en caída libre bajo la acción de la gravedad, pero considerando también que existe un rozamiento con la atmósfera con el aire de valor
PLANTEAMIENTO DE LA LEY DE NEWTON
Aplicando la ley de Newton tenemos que . En este caso tomaremos el sistema de referencia habitual, al tratarse de un problema de caída libre, haremos únicamente un tratamiento unidimensional para el eje y.
Las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo que cae son únicamente la fuerza de gravedad 
y la de rozamiento kv .La constante K la dejaremos indicada, su valor se mide experimentalmente.
Así pues la ley de Newton se expresará como:
INTERPRETACCION DE LA ECUACION DE NEWTON
Vemos que tenemos una ecuación que relaciona a con v. Ahora bien, la aceleración y la velocidad no son magnitudes independientes, ya que una es la derivada de la otra. Por tanto no podemos despejar tranquilamente a o v ya que, al estar relacionadas entre si, esto no seria una solución de la ecuación. Se tiene que plantear como resolver:
que recibe le nombre de ecuación diferencial. Aunque el tema de las ecuaciones diferenciales es un poco complicado comparado con la física general, en este caso concreto, representa no solo un caso sencillo e inteligible, sino además un ejemplo potente y didáctico d lo que representan las ecuaciones de Newton para el mundo físico, razón por la cual nos adentraremos al mundo de las ecuaciones diferenciales.
Para resolver esta ecuación pasemos todos los términos con a un lado y los que tienen al otro. Así tendremos 
Lo cual es una forma de acumular todos los términos en a un lado y con bien separados para nuestra próxima acción. Integremos ahora ambos miembros entre el instante , en el cual suponemos que y un instante genérico . 
. 
Esta integral es inmediata dándose cuenta de que 
, y por tanto tendremos 
que sabiendo que en teníamos nos dirá que 
Bueno, ahora basta hacer alguna acrobacia matemática y despejar la velocidad, que es la magnitud que nos interesa, esto se logra exponenciando 
Y despejando
 
1.- Una masa de 70 gramos se dispara hacia abajo desde un helicóptero estacionario, la resistencia de aire es proporcional a la velocidad d la masa con una constante de proporcionalidad de 7grs. /seg.
A que velocidad debe dispararse la masa, si debe tener una velocidad de 20600 cm. /seg. después de 5 segundos.
Datos
m = 70gramos
k = 7grs/seg.
Vf. = 20600 cm. /seg.
t = 5 segundos
Vo = 
DATOS
				F. I. = e* dt 	
				F. I. = e* dt
			 * dt				
				
					
					d(uv) = udv + vdu				
F. I. = e				d(ve	
F. I. = e				
ve
RESPUESTA CON EL ANALISIS
Vo = 16743.99 
CONCLUSIONES PERSONALES
Con esta clase de problemas nos damos cuenta de la aplicación de las ecuaciones diferenciales así como gracias al curso de taller integrador las podemos aplicar en situaciones reales.
RELACION CON OTRAS MATERIAS
Mecánica trasnacional y rotacional, Física, Algebra, etc. 
9
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3
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10
30
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